22.2 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定定理 课件 (共24张PPT) 2023—2024学年沪科版数学九年级上册

(共24张PPT)
22.2 相似三角形的判定
第22章
相似形
第 3 课时 相似三角形的判定定理2
●我们每个人手里都有一把自学成才的钥匙：
理想、勤奋、毅力、虚心和科学方法。
——华罗庚
理解相似三角形判定定理2的推导过程
掌握相似三角形的判定定理2.（重点）
能熟练运用相似三角形的判定定理2.（难点）
课堂学习总结感悟与知识提升
1
2
3
4
学习目标
导入新课
新知探索
例题辨析
练习巩固
总结归纳
作业布置
情境引入
复习回顾
上节课我们类比全等三角形的判定方法猜想了相似三角形的判定方法，并通过证明得到了相似三角形的判定定理1.
相似三角形的判定定理1
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简记为：两角分别相等的两个三角形相似．
其它的猜想是否正确呢？
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新知探索
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观察思考
问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗
3
3
5
5
不相似
问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
相似
导入新课
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情境引入
温顾知新
定义 判定方法
全等 三角形
相似 三角形
三角、三边对应相等的两个三角形全等
三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似
角边角
A
S
A
角角边
A
A
S
边边边
S
S
S
边角边
S
A
S
斜边、直角边
H
L
三角形全等的性质和判定方法有哪些？
需要三个等量条件
思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？
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新知探索
合作探究
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
A'
B'
C'
A
B
C
全等三角形
类比
相似三角形
B
C
A
A'
B'
C'
SAS定理
.
且∠A =
，
特殊到一般
∴
且∠A =
全等三角形是相似三角形的特例.
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猜想
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
A'
B'
C'
A
B
C
方法与步骤：
先写出已知、求证，并画出图形；
再写出证明过程；
最后获得定理.
还记得证明猜想的方法与步骤吗？
试着去证明猜想吧！
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探究
分析
已知：如图，在△ABC和 中， ，∠A =∠A， 求证：△ABC ∽ .
=
通过作辅助线，构建与 全等，并且与△ABC相似的三角形即可.
A
B
C
A'
C'
B'
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新知探索
已知：如图，在△ABC和 中， ，∠A =∠A， 求证：△ABC ∽ .
=
A
B
C
A'
C'
B'
证明
证明：在AB上取一点D，使 ，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC.
D
E
∵ ， ，
∵ ，
∴ ， .
∴
∵
，
∴ .
△ADE≌
∴ .
△ABC ∽
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归 纳
相似三角形的判定定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言 ：
在△ABC 和 中，
∴ .
△ABC ∽
∵ ，
且 ，
A
B
C
A'
C'
B'
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思考
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
A′
B′
B″
C′
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结论
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
运用判定定理2时注意以下几点：
两组对应边及其夹角，不是边所对的角；
两组对应边成比例和夹角相等这两个条件缺一不可.
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例题辨析
典例 1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，
并说明理由.
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A'=120°，A'B'=3 cm，A'C'=6 cm．
A'
C'
B'
A
B
C
∴△ABC∽△A'B'C'．
∴
．
∵
，
，
又∵∠A=∠A'，
解：△ABC与△A'B'C'相似，理由如下：
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典例 2
解：∵ AE=1.5，AC=2，
如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
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典例 3
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB=90°．
A
B
C
D
∵
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
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当
堂
练
习
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( )
×
√
√
×
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当
堂
练
习
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使
△ABC ∽ △DBA的条件是 ( )
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
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当
堂
练
习
　　
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
3. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边
AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长
度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
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当
堂
练
习
　　
4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
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本节课你有什么收获？
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相似三角形的判定定理2
相似三角形的判定定理2：
符号语言：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
在△ABC 和 中，
∴ .
△ABC ∽
∵ ，
且 ，
A
B
C
A'
C'
B'
检查作业： 习题22.2 第2、3、5题
作 业
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书面作业：教材习题22.2 （必做）
22.2.2 （选做）
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同学们，再见！
成功无捷径
学习需奋斗