专题2.31正多边形与圆 分层练习（含解析）2023-2024学年九年级数学上册苏科版专项讲练

专题2.31 正多边形与圆（分层练习）
一、单选题
1．正八边形的中心角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
8．如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
9．如图，五边形是的内接正五边形，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点．则下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则的度数为（ ）

A．60° B．72° C．144° D．随着点的变化而变化
11．如图，在边长为2的正六边形纸片上剪一个正方形，若，则得到的正方形边长最大为( )

A． B． C． D．
12．如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
14．如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
15．如图，以正六边形的中心O为原点建立平面直角坐标系，过点A作于点，再过作于点，再过作点，依次进行……若正六边形的边长为1，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．一个正n边形的中心角为36°，则它的一个内角的度数为 ．
17．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正 边形．
18．如图摆放着正五边形和正，其中点在同一直线上，，则的度数是 ．

19．如图，五边形是的内接正五边形，则的度数为
20．如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是 ．
21．如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．

22．如图，点O是正六边形的中心，以为边构造正五边形，则 ．

23．已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，那么y关于x的函数解析式为 ．
24．如图，已知正六边形的边长是6，点P是上一动点，则的最小值是 ．

25．如图，正方形内接于圆O，E是弧上一点，若，则的大小为 ．

26．如图所示，在正五边形中，是的中点，点在线段上运动，连接，当的周长最小时，的度数为 ．

27．如图，延长正五边形各边，使得，若，则的度数为 ．

28．如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、．
（1）的度数为 ．
（2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ．
29．如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为 °．
30．如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．

三、解答题
31．如图，正六边形内接于，求的度数．
32．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
33．如图，点、、、都在上，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
34．完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
35．如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________．
36．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边，分别交于点，．设等边的面积为，通过证明可得，则．
(1)【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边，分别交于点，．若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
(2)【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积
(3)【猜想结论】如图4，为正边形……的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请用含、的式子表示正边形……的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据正多边形的中心角的公式，即可求解．
【详解】正多边形的中心角的公式：
正八边形的中心角的度数为
故选B．
【点睛】本题主要考查了正多边形的知识，牢记中心角的求法解题的关键．
2．C
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．
3．A
【分析】分别求出以点为中心的正五边形和正方形的中心角即可．
【详解】解：如图，连接，
点是正五边形和正方形的中心，
，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的前提．
4．C
【分析】连接，，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论．
【详解】解：连接，，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键．
5．A
【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长．
【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长”．
6．D
【分析】连接，根据圆的周长得到圆的半径，再利用正六边形的性质即可解答．
【详解】解：连接，作于点，
∵的周长等于，
∴的半径为：，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形中心角等于，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，正六边形的面积，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．
8．C
【分析】连接OB，OC，OA，根据圆内接正三角形，正方形可求出，的度数，进而可求的度数，利用，即可求得答案．
【详解】如图：连接OB，OC，OA，
为圆内接正三角形
四边形ACDF为圆内接正方形
若以BC为边的圆内接正边形，则有
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于（为正多边形的边数）是解题关键．
9．C
【分析】连接，，根据正五边形的性质得到，，，故B错误；求得，根据三角形的三边关系得到，故A错误；根据切线的性质得到，求得，故D错误；根据三角形的内角和定理得到，故C正确．
【详解】解：连接，，
五边形是的内接正五边形，
，，，故B错误；
，
，
，
，故A错误；
，
，
，
是的切线，
，
，故D错误；
，故C正确；
故选：C．

【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．B
【分析】求出正五边形每条边所对的圆心角的度数，再根据圆心角和圆周角的数量关系式即可求得．
【详解】连接、，
∵，
∴，
故选：B．

【点睛】此题考查了正多边形和圆，解题的关键是熟悉正多边形和圆的性质．
11．D
【分析】当正方形顶点落在正六边形边上时，正方形面积最大，由此画出图形求解即可．
【详解】解析：当正方形顶点落在正六边形边上时，正方形面积最大．
如图，取正六边形的中心O，连接，交于点M，

此时，垂直平分，正方形的中心也是O，是等边三角形，
∴，，．
设，则，
∴，解得，
∴，
∴正方形的边长为：，
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的三边关系，正六边形的性质等知识，根据题意画出符合条件的正方形是解题的关键．
12．B
【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，
∴，
∴这个正多边形的边数为=10．
故选：B．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
13．D
【分析】连接，先根据圆内接正多边形的性质可得点在上，且是和的角平分线，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据正多边形的性质即可得．
【详解】解：如图，连接，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．
14．A
【分析】根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解．
【详解】解： ∵、切于点A、C，
∴，，
∴正五边形的每个内角的度数为： ，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
15．B
【分析】根据正六边形的性质可得到，，从而得到是等边三角形，进而得到，再由于点，可得，，，，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：在正六边形中，
，，
∴是等边三角形，
∴，
∵于点，
∴，，
同理，
∴，
，
……
由此发现：，
∴，
∵，
∴点位于第二象限，
∴点的横坐标为，
故选：B.
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质以及图形的规律探究，熟练掌握正六边形的性质，找出规律是解题的关键．
16．
【分析】根据正多边形的中心角和为360°，先求出正多边形的边数，再用内角和除以边数即可．
【详解】解：∵n＝＝10，
∴它的一个内角的度数为：，
故答案为：144°
【点睛】此题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．
17．六
【分析】根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形．
【详解】解：如图，连接OB，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴这个多边形是正六边形．
故答案为：六．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出．
18．144°
【分析】利用平行线的性质求出，可得结论．
【详解】解：在正五边形中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．##度
【分析】根据圆内接正五边形的中心角的含义可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵五边形是的内接正五边形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握圆内接正五边形的中心角的计算方法是解题的关键．
20．6
【分析】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，
∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，
∵的周长为，
∴的半径为，
正六边形的边长是6；
【点睛】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．
21．15
【分析】连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∴，
∴这个正多边形的边数为，
故答案为：15．

【点睛】本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
22．##48度
【分析】连接，根据正六边形的性质得出是等边三角形，得到，再根据正五边形的内角和求出的度数，即可得到答案．
【详解】解：连接,

∵点O是正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．
23．y＝12x
【分析】由正多边形的中心角的度数，根据圆心角定理求出正多边形的边数，即可得出结果．
【详解】解：∵正多边形的中心角为30度，
∴正多边形为正十二边形，
设边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，则y关于x的函数解析式为：y＝12x；
故答案为y＝12x．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆心角定理、函数关系式等知识，熟练掌握由正多边形的中心角求正多边形的边数是关键．
24．12
【分析】易知点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可．
【详解】解：利用正多边形的性质可得点B关于的对称点为点F，连接交于点P，
那么有，此时最小．

∵六边形是正六边形，对角线交于P，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，轴对称的性质，掌握正六边形的性质以及轴对称路线最短问题的解题方法是正确解答的关键．
25．##60度
【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后利用正方形的性质得到，然后利用圆周角定理和直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接正方形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
26．
【分析】根据对称的定义得出当点在同一条直线上时，的周长最小，由正五边形的性质可得，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质和三角形外角的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，当点在同一条直线上时，的周长最小，
，
五边形是正五边形，
，，
，
是的中点，
是正五边形的一条对称轴，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、对称的性质，熟练掌握正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、对称的性质，是解题的关键．
27．##36度
【分析】根据正五边形的性质以及全等三角形的判定和性质，可求出正五边形的每个内角度数，再根据等腰三角形的性质得出是等腰三角形，并求出各个内角度数，由全等三角形的性质可求出答案．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴ ，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，即五边形是正五边形，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，掌握正五边形的性质，三角形内角和定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
28． 120° 12
【分析】（1）连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；
（2）连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得．
【详解】（1）连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正多边形与圆相关知识点，理解并熟练运用基本性质和结论是解题关键．
29．78
【分析】连接AO、FO、、．由正六边形的性质可知，，，，，从而可求出，，，进而可求出．再由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，即得出．
【详解】如图，连接AO、FO、、．
由正六边形的性质可知，，，，
∴为等边三角形，，
∴．
由正五边形的性质可知，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：78．
【点睛】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．正确的作出辅助线是解题关键．
30．6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
31．
【分析】由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案.
【详解】解： 正六边形内接于，
是直径，
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键.
32．2cm
【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
【点睛】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．
33．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数:
（2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．
【详解】（1）∵点、、、都在上，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为
（2）连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．
34．填表见解析．
【分析】首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可．
【详解】解：如图（1）所示：中心角，内角∠A=60°
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴周长为：，面积为；
如图（2）所示：中心角， 内角∠A=90°
由题意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形，
∵边心距为1
∴，
∴边长为2，半径为 ，
∴周长为8，面积为4；
如图（3）所示：内角为120°，中心角，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOM=30°，AM=BM，
∴AO=2AM
∵边心距为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴半径为2，边长为2，
∴周长为12，面积，
故答案为：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
35．(1)见解析
(2)18
【分析】（1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可；
（2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
即，
又是半径，
是的切线；
（2）解：连接，

，
以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
，
以为边的圆内接正六边形的周长为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提．
36．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过证明可得，则．
（2）通过证明可得，则．
（3）通过证明可得，则
【详解】（1）解：如图2，
∵为正方形的中心角，
∴，，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）如图3，
∵为正六边形的中心角，
∴，，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵四边形面积为，
∴正六边形的面积为．
（3）如图4，
∵为正多边形的中心角，
∴，，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正多边形的边分别交于点
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵四边形面积为，
∴正多边形的面积为．
【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
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