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新人教九年级数学下
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
小松中学 温光洪
第三课时 特殊三角函数值
新人教九年级数学下
学习目标
1、掌握 30°、45°、60°角的三角函数值，能够用它们进行计算；
2、能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小。
学习重点
掌握 30°、45°、60°角的三角函数值，能够用它们进行计算
学习难点
能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小
阅读教材内容
预习导学
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的________，记作sin A，即________＝_______.
2、在Rt△ABC中,∠C＝90°,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的______,记作cos A,即cos A＝_______＝______.
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的________，记作tan A，即tan A＝________＝________.
正弦
余弦
正切
4、sin450=______，tan600=________cos300＝_______.
5、sin600=______，tan300=________cos600＝_______.
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两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
30°
60°
45°
45°
30°
新人教九年级数学下
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
30°
60°
45°
45°
60°
新人教九年级数学下
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
30°
60°
45°
45°
设两条直角边长为a，则斜边长＝
45°
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点拨：这些常用的锐角三角函数值之间也是有规律的，互余的两个锐角的正弦值的平方和为1，互余的两个锐角的余弦值的平方和为1，它们的正切值的积为1。
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律
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2、（2013天津）tan60°的值等于（ ）
A. B. C. D.
新人教九年级数学下
1、(2014·天津)cos60°的值等于( )
3、计算：sin 30°·cos 30°－tan 30°＝ ．
A
C
4、已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝ . 计算 －4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋( )－1＝ 。
3
例1求下列各式的值：
解：（1） cos260°＋sin260°
＝1
＝0
（1）cos260°＋sin260°
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例2 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
，求∠A的度数．
解： （1）在图中，
A
B
C
A
B
O
（2）在图中，
（2）如图2，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 a ．
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例3: （1）已知锐角α，关于x的一元二次方程
有相等实数根，求α. （2）在△ABC中，若∠A，∠B满足 则∠C是多少度？
新人教九年级数学下
1、(2014·厦门)sin30°的值是( )
A. B. C. D.
A. 1 B. 2 C. D.
2、(2014·包头)计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结果是( )
3、如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于E，F，G，H，点P是HG上的一点，则tan∠EPF的值是_ _．
B
A
1
新人教九年级数学下
新人教九年级数学下
4、计算：
(1)sin30°＋cos45° (2)sin260°＋cos260°
(3)cos30°·tan30°－tan45°
(4) sin45°＋sin60°·cos45°
新人教九年级数学下
1、若∠A是锐角， 则∠A＝ ．
2、已知α为锐角， 且则α＝ .
3、在△ABC中，若 则∠C的度数是( )
4、如果在△ABC中， ，那么下列最确 切的结论是( )
A．45° B．60° C．75° D．105°
A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形
300
300
C
C
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5、计算
新人教九年级数学下
6、如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝ ，求点B到地面的垂直距离BC.
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新人教九年级数学下
B
C
B
2题
新人教九年级数学下
24°52′44″
4cm2
45°
8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求∠A、∠B的度数．
B
A
C
解： 由勾股定理
∴ A=30°
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
新人教九年级数学下
新人教九年级数学下
[2014·柳州] 如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝ ，∠A＝30°.
(1)求BD和AD的长；(2)求tanC的值．
新人教九年级数学下
把知识留给自己，把困惑告诉老师和同学。共同帮助进步。
作业：导学测评人教版九年级数学下第28章第三课时特殊三角函数值同步练习
一、基础训练
1.计算sin245°+cos30° tan60°，其结果是（ ）
A．2 B．1 C． D．
2.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 （ ）
21·cn·jy·com
A． B． C． D．3
3.若∠A为锐角，且sinA= ， 则tanA= ．
4.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝ ， cosB＝ ， 则△ABC的形状是
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
5.如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD=（ ）
A． B． C． D．
二、能力培优
6.若为一锐角，且 ， 则 ．
7.计算（sin30°）－1－（tan60°）0=________;
8.如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A，B两点间的距离为 米．
9.如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70o ， ∠C=50o ， 那么sin∠AEB的值为__ __．
10.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的正弦值为 ．
11.先化简，再求值（﹣1）÷ ， 其中x=2sin60°+1．
三、拓展提升
12.如图，在中，AD是BC边上的高，。
（1）求证：AC＝BD
（2）若 ， 求AD的长
21教育网
13.阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上， ， ， ， ， 求的长．
小腾发现，过点作 ， 交的延长线于点 ， 通过构造 ， 经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的度数为 ， 的长为 ．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形中， ， ， ， 与交于点 ， ， ， 求的长．
21·世纪*教育网
参考答案
2.知识点：锐角三角函数的定义
答案：A
3.知识点：特殊角的三角函数值
答案：1
4.知识点：特殊角的三角函数值
答案：B.
解析：试题分析：∵sinA= ，
∴∠A=30°，
又∵cosB= ，
∴∠B=30°，
所以∠C=180°-30°-30°=120°．
故△ABC是钝角三角形．
故选B.
考点: 1.特殊角的三角函数值；2.三角形内角和定理．
21cnjy.com
5.知识点：锐角三角函数的定义、解直角三角形
答案：D
6.知识点：同角三角函数的关系
答案：30 .
解析：试题分析：∵ ， ∴.
∵为一锐角，∴.
考点：特殊角的三角函数值.
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8.知识点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形的应用-坡度坡角问题
答案：750.
解析：试题分析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，AC=30×25=750（米），
∴AD=AC sin45°=375（米）.
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=750（米）.
考点：1.解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值.
2·1·c·n·j·y
9.知识点：圆周角定理、锐角三角函数的定义
答案： ．
解析：试题分析： ∵∠C=50°，∴∠B=∠C=50°，∵∠A=70°，∴∠AEB=180°﹣∠B﹣∠A=180°﹣70°﹣50°=60°．∴sin∠AEB=sin60°= ． 故答案为： ．
考点：1．圆周角定理；2．特殊角的三角函数值．
21世纪教育网版权所有
10.知识点：垂径定理、锐角三角函数的定义
答案： ．
解析：试题分析：首先连接AC，OA，由直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），可得△OAC是等边三角形，继而可求得∠OAC的度数，又由圆周角定理，即可求得∠OBC的度数，则可求得答案．
试题解析：连接AC，OA，
∵点C（0，5）和点O（0，0），
∴OC=5，
∵直径为10，
∴AC=OA=5，
∴AC=OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠OBC=∠OAC=30°，
∴∠OBC的正弦值为：sin30°= ．
考点:1.圆周角定理；2.坐标与图形性质；3.锐角三角函数的定义．【来源：21·世纪·教育·网】
11.知识点：分式的化简求值、特殊角的三角函数值
答案：.
解析：试题分析：先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出结果后代入求出即可．
试题解析：
当x=2sin60°+1=2×+1=+1时
原式.
考点：1.分式的化简求值；2.特殊角的三角函数值．
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12.知识点：特殊角的三角函数值
答案：三角函数转换；8
解析：试题分析：
（1）∵ ， ，
∴ ， ∴AC=BD（4分）
（2）AD=8（4分）
考点：特殊角三角函数
点评：本题属于对特殊角三角函数值的基本知识的理解以及边和角之间基本关系的变化
13.知识点：等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义
答案：∠ACE的度数为75°，AC的长为3.
解析：试题分析：由CE//AB可知∠ACE=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，可知△ACE是等腰三角形，又CE//AB可知△ABD∽△CED，由相似的性质可知DE=1，所以AD=AC=AE+CE=3
图3中，由已知的条件可知△ACD是等腰三角形，因为∠BAC=90°，因此可过点D作DF⊥AC，然后利用相似、三角函数、勾股定理加以解决
试题解析：图（2）：∠ACE的度数为75°，AC的长为3.
图（3）：过点D作DF⊥AC于F
2 / 2人教版九年级数学下第28章第三课时特殊三角函数值同步练习
一、基础训练
1.计算sin245°+cos30° tan60°，其结果是（ ）
A．2 B．1 C． D．
2.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 （ ）
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A． B． C． D．3
2.知识点：锐角三角函数的定义
答案：A
3.若∠A为锐角，且sinA= ， 则tanA= ．
3.知识点：特殊角的三角函数值
答案：1
4.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝ ， cosB＝ ， 则△ABC的形状是
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
4.知识点：特殊角的三角函数值
答案：B.
解析：试题分析：∵sinA= ，
∴∠A=30°，
又∵cosB= ，
∴∠B=30°，
所以∠C=180°-30°-30°=120°．
故△ABC是钝角三角形．
故选B.
考点: 1.特殊角的三角函数值；2.三角形内角和定理．
5.如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD=（ ）
A． B． C． D．
5.知识点：锐角三角函数的定义、解直角三角形
答案：D
二、能力培优
6.若为一锐角，且 ， 则 ．
6.知识点：同角三角函数的关系
答案：30 .
解析：试题分析：∵ ， ∴.
∵为一锐角，∴.
考点：特殊角的三角函数值.
7.计算（sin30°）－1－（tan60°）0=________;
8.如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A，B两点间的距离为 米．
8.知识点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形的应用-坡度坡角问题
答案：750.
解析：试题分析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，AC=30×25=750（米），
∴AD=AC sin45°=375（米）.
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=750（米）.
考点：1.解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值.
9.如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70o ， ∠C=50o ， 那么sin∠AEB的值为__ __．
9.知识点：圆周角定理、锐角三角函数的定义
答案： ．
解析：试题分析： ∵∠C=50°，∴∠B=∠C=50°，∵∠A=70°，∴∠AEB=180°﹣∠B﹣∠A=180°﹣70°﹣50°=60°．∴sin∠AEB=sin60°= ． 故答案为： ．
考点：1．圆周角定理；2．特殊角的三角函数值．
10.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的正弦值为 ．
10.知识点：垂径定理、锐角三角函数的定义
答案： ．
解析：试题分析：首先连接AC，OA，由直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），可得△OAC是等边三角形，继而可求得∠OAC的度数，又由圆周角定理，即可求得∠OBC的度数，则可求得答案．
试题解析：连接AC，OA，
∵点C（0，5）和点O（0，0），
∴OC=5，
∵直径为10，
∴AC=OA=5，
∴AC=OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠OBC=∠OAC=30°，
∴∠OBC的正弦值为：sin30°= ．
考点:1.圆周角定理；2.坐标与图形性质；3.锐角三角函数的定义．21世纪教育网版权所有
11.先化简，再求值（﹣1）÷ ， 其中x=2sin60°+1．
11.知识点：分式的化简求值、特殊角的三角函数值
答案：.
解析：试题分析：先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出结果后代入求出即可．
试题解析：
当x=2sin60°+1=2×+1=+1时
原式.
考点：1.分式的化简求值；2.特殊角的三角函数值．
三、拓展提升
12.如图，在中，AD是BC边上的高，。
（1）求证：AC＝BD
（2）若 ， 求AD的长
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12.知识点：特殊角的三角函数值
答案：三角函数转换；8
解析：试题分析：
（1）∵ ， ，
∴ ， ∴AC=BD（4分）
（2）AD=8（4分）
考点：特殊角三角函数
点评：本题属于对特殊角三角函数值的基本知识的理解以及边和角之间基本关系的变化
13.阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上， ， ， ， ， 求的长．
小腾发现，过点作 ， 交的延长线于点 ， 通过构造 ， 经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的度数为 ， 的长为 ．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形中， ， ， ， 与交于点 ， ， ， 求的长．
13.知识点：等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义
答案：∠ACE的度数为75°，AC的长为3.
解析：试题分析：由CE//AB可知∠ACE=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，可知△ACE是等腰三角形，又CE//AB可知△ABD∽△CED，由相似的性质可知DE=1，所以AD=AC=AE+CE=3
图3中，由已知的条件可知△ACD是等腰三角形，因为∠BAC=90°，因此可过点D作DF⊥AC，然后利用相似、三角函数、勾股定理加以解决
试题解析：图（2）：∠ACE的度数为75°，AC的长为3.
图（3）：过点D作DF⊥AC于F
∵∠BAC=90°
∴AB//DF
∴△ABE∽△FDE
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