专题2.27切线长定理 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年九年级数学上册苏科版专项讲练

专题2.27 切线长定理（知识梳理与考点分类讲解）
【要点一】切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
要点注意：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
要点注意：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等．
【要点二】三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
要点注意：
（1） 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
（2） 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即（S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径）．
（3） 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边中垂线的交点 （1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形内部
内心（三角形内切圆的圆心） 三角形三条角平分线的交点 （1）到三角形三边距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； （3）内心在三角形内部．
【考点一】切线长定理 求解
【例1】
1．已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D.
(1)若PA＝6，求△PCD的周长；
(2)若∠P＝50°，求∠DOC.
【举一反三】
【变式】
2．如图，PA，PB与⊙O相切，切点为A，B，CD与⊙O相切于点E，分别交PA，PB于点D，C．若PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求△PCD的周长．
【考点二】切线长定理 证明
【例2】
3．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
【举一反三】
【变式1】
4．如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E．
(1)求证：OD∥BC；
(2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD．
【变式2】
5．如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.
(1)证明：是的切线.
(2)如图2，连接，，求证：.
【考点三】切线长定理 三角形的周长、面积与内切半径关系
【例3】
6．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．
【举一反三】
【变式】
7．如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点．
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)如果，，求内切圆的半径．
【考点四】切线长定理 圆的外切四边形
【例4】
8．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【举一反三】
【变式1】
9．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．
【变式2】
10．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：.
【考点五】切线长定理 三角形的内切圆与外接圆综合
【例5】
11．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
【举一反三】
【变式1】
12．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
【变式2】
13．如图，⊙是的内切圆，D，E，F为切点，且，求，，的长．
【考点六】圆的综合题
【例6】
14．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：DE＝DC；
(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的长．
【举一反三】
【变式1】
15．如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC＝，求线段AB的长．
【变式2】
16．如图1，已知为⊙O的直径，C为⊙O上一点， 平分 ，于点D，并与⊙O交于点E．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)若 ， ，求⊙O的半径；
(3)如图2，F为中点，连接 ，在（2）的条件下，求 的长．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．(1)△PCD的周长为12；(2)∠DOC＝65°.
【分析】(1) )连接OE，由切线长定理可得PA＝PB＝6,AC＝CE，BD＝DE.再由△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB即可求得△PCD的周长；（2）根据已知条件易求∠AOB＝130°；再证明Rt△AOC≌Rt△EOC，由全等三角形的性质可得∠AOC＝∠COE.同理可求得∠DOE＝∠BOD，由此可得∠DOC＝∠AOB＝65°.
【详解】(1)连接OE，
∵PA，PB与⊙O相切，∴PA＝PB＝6.
同理可得：AC＝CE，BD＝DE.
∴△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝12.
(2)∵PA，PB与⊙O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)．
∴∠AOC＝∠COE.
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠DOC＝∠AOB＝65°.
【点睛】本题考查了切线的性质定理及切线长定理，熟练运用切线的性质定理及切线长定理是解决问题的关键.
2．（1）；（2）2
【分析】（1）根据切线长定理可得，则一元二次方程的判别式为0，进而即可求得的值；
（2）根据（1）的结论求得的长，CD与⊙O相切于点E，则,根据△PCD的周长即可求解．
【详解】解： PA，PB与⊙O相切，
PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根
解得
（2）
PA，PB与⊙O相切， CD与⊙O相切于点E，
△PCD的周长
【点睛】本题考查了切线长定理，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握切线长定理是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线长定理证明即可；
（2）根据已知条件可得是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，
是的切线，
CD是的切线，
（2）连接，，
是的切线，， BC＝3，
是等边三角形，
，
是直径
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】对于（1），连接OC，根据切线的性质得到AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，根据全等三角形的性质得到∠ADO＝∠CDO，求得DO⊥AC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
对于（2），先根据平行线的性质得∠B＝∠EOA，进而说明AE＝EC，求得∠EOA＝∠EAD，再推出BC＝AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵DA、DC是半圆O的切线，
∴AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，
又OA＝OC，OD＝OD，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
即DO是∠ADC的平分线，
∴DO⊥AC，
又BC⊥AC，
∴OE∥BC；
（2）证明：由（1）知：OE∥BC，DO垂直平分AC，
∴∠B＝∠EOA，AE＝EC，
又DA⊥AO，
∴∠EOA＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠B.
∵AC＝2BC，
∴BC＝AE，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴AB＝AD．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证；
（2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证．
【详解】（1）证明：连接，
∵为直径，
∴.
在中，B为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为切线，
∴，
∴
∴.
即，
∴是的切线.
（2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）AD＝．
【分析】（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中和Rt△ACD中，分别利用勾股定理分别求出CD,AD的长即可 ．
【详解】
（1）证明：连接CE，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°．
∴∠BEC＝90°，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠FCE+∠OCE＝∠ACB＝90°，
∴∠FEC+∠OEC＝∠OEF＝90°，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OE，∠EAC＝60°，
∴△AOE是等边三角形．
∴∠AOE＝60°，
∴∠COD＝∠AOE＝60°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OC＝2
在Rt△OCD中，∵∠OCD＝90°，∠COD＝60°，
∴∠ODC＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝．
∴AD＝＝．
【点睛】本题主要考查直角三角形、全等三角形的判定与性质以及与圆有关的位置关系 ．
7．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）根据切线判定定理可得，先证四边形ODCE是矩形，再根据正方形的判定即可求证；
（2）设的半径为r，根据正方形的性质可得，从而得到，，再由切线长定理可得，，然后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵BC，AC分别切于点D，E，
∴，，
又∵，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵，
∴矩形ODCE是正方形．
（2）解：设的半径为r，
∵四边形ODCE是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
∵与各边相切于点D，E，F，
∴，，
又∵，
∴，解得
∴内切圆的半径是1．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
8．（1）r=3cm. (2) r=（a+b-c）．
【分析】首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得： CD=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．
【详解】（1）如图,连接OD，OF；
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
四边形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；
则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（12+9-15）=3cm．
（2）当AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得： CD=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（a+b-c）．则⊙O的半径r为：（a+b-c）．
【点睛】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键．
9．（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m.
【分析】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC，
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【详解】(1)AB+CD=AD+BC
证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，
所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，
即AB+CD=AD+BC
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，
AD+BC=2m，
梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【点睛】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .
10．见解析.
【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB.
【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形，
∴AD+BC=AB+CD=2AB，
∵梯形中位线为EF，
∴AD+BC=2EF，
∴EF=AB.
【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键.
11．(1)见解析
(2)AI=4
【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB；
（2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE，再利用勾股定理计算即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BIE=∠EBI，
∴EB=EI；
（2）解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，
∵∠BAE=∠CAE，
∴=，
∴BE=EC=4．
∵AE=AE，EM=EN，
∴△AEM≌△AEN，
∴AM=AN．
∵BE=EC，EM=EN，
△BME≌△CNE(HL)，
∴BM=CN．
设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，
∴AM=7．
又∵BE=4，由勾股定理得，EM==．
∴AE==8，
∵EI=BE=4，
∴AI=AE EI=4．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；
（2）连接，证出即可得证；
（3）连接，，，证出即可得证．
【详解】（1）证明：点I是的内心，
平分，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，
点I是的内心，
平分，平分，
，
又，
，
，，
，
．
（3）证明：如图，连接，，，
，
．
，
∴点D是的外心．
【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.
13．
【分析】设，根据切线长定理列出方程即可．
【详解】解：设，
根据切线长定理得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了切线长定理，三元一次方程组的应用，根据切线长定理列出方程组是解本题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)AE＝2
【分析】（1）连接OC．证∠D＝∠COB．由OD⊥AB，得∠COB＋∠COD＝90°．可证∠D＋∠COD＝90°．即∠DCO＝90°；
（2）由∠DCE＋∠ACO＝90°，∠AEO＋∠A＝90°和∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，可得∠DEC＝∠DCE ，即DE＝DC．
（3）先求得OC＝4，AB＝2OC＝8， OE＝OD－DE＝2，再证△AOE∽△ACB，得．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，
又∵∠D＝2∠A，
∴∠D＝∠COB．
又∵OD⊥AB，
∴∠COB+∠COD＝90°，
∴∠D+∠COD＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
又点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DCO＝90°，
∴∠DCE+∠ACO＝90°，
又∵OD⊥AB，
∴∠AEO+∠A＝90°，
又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC；
（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，
∴OC＝＝＝4，
∴OA＝OC＝4，
又DE＝DC＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：，
∴AE＝2．
【点睛】此题考查了切线判定，等腰三角形判定，相似三角形判定，勾股定理，解题的关键是根据所求分析出必要条件，根据相关判定和性质求出有关的角和边的长度．
15．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA＝∠BAP、∠OAC＝∠OCA．再运用等量代换说明∠OAB＝90°，即可证明结论；
（2）先由勾股定理可得OP=2, 设AB＝x，则OB＝x＋2．在Rt△AOB中运用勾股定理列方程解答即可．
【详解】解：（1）证明：∵BA＝BP，
∴∠BPA＝∠BAP．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵OP⊥OC，
∴∠COP＝90°．
∴∠OPC＋∠OCP＝90°．
∵∠APB＝∠OPC，
∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
∵OA为半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝，
∴OP＝2．
设AB＝x，则OB＝x＋2．
在Rt△AOB中，，
∴x＝3,即AB＝3．
【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键．
16．(1)见解析
(2)13
(3)
【分析】（1）连接，利用角平分线的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解得即可．
（2）连接 ，过点 作 与点 ，利用切割线定理，垂径定理和矩形的判定与性质解答即可；
（3）连接 ， ， ，过 作 与点H，利用（2）的结论，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图
平方
与点D
为的⊙O半径
是⊙O切线
（2）解：连接 ，过点O作于点F，如图，
则
由（1）知，是⊙O的切线
，
由（1）知，
四边形是矩形
（3）解：连接，，，过 作 与点H，如图，
由（2）知：⊙O的半径为13，
为的⊙O直径
为 中点
为等腰直角三角形
【点睛】本题考查角平分线性质，圆周角定理，勾股定理，切割线定理，圆的切线定理以及平行线的判定，熟练掌握这些定理和性质并且画对辅助线是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页