专题2.21直线和圆的位置关系 直通中考（含解析）2023-2024学年九年级数学上册苏科版专项讲练

专题2.21 直线和圆的位置关系（直通中考）
【要点回顾】
【要点一】直线和圆的三种位置关系
【要点二】直线与圆的位置关系的判定和性质
OrOld
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一、单选题
（2022·贵州六盘水·统考中考真题）
1．如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）
2．已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
（2013·山东青岛·中考真题）
3．直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是
A． B． C． D．
（2013·贵州黔东南·中考真题）
4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
（2015·广东广州·统考中考真题）
5．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，那么点O到直线l的距离是(　 　)
A．2.5 B．3 C．5 D．10
（2010·浙江金华·中考真题）
6．如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC =4cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）．
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
（2013·辽宁盘锦·中考真题）
7．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
（2012·江苏无锡·中考真题）
8．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
（2018·湖南湘西·统考中考真题）
9．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
（2010·四川南充·中考真题）
10．如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（ ）．
A． B．若与相切，则
C．若，则与相切 D．和的距离为
二、填空题
（2012·甘肃兰州·中考真题）
11．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是 ．
（2012·海南·中考真题）
12．如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm．
（2006·江苏无锡·中考真题）
13．已知，是射线上的一点，且．若以为圆心，为半径的圆与射线有两个不同的交点，则的取值范围是 ．

（2019·内蒙古通辽·统考中考真题）
14．如图，在边长为3的菱形中，，是边上的一点，且，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是 ．
（2011·山东烟台·中考真题）
15．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为
（2011·青海西宁·中考真题）
16．以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是 ．
（2016·湖南永州·中考真题）
17．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线的距离为d，即．我们把圆上到直线的距离等于1的点的个数记为m．如时，为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线的距离等于1的点，即，由此可知：

（1）当时， ；
（2）当时，d的取值范围是 ．
（2020·上海松江·统考二模）
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为 ．
三、解答题
（2006·吉林长春·中考真题）
19．如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．
（1）求与直线相切时点的坐标．
（2）请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
（2012·四川巴中·中考真题）
20．如图，四边形是平行四边形，以为直径的经过点D，E是
上一点，且．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为，，求的正弦值．
（2016·山东济宁·中考真题）
21．已知点P（，）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d== = =．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
（2014·湖南衡阳·统考中考真题）
22．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点、，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向点B移动，同时，将直线以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交、于点C、D，设运动时间为t秒．
(1)证明：在运动过程中，四边形总是平行四边形；
(2)当t取何值时，四边形为菱形？且指出此时以点D到直线的距离等于，并说明理由．
（2020·河北唐山·统考模拟预测）
23．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点E是BC边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．
（1）求AC的长；
（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；
（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．
（2014·江苏无锡·统考一模）
24．在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，、，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
(1)求圆形区域的面积；
(2)某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离．（，保留三个有效数字）；
(3)当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．

试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可．
【详解】解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线的距离为.
∴dr，
∴直线和圆相交．
故选：B
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d2．D
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
3．C
【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，∴r的取值范围是r＞d＝6．故选C．
4．B
【详解】解：如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；
由勾股定理，得：AB2=32+42=25，
∴AB=5；
又∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴CD=r；
∵S△ABC=AC BC=AB r；
∴r=2.4cm，
故选B．
【点睛】直线与圆的位置关系．
5．C
【分析】根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径．
【详解】解∶⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，那么点O到直线l的距离是5．
故选：C
6．B
【分析】作CD⊥AB于点D．在Rt△BCD中，∠B=30°，得CD==2，与圆的半径比较，作出判断．
【详解】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B=30°，BC=4cm，
∴
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故选：B．
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当R>d时，直线与圆相交；当R=d时，直线与圆相切；当R7．A
【详解】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AM×BC=AC×AB，
∴AM==4.8．
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC，DE=BC=5．
∴AN=MN=AM=2.4．
∴以DE为直径的圆半径为2.5．
∵r=2.5＞2.4，
∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．
故选A．
8．D
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相离：d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．
【详解】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
9．B
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．
【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切，
故选B．
【点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
10．B
【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断．
【详解】解：A、平移使点与重合，，，解直角三角形得，正确；
B、当与圆相切时，，在左侧以及，在，右侧时，或，错误；
C、若，连接并延长交于点，则，故，，故上的高为，即到的距离等于半径．正确；
D、，两平行线之间的距离为线段的长，即直径，正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键．
11．，且x≠0
【分析】由题意得有两个极值点，过点与相切时，取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．
【详解】由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可：
如图，连接OD，
由题意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°，
∴OP'＝，即x的极大值为．
同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，
此时x取得极小值，x＝－．
综上可得x的范围为：－≤x≤，且x≠0．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，得出直线与圆相切时的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．
12．1或5
【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的长，继而求得答案．
【详解】解：有两种情况：
（1）如图1,当O平移到O′位置时，O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C,则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°,O′C=1cm，
∴O′P=2O′C=2cm，
∵OP=3cm，
∴OO′=OP O′P=1(cm).
（2）如图2，同理可得：O′P=2cm，
∴O′O=5cm.
故答案为1或5.
【点睛】本题主考考查圆与直线相切. 本题要应用分类讨论思想分别画出⊙O 与直线PA相切时的图形，利用切线性质即可求出答案.
13．
【分析】根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答．若,则直线与圆相交;若,则直线于圆相切;若,则直线与圆相离．
【详解】解：由图可知，的取值范围在半径和之间．

在直角三角形中，，，
则；
则的取值范围是，
故答案为．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系以及直角三角形的性质，解答本题的关键是要画出图形,利用数形结合可轻松解答，注意:当等于半径时,有一个交点,故>
14．
【分析】过点M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值．
【详解】解：过点作交延长线于点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴当点在线段上时，长度有最小值
∴长度的最小值
故答案为
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，勾股定理，确定A'C长度有最小值时，点A'的位置是本题的关键．
15．0＜r≤8时，r=a；当r＞8时，r=a2+4
【详解】①易知，0＜r≤8时，r=a；
②当r＞8时，
如图：连接OC，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
则四边形ABCD是矩形，即AD=BC，CD=AB．
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
即：r2=（r﹣8）2+a2，
整理得：r=a2+4．
故答案是：0＜r≤8时，r=a；当r＞8时，．
16．﹣4≤a≤﹣2
【详解】解：当A、D两点重合时，PO=PD-OD=5-3=2，此时a=-2，
当B在弧CD时，由勾股定理得，PO===4，此时a=-4，
则实数a的取值范围是-4≤a≤-2．
故答案为-4≤a≤-2．
17．（1）1；（2）．
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数即可得出答案；
（2）根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数即可得出答案．
【详解】解：（1）当时，
，即，直线与圆相离，
，
故答案为：1；
（2）当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系，即和的数量关系是解题的关键．
18．
【分析】根据题意作图，翻折找出AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，过O作OH⊥CD，连接OC，OG交BC于E，根据已知条件设出AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，则OC＝OG＝x，再由勾股定理求出CE，即可求出BC，代入求比值即可．
【详解】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E，
∵将矩形ABCD沿着直线BC翻折，
∴AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，
过O作OH⊥CD，
∴CH＝CD，
∵直线A′D′与⊙O相切，
∴OG⊥A′D′，
∵BC∥A′D′，
∴OG⊥BC，
∴则四边形OECH是矩形，CE＝BE＝BC，
∴CH＝OE，
设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，
∴OE＝x，
∴OC＝OG＝x，
∴CE＝＝，
∴BC＝2CE＝，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查圆的切线的判定和性质，及矩形的性质，需要用到勾股定理求相关量．
19．（1）点的坐标为或（2）当时，与直线相交．当或时，与直线相离
【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点P的横坐标，再根据直线的解析式求得点P的纵坐标．
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时x的取值范围．
【详解】（1）过作直线的垂线，垂足为．
当点在直线右侧时，，得，．
当点在直线左侧时，，得，．
当与直线相切时，点的坐标为或．
（2）当时，与直线相交．
当或时，与直线相离
20．(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，，由为直径，，证得是等腰直角三角形，即，然后由等腰三角形的性质，可得，又由四边形是平行四边形，即可证得，即可证得与相切．
（2）过点O作，连接，由垂径定理可得，，又由圆周角定理可得，从而证得，然后在中，求得的值，即可求得答案．
【详解】（1）解：如图，连接，，

是直径，
，
，
，则．
是等腰直角三角形．
．
又，
，
相切．
（2）如图，过点O作，连接，

则．
，
．
，
∴．
在中，，
．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理，垂径定理、平行四边形的性质以及三角函数等知识，综合性较强，难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用．
21．(1);(2)见解析;(3)2.
【分析】（1）根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y=x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线y=x+9相切；（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=-2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=-2x-6的距离即可．
【详解】（1）因为直线y=x-1，其中k=1，b=-1，
所以点P（1，-1）到直线y=x-1的距离为：d=；
（2）⊙Q与直线y=x+9的位置关系为相切．
理由如下：
圆心Q（0，5）到直线y=x+9的距离为：d=，
而⊙O的半径r为2，即d=r，
所以⊙Q与直线y=x+9相切；
（3）当x=0时，y=-2x+4=4，即点（0，4）在直线y=-2x+4，
因为点（0，4）到直线y=-2x-6的距离为：d=，
因为直线y=-2x+4与y=-2x-6平行，
所以这两条直线之间的距离为2．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义．
22．(1)见解析
(2)当秒时，四边形为菱形；理由见解析
【分析】（1）设直线的解析式为，由待定系数法就可以求出直线的解析式，再由点的坐标求出、的值，由勾股定理就可以得出的值，求出的值，作，表示出的值，得出，就可以得出结论；
（2）由三角函数值表示的值，由菱形的性质可以求出菱形的边长，作于F由三角函数值就可以求出，的值，进而得出结论．
【详解】（1）证明：设直线的解析式为，由题意得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴直线直线，
∵点、，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，，
如图，过点P作于点E，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形总是平行四边形．
（2）解：当秒时，四边形为菱形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
若四边形为菱形，则，
∴，
解得：，
∴当秒时，四边形为菱形．
∴，，
∵，
∴，
∴，
如图，过点D作于F，
∴，
∴，
∴，
即点D到直线的距离等于．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，点到直线的距离，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行四边形的判定方法．
23．（1）AC=5；（2）；（3）或．
【分析】（1）过A作AG⊥BC于点G，由，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出AC的长度；
（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，则CE=CF=4，则CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF的长度；
（3）根据题意，可分情况进行讨论：①当圆C与AD相离时；②当CE>CA时；分别求出CE的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：
在Rt△ABG中，AB=5，，
∴BG=4，
∴AG=3，
∴，
∴点G是BC的中点，
在Rt△ACG中，；
（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：
∴CE=CF=4，
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠ACB，
∴，
∴CH=3.2，
在Rt△CFH中，由勾股定理，得
FH=2.4，
∴EH=0.8，
在Rt△EFH中，由勾股定理，得
；
（3）根据题意，圆C与线段AD没有公共点时，可分为以下两种情况：
①当圆C与AD相离时，则CE∴半径CE的取值范围是：；
②当CE>CA时，点E在线段BC上，
∴半径CE的取值范围是：；
综合上述，半径CE的取值范围是：或．
【点睛】本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，正确确定动点的位置，从而进行解题．
24．(1)
(2)
(3)A船不会进入海洋生物保护区．
【分析】（1）连接，则轴，由圆周角定理、勾股定理得，则半径，．
（2）过点A作轴于点D，依题意，得，在中，设，则，由勾股定理，根据图形得到，故；
（3）过点A作轴于点G．过点作于点E，并延长交于点F．由垂径定理得，．在中，由勾股定理得，．所以．
【详解】（1）解：连接，如图，

则轴，
，
设为由O、B、C三点所确定圆的圆心．
则为的直径．
由已知得，由勾股定理得
半径，．
（2）解：过点A作轴于点D，依题意，得，
在中，设，则，
由勾股定理得，，
由题意知：，在中，
∴，
∴；
（3）解：过点A作轴于点G．
过点作于点E，并延长交于点F．
由（1）知，，由垂径定理得，．
∴在中，由勾股定理得，，
∵四边形为矩形．
∴，而
∴，
∴直线与相离，A船不会进入海洋生物保护区．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用和点与圆的位置关系，灵活运用所学知识是关键．
答案第1页，共2页
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