专题2.5圆的对称性 垂径定理 分层练习（含解析）2023-2024学年九年级数学上册苏科版专项讲练

专题2.5 圆的对称性（垂径定理）（分层练习）
一、单选题
1．某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图，小雅同学测得水面宽为8m，拱顶到水面的距离也为8m，则这座桥的桥拱半径为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
2．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）
A．AM=BM B．CM=DM C． D．
3．如图，是的直径，，点D是弦的中点，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
4．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
5．小明想知道一块扇形铁片中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形按如图方式摆放，点恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，弦于E，若，，则的长是（　　）

A．12 B．16 C． D．
7．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若平分，则 B．若，则平分
C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分
8．如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（ ）

A． B．，
C．为等腰三角形 D．为等边三角形
9．如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度（ ）
A．8cm B．4cm C． D．
10．温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图），现测得桥拱水面宽为，石拱桥的桥顶到水面的距离为，则拱桥半径长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
12．如图，点P在的直径上，作正方形和正方形，其中点D，G在直径所在直线上，点C，E，F，H都在上．若两个正方形的面积之和为16，，则DG的长是（ ）
A． B． C．7 D．
13．如图，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝．当EO＝BE且∠OEC＝45°时，弦BC的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
14．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（　　）
A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝
B．若CD＝，则⊙O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
15．如图，在位于轴右侧且半径为6的，从的位置沿直线向上平移，交直线于点，且是与轴的一个公共点，若，则四边形的面积是（ ）
A．42 B．64 C．68 D．48
二、填空题
16．如图，、、都是的弦，，，垂足分别为、，若，则的长为 ．
17．已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ．
19．如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 cm．
20．在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径MN，然后任意作了一条弦（非直径）．如图1，接下来老师提出问题：在保证弦AB长度不变的情况下，如何能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦AB与直径MN保持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，请你说出小华此想法的依据是 ．
21．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作，交于点D，则长的最大值为 ．

22．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ．
23．如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若经过其顶点A、B、C，则圆心O到的距离为 ．
24．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出cm，cm，则轮子的半径为 cm．
25．课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为 ．

26．《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧是以点为圆心，为半径的圆弧，是弦的中点，且．“会圆术”给出弧的弧长的近似值的计算公式： ．当，时， ．
27．在中，是直径，是弦，，将圆沿着翻折，使弧与直径相交于点E和F，且，的长为 ．
28．如图，点M是半圆的中点，点A、C分别在半径OM和上，，，，则的半径为 ．
29．如图，两点是线段的三等分点，以为直径作，点为上一点，连接，交于点，连接，若点恰为线段中点且，则周长为 ．

30．如图，已知A为半径为3的上的一个定点，B为上的一个动点（点B与A不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是 ．
三、解答题
31．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：，AD交OC于点E．已知OE＝3，EC＝2
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．
32．已知，如图，为上点，为的直径．
(1)尺规作图：过点作直线，交于点，交于点；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接，若，求的长.
33．如图，为的外接圆，请用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)在劣弧上找一点，使；
(2)作出一点，使得．
34．如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
35．如图， 是 外一点， 分别与 相交于 ．
（1） 平分 ；
（2）；
（3）；
（4）．
从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明．

36．如图1，是的弦，点C在外，连接、分别交于D、E，
(1)求证：．
(2)如图2，过圆心O作，交于P、Q两点，交、于M、N两点，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，，求弦的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】连接，设，则，根据垂径定理得出，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：连接，
由题意可得：，设半径，
则，
由勾股定理可得：，
解得：．
则桥拱半径为．
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．
2．B
【分析】根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．
【详解】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM，，，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．
3．A
【分析】根据等腰三角形的性质求出，由垂径定理得，求出，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D是弦的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
4．D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
5．D
【分析】如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，由垂径定理得OC垂直且平分AB，则BC=20cm，再由勾股定理得,从而CD=OD-OC,即得到拱高CD的长．
【详解】解：如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，
∵D为中点，
∴由垂径定理得OC垂直且平分AB，
∴BC=20cm，
∴cm，
∵OD=OB=cm，
∴CD=OD-OC=cm，
即拱高为cm，
故选D．
【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．A
【分析】连接，设，则，然后根据垂径定理及勾股定理可列方程进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，是的直径，，
∴，
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；
D、若也是直径，则原说法不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．
8．D
【分析】根据，，即可判断出，从而进行判断A．
根据，利用垂径定理的推论，进行判断即可B．
根据垂径定理的推论，得到，从而可得结论，即可判断C、D．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，A正确
∵，
∴，，B正确
∵，，，
∴，
∴为等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴C正确，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定．
9．D
【分析】过圆心，作，根据垂径定理得出，根据图示得出，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过圆心，作，则
在中，，，
∴，
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
10．C
【分析】连接，得；根据垂径定理，得；设，根据，则，等量代换，再根据勾股定理列方程，即可得答案．
【详解】连接，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握垂径定理的运用．
11．D
【分析】连接、、、、、，则、分别为等边三角形，等腰直角三角形，进而可得到、长；再过点作于点，根据垂径定理可得，，根据锐角三角形函数可求出，进而可得；再根据可判断以、、为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积．
【详解】解：解：如图，连接、、、、、，则，，，
在中，．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于点，则，，
∴，
∴，
∵，即，
∴以、、为边的三角形为直角三角形，
∴其面积为：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理的逆定理，解题关键是熟练应用垂径定理求弦长．
12．B
【分析】作于K，设正方形的边长是x，由条件得到，从而求出正方形的边长，得到正方形的边长，进一步求出，的长，即可求出的长．
【详解】解：作于K，设正方形的边长是x，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵两个正方形的面积之和为16，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴，
，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质，垂径定理，解题的关键是由条件列出关于小正方形边长的方程，求出小正方形边长．
13．B
【分析】作OH⊥BC于H，连接OB，可知△OEH是等腰直角三角形，设EH＝OH＝a，则OE＝，BE＝a，利用勾股定理得OB＝，从而解决问题．
【详解】解：作OH⊥BC于H，连接OB，
∵∠OEC＝45°，∠OHE＝90°，
∴∠OEC＝∠EOH＝45°，
∴EH＝OH，
设EH＝OH＝a，则OE＝，
∵EO＝BE，
∴BE＝a，
∴BH＝2a，
由勾股定理得，OB＝＝OA=，
∴a＝1，
∴BH＝2，
∵OH⊥BC，
∴BC＝2BH＝4，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判断出BH=2OH是解题的关键．
14．C
【分析】根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可．
【详解】解：A、∵OC＝OB＝2，
∵点E是OB的中点，
∴OE＝1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，
∴ ，
∴，本选项错误不符合题意；
B、根据，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；
C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴BC＝BD，
∴OC＝OD＝BC＝BD，
∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴∠BOC＝60°，
∴，故本选项错误不符合题意．．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
15．D
【分析】作轴交轴于，作交于，与相交于点，连接，根据题意可得四边形为矩形，为等腰直角三角形，从而得到，进而得到，再由垂径定理结合勾股定理即可得到，设点的坐标为，则，列出方程，求出的值，即可求出面积．
【详解】解：如图所示，作轴交轴于，作交于，与相交于点，连接，
，
根据题意可得：轴，轴，
四边形为矩形，
点在直线上，
设点的坐标为，即，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
设点的坐标为，
由图象可知，
则，
，
，
点坐标为，
四边形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理等知识点，添加恰当的辅助线是解题的关键．
16．
【分析】根据垂直定理得出，，根据三角形的中位线性质得出，再求出即可．
【详解】解：，，垂足分别为、、过圆心，过圆心，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线和垂直定理，能根据垂径定理求出和是解题的关键．
17．1或5．
【分析】分两种情况：两条平行弦在圆心的同侧时和两条平行弦在圆心的两侧时，分情况进行讨论即可.
【详解】两条平行弦在圆心的同侧时，则两条平行弦间的距离＝3﹣2＝1；
当两条平行弦在圆心的两侧时，则两条平行弦间的距离＝3+2＝5．
故答案为:1或5．
【点睛】本题主要考查两条平行弦之间的距离，注意分情况讨论.
18．（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
19．8
【分析】连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．根据垂径定理得到，然后根据勾股定理求出CO的长度，即可求出水管中的水最大深度CD的长度．
【详解】解：如图所示，连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．
∵ AB是圆的一条弦，
∴，
∴在△AOC中，，
∴，
∴水管中的水最大深度为8cm．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识的运用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，勾股定理．
20．等腰三角形三线合一的性质
【分析】连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．
【详解】解：连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，当MN⊥AB时，一定有MB过AB的中点，依据三线合一的性质可得．
故答案是：等腰三角形三线合一的性质．
【点睛】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．
21．2
【分析】根据勾股定理求出，利用垂线段最短得到当时，最小，根据垂径定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当的值最小时，的值最大，
时，最小，此时D、B两点重合，
∴，
即的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
22．
【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
23．##
【分析】取的中点D，过点D作交于点D，交于点E，则圆心O在上，在取上取圆心O，连接，根据题意可得，，，，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点，过点D作交于点D，交于点E，则圆心O在上，在取上取圆心O，连接，
根据题意得：，，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即圆心O到的距离为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得到圆心的位置是解题的关键．
24．##2.5
【分析】连接OB，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可求得半径．
【详解】垂直平分，
的圆心在上，
设的圆心为，连接，设
，
在中，
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
25．
【分析】连接，构造相应的直角三角形，利用勾股定理即可求得长．
【详解】解：如图所示，连接，设圆的半径为，

，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，在圆内利用垂直于弦的直径构造直角三角形是常用的辅助线方法．
26．3
【分析】连接，根据计算，证明O、C、D三点共线，结合等腰直角三角形的性质，得，代入计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，是弦的中点，
∴，，，
∵，
∴O、C、D三点共线，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键．
27．
【分析】设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，根据垂径定理以及翻折的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，如图：
则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
即的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、翻折性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握垂径定理和翻折性质是解答的关键．
28．
【分析】连接，易得点A在 上，在 中根据勾股定理求出，根据垂径定理得到，在中可得直径，即可得到半径．
【详解】解：连接，
∵ 是圆的直径，
∴，
∵，
∴点A在 上，
∵点M是半圆的中点，
∴，
∴，
在中
∵，，
∴ ，
∴
在中
，
的半径为 ,
故答案为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理及直径所对圆周角是直角，解题关键是得到点A在 上．
29．
【分析】连接，交于点，先证明为的中位线，则，，再根据圆周角定理得出，则，为的中位线，从而得到，利用勾股定理计算出，则，最后再利用勾股定理计算出即可得到答案．
【详解】解：连接，交于点，
，
两点是线段的三等分点，
，
点恰为线段中点，
为的中位线，
，，
为直径，两点是线段的三等分点，
，
在中，，
，
，为的中位线，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
30．
【分析】连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．
【详解】解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．
∵OA=ON，OA=AN，
∴AO=ON=AN，
∴△OAN是等边三角形，
∴∠OAN=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠OAN=60°，
∴∠BAO=∠CAN，
∴△BAO≌△CAN（SAS），
∴OB=CN=3，
∵OC≤ON+CN=6，
∴OC的最大值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．
31．（1）8；（2）
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到CO⊥AD，AE＝DE，然后根据勾股定理即可求得AE，进而求得AD；
（2）根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【详解】解：（1），得CO⊥AD，AE＝DE．
在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5，
得AE＝，
所以AD＝AE＋DE＝8；
（2）由CFAB，得，
则．
【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
32．（1）见解析；（2）
【分析】(1)利于基本作图，过点C作AB的垂线得到弦CD；
(2)利用垂径定理结合勾股定理可求得的半径，再在Rt中，利用勾股定理即可求解.
【详解】(1)直线CD如图所示：
连接，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
在Rt中，2，
∴.
【点睛】本题考查了考查了作图-复杂作图，圆的有关知识，勾股定理，灵活运用勾股定理求出半径的长是正确解决本题的关键．
33．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作弦的垂直平分线即可；
（2）延长至点E，使即可．
【详解】（1）如图，点D即为所求．
∵，
∴；
（2）延长至点E，使，则点E即为所求．
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查尺规作图，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．
34．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵与轴相切于点，
∴轴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）如图，连接．

四边形是矩形，
．
在中，，
．
点为圆心，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．
35．见解析
【分析】可选条件为③④，结论为①②，由垂径定理可得，再证可得即可得到即证明②；再证可得即可证明②．
【详解】选条件为③④，结论为①②，证明如下：
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∵,
∴
∴,
∴平分．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，本题为开放性题目、可有多种组合，只要符合这四个已知条件即可．
36．(1)见解析
(2)见解析
(3)13
【分析】(1)连接，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的两个底角相等的性质证明即可．
(2) 连接，证，得，得，可证明．
(3) 连接，证，，结合已知，得，等边，，，作于点G，设，可得，，，，，中勾股得，计算即可．
【详解】（1）如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴；
∵，
∴；
∴；
∴．
（2）连接，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）连接，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴等边，，，
作于点G，则，
∵，，
设，则，，
∴，
∴，，，
中，根据勾股定理，得，
解得，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练掌握圆的性质，勾股定理，一元二次方程的解法是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页