专题9.3 一元一次不等式组【九大题型】
【人教版】
【题型1 一元一次不等式组的概念】 1
【题型2 解一元一次不等式组】 3
【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 6
【题型4 根据一元一次不等式组的解集求参数值】 8
【题型5 根据不等式组的解集求参数范围】 10
【题型6 方程组的解构造不等式组求字母范围】 13
【题型7 利用整数解求字母取值范围】 16
【题型8 根据程序框图列不等式组】 18
【题型9 不等式组中的新定义问题】 21
【知识点 一元一次不等式组】
定义：由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解.
【题型1 一元一次不等式组的概念】
【例1】（2022·全国·七年级单元测试）下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ）
(1) (2)(3)(4)
A．(3) B．(4) C．(1)、(3) D．(2)、(4)
【答案】A
【详解】根据一元一次不等式组的概念，可知（1）、（2）、（4）是一元一次不等式组，（3）中含有两个未知数，且最高次数为2，故不是一元一次不等式组.
故选A.
【变式1-1】（2022·全国·七年级单元测试）写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组：________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．如：根据“大小小大中间找”可知只要写2个一元一次不等式x≤a，x＞b，其中a＞b即可．
【详解】根据解集-1＜x≤3，构造的不等式组为 ．注意答案不唯一．
故答案为此题答案不唯一．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解集与不等式组之间的关系．解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式组是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
【变式1-2】（2022·全国·七年级单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是______．
【答案】m≠－2
【分析】先把不等式变形为（m＋2）x≤12，根据不等式的定义即可求出m的求值．
【详解】mx－8≤4－2x，
mx＋2x≤4＋8，
(m＋2)x≤12，
∴m＋2≠0，
解得m≠－2，
故答案为m≠－2．
【点睛】此题主要考察不等式的定义．
【变式1-3】（2022·河南郑州·八年级期末）小明、小林和小华三人在一起讨论一个一元一次不等式组：
小明：它的所有解都为非负数；
小林：其中一个不等式的解集为；
小华：其中有一个不等式在求解过程中需要改变不等号的方向．
请你写出一个同时符合上述个条件的不等式组：_______________________．
【答案】（不唯一）
【分析】根据一元一次不等式组的解的概念和不等式的基本性质求解可得．
【详解】解：符合上述3个条件的不等式组可以是（不唯一）,
故答案为：.
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解的概念和不等式的基本性质
【题型2 解一元一次不等式组】
【例2】（2022·山东烟台·七年级期末）（1）解不等式组：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分别求出每个不等式的解集即可得解；
（2）分别求出每个不等式的解集即可得解．
【详解】（1）解：
由①得：
由②得：
则不等式组的解集为
（2）解：
由，得
由，得
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤以及注意事项是解题的关键．
【变式2-1】（2022·云南保山·七年级期末）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组无解列出关于m的不等式求解即可．
【详解】解：由3x-3＜2x,得：x＜3，
由3x-m＞5，得：x＞，
∵不等式组无解，
∴≥3，
解得m≥4，
故答案为：m≥4．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式2-2】（2022·河北·武邑武罗学校七年级期末）按要求完成下列各小题．
(1)解方程组：
(2)解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示不等式组的解集．
【答案】(1)
(2)3＜x≤4，见解析
【分析】（1）利用加减消元法，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
（1）
解：
①×2得：6x+2y＝4③，
②+③得：
7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：
1﹣2y＝3，
解得：y＝﹣1，
∴原方程组的解为：；
（2）
解：，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集为：3＜x≤4，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式2-3】（2022·湖北·武汉七一华源中学九年级阶段练习）解不等式组，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）按照一元一次不等式的解法即可得；
（2）按照一元一次不等式的解法即可得；
（3）根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得；
（4）结合数轴，找出两个不等式解集的公共部分即可得不等式组的解集．
（1）
解：①，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
即解不等式①，得，
故答案为：．
（2）
解：②，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
即解不等式②，得，
故答案为：．
（3）
解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（4）
解：由数轴可知，原不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
【题型3 求一元一次不等式组的整数解】
【例3】（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）不等式组所有整数解的和是______．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的解法求出不等式组的解集，再求满足条件的整数解求和即可．
【详解】解：
由①得，
由②得，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为和，
不等式组所有整数解得和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解的和，熟练掌握一元一次不等式的解法，运用“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的原则求不等式组的解集是解决问题的关键．
【变式3-1】（2022·广西百色·七年级期末）不等式组的自然数解为_____．
【答案】0，1
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据x是自然数即可求解．
【详解】解：，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x＞-1．
所以原不等式组的解集为-1＜x＜2，
又x为自然数，
故x=0，1．
故答案为：0，1．
【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集确定特殊解是解此题的关键．
【变式3-2】（2022·辽宁辽阳·八年级期末）使不等式组成立的的整数解的个数有_________个．
【答案】4
【分析】正确求解两个一元一次不等式，并准确找到它们的解集的交集，即为不等式组的解集，再把解集中包含的整数写出即可．
【详解】解：
解不等式①得，．
解不等式②得，．
∴原不等式组的解集是：．
∴原不等式组的整数解是： -2，-1，0，1．有4个．
故答案为：4
【点睛】本题考查了不等式组的解法，不等式组的整数解．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
【变式3-3】（2022·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）不等式组的最大整数解是_____．
【答案】0
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
【详解】解不等式5x-5＜0得x＜1，
解不等式3x≥0得x≥0，
所以不等式组的解集是0≤x＜1，
所以最大整数解是0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
【题型4 根据一元一次不等式组的解集求参数值】
【例4】（2022·山东菏泽·八年级期末）已知不等式组的解集是，则是（ ）
A．4 B．－4 C．7 D．－7
【答案】B
【分析】先解不等式组中每一个不等式，再根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：x>2b+3，
∵的解集是，
∴，2b+3=-3，
解得：a=3，b=-3，
∴=(3-1)(-3+1)=-4，
故选：B．
【点睛】本题考查解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，熟练掌握不等式组的解集和解不等式组是解题的关键．
【变式4-1】（2022·安徽宿州·八年级期末）关于的不等式组的解集为，则，的值分别是多少？
【答案】，的值分别是-3和3．
【分析】求出不等式组的解集，结合题意，即可列出关于a，b的二元一次方程组，再解出a，b的值即可．
【详解】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：．
∵关于的不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故，的值分别是-3和3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组的应用．掌握求一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．
【变式4-2】（2022·内蒙古·满洲里市第三中学七年级期末）已知不等式组的解集为，则（ ）
A．2013 B．-2013 C．-1 D．1
【答案】D
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于m、n的方程，然后求出m、n，最后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：解不等式x＋2＞m＋n得：x＞m＋n 2，
解不等式x 1＜m 1得：x＜m，
∵不等式组的解集为 1＜x＜2，
∴，，
∴，
∴m＋n＝1，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集列出关于m、n的方程是解题的关键．
【变式4-3】（2022·河南·鹿邑县基础教育研究室七年级期末）已知关于的不等式组的整数解是，0，1，2，若、为整数，则的值为______．
【答案】5或6
【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得．
【详解】解：解不等式2x﹣m≥0，得：xm，
解不等式x﹣n＜0，得：x＜n，
∵不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，
∴﹣2m≤﹣1，2即﹣4＜m≤﹣2，2∵m，n为整数，
∴n＝3，m＝﹣3或m＝﹣2，
当m＝﹣3时，n﹣m＝3﹣（﹣3）＝6；
当m＝﹣2时，n﹣m＝3﹣（﹣2）＝5；
综上，n﹣m的值为5或6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【题型5 根据不等式组的解集求参数范围】
【例5】（2022·四川·宜宾市叙州区龙文学校七年级期中）如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的组合情况共有（ ）种．
A．12 B．7 C．9 D．16
【答案】A
【分析】首先解不等式组，则不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为1，2，3即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：
∵不等式组的整数解仅为1、2、3，
在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图，
根据数轴可得：0＜≤1，3＜≤4．
∴由0＜≤1，得0＜a≤4，
∴a=1，2，3，4，共4个．
由3＜≤4得9＜b≤12，
∴b=10，11，12．共3个．
∴适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）共有4×3=12（对）．
故选：A．
【点睛】考查了一元一次不等式组的整数解，注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解的，所以要找出在这范围内的整数．由数轴确定范围时能否取等号是解题的关键和易错点．
【变式5-1】（2022·贵州黔西·七年级期末）若关于x的不等式组的解集表示在数轴上如图所示．则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集．再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”结合数轴即得出关于a的不等式，解出a，即可选择．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得．
由数轴知，
解得：，
故选C．
【点睛】本题考查由一元一次不等式组的解集求参数．掌握求不等式组解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
【变式5-2】（2022·山东泰安·七年级期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先解出两个不等式的解集，根据题目该不等式组的解集是，列出关于a的不等式，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
又∵解集为
则
即
故答案为：
【点睛】本题考查了解不等式组，不等式组解集的情况确定参数范围，熟练掌握不等式组的解集的确定是解题的关键．根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，从而确定不等式组的解集．
【变式5-3】（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校七年级阶段练习）已知关于的不等式组的解都能使成立，则满足的条件是_________．
【答案】-3≤b≤-1
【分析】根据不等式的性质得出x的解集，进而解答即可．
【详解】解：∵-1＜2x+b＜1
∴，
∵关于x的不等式组-1＜2x+b＜1的解满足0＜x＜2，
∴，
解得：-3≤b≤-1，
故答案为：-3≤b≤-1．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，关键是根据不等式的性质得出x的解集．
【题型6 方程组的解构造不等式组求字母范围】
【例6】（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）已知关于，的二元一次方程组的解关于，满足，，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】先解关于，的二元一次方程组，然后根据，，得到关于的一元一次不等式组即可求解．
【详解】解：
①＋②，得，
解得，
将代入①得，，
解得，
∵，，
∴，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的解法，正确地求得二元一次方程组的解是解题的关键．
【变式6-1】（2022·河南·郑州枫杨外国语学校八年级阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式组．
(1)试求出m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1．
【答案】(1)
(2)在m的取值范围内，没有合适的整数m，使不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1
【分析】（1）方程组两方程相加减表示出x＋y与x y，代入不等式组计算即可求出m的范围；
（2）确定出不等式组的整数解，满足题意即可．
（1）
解：，
①＋②得：3x＋3y＝3＋m，即，
① ②得：x y＝3m 1，
∵，
∴，
解得：．
（2）
解：∵2x mx＜2 m的解集为x＞1，
∴2 m＜0，
解得：m＞2，
∵0＜m＜3，
∴2＜m＜3，
∴在m的取值范围内，没有合适的整数m，使不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整数解，用m表示出x+y和x-y，是解本题的关键．
【变式6-2】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）已知关于，的方程组的解均为负数．求的取值范围．
【答案】
【分析】先解二元一次方程组，解得x，y，由解为负数列出关于m的一元一次不等式组，求解即可
【详解】解：由
解得：
∵ 方程组的解均为负数
解得：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式6-3】（2022·四川·安岳县兴隆初级中学七年级期中）已知关于x、y的方程组的解满足，求整数k的值．
【答案】整数k的值为1、2．
【分析】两方程分别相加和相减可得5x y＝6k 1， x＋3y＝ 4k＋3，结合已知可得出关于k的不等式组，求出其整数解即可．
【详解】解：，
①＋②得：5x y＝6k 1，
①－②得： x＋3y＝ 4k＋3，
∵关于x、y的方程组的解满足，
∴，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴，
∴整数k的值为1、2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解与解一元一次不等式组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解决本题的关键是得出关于k的不等式组．
【题型7 利用整数解求字母取值范围】
【例7】（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）若不等式组的整数解恰有四个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解不等式，得：，
∵不等式组整数解共有四个，
∴不等式组的整数解为2、3、4、5，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【变式7-1】（2022·广西玉林·七年级期末）已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的和为_________．
【答案】4
【分析】先求出方程组的解，根据解为整数得出a=-5，-3，-2，0，1，3，根据不等式组有3个整数解得出关于a的不等式组，然后根据题意得到整数a为1，3，其和为3+1=4．
【详解】解：解关于x，y的方程组得，
关于x，y的方程组的解为整数，
∴a=-5，-3，-2，0，1，3，
不等式整理得，
∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解，是0，1，2，
∴-1≤＜0，
解得：1≤a＜4，
∴整数a为1，3，其和为3+1=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的整数解是解此题的关键．
【变式7-2】（2022·贵州省三穗中学七年级期末）若关于的不等式组的所有整数解之和等于9，则的取值范围是____________ ．
【答案】或
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
【详解】解：，
解的不等式①得，，
解的不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的所有整数解的和为，
∴整数解为，，或，，，，，，
当整数解为，，时，，
当整数解为，，，，，时，．
故答案为：或者．
【点睛】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．
【变式7-3】（2022·安徽·无为三中七年级期末）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为_____．
【答案】5
【分析】先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据有且仅有2个整数解，确定的值，然后再求m的平方根即可．
【详解】解：由二元一次方程组，得，
∵整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，
∴，解得，，
∴m＝5或6，
当m＝5时，x＝3，y＝2，
当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去；
∴m＝5，
由不等式组，得x≤6，
∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解，
∴，解得，5≤m，
由上可得，m的值为5，
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．
【题型8 根据程序框图列不等式组】
【例8】（2022·河南周口·七年级期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“操作恰好进行两次就停止了”可得第一次运行的结果小于等于190，第二次运行的结果大于190，由此建立不等式组，再解不等式组即可得．
【详解】由题意得：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行的次数，正确建立不等式组是解题关键．
【变式8-1】（2022·安徽·定远县民族中学七年级阶段练习）某按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值X”到“结果是否”为一次操作．如果操作进行4次才能得到输出值，则输入值x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据运算程序，列出算式：3x-1，由于运行了四次，所以将每次运算的结果再代入算式，然后再解不等式即可．
【详解】前四次操作的结果分别为
3x-1；
3（3x-1）-1=9x-4；
3（9x-4）-1=27x-13；
3（27x-13）-1=81x-40；
∵操作进行4次才能得到输出值，
∴，
解得：5≤x＜14．
故选：C
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过程序表达式，将程序转化问题化为不等式组，难度一般．
【变式8-2】（2022·重庆市第七中学校七年级期中）按下列程序进行运算（如图）：
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据程序进行3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查程序流程图，解一元一次不等式组，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【变式8-3】（2022·安徽六安·七年级期中）按如图所示的程序进行运算，并回答问题：
例如：开始输入x的值为3．运行第一次：3×2+1＝7．因为7＜9，所以需要运行第二次：7×2+1＝15．因为15＞9，则输出结果是15．
(1)开始输入的值为4，那么输出的结果是 ．
(2)要使开始输入的x值只经过一次运行就能输出结果，求x的取值范围．
(3)要使开始输入的x值经过两次运行才能输出结果，求x的取值范围．
【答案】(1)19
(2)
(3)
【分析】（1）直接按程序进行计算即可；
（2）由程序顺序可得关于x的不等式，解不等式即可；
（3）由题意知，第一次按程序运算的结果不大于9，第二次按程序运算的结果大于9，从而可得关于x的不等式组，解不等式组即可．
（1）
当x=4时，4×2+1=9，9×2+1=19
故答案为：19
（2）
由题意得：
解得：
即满足题意的x的取值范围为：
（3）
由题意得：
解得：
即满足题意的x的取值范围为：
【点睛】本题是程序流程计算问题，主要考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式与一元一次不等式组，读懂程序流程图、正确列出不等式或不等式组是关键．
【题型9 不等式组中的新定义问题】
【例9】（2022·湖北武汉·七年级期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
【详解】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，
∴
解得：a=1，b=3，
解得，
，解得，
∵关于m的不等式组恰好有3个整数解，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
【变式9-1】（2022·北京市第五中学分校七年级期末）定义运算[x]表示求不超过x的最大整数．如[0.5]＝0，[1.3]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣2.5]＝﹣3．若[﹣2.5] [2x﹣1]＝﹣6，则x的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】根据题意得出﹣3 [2x﹣1]＝﹣6，即[2x﹣1]＝2，据此可得2≤2x﹣1＜3，解之即可．
【详解】解：根据题意，得：﹣3 [2x﹣1]＝﹣6，
∴[2x﹣1]＝2，
则2≤2x﹣1＜3，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式组．
【变式9-2】（2022·山东德州·七年级期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于的不等式组的相伴方程，则的取值范围为_______．
【答案】2≤m＜4
【分析】解方程求出两个方程的解，再解不等式组得出m＜x≤m+3，根据x=4、x=5均是不等式组的解可得关于m的不等式组，解之可得．
【详解】解：解方程10-x=x，得：x=5，
解方程9+x=3x+1，得：x=4，
由x+m＜2x，得：x＞m，
由x-3≤m，得：x≤m+3，
不等式组的解集为：
∵x=4、x=5均是不等式组的解，
∴m＜4且m+3≥5，
∴2≤m＜4，
故答案为：2≤m＜4．
【点睛】本题考查的是新定义问题，涉及解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式9-3】（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校七年级阶段练习）对，定义一种新的运算，规定：，若关于正数的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】分0＜x＜1和x≥1两种情况，由得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值范围．
【详解】解：①若0＜x＜1，
由得，
解1-x＞4，得：x＜-3，与0＜x＜1不符，舍去；
②若x≥1，
由得，
解得，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴8≤m-1＜9，
解得9≤m＜10，
故答案为：9≤m＜10．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据x的取值范围列出相应的关于x的不等式组，并解不等式组，结合整数解的个数得到关于m的不等式组．
1专题9.3 一元一次不等式组【九大题型】
【人教版】
【题型1 一元一次不等式组的概念】 1
【题型2 解一元一次不等式组】 2
【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 2
【题型4 根据一元一次不等式组的解集求参数值】 2
【题型5 根据不等式组的解集求参数范围】 3
【题型6 方程组的解构造不等式组求字母范围】 3
【题型7 利用整数解求字母取值范围】 4
【题型8 根据程序框图列不等式组】 4
【题型9 不等式组中的新定义问题】 5
【知识点 一元一次不等式组】
定义：由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解.
【题型1 一元一次不等式组的概念】
【例1】（2022·全国·七年级单元测试）下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ）
(1) (2)(3)(4)
A．(3) B．(4) C．(1)、(3) D．(2)、(4)
【变式1-1】（2022·全国·七年级单元测试）写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组：________．
【变式1-2】（2022·全国·七年级单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是______．
【变式1-3】（2022·河南郑州·八年级期末）小明、小林和小华三人在一起讨论一个一元一次不等式组：
小明：它的所有解都为非负数；
小林：其中一个不等式的解集为；
小华：其中有一个不等式在求解过程中需要改变不等号的方向．
请你写出一个同时符合上述个条件的不等式组：_______________________．
【题型2 解一元一次不等式组】
【例2】（2022·山东烟台·七年级期末）（1）解不等式组：
（2）解不等式组：
【变式2-1】（2022·云南保山·七年级期末）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是______．
【变式2-2】（2022·河北·武邑武罗学校七年级期末）按要求完成下列各小题．
(1)解方程组：
(2)解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示不等式组的解集．
【变式2-3】（2022·湖北·武汉七一华源中学九年级阶段练习）解不等式组，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为 ．
【题型3 求一元一次不等式组的整数解】
【例3】（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）不等式组所有整数解的和是______．
【变式3-1】（2022·广西百色·七年级期末）不等式组的自然数解为_____．
【变式3-2】（2022·辽宁辽阳·八年级期末）使不等式组成立的的整数解的个数有_________个．
【变式3-3】（2022·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）不等式组的最大整数解是_____．
【题型4 根据一元一次不等式组的解集求参数值】
【例4】（2022·山东菏泽·八年级期末）已知不等式组的解集是，则是（ ）
A．4 B．－4 C．7 D．－7
【变式4-1】（2022·安徽宿州·八年级期末）关于的不等式组的解集为，则，的值分别是多少？
【变式4-2】（2022·内蒙古·满洲里市第三中学七年级期末）已知不等式组的解集为，则（ ）
A．2013 B．-2013 C．-1 D．1
【变式4-3】（2022·河南·鹿邑县基础教育研究室七年级期末）已知关于的不等式组的整数解是，0，1，2，若、为整数，则的值为______．
【题型5 根据不等式组的解集求参数范围】
【例5】（2022·四川·宜宾市叙州区龙文学校七年级期中）如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的组合情况共有（ ）种．
A．12 B．7 C．9 D．16
【变式5-1】（2022·贵州黔西·七年级期末）若关于x的不等式组的解集表示在数轴上如图所示．则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2022·山东泰安·七年级期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______．
【变式5-3】（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校七年级阶段练习）已知关于的不等式组的解都能使成立，则满足的条件是_________．
【题型6 方程组的解构造不等式组求字母范围】
【例6】（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）已知关于，的二元一次方程组的解关于，满足，，则的取值范围为________．
【变式6-1】（2022·河南·郑州枫杨外国语学校八年级阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式组．
(1)试求出m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1．
【变式6-2】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）已知关于，的方程组的解均为负数．求的取值范围．
【变式6-3】（2022·四川·安岳县兴隆初级中学七年级期中）已知关于x、y的方程组的解满足，求整数k的值．
【题型7 利用整数解求字母取值范围】
【例7】（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）若不等式组的整数解恰有四个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022·广西玉林·七年级期末）已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的和为_________．
【变式7-2】（2022·贵州省三穗中学七年级期末）若关于的不等式组的所有整数解之和等于9，则的取值范围是____________ ．
【变式7-3】（2022·安徽·无为三中七年级期末）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为_____．
【题型8 根据程序框图列不等式组】
【例8】（2022·河南周口·七年级期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2022·安徽·定远县民族中学七年级阶段练习）某按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值X”到“结果是否”为一次操作．如果操作进行4次才能得到输出值，则输入值x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2022·重庆市第七中学校七年级期中）按下列程序进行运算（如图）：
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是_________．
【答案】
【变式8-3】（2022·安徽六安·七年级期中）按如图所示的程序进行运算，并回答问题：
例如：开始输入x的值为3．运行第一次：3×2+1＝7．因为7＜9，所以需要运行第二次：7×2+1＝15．因为15＞9，则输出结果是15．
(1)开始输入的值为4，那么输出的结果是 ．
(2)要使开始输入的x值只经过一次运行就能输出结果，求x的取值范围．
(3)要使开始输入的x值经过两次运行才能输出结果，求x的取值范围．
【题型9 不等式组中的新定义问题】
【例9】（2022·湖北武汉·七年级期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
【变式9-1】（2022·北京市第五中学分校七年级期末）定义运算[x]表示求不超过x的最大整数．如[0.5]＝0，[1.3]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣2.5]＝﹣3．若[﹣2.5] [2x﹣1]＝﹣6，则x的取值范围是 _____．
【变式9-2】（2022·山东德州·七年级期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于的不等式组的相伴方程，则的取值范围为_______．
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