数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程（共18张ppt）

(共18张PPT)
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
问题2.在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
问题1.圆的定义是什么？
圆心坐标，半径
确定一个圆
平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
问题3.已知圆心为A(a,b),半径为r你能推导出圆的方程吗？
A
M
O
x
y
r
设M(x,y)为圆上任意一点
满足|AM|=r
两边同时平方，得
(x - a)2+(y - b)2= r2
追问.是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？
一、圆的标准方程
圆心为A(a,b)，半径为 r 的圆的标准方程为
(x - a)2+(y - b)2= r2
追问.圆心为原点，半径为 r 的圆的标准方程是什么？
x 2 + y 2= r2
问题4.求圆的标准方程需要几个条件？
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
练习1 .说出下列圆的圆心及半径
（5）(x a)2 + y 2 = m2
练习2 .写出下列圆的方程
(1) 圆心在(-3,4),半径为；
圆心在原点,半径为3；
(3) 圆心在点C(3, -4), 半径为7.
(4) 圆心为C(-8,3)，且经过点M(-5,-1).
(1
(2) x 2 + y 2 =9
(3) (x 3)2 +( y+4) 2 = 49
（4）(x+8)2+(y-3)2=25
例1.求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上.
解: 圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程是
(x-2)2+(y+3)2=25
把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，
得(5-2)2+(-7+3)2=25，等式成立，所以点M1在这个圆上.
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，
得(-2-2)2+(-1+3)2≠25，等式不成立，所以点M1不在这个圆上.
例1.求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上.
追问.M2(-2,-1)在圆内还是在圆外？
所以M2(-2,-1)在圆内。
问题5.点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件是什么？
(x0-a)2+(y0-b)2(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
C
M0
在圆内
C
M0
在圆上
C
M0
在圆外
练习3.已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内.
(1) M1(4,-5) (2)M2(6,1) (3)M3(3,-6).
解:(1) M1代入圆的方程，(4-3)2+(-5+2)2<16，所以点M1在圆内；
(1) M2代入圆的方程，(6-3)2+(1+2)2>16，所以点M1在圆外；
(1) M3代入圆的方程，(3-3)2+(-6+2)2=16，所以点M1在圆上.
例2. ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求 ABC的外接圆的标准方程.
例2. ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求 ABC的外接圆的标准方程.
例3.已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.
例3.已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.
圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解——解方程组,求出a,b,r;
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
练习4.已知△AOB的三个顶点分别是A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3)
,求△AOB的外接圆的标准方程.
解: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b) 2 =r 2 （1）
因为A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3)三点都在圆上 , 所以它们的坐标都满足方程（1）,于是
即
解此方程组，得
所以, △AOB的外接圆的标准方程是
代入(0-a)2+(0-b) 2 =r 2 , 得到
观察上面的式子 , 我们发现 ,
三式两两相减 , 可以消去a2, b2, r2
得到关于a, b的二元一次方程组
即圆心C的坐标是 ,
所以, △AOB的外接圆的标准方程是
解法2：由A, O 两点的坐标为(4, 0), (0, 0)可得线段AO的垂直平分线l1的方程是x=2,
圆的半径是
同理可得，BO线段的垂直平分线l2的方程是y=3/2,
所以圆心C的坐标是l1与l2的交点坐标 .
练习4.已知△AOB的三个顶点分别是A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3)
,求△AOB的外接圆的标准方程.
①设所求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
2、圆的标准方程的求法
(1)用待定系数法，一般步骤如下：
(2)利用圆的几何性质，
由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．
1、圆的标准方程
②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解方程组，求出a，b，r的值；
④将a，b，r的值代入方程，即为所求圆的方程．
课堂小结