4.1 几何图形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南开封·七年级统考期末）在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是（ ）
A．①②④⑥ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．①②③⑥
2．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）下列哪个几何体是棱锥( )
A． B．
C． D．
3．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）下列图形中属于棱柱的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2022春·河南郑州·七年级统考期末）如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个柱形盒子里，盒子里三个球之外的空间占整个盒子容积的球的体积公式为 ，其中为球的体积，为球的半径（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）下列立体图形中，全部是由曲面围成的是（ ）
A．圆锥 B．正方体 C．圆柱 D．球
6．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）像正方体、长方体、三棱锥这样，由一些平面图形围成的几何体称为多面体．瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，这个公式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河南安阳·七年级统考期末）如图是由6块相同的小正方体组成的立体图形，从左面看到的形状是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河南漯河·七年级统考期末）下面立体图形中，从左面看到的平面图形与其他三个不一样的是（ ）．
A． B． C． D．
9．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图为几何体的平面展开图，则从左到右其对应的几何体名称分别为（ ）
A．正方体，三棱锥，圆锥，圆柱 B．正方体，四棱锥，圆锥，圆柱
C．正方体，四棱柱，圆锥，圆柱 D．正方体，三棱柱，圆锥，圆柱
10．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）下列各个平面图形中，能围成圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022秋·河南郑州·七年级统考期末）下列图形经过折叠后不能成为一个封闭的正方体盒子的是（ ）
A．B．C． D．
12．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）党的二十大报告提出，要以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴．将“中国式现代化”这六个字分别写在一个正方体的六个表面上，如图是它的一种展开图，则与“式”相对的字是（ ）
A．中 B．国 C．现 D．代
13．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图所示的正方体的展开图是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022春·河南郑州·七年级统考期末）在“七巧板”综合实践课上，张老师出示了一个用边长为的正方形纸片制作的如图所示的七巧板，让同学们以“奔跑者”为主题拼出图形，下面四幅作品中，阴影部分面积为的是（ ）
A．B．C． D．
15．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）．
A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体
C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线
16．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，左面平面图形绕轴MN旋转一周，可以得到的立方体图形是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022秋·河南开封·七年级统考期末）将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
18．（2022秋·河南郑州·七年级期末）一个n棱柱有24条棱，一条侧棱长10cm，底面的每条边长都是5cm，所有棱长的和为 cm．
19．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）如图所示是一个几何体的表面展开图，则该几何体的体积为 ．（结果用含π式子表示）
20．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ．
21．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）一个直角三角形绕其直角边旋转一周得到的几何体是 ．
三、解答题
22．（2022秋·河南许昌·七年级统考期末）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体．请在指定的位置画出从正面看，从左面看，从上面看得到的这个几何体的形状图．
23．（2022秋·河南郑州·七年级期末）如图，在平整的地面上，用个棱长都为的小正方体搭成一个几何体．
（1）请利用图中的网格画出从正面、左面和上面看到的几何体的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）
（2）图中7个小正方体搭成的几何体的表面积（不包括与地面接触的部分）是 ．
24．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）如图所示是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体的名称是______，其底面半径为______．
（2）根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积（结果保留）
25．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）已知如图为一几何体的三视图：主视图和左视图都是长方形，俯视图是等边三角形
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若主视图的高为10cm，俯视图中三角形的边长为4cm，求这个几何体的侧面积．
26．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）综合实践
【问题情景】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图1的四个图形中哪个图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______．
环 保 小 卫
士
图2
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在如图3中画出示意图，用实线表示剪切纸，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为______．
③当四角剪去的小正方形的边长为时，请直接写出纸盒的容积．
27．（2022秋·河南郑州·七年级统考期末）一个圆柱的底面半径是，高是，把这个圆柱放在水平桌面上，如图．
(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ；
(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ；
(3)请你求出在（2）的条件下所截得的最大截面面积．
参考答案：
1．A
【分析】根据每一个几何体的特征判断即可．
【详解】解：在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是：长方体，圆柱，五棱柱，正方体，
故选：A．
【点睛】本题考查了认识立体图形，解题的关键是熟练掌握每一个几何体的特征．
2．A
【分析】根据棱锥的概念求解即可．
【详解】解：A、是四棱锥，符合题意；
B、是圆柱，不符合题意；
C、是三棱柱，不符合题意；
D、是长方体，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了棱锥的概念，解题的关键是熟练掌握棱锥的概念．
3．B
【详解】根据棱柱的定义，可知正方体，三棱柱，四棱体是棱柱，
故选B.
4．B
【分析】分别计算出三个球的体积、圆柱体的体积以及盒子里三个球之外的空间的体积即可
【详解】三个球的总体积为
圆柱体的体积为： ，
盒子里三个球之外的空间的体积为
所以盒子里三个球之外的空间占整个盒子容积的
故选：B
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握球体积、圆柱体体积的计算方法是正确解答的前提
5．D
【分析】根据每个几何体的面是否是平面进行判断即可．
【详解】解：圆锥是由一个平面和一个曲面围成，正方体是由六个平面围成，圆柱是由两个平面，一个曲面围成，球是由一个曲面围成， 因此球符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握各个几何体的特征是正确判断的前提．
6．A
【分析】根据“欧拉公式：顶点数量加上面数量减棱数量等于2”判断即可．
【详解】解：欧拉公式为
故选：A．
【点睛】本题考查了欧拉公式；熟记欧拉公式是解题的关键．
7．B
【分析】根据从左面看的要求画图即可．
【详解】根据题意，从左面看到的形状是：
，
故选B．
【点睛】本题考查了从左面看几何体的形状，熟练掌握从左面看到图形的画法是解题的关键．
8．B
【分析】分别比较三棱锥、四棱柱、三棱柱、圆锥的左视图的形状进行判断即可．
【详解】三棱锥、三棱柱、圆锥从左面看到的形状都是三角形，
而四棱柱从左面看的形状是四边形．
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状和特征是正确判断的前提．
9．D
【分析】把每一个几何体的平面展开图经过折叠，再判断能围成什么几何体．
【详解】解：经过折叠后，这些几何体的平面展开图围成的几何体分别是：正方体，三棱柱，圆锥，圆柱，
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握每一个几何体的平面展开图的特征是解题的关键．
10．C
【分析】根据几何体的展开图的特征即可求解．
【详解】A、是长方体的展开图，故选项错误；
B、是圆柱的展开图，故选项错误；
C、是圆锥的展开图，故选项正确；
D、不是圆锥的展开图，故选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了展开图折叠成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
11．C
【分析】根据正方体的展开图的特点即可得．
【详解】解：由“一四一”型可知，选项A、B、D的图形经过折叠后均能成为一个封闭的正方体盒子，只有选项C不能，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图的特点是解题关键．
12．A
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“式”字相对的面上的汉字是“中”．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
13．D
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】解：根据正方体的平面展开图的特征，
A选项折叠后“圆”和“三角形”是相对面，不符合题意；
B选项折叠后“三角形”和“三角形”是相对面，不符合题意；
C选项折叠后“三角形”和“三角形”是相对面，不符合题意；
D选项折叠后符合题意，
∴是该正方体的展开图的是D选项，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，解题的关键是熟知正方体展开图的各种情形．
14．C
【分析】根据“七巧板”的特征，每个三角形都是等腰直角三角形，且最小的等腰直角三角形的面积是正方形面积的，进而算出各部分的面积即可逐一进行判断．
【详解】解：根据“七巧板”的特征，各部分的面积如图所示，则
选项A中阴影面积为8+4=12，不符合题意；
选项B中阴影面积为8+8=16，不符合题意；
选项C中阴影面积为16+4=20，符合题意；
选项D中阴影面积为16+8=24，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出每一部分图形的面积．
15．A
【分析】根据从运动的观点来看点动成线，线动成面进行解答即可．
【详解】“枪挑”是用枪尖挑，枪尖可看作点，棍可看作线，故这句话从数学的角度解释为点动成线，线动成面．
故选A．
【点睛】本题考查了点、线、面得关系，难度不大，注意将生活中的实物抽象为数学上的模型．
16．C
【分析】根据面动成体，梯形绕轴MN旋转是圆锥加圆柱，可得答案．
【详解】解：梯形绕轴MN旋转是圆锥加圆柱，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，利用面动成体，直角三角形绕直角边旋转是圆锥，矩形绕边旋转是圆柱．
17．B
【分析】根据面动成体，平面图形旋转的特点逐项判断即可得．
【详解】A、将平面图形绕轴旋转一周，得到的是上面大下面小中间凹，侧面是曲面的几何体，则此项不符题意；
B、将平面图形绕轴旋转一周，得到的是上面小下面大中间凹，侧面是曲面的几何体，则此项符合题意；
C、将平面图形绕轴旋转一周，得到的是上下底面等大，且中间凹的几何体，则此项不符题意；
D、将平面图形绕轴旋转一周，得到的是一个圆台，则此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平面图形旋转后的几何体，熟练掌握平面图形旋转的特点是解题关键．
18．160
【分析】先确定n值，再计算棱长和．
【详解】解：∵一个n棱柱有24条棱，
∴3n=24．
∴n=8．
∴这个几何体是八棱柱，有16条底面边长，8条侧棱．
∵10×8+5×16=160（cm）．
故答案为；160．
【点睛】本题考查立体图形的认识，求出n是求解本题的关键．
19．
【分析】由展开图可知，该几何体为圆柱，底面是以4为直径的圆，高为6，根据圆柱的体积为，计算求解即可．
【详解】解：由展开图可知，该几何体为圆柱
底面是以4为直径的圆，高为6
∴圆柱的体积
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积等知识．解题的关键在于明确该几何体的表面展开图是圆柱的表面展开图．
20．A
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体．
故答案为：A．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
21．圆锥
【分析】根据面动成体，可得答案．
【详解】以直角三角形的一条直角边所在直线为对称轴旋转一周，得到一个圆锥，
故答案为：圆锥．
【点睛】题考查了点、线、面、体，点动成线，线动成面，面动成体：以直角三角形的一条直角边所在直线为对称轴旋转一周得到圆锥．
22．见解析
【分析】由几何体可得主视图有3列，每列小正方形数目分别为1、2、1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为2、1、1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1、3、1，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题主要考查了画简单几何体的三视图，解题的关键在于能够熟练掌握画三视图的方法．
23．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据正面、左面和上面三个方向看几何体的形状，画图即可；
（2）求得每个块正方体的表面积，求和即可．
【详解】解：（1）根据正面、左面和上面三个方向看几何体的形状，画图如下：
（2）棱长为的小正方体的每一个面的面积为
几何体的表面积
【点睛】此题考查了不同方向看几何体所得的形状图，解题的关键是确定几何体在不同方向上的形状图．
24．（1）圆柱；1；（2）侧面积为；体积为．
【分析】（1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论；
（2）依据圆柱的侧面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积．
【详解】解：（1）该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1，
故答案为：圆柱；1；
（2）该几何体的侧面积为：；
该几何体的体积．
【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，解题的关键是从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念．
25．（1）三棱柱；（2）这个几何体的侧面面积为120cm2．
【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱；
（2）侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长，宽是三棱柱的高，即可计算出侧面积．
【详解】解：（1）这个几何体是三棱柱；
（2）三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长即：
C＝4×3＝12cm，
根据题意可知主视图的长方形的长是三棱柱的高，所以三棱柱侧面展开图形的面积为：
S＝12×10＝120cm2．
答：这个几何体的侧面面积为120cm2．
故答案为（1）三棱柱；（2）120cm2．
【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
26．(1)C
(2)卫
(3)①见解析；②x；③
【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；
（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；
（3）①根据题意，画出图形即可；
②根据折叠成的纸盒高为小正方形的边长即可即可解答；
③根据长方体体积计算公式，即可解答．
【详解】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；
B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；
C．可以折叠成无盖正方体；
D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．
故选：C．
（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”．
故答案为：卫．
（3）解：①如图，
②设剪去的小正方形的边长为，则这个盒子的高为．
故答案为：．
③当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为：
．
【点睛】本题主要考查了展开图折叠成几何体，列代数式，有理数混合运算的应用，每一个面都有唯一的一个对面的展开图才能折叠成正方体，解答本题的关键是读懂题意．
27．(1)圆
(2)长方形
(3)
【分析】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；
（2）用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；
（3）求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积．
【详解】（1）解：所得的截面是圆，
故答案为：圆．
（2）所得的截面是长方形，
故答案为：长方形．
（3）在（2）的条件下，经过底面圆心的截面，所截得的最大截面面积为：
（）．
因此，在（2）的条件下所截得的最大截面面积为．
【点睛】本题考查认识立体图形和截几何体，掌握立体图形的特征和截面的形状是得出正确答案的关键．4.2 直线、射线、线段 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南许昌·七年级统考期末）下列各图中直线的表示法正确的是( )．
A． B．
C． D．
2．（2022秋·河南郑州·七年级期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（ ）
A．如图1所示，直线a和直线b相交于点A
B．如图2所示，延长线段BA到点C
C．如图3所示，射线BC不经过点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB有交点
3．（2022秋·河南周口·七年级期末）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）下列四个语句中，正确的是（ ）
A．如果，那么点是的中点
B．两点间的距离就是两点间的线段
C．经过两点有且只有一条直线
D．比较线段的长短只能用度量法
5．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
6．（2022秋·河南新乡·七年级期末）已知线段，在直线上截取，D是的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（ ）
A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm
9．（2022秋·河南许昌·七年级统考期末）如图，用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．经过两点有且只有一条直线 B．经过一点有无数条直线
C．两条直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短
10．（2022秋·河南郑州·七年级统考期末）在一条直线上顺次取A，B，C三点，使得，若点D是线段AC的中点，则线段BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1.5
二、填空题
11．（2022秋·河南开封·七年级统考期末）直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点B；③直线AC，BC交于点C；④点C在直线AB外；⑤图中共有12条射线．以上表述正确的有 ．（只填写序号）
12．（2022秋·河南开封·七年级统考期末）如图所示，图中共有 条直线， 条射线， 线段．
13．（2022秋·河南安阳·七年级统考期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，，五点．点沿直线从左向右移动，当出现点与，，，，五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点位置最多有 个．
14．（2022秋·河南濮阳·七年级统考期末）下列生产现象中，不可以用“两点确定一条直线”来解释的有 ．
①固定一根木条至少需要两个钉子；
②经过刨平的木板上的两个点可以弹出一条墨线；
③建筑工人通过在两个钉子之间拉一条绳子砌端；
④把弯曲的公路改直就可以缩短路程．
15．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）已知A、、三点在同一条直线上，且，，则 ．
16．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）已知A，B是数轴上两点，A点对应的数字是，B点对应的数字是6，点C是线段的中点，则点C对应的数字是 ．
17．（2022秋·河南郑州·七年级期末）举出一个能反映“两点之间线段最短”的实例： ．
18．（2022秋·河南驻马店·七年级期末）已知直线l上有A、B、C三点，且cm，cm，则线段 cm．
三、解答题
19．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）已知，线段AB．按要求用尺规作图，并回答问题．
(1)延长线段AB到点C，使
(2)点D在线段AB上，作射线DM．
(3)点N在射线DM上，作直线BN，
(4)此图中线段AC上共有几条不同的线段？分别是哪几条？
20．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图，已知平面上有四个点A，B，C，D．
(1)连接，并画出的中点P；
(2)作射线；
(3)作直线与射线交于点E．
21．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）根据下列语句，画出图形，已知四点．
(1)画直线；
(2)连接，相交于点O；
(3)画射线，交于点P．
22．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图1，已知B、C在线段AD上．
(1)图中共有 条线段；
(2)若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②如图2，若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
23．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）如图，已知射线，线段，．
(1)尺规作图：在射线上作线段，，使，．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，求线段的长．
24．（2022秋·河南郑州·七年级统考期末）尺规作图：如图，已知线段a．
(1)作线段；
(2)在第一步的作图痕迹中找出线段AB的中点，标记为点O，然后作线段（线段OC不在AB所在的直线上）；
(3)连接AC，BC，并用量角器测量约为_____________（精确到度）．
注意：以上作图不写作法，必须保留作图痕迹，
25．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图，已知线段，点C是线段上一点，点M、N分别是线段，的中点．
①若，则线段的长度是_________；
②若，，求线段的长度(结果用含a、b的代数式表示)；
（2）在（1）中，把点C是线段上一点改为：点C是直线上一点，，．其它条件不变，则线段的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示）
26．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，已知线段，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，点M、N分别是线段、的中点．
(1)若，求线段的长．
(2)若，请直接写出线段的长．
27．（2022秋·河南郑州·七年级统考期末）如图，点 A，C，E，B，D 在同一条直线上，且，点 E 是线段的中点．
(1)点 E 是线段的中点吗？说明理由；
(2)若，，求线段的长．
28．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）已知点D为线段的中点，点C在线段上．
(1)如图1，若，，求线段的长；
(2)如图2，若，点为中点，，求线段的长．
29．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期末）在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且(a＋4)2+|c－6|=0．b是最小的正整数．
(1)a=______________，b=______________，c=______________．
(2)请你把点A，B，C表示在数轴上；
(3)若点E是线段OC的三等分点，请求出AE的值．
30．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图，点B在线段AC的延长线上，M、N分别是线段AC、CB的中点．
(1)若，，求线段MN的长；
(2)若，，求线段MN的长．
31．（2022秋·河南许昌·七年级统考期末）如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．
(1)直接写出：____________，_____________；
(2)若，当点C、D运动了，求的值；
(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．
参考答案：
1．C
【分析】运用直线的表示方法判定即可．
【详解】解：根据直线的表示方法可得C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线表示法：用一个小写字母表示，或用两个大写字母（直线上的）表示．
2．B
【分析】根据直线、射线、线段的相关概念可直接进行排除选项．
【详解】解：A、如图1所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符，故不符合题意；
B、如图2所示，延长线段BA到点C，几何图形与相应语言描述不相符，故符合题意；
C、如图3所示，射线BC不经过点A，几何图形与相应语言描述相符，故不符合题意；
D、如图4所示，射线CD和线段AB有交点，几何图形与相应语言描述相符，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查直线、射线与线段，熟练掌握直线、射线与线段的相关概念是解题的关键．
3．A
【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2=3个交点、4条直线相交时最多有1+2+3=6个交点，可得5条直线相交时交点数为1+2+3+4、6条直线相交时交点数为1+2+3+4+5、7条直线相交时交点数为1+2+3+4+5+6，可知n条直线相交，交点最多有．
【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；
3条直线相交时，最多有1+2=3个交点；
4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；
…
∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点；
6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；
7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点；
n条直线相交，交点最多有．
故选A．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n-1个是解题的关键．
4．C
【分析】根据线段的中点和线段的性质进行判断即可．
【详解】A、如果AP=BP，且AP+BP=AB，那么点P是AB的中点，故本选项不符合题意；
B、两点间的距离就是两点间的线段的长度，故本选项不符合题意；
C、经过两点有且只有一条直线，故本选项符合题意；
D、比较线段的长短可以用度量法，但不是只能用度量法，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是两点之间的距离，根据线段的性质和线段的中点的定义是解答此题的关键．
5．D
【分析】拉一条直的参照线,能使墙砌得平直．
【详解】建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是两点确定一条直线．
故选D
【点睛】本题主要考查直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是关键．
6．C
【分析】分点C在线段上，点C在线段延长线上两种情况，分别画出图形，求出的长即可．
【详解】解：当点C在线段上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴；
当点C在线段延长线上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴；
综上分析可知，线段的长度为或，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，解题的关键是根据题意画出图形，注意分类讨论．
7．C
【分析】分两种情况B，在点A同侧时，B，在点A两侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：①B，在点A同侧时，如图所示：
是的中点，是的中点，
，，
．
②B，在点A两侧时，如图，
是的中点，是的中点，
，，
．
综上：与之间距离为或，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合．
8．D
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．
【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，
∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），
点D是线段AC的三等分点，
①当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；
②当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．
所以线段BD的长为10cm或8cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论的思想的运用是解题的关键；
9．D
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
【详解】解：用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，
能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
10．D
【分析】根据题意得AC=9，根据点D是线段AC的中点，得，即可得．
【详解】解：∵在一条直线上顺次取A，B，C三点，使得AB=6，BC=3，
∴，
∵点D是线段AC的中点，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了线段的中点，两点间的距离，解题的关键是这些知识点．
11．②③④⑤
【分析】根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解．
【详解】解：由图可知：
①点A在直线BC外，故原说法错误；
②直线BC经过点B，原说法正确；
③直线AC、BC交于点C，故原说法正确；
④点C在直线AB外，原说法正确；
⑤图中是射线的有：射线BD、射线BE、射线BA、射线BC、射线CM、射线CN、射线CA、射线CB、射线AH、射线AG、射线AB、射线AC共12条，故原说法正确；
∴以上表述正确的有②③④⑤；
故答案为②③④⑤．
【点睛】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．
12． 1 8 6
【分析】利用直线、射线、线段的定义，结合图形即可得出答案，注意做到不重不漏．
【详解】解：直线的条数为：1；
直线上有4个端点，射线的条数为：2×4=8；
线段的条数为：3+2+1=6．
【点睛】本题重点考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握其计数方法是解题的关键．
13．10
【分析】点与，，，，五点中的至少两个点距离相等时，也就是点恰好是其中一条线段的中点时，只需要计算图中共有多少条线段即可得到答案．
【详解】由题意得，当点经过任意一条线段的中点时会发出警报
图中共有十条线段AB、BC、CD、DE、AC、BD、CE、AD、BE、AE
直线上会发出警报的点位置最多有10个．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了线段的数量，利用整体思想去思考线段的总条数是解题的关键．
14．④
【分析】根据两点确定一条直线，逐项判断即可求解．
【详解】解：①固定一根木条至少需要两个钉子，可以用“两点确定一条直线”来解释；
②经过刨平的木板上的两个点可以弹出一条墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释；
③建筑工人通过在两个钉子之间拉一条绳子砌端，可以用“两点确定一条直线”来解释；
④把弯曲的公路改直就可以缩短路程，用“两点之间，线段最短” 来解释；
所以不可以用“两点确定一条直线”来解释的有④．
故答案为：④
【点睛】本题主要考查了油管线段的基本事实，熟练掌握两点确定一条直线；两点之间，线段最短是解题的关键．
15．或/2或10
【分析】A、、在同一条直线上，则A可能在线段上，也可能A在的延长线上，应分两种情况进行讨论．
【详解】解：当C在线段上时：；
当C在的延长线上时，．
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查了两点之间的距离求法，求线段的长度，能分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
16．/1.5/
【分析】设点C对应的数字是，结合点C是线段的中点，，，且列方程求解即可．
【详解】解：设点C对应的数字是，
点C是线段的中点，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段的中点、数轴上两点之间的距离，列方程解决实际问题；正确表示两点之间是解题的关键．
17．从A地到B地时，走之间的线段比走任何一条弯路都短（答案不唯一）
【分析】根据“两点之间，线段最短”，即可求解．
【详解】解：从A地到B地时，走之间的线段比走任何一条弯路都短．
故答案为：从A地到B地时，走之间的线段比走任何一条弯路都短（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了线段的基本事实，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
18．6或10/10或6
【分析】分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况．
【详解】解：∵cm，cm，
当A、B、C的位置如图1所示时，
∴cm；
当A、B、C的位置如图2所示时，
cm．
故答案为：6或10．
【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差，正确解题的关键是分类讨论．
19．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)6条，分别是AD、BD、BC、AB、AC、CD
【分析】（1）以点B为圆心，AB为半径画弧，交AB的延长线于点C即可；
（2）在线段AB上任取一点D，作射线DM即可；
（3）在射线DM上任取一点N，作直线BN即可；
（4）根据线段的定义解答即可．
【详解】（1）解：如图，线段BC即为所求；
（2）解：如图，射线DM即为所求；
（3）解：直线BN即为所求；
（4）解：线段AC上共有6条不同的线段，分别是AD、BD、BC、AB、AC、CD．
【点睛】此题考查了直线，射线，线段的定义，作图能力，正确理解定义是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据线段中点定义，找到点P，使得即可；
（2）连接并延长，即可画出图形；
（3）连接并双向延长与射线相交，即可得到点E．
【详解】（1）解：如图所示，线段、点P即为所求作；
（2）解：如图所示，射线即为所求作；
（3）解：如图所示，直线、点E即为所求作．
【点睛】本题考查基本作图-作直线、射线、线段，熟练掌握这三个基本图形的性质和作法是解答的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）直接利用直线的定义得出答案；
（2）根据直线的定义得出交点；
（3）直接利用射线的定义得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图所示：O即为所求；
（3）解：如图所示：P即为所求.
【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键．
22．(1)6
(2)①＝；②16
【分析】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD；
（2）①依据AB＝CD，即可得到AB＋BC＝CD＋BC，进而得出AC＝BD；
②依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．
【详解】（1）解：∵B、C在线段AD上，
∴图中有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条，
故答案为：6；
（2）①若AB＝CD，则AB＋BC＝CD＋BC，
即AC＝BD，
故答案为：＝；
②∵AD＝20，BC＝12，
∴AB＋CD＝AD﹣BC＝8，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴，
∴，
∴MN＝BM＋CN＋BC＝4＋12＝16．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作出线段即可求解；
（2）根据题意，根据，设，得出，求得的值，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求，
（2）解：∵，
∴或
∵，
设，
∵，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，线段的和差，数形结合是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)90（允许有误差）
【分析】（1）根据尺规作图即可；
（2）根据尺规作图即可；
（3）直接量角器测量即可．
【详解】（1）线段即为所求．
（2）线段即为所求．
（3）90（允许有误差）
【点睛】本题考查了基本的线段作图，解决本题的关键是利用好尺规进行作图．
25．（1）①4，②，（2）或或
【分析】（1）①根据线段中点的定义可得，即可求解；②，即可求解；
（2）根据题意进行分类讨论即可：当点C在线段上时，当点C在点A的左边时，当点C在点B的右边时．
【详解】（1）解：①∵点M、N分别是线段，的中点，，
∴，
∴，
故答案为：4；
②∵点M、N分别是线段，的中点，，
∴，
∴；
（2）当点C在线段上时，
由（1）可得：；
当点C在A左边时，
，
∵点M、N分别是线段，的中点，，
∴，
∴；
当点C在点B右边时，
∵点M、N分别是线段，的中点，，
∴，
∴；
综上：或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点的定义，具有分类讨论的思想．
26．(1)9
(2)
【分析】（1）先根据线段的倍数得到和的长，再根据线段的和差得到的长，进而可得答案；
（2）根据（1）中结论，再整理可得答案．
【详解】（1）画示意图如下：
．…
∵M，N分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）根据（1）知，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查线段的和差，解题关键是熟练掌握中点的性质和线段和差的运算．
27．(1)点是线段的中点，理由见解析
(2)16
【分析】（1）先根据线段和差可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据线段和差即可得出结论；
（2）先根据（1）的结论可得，从而可得，再根据可得，然后根据即可得．
【详解】（1）解：点是线段的中点．理由如下：
∵，
∴，即，
又∵是线段的中点，
∴，
∴，即，
∴点是线段的中点．
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．
28．(1)
(2)
【分析】（1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据线段中点的定义可得，，进而得到，求出即可．
【详解】（1）解： 点是的中点，，，
，
，
即线段的长；
（2）解：点是的中点，
，
点为中点，
，
，
，
．
【点睛】本题考查两点间的距离，理解线段中点的定义以及线段的和差、倍分关系是正确解答的前提．
29．(1)－4；1；6
(2)见解析
(3)6或8
【分析】（1）b是最小的正整数，可得到b=1，根据(a＋4)2≥0、|c－6|≥0和(a＋4)2+|c－6|=0，可求得a和c的值；
（2）根据点A表示的数是－4，点B表示的数是1，点C表示的数是6，分别表示在数轴上；
（3）分两种情况：或分别求出OE的长，然后根据，即可求得结果．
【详解】（1）解：(a＋4)2+|c－6|=0，
∴(a＋4)2≥0，|c－6|≥0，
∴，，
解得：，，
∵b是最小的正整数，
∴b=1；
（2）解：如图，
（3）解：∵点E是线段OC的三等分点，
∴或，
当时，如图，
∵，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴；
综上所述，AE=6或8．
【点睛】本题主要考查了一个数的平方和绝对值的非负性、数轴的性质以及数轴上的线段三等分点有关的线段长，熟记相关性质和利用分类讨论思想是解题关键．
30．(1)线段MN的长度为7cm
(2)线段MN的长度为 (a+ b)
【分析】(1) 根据点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可；
(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．
【详解】（1）解：∵AC=10cm，点M是AC的中点，
∴CM=AC= 5cm，
∵CB=4cm，点N是BC的中点，
∴CN=BC=2cm ，
∴MN=CM+CN=7cm，
∴线段MN的长度为7cm；
（2）∵ AC=a，点M是AC的中点，
∴CM =AC=
∵CB=b，点N是BC的中点，
∴CN=BC=b；
∴MN=CM+CN= (a+b)，
∴线段MN的长度为 (a+ b)．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，难度较大．
31．(1)1，3
(2)8cm
(3)或
【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；
（2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可；
（3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可．
【详解】（1）解：∵|a 1|+|b 3|=0
∴a-1=0，b-3=0，
∴a=1，b=3，
故答案为：1；3；
（2）当C、D运动时，，，
∴．
（3）当点N在线段上时，
∵，
又∵，
∴，
∴．
当点N在线段的延长线上时，
∵，
又∵，
∴．
综上所述，或．
【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键．4.3 角 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）下列图中的也可以用表示的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，上午8：20，钟表的时针与分针所成的角是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
3．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）钟表上8：30时，时针与分针形成的角度为（ ）
A．75 B．60 C．45 D．30
4．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确的是（ ）
A．北偏东55°，2km B．东北方向
C．东偏北35°，2km D．北偏东35°，2km
5．（2022秋·河南漯河·七年级统考期末）甲、乙两座城市，乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，则甲城市位于乙城市（ ）
A．北偏西25°的方向上 B．北偏东25°的方向上
C．北偏西65°的方向上 D．北偏东65°的方向上
6．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．没有量角器，无法确定
8．（2022秋·河南漯河·七年级统考期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河南漯河·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
（1）如果互余的两个角的度数之比为，那么这两个角分别为和
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等
（3）如果两个角的度数分别是和，那么这两个角互余
（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）如图，垂足为D，，下列结论正确的有（ ）
（1）；（2）；（3）与互余；；（4）与互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）计算： °.
12．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）计算： ， ．
13．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，则 ．（填“＞”，“=”或“＜”）
14．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）如果一个角α的度数为13°14′，那么关于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解为 ．
15．（2022秋·河南南阳·七年级期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角…照此规律，画10条不同的射线，可以画出 个锐角．
16．（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）已知，则∠A与∠B的关系是： ．
17．（2022秋·河南周口·七年级期末）的余角是它的7倍，则 ．（写成“度、分、秒”的形式）
18．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）一个角的度数是45°39'，则这个角的补角的度数是 ．
三、解答题
19．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）如图，小华在街心花园的步道上观看宣传画廓，他发现在点处观看效果最佳．
(1)请测量，，，的度数，发现哪两个角近似相等？
(2)请在步道上点的两边分别任意取一点，，画出，，测量，，的度数，并指出它们中的最大角．
20．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）如图1，摆放一副三角尺，使得点在边上，将三角尺绕点旋转．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数；
(3)当时，直接写出的度数（结果可用表示）．
21．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．
数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数．
甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）
解：如图2，∵点O在直线上，
∴ ，
∵，
∴ ，
，
∴平分，
∴ ，
∵，，
∴ ．
乙同学：“我认为还有一种情况．”
请完成以下问题：
(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．
(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．
(3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值．
22．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）已知O是直线上一点，是直角，平分．
(1)【初步尝试】如图（1），若，则的度数＝______；
(2)【类比探究】在图（1）中，若，求度数；
(3)【拓展运用】如图（2）的位置关系，探究与之间的数量关系，直接写出你的结论．
23．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数．
24．（2022秋·河南郑州·七年级期末）如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点不与点重合），点分别是的中点．
(1)若，则 ；
(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，求的度数．
25．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，，平分，若，请你补全图形，并求的度数．
小明做题时画出了如图2的图形，小静说“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”．
请你完成以下问题：
(1)写出小明的解答过程；
(2)根据小静的想法，在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时的度数．
26．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．
(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________．
(2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）．
27．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线……
显然，一个角的三分线、四分线都有两条．
例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．
（1）如图，是的三分线，，若，则 ；
（2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数；
（3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．
28．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，点在同一直线上，，是的平分线，且．
(1)求的度数；
(2)写出图中所有与互余的角是_______．
29．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数；
(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】如果顶点上只有一个角，可以用一个大写字母表示；如果不止一个角，就用三个大写字母表示，若∠1＝∠O，则选项正确．
【详解】解：A中∠1＝∠O，正确，故符合要求；
B中∠1＝∠AOB≠∠O，错误，故不符合要求；
C中∠1＝∠AOC≠∠O，错误，故不符合要求；
D中∠1＝∠BOC≠∠O，错误，故不符合要求；
故选A．
【点睛】本题考查了角的表示．解题的关键在于正确的表示角．
2．C
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：8：20时，时针与分针相距4＋＝份，
8：20时，时针与分针所夹的角是30°×＝130°，
故选：C．
【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的分数是解题关键．
3．A
【分析】由于钟面被分成个大格，每格为，而时，钟面上时针指向数字与的正中间，分针指向数字，可得时针与分针中间相差个大格，即可求得它们的夹角．
【详解】解：∵的时候，钟面上时针指向数字与的正中间，分针指向数字，如图：
∴观察图形可知，时针与分针相差个大格，每相邻两个大格的夹角为
∴时针与分针所成的夹角为．
故选：A
【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角，能够得到时针与分针中间相差个大格是解题的关键．
4．D
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【详解】90°-55°=35°
根据图形可得，少年宫在小明家的北偏东35°方向的2km处．
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
5．B
【分析】根据方向角的定义即可得到结论．
【详解】解：∵乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，
∴甲城市位于乙城市北偏东25°的方向上，
故选：B．
【点睛】本题考查了方向角的定义，理解定义是解题的关键
6．B
【分析】根据方位角的定义可得，，根据平角的定义计算即可．
【详解】解：如图，由题意得：，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方位角，理解方位角的意义是正确解答的关键．
7．B
【分析】根据角的比较大小的方法进行比较即可．
【详解】由题意可知，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查角的大小比较，三角板的特点．熟练掌握比较方法是解题的关键．
8．C
【分析】根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
．
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是能够正确求出的度数．
9．B
【分析】（1）根据互余的两个角和为90°解题；
（2）根据等角的补角相等解题；
（3）将两个角相加，判断和是否等于90°即可解题；
（4）设这个角为x，分别解得这个角的余角和补角，再求差即可．
【详解】（1）如果互余的两个角的度数之比为，则这两个角分别为，故（1）错误；
（2）根据等角的补角相等，故（2）错误；
（3），
与互余，
故（3）正确；
（4）设一个角为x，则它的余角为，它的补角为，
故（4）正确，
故正确的有（3）（4），共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查余角、补角、互余、等角的补角相等等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．C
【分析】根据余角和补角的性质即可得到结论；
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，故（1）正确；
同理可得，故（2）正确；
∵，
∴与互余，故（3）正确；
∵＜，
∴＜，
∴与不互补，故（4）错误；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的知识点，准确分析判断是解题的关键．
11．
【分析】根据角度的计算，注意单位进率为60，进行计算即可得解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角度的计算，熟练掌握度，分，秒的计算进率是解决本题的关键．
12．
【分析】根据，，即可．
【详解】∵
∴
；
∵
∴
故答案为：；；；
【点睛】本题考查角的运算，解题的关键是掌握，．
13．=
【分析】作∠DNP，再作比较．
【详解】解：如图，∠DNP=∠AOB，∠DNP=∠MPN，
∴∠AOB=∠MPN，
故答案为：=．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角的定义和网格的特点．
14．76°46′
【分析】将α的值代入一元一次方程，再解一元一次方程，即可解答．
【详解】解：将α的值代入x的方程中，得：
2×13°14′﹣x＝180°﹣3x，
2x＝180°﹣2×13°14′，
2x＝153°32′，
x＝76.5°16′，
x＝76°46′，
关于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解为：x＝76°46′，
故答案为：x＝76°46′．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．66
【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题；
【详解】∵在锐角内部，画 1 条射线，可得 个锐角
在锐角内部，画 2 条射线，可得 个锐角
在锐角内部，画 3 条射线，可得 个锐角
∴从一个角的内部引出 条射线所得到的锐角的个数是
∴画10条不同射线，可得锐角个数
故答案为 66
【点睛】考查了角的概念，解决改题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是．
16．互余
【分析】根据和为的两个角互余即可得．
【详解】解：因为，
所以与的关系是互余，
故答案为：互余．
【点睛】本题考查了互余，熟记互余的定义是解题关键．
17．
【分析】设∠α=x°，则这个角的余角为（90-x）°，根据题意可得方程90-x=7x，再解方程即可求解．
【详解】解：设∠α=x°，则这个角的余角为（90-x）°，
根据题意可得方程90-x=7x，
解得：x=11.25．
∴11.25°=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查余角的定义，度分秒的换算，关键是区分清楚余角和补角的定义．“和为180°的两个角互为补角”，“和为90°的两个角互为余角”．
18．134°21′
【分析】关键补角的定义列出算式为180°-45°39′，再求出即可．
【详解】解：∵角的度数是45°39'，
∴这个角的补角的度数是180°-45°39′=134°21′，
故答案为：134°21′．
【点睛】本题考查了余角和补角等知识点，能熟记补角的定义是解此题的关键．
19．(1)测量见解析，与近似相等,与近似相等，
(2)见解析，最大的角是
【分析】（1）使用量角器测量4个角即可求解;
（2）根据题意画出，，然后测量角度即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
测量发现：，，，的度数分别约为
∴与近似相等,与近似相等，
（2）解：如图所示，
测量，，的度数约为
∴最大的角是．
【点睛】本题考查了角的测量与大小比较，正确的测量角的大小是解题的关键．
20．(1)或
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）分为两种情况，当OD在AB上方时；当OD在AB下方时，画出图形求解即可；
（2）分为两种情况，当OD在AB上方时；当OD在AB下方时，画出图形求解即可；
（3）综合考虑（1）（2）求解即可．
【详解】（1）分为两种情况，当在上方时；如图2，
∵，
∴，
∴，
当OD在AB下方时；如图3
∵，
∴，
∴．
综上可知，的度数为或；
（2）分为两种情况，当在上方时；如图4，
∵，
∴
∴；
当在下方时；如图5，
∵，
∴，
∴；
综上可知，的度数为或；
（3）当是锐角时，
如图2，∵，
∴，
∴；
如图3，∵，
∴，
∴；
当是钝角时，
如图4，∵，
∴，
∴；
如图5，∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或或或．
【点睛】本题考查角度的和差计算，以及数形结合的能力，由图形得出角度之间的和差关系式解题关键．
21．(1)180，140，70，160
(2)正确，理由见解析，或
(3)或
【分析】（1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可；
（2）由题意，还有在的外部时的情况，根据平角定义求解即可；
（3）由题意，，，分在的内部和在的外部，由求出即可．
【详解】（1）解：∵点O在直线上，
∴，
∵，
∴，
，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：180；140；70；160；
（2）解：正确，理由如下：
当在的外部时，如图所示：
∵点O在直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
综上所述，或；
（3）解：∵，，
∴，，
当在的内部时，如图，
∵，
∴平分，
∴，即
∴，
解得：；
当在的外部时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
综上，或．
【点睛】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义求出，再根据求解即可；
（2）先求出，再由角平分线的定义求出，再根据求解即可；
（3）根据是直角，平分，可得，再由平角的定义可得，即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直角，即，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直角，即，
∴；
（3）∵是直角，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．，
【分析】根据角平分线的定义及角的和差，即可求解．
【详解】解：，平分，
，
，
，
平分，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义及角的和差，准确找到各角之间的关系是解决本题的关键．
24．(1)
(2)的长度不会发生变化，，理由见详解
(3)的度数为
【分析】（1）根据图示，可求出的长，根据中点可求出的长；
（2）根据图示，可得的表达式，根据中点的性质，可得，根据线段的位置即可求解；
（3）由（2）中线段的计算规律，可得，代入已知角的度数即可求解．
【详解】（1）解：∵线段，，，
∴（），
∵点分别是的中点，
∴，，
∴（），
故答案为：．
（2）解：∵线段，，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴线段在线段上运动（点不与点重合）时，的长度不会发生变化，．
（3）解：根据线段的规律可知，，
∵，，
∴，解得，，
∴的度数为．
【点睛】本题主要考查图形中线段，角度的和差倍分的计算，理解题意，掌握线段、角度的和差倍分的计算，中点、角平分线的性质等知识是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）根据角的平分线定义求出，再根据角的和差即可求解；
（2）画出另一种情况对应的图形，根据角的平分线定义求出，再根据角的和差即可求解．
【详解】（1）因为平分，，
∴．
∵，
∴
（2）如图，
∵OC平分，，
∴，
∵，
∴
【点睛】本题考查了角的计算，角的平分线的定义，解决本题的关键是掌握角的平分线．
26．(1)或
(2)或或或
【分析】（1）根据“3等分线”的定义分和两种情况求解即可；
（2）分为的“3等分线”和为的“3等分线”两种情况求解即可．
【详解】（1）根据“3等分线”的定义可得，或
∵
∴或
故答案为： 或
（2）①当OA在的内部时，如图，
根据“3等分线”的定义可得，
或
②当OB在的内部时，如图，
根据“3等分线”的定义可得，
或
此时，或
综上，的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键．
27．（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或
【分析】（1）根据三分线的定义解答即可；
（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；
（3）根据四分线的定义分类解答即可．
【详解】解：（1）∵是的三分线，，，
∴，
故答案为：；
（2），是的四分线，，
，
为的三分线，
①当时，，
，
②当时，，
，
综上所述，的度数为或，
（3）∵射线、是的两条四分线，
∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°，
如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=,
∠BOD=80°，∠COD=20°，
α=30°-20°=10°；
如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时，
∠COD=∠BOC=15°，
α=30°+15°=45°；
如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时，
∠COD=∠BOC=45°，
α=30°+45°=75°；
如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=,
∠COD=80°，
α=30°+80°=110°；
的值为或或或
【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想．
28．(1)
(2)和
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据补角的定义得到；
（2）根据余角的定义即可解答；
【详解】（1）解：∵平分， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴与互余的角是和,
故答案为和．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，余角的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．
29．(1)
(2)，理由见详解
【分析】（1），，可求出的度数，平分，可求出的度数，根据平角即可求解；
（2），，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵OB平分，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查角的和、差、倍、分，理解图示中角度的数量关系，位置关系，互余、互补的运算是解题的关键．
