3.1.1函数的概念(第二课时) 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
3.1.1 函数的概念
第二课时
第三章 函数的概念与性质
一
二
三
学习目标
理解区间的概念，能用区间表示集合
会求函数的定义域与值域
学会判断相等函数
学习目标
复习回顾
问题1 函数的概念是什么？我们该如何判断函数？
设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A.
概念 自变量 函数值 定义域 值域
含义 x f(x)
性质 存在性
唯一性
一对一/多对一
值域是集合B的子集
使函数有意义的自变量的取值集合
函数值的取值集合
任意性
非空数集A
非空数集{f(x)|x∈A}
新知探究
研究函数时常会用到区间的概念。
设a,b是两个实数，而且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x这里的实数a，b叫做相应区间的端点.
集合表示
区间表示
数轴表示
{x|a＜x＜b}
(a , b)
。
。
{x|a≤x≤b}
[a , b]
.
.
{x|a≤x＜b}
[a , b)
.
。
{x|a＜x≤b}
(a , b]
.
。
在数轴上表示时，应注意闭区间端点用实心点，开区间端点用空心点.
新知探究
问题3 我们该如何用区间表示的实数的集合
问题2 我们该如何用区间表示实数集的集合
实数集可以用区间表示为“”读作“无穷大”
“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”．
集合表示
区间表示
数轴表示
{x| x＜a}
(－∞, a)
。
{x|x≤a}
(－∞, a]
.
{x x＞b}
(b , +∞)
。
{x x≥b}
[b , +∞)
.
{x|x∈R}
(－∞,+∞)
注意：
3. 定义域、值域、不等式解集等经常用区间表示；
2. 区间只能表示连续的数集；
4. 实心点表示包括区间内的端点，空心点表示不包括端点；
1. 区间(a,b),必须有b>a；
5. 以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
练习 试用区间表示下列实数集合：
（1）{x|5 ≤ x<6}
（2）{x|x ≥9}
（3）{x|x ≤ -5}∪{x| -1≤ x<2}
(4) {x|x≤3,且x≠-1}
归纳小结
典例解析
例2 已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)求 的值；
(3)当a>0时，求f (a)，f (a－1)的值.
f (a)：当x=a时函数f(x)的取值
f(a)是f(x)的一个特殊值,是一个相对确定的数.
巩固练习
R
(-∞,-2]∪[2,+∞)
{x|x≠2}
{x|x≠±2}
{x|x≠0且x≠-2}
多个区间用“∪”连接
不能先约分
若a≠0，则a0=1
{x|x≤-2或x≥2}
(-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞)
练习：求下列函数的定义域
归纳总结
实数集R
使分母不等于0的实数的集合
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
使实际问题有意义的实数的集合
(3)如果y=f (x)是偶次根式，则定义域是
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
(5)如果是实际问题，是
求函数定义域的常用方法：
使解析式有意义的自变量的取值集合
巩固练习
课本P67
解：
解：
新知探究：相同函数
问题4 构成一个函数的要素由哪些？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
一个函数构成的要素为：定义域、对应关系、值域；　　　
如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数.
如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域是确定的，因为函数的值域由函数的定义域和对应关系决定的.
追问2 函数
与它们是同一个函数吗？
虽然它们 的字母不同，但是因为他们的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数.
(与字母无关)
例3 下列函数中哪个函数与函数是同一个函数？
典例解析
解：
定义域不同，对应关系相同，故不是同一函数；
函数 y=x（x∈R）
是同一函数
定义域相同，对应关系不同，即值域不同，故不是同一函数；
定义域不同，对应关系相同，故不是同一函数；
归纳小结
解：(1)不相同.
(2)不相同.
因为前者的定义域为R，而后者的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞).
3. 判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由:
(1)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t-5t2和二次函数y= 130x-5x2;
(2) f(x)=1和g(x)=x0.
巩固练习
课本P67
概念应用：求函数的值域
概念应用：求函数的值域
例4 求下列函数的值域.
（1） ， ，2，3，4， ；
解： ，2，3，4， ，分别代入求值，
可得函数的值域为 ，5，7，9， .
观察法: 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
（2） ， ；
概念应用：求函数的值域
解 ， ，
该函数的图象如图所示，
所以函数的值域为 .
配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，即把函数解析式通过配方转化为能直接看出值域的形式.
图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域.
概念应用：求函数的值域
解: 设 ，则 ，且 ，
所以 ， ，
该函数的大致图象如图所示.
则函数的值域为 .
（3） ；
换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原
函数的值域.对于 （其中 ， ， ， 为常数，且 ，
型的函数常用换元法.
概念应用：求函数的值域
（4） .
解： 由题知 .
， ， ，
， 函数的值域为 .
分离常数法：此方法主要针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
概念应用：求抽象函数的定义域
(2) 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域是( )
C
A. B. C. D.
解: 因为 的定义域为 ，
所以在 中， ，则 ，
所以 的定义域为 ，
则在 中，由 解得 ，
所以 的定义域是 .
例5 （1）已知函数 的定义域为 ，求 的定义域.
概念应用：求抽象函数的定义域
解： 由题意得 ，所以 ，
所以函数 的定义域是 .
(2) 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域是( )
C
解: 因为 的定义域为 ，
所以在 中， ，则 ，
所以 的定义域为 ，
则在 中，由 解得 ，
所以 的定义域是 .
（3）已知函数 的定义域为 ，求 的定义域；
解： 由题意得 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域是 .
方法小结
求形如 的函数的定义域的方法
（1）已知 的定义域为 ，求 的定义域：解关于 的不等式
，即为 的定义域.
（2）已知 的定义域为 ，求 的定义域：由 确定
的取值范围，即为 的定义域.
（3）已知 的定义域，求 的定义域：先由 的定义域，求
得 的定义域，再由 的定义域，求得 的定义域.
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
1.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式转化为区间.
2.会求简单函数的定义域
3.会判断相等的函数
4.了解一些求函数值域的常用方法
5.了解抽象函数定义域的求法