3.1从算式到方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）在①；②；③；④中，方程共有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
2．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣3 D．±3
3．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）下列利用等式的性质，错误的是（ ）
A．由，得到 B．由，得到
C．由，得到 D．由．得到
5．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）下列变形正确的是（ ）
A．与 B．得
C．得 D．得
6．（2022秋·河南郑州·七年级统考期末）已知等式，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·河南开封·七年级统考期末）方程改写成用含x的式子表示y的形式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）下列变形正确的是（ ）
A．移项得 B．去括号得
C．系数化为1得 D．去分母得
9．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）把方程变形为，其依据是（ ）
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分式的基本性质 D．分数的基本性质
10．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）下列变形符合等式的基本性质的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，则
C．如果，那么 D．如果，则
11．（2022春·河南鹤壁·七年级统考期末）在中央电视台“开心辞典”节目中，某期的一道题目是：如图，两个天平都平衡，则1个苹果的重量是1个香蕉重量的 （ ）
A．倍 B．倍 C．2倍 D．3倍
12．（2022秋·河南洛阳·七年级期末）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．a＝b+ D．
二、填空题
13．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）已知是关于的方程的解，则的值是 ．
14．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）如果关于的方程是一元一次方程，则 .
15．（2022秋·河南濮阳·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程：的解为 ．
16．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）关于x的方程与有相同的解，则
17．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为 ．
18．（2022春·河南南阳·七年级期末）若关于x的方程(n－5)x2＋xm－1－3＝0是一元一次方程，则nm＝ ．
19．（2022秋·河南驻马店·七年级期末）写出一个一元一次方程 ，使它的解为x=7．
20．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）一元一次方程的解是 ．
21．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）如图所示，两个天平都平衡，那么与6个球体质量相等的正方体的个数为 ．
三、解答题
22．（2022春·河南新乡·七年级期末）已知关于x的方程2x=8与x+2=﹣k的解相同，求代数式的值．
参考答案：
1．C
【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答．
【详解】解：方程有③；④，
故选：C．
【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m的的不等式，求出m的值即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，熟知只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．
3．B
【分析】把x=-3分别代入各方程验证即可．
【详解】解：A.当x=-3时，，故不符合题意；
B.当x=-3时，，故符合题意；
C.当x=-3时，，故不符合题意；
D.当x=-3时，，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
4．B
【分析】根据等式的性质逐项分析即可判断．
【详解】解：A．∵，∴，∴，故正确；
B．当时，由，不能得到，故不正确；
C．∵，∴，故正确；
D．∵，∴，故正确；
故选B．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．
5．D
【分析】根据等式基本性质和去括号法则进行判断即可．
【详解】解：A、变形为，故A错误，不符合题意；
B、变形得：，故B错误，不符合题意；
C、得：，故C错误，不符合题意；
D、得，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则，熟练掌握等式的基本性质和去括号法则，是解题的关键．
6．C
【分析】根据等式的性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式进行分析即可．
【详解】解：A、若a=b，则，故原题说法正确，不符合题意；
B、若，则，故原题说法正确，不符合题意；
C、若，则，故原题说法错误，符合题意；
D、若，则，故原题说法正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了等式的性质，关键是注意等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
7．A
【分析】根据等式的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
8．D
【分析】根据等式的性质解答．
【详解】解：A、移项得4x-3x=2+5，故该项错误；
B、去括号得3x-3=2x+6，故该项错误；
C、系数化为1得，
D、去分母得，
故选：D．
【点睛】此题考查了利用等式的性质进行方程的变形判断，正确掌握等式的性质是解题的关键．
9．B
【分析】根据等式的性质：等式两边除以同一个数2可得答案．
【详解】解：把方程变形为，其依据是等式的基本性质2，
故选：B．
【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
10．D
【分析】根据等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A. 如果，那么，，故该选项不正确，不符合题意，
B. 如果，且，则，故该选项不正确，不符合题意，
C. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意，
D. 如果，则，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
11．B
【分析】根据题意可得一个苹果的重量=两个砝码的重量，一个香蕉的重量= 个砝码的重量，即可得出1个苹果的重量是1个香蕉重量的几分之几．
【详解】解：∵两个苹果的重量=四个砝码的重量，
∴一个苹果的重量=两个砝码的重量，
∵三个香蕉的重量=两个砝码的重量+一个苹果的重量=4个砝码的重量，
∴一个香蕉的重量= 个砝码的重量，
∴一个苹果的重量是一个香蕉的重量的，倍.
故答案为：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
12．D
【分析】根据等式的基本性质对3a=2b+5进行变形，结合各选项即可得出答案.
【详解】由等式3a＝2b+5，可得：3a﹣5＝2b，3a+1＝2b+6，a＝b+，当c＝0时，无意义，不能成立，
故选D．
【点睛】本题是关于等式的变形，解决本题需掌握等式的基本性质；
等式的性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；②等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式；
13．
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于a的一元一次方程，从而可求出a的值．
【详解】解：依题意，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义是解题的关键．
14．1
【分析】根据一元一次方程的定义可得|m 2|=1，，求解即可．
【详解】解：由题意得：|m 2|=1，
解|m 2|=1，得m=1或3，
解，得，
故m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是由一元一次方程的定义得到x的次数为1，系数不为0．
15．7
【分析】比较两个方程可知，再根据x=8，推出，解出y即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵x=8，
∴，
解得y=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，涉及换元法的思想，解题的关键是理解两个方程之间的关系．
16．7
【分析】先解方程，得，因为这个解也是方程的解，根据方程的解的定义，把代入方程中求出的值，再代入计算可求解．
【详解】解：，解得：．
把代入方程，
得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程，方程的解，方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．解题的关键是正确解一元一次方程．
17．-
【分析】先解方程2x+1＝﹣1,然后将解代入1﹣2（x﹣a）＝2，即可求出a的值.
【详解】解：方程2x+1＝﹣1，
解得：x＝﹣1，
代入方程得：1+2+2a＝2，
解得：a＝﹣，
故答案为﹣
【点睛】本题考查同解方程的问题，根据方程的解的定义，将第一个方程的解代入第二个方程是关键.
18．25
【分析】先根据一元一次方程的定义列出关于m、n的方程组，求出m、n的值即可．
【详解】∵关于x的方程(n－5)x2＋xm－1－3＝0是一元一次方程，
∴
故nm＝52＝25
故答案为25．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的定义，解题关键是熟记一元一次方程的定义.
19．x-7=0（答案不唯一）
【分析】根据一元一次方程的定义和方程解的定义写出一个符合的方程即可．
【详解】解：方程为x﹣7=0．
解得：x=7，
故答案为x﹣7=0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次方程的解的定义，能理解两个定义是解答此题的关键，答案不唯一．
20．x=
【分析】根据等式的性质方程两边同时除以2即可得到答案．
【详解】解：，
系数化为1得x=，
故答案为：x=．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，正确掌握等式的性质是解题的关键．
21．4
【分析】设一个球体的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个正方体的质量为m，列出关系式计算即可；
【详解】设一个球体的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个正方体的质量为m，
根据第一个天平可得：，
根据第二个天平可得：，
∴，
∴，
∴；
故答案是4．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，准确列式计算是解题的关键．
22．.
【分析】根据方程解相同求出x和k的值,代入代数式中即可求值.
【详解】解：2x=8得,x=4,
将x=4代入x+2=﹣k中得,k=-6,
∴=
【点睛】本题考查了代数式求值,属于简单题,正确求出x和k的值是解题关键.3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）多项式与多项式的和不含二次项，则m为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）在数轴上，到表示﹣6的点的距离等于6个单位长度的点表示的数是（ ）
A．12 B．﹣12 C．0或﹣12 D．﹣12或12
3．（2022春·河南新乡·七年级统考期末）关于x的方程是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）代数式与是同类项，则的值是( )
A．0 B．2 C． D．1
5．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）方程解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）关于x的方程是一元一次方程，则k值为 ．
7．（2022秋·河南驻马店·七年级期末）若关于的一元一次方程与的解相同，则的值是 ．
8．（2022·河南南阳·七年级统考期末）数轴上的A点与表示的点距离3个单位长度，则A点表示的数为 ．
9．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）已知方程与的解相同，则k的值为 ．
10．（2022秋·河南许昌·七年级统考期末）已知是关于x的方程的解，则 ．
11．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）若与互为相反数，则 ．
12．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）已知多项式是关于、的四次三项式，则 ．
13．（2022秋·河南郑州·七年级期末）对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号表示a，b两个数中最大的数，例如．按照这个规定则方程的解为 ．
14．（2022秋·河南周口·七年级期末）若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为 ．
15．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）已知3x－8与2互为相反数，则x＝ ．
三、解答题
16．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，
①如图2，点、都在原点的右边，；
②如图3，点、都在原点的左边，；
③如图4，点、在原点的两边，；
综上，数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示和的两点A和之间的距离是______，如果，那么______；
(3)解方程．
17．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）定义新运算：对于任意实数，，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：．
(1)求的值；
(2)若的值是最小的正整数，求的值．
18．（2022秋·河南商丘·七年级期末）下图是一个运算程序:
(1)若，求的值；
(2)若，输出结果的值与输入的值相同，求的值.
参考答案：
1．C
【分析】由题意可以得到关于m的方程，解方程即可得到问题答案．
【详解】解：由题意可得：，
，
∵它们的和不含二次项
∴，
解之可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查多项式的应用，熟练掌握多项式的相关概念是解题关键．
2．C
【分析】根据数轴上的点之间的距离即可表示为，去绝对值即可求解．
【详解】解：这个点所表示的数为x，则，
，即，
解得x＝0或x＝﹣12，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上两点之间的距离的意义是解题的关键．
3．D
【分析】根据一元一次方程的定义得出n=1，得出方程为x-1+1-4=0，再求出方程的解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴n=1， 即方程为x-1+1-4=0，
解得：x=4，
故选： D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和解一元一次方程，能根据一元一次方程的定义得出n=1是解此题的关键．
4．D
【分析】根据同类项的概念列出关于x的方程，解方程求解即可．
【详解】解：∵代数式与是同类项，
∴，
∴解得：．
故选：D．
【点睛】此题考查了同类项的概念，解一元一次方程，解题的关键是根据同类项的概念列出关于x的方程．
5．A
【分析】直接解方程即可得到答案．
【详解】解：
系数化为1得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．
6．/
【分析】根据一元一次方程的定义，令二次项系数为0即可列出关于k的方程，从而求出k的值．
【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是求一元一次方程中的参数问题，掌握一元一次方程的定义是解决此题的关键．
7．
【分析】先解方程，将，代入，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：，
将，代入，得
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查两个一元一次方程的同解问题，利用同解方程得到关于a的方程是解题的关键.
8．或1
【分析】利用两点间的距离公式计算即可．
【详解】解：设A点表示的数为x，则
，
，
或．
故答案为：或1．
【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离公式，解题的关键是明白两点间的距离，是表示两个点的数之差的绝对值．
9．－3
【分析】先解第一个方程得到x的值，再把x的值代入到第二个方程可得k．
【详解】解：解方程5x+3=3x-1得，x=-2，
把x=-2代入x-1=k中，k=-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查同解方程，能熟练解一元一次方程是解题的关键．
10．80
【分析】把代入方程得到关于a的一元一次方程，解这个方程即可求得a的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
∴，
故答案为：80．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；正确建立关于a的一元一次方程是关键．
11．-5
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，可得关于x、y的方程，解方程即可得答案．
【详解】解：与互为相反数，
+=0，
，
解得，，
，
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解一元一次方程等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．
【分析】根据题意得到关于m的方程，解方程求解即可．
【详解】∵多项式是关于、的四次三项式，
∴，，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的概念，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握多项式的概念．
13．
【分析】分类讨论0与 x的范围，方程利用题中的新定义变形，计算即可求出解．
【详解】解：当0> x，即x>0时，方程变形得：0=3x+4，
解得：，不符合题意；
当0< x，即x<0时，方程变形得： x=3x+4，
解得：x= 1，
综上，方程的解为x= 1，
故答案为：x= 1．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．9
【分析】直接去括号合并同类项，再利用关于x的系数为0，即可得出答案；
【详解】解：，
=，
=，
，
，
∵代数式的值与字母的取值无关，
∴，
解得：
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，解一元一次方程，正确理解多项式与x取值无关的意义是解题的关键．
15．2
【详解】根据互为相反数的两个数的和为0可得，3x-8+2=0，解得x=2.
点睛：根据互为相反数的和为零，可得关于x的一元一次方程，解方程即可得答案．
16．(1)3；3；4
(2)；或
(3)或
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据两点间的距离公式可求数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x；
（3）根据提示列出算式计算即可求解．
【详解】（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是：|2-5|=3，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：|-2-(-5)|=3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是：|1-(-3)|=4．
故答案为：3；3；4．
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是：|x+1|，
当|AB|=2，即|x+1|=3，
解得x=-4或2．
故答案为：；或．
（3）表示的意思是到和5的距离之和为9，
∵和5的距离为7，
∴位于的左侧或者5的右侧，
则或，
或．
【点睛】本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，绝对值是正数的数有2个．
17．(1)11；
(2)x的值为3
【分析】（1）根据a b=a（a-b）+1进行计算即可解答；
（2）根据a b=a（a-b）+1列出关于x的方程，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：（-2） 3=-2×（-2-3）+1
=-2×（-5）+1
=10+1
=11；
（2）解：∵3 x=3（3-x）+1
=9-3x+1
=10-3x，
∵3 x的值是最小的正整数，
∴10-3x=1，
∴x=3，
∴x的值为3．
【点睛】本题考查了实数的运算，解一元一次方程，理解材料中定义的新运算是解题的关键．
18．（1）-7；（2）-2
【分析】(1)根据x、y的值和运算程序得出，代入即可得出答案
(2)根据运算程序分和两种情况列出关于m的方程，解方程即可得出y的值
【详解】解: (1)，
，
.
(2)由已知条件可得，
当时，由，得，符合题意:
当时，由得，不符合题意，舍掉.
.
【点睛】本题考查了代数式求值和一元一次方程的应用，把满足条件的字母的值代入计算得到对应的代数式的值．也考查了观察图表的能力．3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，系数化为1得 B．方程，去分母得
C．方程，去括号得 D．方程，移项得
2．（2022春·河南新乡·七年级统考期末）下列解方程变形：
①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；
②由，去分母得2x－3x＋3＝6；
③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1；
④由，得x＝3．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（ ）
A．乘法分配律 B．分数的基本性质
C．等式的基本性质 D．等式的基本性质
4．（2022秋·河南许昌·七年级统考期末）解方程需下列四步，其中开始发生错误的一步是（ ）
A．去分母，得 B．去括号，得
C．移项，得 D．合并同类项，得
5．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）方程，去分母得到了，这个变形（ ）
A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项
C．分子中的多项式没有添括号，符号不对 D．无错误
6．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）若单项式与的和仍是单项式，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河南郑州·七年级期末）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
二、填空题
8．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）我们称使成立的一对数、为“甜蜜数对”，记为，如：当时，等式成立，记为，若、都是“甜蜜数对”，则的值为 .
9．（2022秋·河南驻马店·七年级期末）若，则关于的方程的解为 ．
10．（2022秋·河南郑州·七年级统考期末）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为 ．
11．（2022春·河南新乡·七年级统考期末）关于x的一元一次方程的解为，则关于y的方程的解为 ．
12．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示不大于的最大整数，例如，，．如果整数满足关系式：，则 ．
三、解答题
13．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）解下列方程：
(1)
(2)
14．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)．
15．（2022春·河南新乡·七年级统考期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“兄弟方程”，如方程和为“兄弟方程”．
(1)关于x的方程与方程是“兄弟方程”．求m的值；
(2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为a，求a的值；
(3)关于x的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解．
16．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）解方程：．
(1)下列去分母正确的是（ ）
A．2(4x1)3x12 B．2(4x1)3x12
C．2(4x1)3x112 D．2(4x1)3x112
(2)请解方程求出方程的解．
17．（2022秋·河南濮阳·七年级统考期末）规定的一种新运算“*”：，例如：．
(1)试求的值；
(2)若，求x的值；
(3)若等于，求x的值．
18．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解： ，得3x﹣（x﹣2）＝12． 第一步
去括号，得3x﹣x+2＝12． 第二步
移项，得3x﹣x＝12+2， 第三步
合并同类项，得2x＝14． 第四步
方程两边同除以2，得x＝7． 第五步
填空：
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是__________，这一步的依据是_________________；
(2)以上求解步骤中，第 步开始出现错误，具体的错误是_____________________；
(3)请写出正确解方程的过程．
19．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）解方程：.
20．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）（1）先化简，再求值：﹣3（2x2y﹣xy2）+4（x2y﹣1）﹣3xy2+5，其中x，y＝2；
（2）解方程：．
21．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）计算：
(1)计算：
(2)解方程：
22．（2022春·河南新乡·七年级统考期末）当m取何值时，关于x的方程的解与方程的解互为相反数？
23．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）
(1)先化简后求值：，其中，．
(2)解方程：
24．（2022秋·河南开封·七年级统考期末）下面是某同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解方程：
解：去分母，得………………第一步
去括号，得 ……………………第二步
移项，得 ……………………第三步
合并同类项，得 ………………………………第四步
系数化为1，得 ………………………………………第五步
(1)任务一：填空：①以上解方程步骤中，第一步去分母的依据是___．
②第___步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
(2)任务二：请写出本题正确的解题过程．
(3)任务三：请你根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项提一条合理化建议．
25．（2022秋·河南新乡·七年级统考期末）老师在黑板上写了一道解方程的题：，小斌马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：
………………①
……………………②
……………………③
…………………………………④
…………………………………⑤
(1)老师说：小斌解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第______步（填编号），错误的原因是__________________________________________________；
(2)请你细心地解下列方程：．
26．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
27．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）设，，，求x的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤逐项判断即可．
【详解】解：A、方程，系数化为1得，变形错误，不符合题意；
B、方程，去分母得，变形正确，符合题意；
C、方程，去括号得，变形错误，不符合题意；
D、方程，移项得，变形错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的一般步骤，注意等式的性质的应用．
2．B
【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可．
【详解】解：①由3x+4=4x-5，得3x-4x=-5-4；方程变形错误，不符合题意；
②由，去分母得2x-3x-3=6；方程变形错误，不符合题意；
③由，去括号得4x-2-3x+9=1；正确，符合题意；
④由，得x=．方程变形错误，不符合题意；
综上，正确的是③，只1个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
3．D
【分析】根据等式的基本性质解决本题．
【详解】解：第步去分母，根据等式的基本性质等式两边同乘一个不为的数，等式仍然成立，得．
第步的系数化为，根据等式的基本性质等式两边同除以一个不为的数，等式仍然成立，得．
第步和第步变形的依据是等式的基本性质．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解决本题的关键．
4．C
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 去分母，得，
B. 去括号，得，
C. 移项，得，（从这一步开始出错），
D. 合并同类项，得，
故选C.
【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确的计算是解题的关键．
5．B
【分析】方程去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程，
左右两边同乘12，去分母得：4（2x 1） 3（x 1）＝12，
去括号得：8x 4 3x＋3＝12，
题中的变形漏乘了不含分母的项．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
6．A
【分析】由题意知代数式与是同类项，再根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项求解m、n的值，最后代入解方程即可．
【详解】解：代数式与的和是单项式，
代数式与是同类项，
，
解得，代入方程中，得：
，
解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查合并同类项，涉及单项式的判断以及一元一次方程的求解，属于基础题，熟练掌握同类项的定义是解题关键．
7．D
【分析】根据换元法得出，进而解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
∴关于的方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为，
解得：，
故选D．
【点睛】此题考查一元一次方程的解，熟练掌握换元法是解题的关键．
8．
【分析】根据“甜蜜数对”的定义列出关于m，n的方程，解出方程即可解答．
【详解】解：∵、都是“甜蜜数对”，
，
解得：
∴
故答案为
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解新定义的式子，列方程即可．
9．1
【分析】根据非负数的性质求出m、n的值，代入后解方程即可．
【详解】解：∵，
∴
解得，，
代入得，，
解方程得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了非负数的性质和解方程，解题关键是熟练运用非负数的性质求出m、n的值，代入后准确地解方程．
10．2或4/4或2
【分析】通过解一元一次方程即可解答．
【详解】解：
移项得，
化简得，
又∵m是正整数且方程也有正整数解，
∴当m=1，2，3，4，5，6时方程有解，
而当m=2，4时有正整数解．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是熟练的掌握一元一次方程的解．
11．2022
【分析】根据题意可得x=3-y，将x代入解得y即可．
【详解】∵的解为，
，
∴x=3-y，
∴3-y=-2019，
解得y=2022，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，正确得出x和y的关系是解题的关键．
12．3
【分析】根据整数x满足关系式：3{x}+2[x]＝18，可以得到方程3（x+1）+2x＝18，然后求解即可．
【详解】解：∵整数x满足关系式：3{x}+2[x]＝18，
∴3（x+1）+2x＝18，
解得x＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查解一元一次方程、新规定，解答本题的关键是能读懂新规定．
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、把系数化为1，进行计算即可；
（2）根据移项、合并同类项、把系数化为1，进行计算即可
【详解】（1）解：
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
把系数化为1，可得：；
（2）解：
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
把系数化为1，可得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握解一元一次方程的步骤．
14．(1)
(2)
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，；
（2）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先分别解题干中的两个方程，再根据“兄弟方程”的含义建立新的方程，再解方程即可；
（2）根据“兄弟方程”的含义可得到两个方程的解，再建立绝对值方程即可；
（3）先分别解题干中的两个方程，再根据“兄弟方程”的含义建立新的方程，再解方程即可．
【详解】（1）解： ，
解得：
，
解得：
又由两个方程为“兄弟方程”可得：
解得：
（2） 两个“兄弟方程”的两个解其中一个解为a，
另一个解为
两个“兄弟方程”的两个解的差为6，
解得：
（3） ，
，
由两个方程为“兄弟方程”可得：
去分母得：
解得：
所以的解为
的解为
【点睛】本题考查的是新定义问题，一元一次方程的解法，根据新定义建立方程是解本题的关键．
16．(1)D
(2)
【分析】（1）方程两边同时乘以6，去分母即可；
（2）根据解方程的步骤解一元一次方程即可．
【详解】（1），
，
；
故选：D；
（2），
去分母，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
移项，得，
解得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
17．(1)-3
(2)x＝1
(3)x＝2
【分析】（1）根据公式直接计算即可；
（2）根据公式得到方程，解方程即可；
（3）根据公式得到方程，解方程即可．
【详解】（1）解：3*（﹣2）
＝32+2×3×（﹣2）
＝9﹣12
＝﹣3；
（2）解：（﹣3）*x＝3，
（﹣3）2+2×（﹣3）x＝3，
9﹣6x＝3，
﹣6x＝3﹣9，
﹣6x＝﹣6，
x＝1；
（3）解：（﹣5）*x＝2x+1，
（﹣5）2+2×（﹣5）x＝2x+1，
25﹣10x＝2x+1，
﹣10x﹣2x＝1﹣25，
﹣12x＝﹣24，
x＝2．
【点睛】此题考查了新定义公式，解一元一次方程，有理数的混合运算，正确理解新定义公式是解题的关键．
18．(1)去分母；等式的基本性质2
(2)三；移项时没有变号
(3)见解析
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤，第一步去分母，依据是等式的基本性质2，第二步去括号，第三步是移项，依据是等式的基本性质1，第四步是合并同类项，第五步是把x的系数化为1，注意事项是移项时要变号．
【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质2；
（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号；
（3）解：两边同乘12得 ，3x﹣（x﹣2）＝12，
去括号得，3x﹣x+2＝12，
移项得，3x﹣x＝12﹣2，
合并同类项得，2x＝10，
两边同除2，得 x＝5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解一元一次方程的依据是等式的两个基本性质．
19．
【分析】按照去分母，去括号，合并同类项，移项，系数化为1的步骤进行求解即可．
【详解】解：去分母得：
去括号得：
移项得：
合并得：
系数化为1得：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
20．（1）﹣2x2y+1，0；（2）x
【分析】（1）去括号，合并同类项，然后代入求值；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：原式＝﹣6x2y+3xy2+4x2y﹣4﹣3xy2+5＝﹣2x2y+1，
当x，y＝2时；
原式＝﹣2×（）2×2+1＝﹣22+1＝﹣1+1＝0；
（2），
去分母得：4（2x﹣1）＝3（x+2）﹣12，
去括号得：8x﹣4＝3x+6﹣12，
移项得：8x﹣3x＝6﹣12+4，
合并同类项得：5x＝﹣2，
系数化为1得：x．
【点睛】本题考查了整式加减的化简求值，解一元一次方程，熟练掌握整式加减的运算法则及解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
21．(1)－9
(2)x=
【分析】（1）按照有理数计算的运算顺序和计算法则进行计算．
（2）先去分母，再合并同类项求解．
【详解】（1）(－1)2021+(﹣18)×｜﹣｜－4
=－1﹣18×﹣4
=－1﹣4﹣4
=－9
（2）去分母，得 2(1-2x)-18x=3(x-1)-18
去括号，得 2-4x-18x=3x-3-18
移项，得 -4x-18x-3x=-3-18-2
合并同类项，得 -25x=-23
系数化为1，得 x=
【点睛】本题考查有理数的运算、解方程，解决本题的关键是熟悉各计算法则．
22．
【分析】先解方程，得，然后得出方程的解为，把代入方程，得出关于m的方程，解出m的值即可．
【详解】解方程，得，
∵方程的解与的解互为相反数，
∴方程的解是，
把代入方程，
得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键．
23．(1)；
(2)
【分析】（1）先根据整式加减运算法则进行运算，然后再代入求值即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可．
【详解】（1）解：原式
把，代入得：原式．
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值、解一元一次方程，熟练掌握整式运算法则、解方程的一般步骤是解题的关键．
24．(1)①等式的基本性质二；②二，去括号时没有变符号；
(2)
(3)去分母时要注意每一项都要乘到，（答案不唯一，合理就行）
【分析】（1）观察这位同学解方程的步骤，利用等式的基本性质及去括号可进行求解；
（2）根据一元一次方程的解法可直接进行求解；
（3）只需建议合理即可．
【详解】（1）解：①以上解方程步骤中，第一步去分母的依据是等式的基本性质二，②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时没有变符号；
故答案为等式的基本性质二；二，去括号时没有变符号；
（2）解：
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3）解：由题意可知：合理建议为去分母时要注意每一项都要乘到，（答案不唯一，只要建议合理即可）．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
25．(1)①，方程右边的2漏乘12
(2)
【分析】（1）根据解题步骤可知，在第①步的时候，方程右边的2漏乘12；
（2）根据解一元一次方程去分母的步骤求解即可．
【详解】（1）解：根据解题步骤可知小明错在第①步，方程右边的2漏乘12，
故答案为：①，方程右边的2漏乘12；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
26．(1)不是
(2)m＝
【分析】（1）求出方程的解是，再进行判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于的方程，最后求出方程的解即可．
【详解】（1），
，
而，
所以不是“商解方程”；
（2），
，
，
关于的一元一次方程是“商解方程”，
，
解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
27．2
【分析】根据题意列得方程2（3x-2）-3（）=-3，解方程即可．
【详解】解：∵，，，
∴2（3x-2）-3（）=-3，
6x-4-x-9=-3
5x=10
x=2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程的应用，正确理解题意列得一元一次方程是解题的关键．3.4 实际问题与一元一次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）《九章算术》中有这样一个问题：“两人走路步长相等，相同时间内，走路快的人走步，走路慢的人只走步．若走路慢的人先走步，走路快的人要走多少步才能追上？”设走路快的人要走步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南信阳·七年级期末）一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）“盈不足问题”作为我国数学的古典问题，在2000多年前的《九章算术》一书中就有很详尽而深刻的阐述．书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？若设鸡的价钱是文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）一商店按标价的九折出售了一台料理机，仍可获利，已知标价为元，则料理机的进价是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
5．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）某服装进货价为元/件，商店提高进价的进行标价，为回馈新、老顾客商店元旦期间进行大促销活动，将此服装打折销售，但销售后商店仍可获利，则该服装应打（ ）折销售．
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2022秋·河南信阳·七年级期末）足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ）
A．3场 B．4场 C．5场 D．6场
7．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）已知一个由50个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和．在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和是（ ）
A．80 B．148 C．180 D．332
8．（2022秋·河南郑州·七年级期末）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，《孙子算经》中有这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少．若我们设有辆车，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022秋·河南许昌·七年级统考期末）一件工程，甲独做18天可完，乙独做24天可完．现在两个人合作，但是中途乙因有事离开几天，从开工后12天两人把这件工程做完，则乙中途离开了 天．
12．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，此时水箱中水面高12cm，放入一个棱长为20cm的正方体实心铁块后，水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，则此时铁块在水箱中露出水面部分的体积为 cm3．
13．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）一个数的3倍比这个数多10，这个数为 ．
14．（2022秋·河南商丘·七年级期末）某市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
水量分档 年用水量（立方米） 水价（元/位方米）
第一阶梯 0-180（含180） 5.00
第二阶梯 180-260（含260） 7.00
第三阶梯 260以上 9.00
若某户2021年交水费1250元，则此用户共用水量是 立方米．
15．（2022春·河南濮阳·七年级统考期末）已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是 ．
三、解答题
16．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）【问题呈现】
某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍．
【自主思考】
(1)根据题意，请画出示意图：
(2)相等关系为（请填空）：____________．
【建模解答】
（请你完整解答本题）
17．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）新型冠状肺炎疫情正在全球肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有名工人，每人每天可以生产个口罩面或个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？
18．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）12月21日华为在各大电商中台预约销售，预售不到24小时，天猫、京东等平台的就被抢完，显示无货，为了加快生产进度，某工厂连夜生产中的某种AB型电子配件，这种配件由A型装置和B型装置组成．已知该工厂共有1200名工人．
(1)据了解，在日常工作中，该工厂生产A型装置的人比生产B型装置的人数的3倍少400人，请问工厂里有多少名工人生产B型装置？
(2)若急需AB型电子配件每套由2个A型装置和1个B型装置配套组成，每人每天只能加工40个A型装置或30个B型装置．现将所有工人重新分成两组，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的A、B型装置正好配套，请问该工厂每天应分别安排多少名工人生产A型装置和B型装置？
19．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 3 82
C 76
D 10 40
(1)补全表格；
(2)参赛者说他得85分，请你判断可能吗？并说明理由．
20．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）某服装厂生产西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一套西装赠送一条领带：
方案二：西装和领带都按定价的九折优惠．
现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条．
(1)①若该用户按方案一购买，需付款___________元（用含x的式子表示，并化简）：
②若该用户按方案二购买，需付款___________元（用含x的式子表示，并化简）：
(2)若客户现需要购买30条领带，则该客户选择哪种方案购买比较划算？请说明理由．
21．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期末）列方程解应用题：
某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一件裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的80%付款．
现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）：
(1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款______（用含x的式子表示）；
按方案二，购买裤子和T恤共需付款______（用含x的式子表示）；
(2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请直接写出该购买方案下共需付款数目．
22．（2022秋·河南安阳·七年级统考期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和张家口市联合举行，北京是唯一一个既举办冬季奥运会又举办夏季奥运会的城市.为了迎接2022年北京冬季奥运会，某校准备举行冬季长跑比赛，为奖励长跑优胜者，学校需要购买一些冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融中性笔和徽章．了解到某商店中性笔的单价比徽章的单价多11元，若买2支中性笔和3个徽章共需67元．
(1)中性笔和徽章的单价各是多少元？
(2)该商店推出两种优惠方案，方案一：消费金额超过200元的部分打八折；方案二：全店商品打九折.若学校需要购买10支中性笔和30个徽章，选择哪种方案更优惠？
23．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）在有理数范围内定义运算“”，其规则为．
(1)求的值；
(2)求方程的解．
24．（2022秋·河南新乡·七年级期末）下列图形是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，请完成下列任务．
(1)按此规律，图4中面积为1的正方形将有____个，图n中面积为1的正方形有____个（用字母n表示）；
(2)若图n中面积为1的正方形有5004个，求n的值．
25．（2022秋·河南郑州·七年级统考期末）某校组织七年级（）班学生分成甲、乙两队参加社会劳动实践，其中甲队人数是乙队人数的倍，后因劳动需要，从甲队抽调人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的一半，则甲、乙两队原来各有多少人？
26．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2.6元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2.6元/立方米收费，超过部分按4元/立方米计费．设小明家月用水量为x立方米．
(1)若小明家四月份用水15立方米，应收水费为______元；当x超过20时，应收水费为______元．（用含x的代数式表示，写化简后的结果）；
(2)小明家六月份交水费62.4元，请帮小明计算一下他家这个月用水量是多少立方米？
27．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图是某月的月历．
(1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？
(2)如果将带阴影的方框移至图1的位置，（1）中的关系还成立吗？
(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请说明其中的理由．
(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
(5)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论．
28．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）某旅游景点门票价格如下表：
购票数量 1~50张 51~100张 100张以上
每张票的价格 15元 12元 10元
某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元．
(1)两班各有多少人？
(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？
(3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由
29．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．
参考答案：
1．B
【分析】设走路快的人要走步才能追上，则走得慢的人走了，根据两人走的路程相同列方程即可．
【详解】解：设走路快的人要走步才能追上，则走得慢的人走了，
依题意：
，
故选：B．
【点睛】本题考查列一元一次方程解决实际问题；根据假设，找到走得慢的人所走过的路程是解题的关键．
2．D
【分析】由题意一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，可以得出甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1．
【详解】解：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1列出方程式为：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决这类问题关键是找到等量关系．
3．B
【分析】利用人数不变，结合“如果每人出9文钱，多出11文钱；如果每人出6文钱，还差16文钱”，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：设鸡的价钱是文钱，根据题意得
．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．B
【分析】设料理机的进价是元，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设料理机的进价是元，
由题意得，，
解得，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系式，列出方程．
5．C
【分析】根据售价减去进价等于利润列一元一次方程求解即可；
【详解】解：设该服装打折销售；
由题意可得：
解得：
所以该服装应打折销售．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用；熟练根据题意列出相对应的方程是解题的关键．
6．C
【分析】设这个队胜了x场，则这个队平了场，再根据胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，总积分为19列出方程求解即可．
【详解】解：设这个队胜了x场，
由题意得，
解得，
∴这个队胜了5场，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．
7．D
【分析】设框住四个数中，第一行的第1数为，则第2个为，第二行的第1数为，则第2个为，这四个数为和为，然后令、148、180、332，计算出对应的的值，然后利用为偶数，为数阵中每行的第1或第2个数对各选项进行判断．
【详解】解：设框住四个数中，第一行的第1数为，则第2个为，第二行的第1数为，则第2个为，
这四个数为和为，
若，解得，应为偶数，不合题意；
若，解得，而30为第三行最后一个数，不合题意；
若，解得，而38为第四行的第4个数，不合题意；
若，解得，则四数为76，78，88，90．符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型、数字变化类，解题的关键是探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
8．A
【分析】根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解．
【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y
解得y=6
∴8+x+6=2+5+8
解得x=1
故选A．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．
9．D
【分析】设杆子为x尺，则绳索为（x+5）尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，即可得出关于x一元一次方程．
【详解】解：设杆子为x尺，则绳索为（x+5）尺，
根据题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
10．A
【分析】设有辆车，根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车（其余车辆均坐满），则共有人；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，列出方程即可．
【详解】解：设有辆车，则可列方程：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
11．4
【分析】把这件工程看作单位“1”，则甲乙的工作效率分别是和，甲12的天工作量+乙的工作量=总工作量，要求乙的工作时间，设乙中途离开了x天，列方程求解．
【详解】设乙中途离开了x天，根据题意得：
+=1，
解得：x=4，
故答案为：4．
【点睛】一元一次方程的应用-简单的工程问题，根据总工作量为“1”得出方程是解题关键．
12．2000
【分析】设铁块沉入水底后水面高hcm，根据铁块放入水中前后的体积不变列出方程求解．
【详解】设铁块沉入水底后水面高为hcm，由题意得：
50×40×12+20×20×h＝50×40×h，
解得h＝15．
则水箱中露在水面外的铁块的高度为：20﹣15＝5（cm）．
∴水箱中露在水面外的铁块的体积为：20×20×5＝2000（cm3）．
故答案为：2000．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
13．5
【分析】先设出这个数，然后根据这个数的3倍比这个数多10，列出相应方程，然后求解即可．
【详解】设这个数为x，
由题意可得：3x﹣x＝10，
解得x＝5，
即这个数为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
14．230
【分析】设此用户共用水量是立方米，先根据收费细则表求出的取值范围，再根据“某户2021年交水费1250元”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设此用户共用水量是立方米，
因为，，
所以，
则，
解得，
即此用户共用水量是230立方米，
故答案为：230．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键．
15．/度
【分析】根据补角与余角的概念列出等式，然后解方程即可．
【详解】设这个角的度数为x．
即
则．
故答案为：
【点睛】本题考查了补角与余角的概念，依据题意建立等式关系是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；通信员用15分钟可以追上队伍．
【分析】（1）根据题意，即可画出示意图；
（2）根据通讯员所走的路程=学生所走的总路程，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，画出示意图如图：
（2）解：相等关系为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；
故答案为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；
设通讯员用x小时可以追上学生队伍，根据题意可得：
，
解得：x=，
×60=15(分钟) ，
答：通信员用15分钟可以追上队伍．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，画出草图，找出题中的等量关系是解本题的关键．
17．名
【分析】设安排x名工人生产口罩面，根据题意，列出等量关系式，解出，即可．
【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，
∴，
解得：，
答：安排名工人生产口罩面．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，列出等式．
18．(1)400名
(2)720名工人生产A型装置，有480名工人生产B型装置
【分析】（1）设工厂里有x名工人生产B型装置，则有名工人生产A型装置，根据“该工厂共有1200名工人”，列出方程，即可求解；
（2）设工厂里有y名工人生产A型装置，则有名工人生产B型装置，根据“AB型电子配件每套由2个A型装置和1个B型装置配套组成，每人每天只能加工40个A型装置或30个B型装置” ，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设工厂里有x名工人生产B型装置，则有名工人生产A型装置，依题意有
，
解得．
答：工厂里有400名工人生产B型装置；
（2）解：设工厂里有y名工人生产A型装置，则有名工人生产B型装置，依题意有
，
解得：，
则．
答：工厂里有720名工人生产A型装置，有480名工人生产B型装置．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
19．(1)17，16，4，10
(2)不可能，理由见解析
【分析】（1）根据共设20道选择题可补全B，D，判断答错一题扣的分数，设C答错了x道题，列方程求解可补全C；
（2）设E答错了y道题，列方程求解，结合题意判断即可．
【详解】（1）由B得分可知，错一题扣6分，计分方法是用100分减去扣掉的分，
B答对的道数为：（道），
D答错的道数为：（道），
设C答错了x道题，由题意得
，
∴，
∴（道），
如表．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 17 3 82
C 16 4 76
D 10 10 40
（2）设E答错了y道题，由题意得，
解得：，
∵y为正整数，
∴不可能．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，一般步骤是：①审题，找出已知量和未知量；②设未知数，并用含未知数的代数式表示其它未知量；③找等量关系，列方程；④解方程；⑤检验方程的解是否符合题意并写出答案．
20．(1)，；
(2)第一种方案，见详解．
【分析】（1）根据两种付款方式列出代数式即可；
（2）将代入（1）中代数式，比较结果即可．
【详解】（1）若该客户按方案一购买，
需付款元，
若该客户按方案二购买，需付款
元；
故答案为：，；；
（2）当时，
（元），
（元），
，所以按方案一购买较为合算．
【点睛】本题考查了列代数式以及代数式求值，读懂题意，得出代数式是解本题的关键．
21．(1)（50x+1500），（40x+2400）；
(2)90
(3)能给出一种更为省钱的购买方案：用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元．
【分析】（1）根据已知，分方案一、方案二分别列出代数式即可；
（2）根据（1）中的代数式列方程，即可解得答案；
（3）用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，即可得到共需付款数目．
【详解】（1）解：购买裤子30件，T恤x件，按方案一共需付款100×30+50（x﹣30）＝（50x+1500）元，
按方案二共需付款30×100×80%+50x×80%＝（40x+2400）元，
故答案为：（50x+1500），（40x+2400）；
（2）解：根据题意得：50x+1500＝40x+2400，
解得x＝90，
答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样；
（3）解：能给出一种更为省钱的购买方案：用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，
共需付款
30×100+50×（40﹣30）×80%＝3400（元），
∴共需付款3400元．
【点睛】本题考查一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
22．(1)中性笔和徽章的单价分别是20元和9元
(2)选择方案一更优惠
【分析】（1）设中性笔的单价是元，则徽章的单价是元，根据买2支中性笔和3个徽章共需67元，即可列出一元一次方程，解出即可；
（2）根据方案一与方案二进行计算，比较结果即可得出那个方案更优惠．
【详解】（1）（1）设中性笔的单价是元，则徽章的单价是元，
根据题意，得：，
解得，
．
答：中性笔和徽章的单价分别是20元和9元．
（2）（2）方案一：；
，
，
方案二：．
因为所以选择方案一更优惠．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题目条件正确的列出一元一次方程是解决问题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】(1 )原式利用题中的规则把2021※2022转化为，再进行计算即可得出答案；
(2)原式利用题中的规则把x※3 = 2转化为一般的方程，再根据一元一次方程的解法求解．
【详解】（1）原式，
（2）由题意可得，
解得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据规则转化出关于x的一元一次方程是解题的关键．
24．(1) ；
(2)
【分析】（1）由第1个图形有9个面积为1的小正方形，第2个图形有个面积为1的小正方形，第3个图形有个面积为的小正方形，由此得出第个图形有个面积为1的小正方形，由此求得答案即可．
（2）当时，求出即可．
【详解】（1）解：由第1个图形有9个面积为1的小正方形，
第2个图形有个面积为1的小正方形，
第3个图形有个面积为的小正方形，
第4个图形有个面积为的小正方形，
第个图形有个面积为1的小正方形，
故答案为： ； ；
（2）解：当时，
．
【点睛】本题考查图形的变化规律，解一元一次方程，找出图形与数字之间的对应规律，利用规律解决问题．
25．甲队有人，乙队有人
【分析】设乙队有人，则甲队有人，根据“从甲队抽调人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的一半”列方程求解即可．
【详解】解：设乙队有人，则甲队有人，
根据题意的，得：，
解得：，
所以，
答：甲队有人，乙队有人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
26．(1)39；
(2)22.6立方米
【分析】（1）因为小明家四月份用水15立方米，不超过20立方米，按2.6元/立方米计费；当x超过20时，收费为2.6×20+4（x-20）=（4x-28）元；
（2）先判断出用水量范围，再列方程求解即可．
【详解】（1）∵小明家四月份用水15立方米，不超过20立方米，
∴应收水费为：15×2.6=39元；
当x超过20时，应收水费为2.6×20+4（x-20）=（4x-28）元；
故答案为：39；；
（2）∵元
∴六月份的用水量超过20立方米即
由得：
∴六月份的用水量为22.6立方米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，解题的关键是：（1）利用总价=单价×数量，求出应交水费；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
27．(1)方框中9个数之和为方框正中心的9倍
(2)改变位置，关系不变
(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动位置，关系不变，理由见详解
(4)这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律
(5)方框中对角两数之和相等
【分析】（1）求出9个数之和，然后找出与正中心的数的关系为：9个数之和为方框正中心的9倍；
（2）改变位置，关系不变；
（3）设正中心的数为x，结合表格依次表示出其他9个数字，然后相加找出关系；
（4）这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为：日历都具有此规律；
（5）方框中对角两数之和相等．
【详解】（1）9个数之和为：3+4+5+10+11+12+17+18+19＝99，
99÷11＝9，
则方框中9个数之和为方框正中心的9倍；
（2）移动位置，9个数字之和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144，
144÷16＝9，
所以改变位置，关系不变；
（3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动位置，关系不变．
设正中心的数为x，
则9个数之和为：（x﹣8）+（x﹣7）+（x﹣6）+（x﹣1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）＝9x，
9x÷x＝9，
故移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的9倍．
（4）这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律；
（5）12+19＝13+18＝31，则方框中对角两数之和相等．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用．解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．
28．(1)七年级（1）班47人，（2）班58人；
(2)两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元；
(3)直接购买51张票才最省钱，理由见解析
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意和表格中的数据可以解答本题；
（3）根据题意可以分两种情况讨论，即可得到最省钱的方案．
【详解】（1）解：设七年级（1）班x人，
，
解得，，
∴，
答：七年级（1）班47人，（2）班58人；
（2）解：（元），
答：两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元；
（3）解：若七年级（1）班按照人数买票的花费为：（元），
如果七年级（1）班买51张票的花费为：（元），
∵，
∴七年级（1）班单独组织去动物园，作为组织者直接购买51张票才最省钱．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．
29．绳子、长木分别是11米和6.5米．
【分析】设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于x的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，
根据题意得：x-（x+4.5）=1，解得：x=6.5
所以绳子长为6.5+4.5=11．
答：绳子、长木分别是11米和6.5米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
