专题17.5 勾股定理全章七类必考压轴题
【人教版】
1．（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．
【答案】
【分析】如图，作出辅助线，每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，找出等量关系，列二元一次方程组解出a、b，再由勾股定理算出原图中的小正方形边长．
【详解】解：如图，作辅助线，发现每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，由题意，得
，
解得：，
小正方形的边长为：a2 + b2，
故答案为：．
【点睛】此题考查了用勾股定理构造图形解决问题，解题的关键是作出辅助线，找到等量关系求解．
2．（2022秋·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点都是格点，且四边形为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形的边长为，此时正方形的面积为．问：当格点弦图中的正方形的边长为时，正方形的面积的所有可能值是________(不包括)．
【答案】或
【分析】设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a，b．利用分类讨论的思想，在格点上找出各点位置，即找出边的位置，即可求出面积．
【详解】设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a，b．则正方形EFGH的边长为a+b，
即 ．
∴在网格中找出a和b的线段，且线段的端点都在格点上即可．
分情况讨论：
① ，如图，
此时．
② ，如图，
此时．
③，如图，
此时．
题干中不包括52，
故的值为36或50．
故答案为：36或50．
【点睛】本题考查勾股定理．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
3．（2022秋·山东东营·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ____.
【答案】
【分析】由图可知每个小正方形的边长为1，面积为1，得出拼成的小正方形的面积为5，进一步开方得出拼成的正方形的边长为.
【详解】分割图形如下：
故这个正方形的边长是.
故答案为.
【点睛】本题考查图形的剪拼和勾股定理，熟知勾股定理，能够构造出直角三角形是解题的关键．
4．（2022春·全国·八年级统考期末）图中的虚线网格是等边三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的等边三角形.
(1)边长为1的等边三角形的高=____;
(2)图①中的 ABCD的对角线AC的长=____;
(3)图②中的四边形EFGH的面积=____.
【答案】 8
【详解】分析：(1)利用等边三角形的性质和勾股定理求出高；
(2)要求AC的长，构造直角三角形，应用勾股定理求出．
(3)要求四边形EFGH的面积，先将其分割，然后求每部分的面积，再相加和即可．
详解：(1)边长为1的等边三角形的高==.
(2)过点A作AK⊥BC于K(如图①),
由图①知, ABCD的面积等于24个小等边三角形的面积和,由(1)知每个小等边三角形的面积为×1×=,∴S ABCD=24×=6.又S ABCD=BC·AK,BC=4,∴AK=6÷4=,又在Rt△ABK中,AB=3,∴BK==,∴KC=,
∴AC==.
(3)如图②所示,将四边形EFGH分割成五部分,以FG为对角线构造 FPGM,
∵ FPGM含有6个小等边三角形,
∴S△FGM=3S小等边三角形,
同理可得S△DGH=4S小等边三角形,S△EFC=9S小等边三角形,S△EDH=8S小等边三角形,又S四边形CMGD=8S小等边三角形,
由(2)知小等边三角形的面积为,
∴S四边形EFGH=(3+4+9+8+8)×=8.
点睛：此题主要考查了等边三角形的性质的应用和勾股定理，平行四边形的面积和三角形的面积，利用等腰三角形的“三线合一”的性质和分割图形是解题关键.
5．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a，2a，a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
【答案】（1）；（2）画图见解析，；（3）构图见解析，5mn
【分析】（1）利用割补法求解可得；
（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为、、的首尾相接的三条线段，再利用割补法求解可得；
（3）在网格中构建边长为和的矩形，同理作出边长为、，的三角形，最后同理可得这个三角形的面积．
【详解】解：（1）的面积为，
故答案为：；
（2）如图，，，，
由图可得：；
故答案为：；
（3）构造所示，，
，
，
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
6．（2022秋·全国·八年级期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．
（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（一种情况即可）；
（2）直接写出图2中△FGH的面积是 ；
（3）在图3中画一个格点正方形，使其面积等于17．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）见解析.
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（2）利用△FGH所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案；
（3）利用勾股定理作出，结合正方形的性质得出答案.
【详解】解：（1）如图1所示，四边形ABCD即为所求；
（2）如图2所示：
△FGH的面积=矩形ABHC的面积-△AFG的面积-△BGH的面积-△FCH的面积
=9.
（3）如图3所示：四边形ABCD即为所求；
【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换和勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．
7．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积．
【答案】见解析；； ；
【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可
【详解】解：钝角三角形时，如图，
∵BC⊥BD，BC=5，
∴△ABC是钝角三角形，
根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,
∴；
直角三角形时，如图，
取格点F使得BF=4，FC=3，
根据勾股定理，得BC==5，
∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB≌△BFC，
∴∠EAB=∠FBC，
∵∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠FBC+∠EBA=90°，
∴∠ABC =90°，
∴△ABC是直角三角形，
根据勾股定理，得AB==5，
∴ ；
锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，
根据勾股定理，得BC==5，
根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°，
∴∠ABC＜∠ABN，
∴∠ABC＜90°
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠C＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，
∴=12；
【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，点在线段上，现将沿着翻折后得到，交于点，且，若，则的面积为__________．
【答案】
【分析】根据翻折的性质得到，由且，依据平行线的性质及ASA，可得≌，通过等量代换得到，从而得到设为，依据等量代换得到，依据三角形外角的性质、翻折的性质、三角形内角和定理得到，连接与的中点,依据三线合一求出两个有公共直角边的直角三角形，依据勾股定理列出关于的方程，解出可求得的底和高，再运用三角形面积公式即可.
【详解】解：设,
∵,
∴,
∵将沿着翻折后得到，
∴，，，
∵，
∴，，
又∵，
∴≌（ASA），
∴，，
又∵，
∴，
∴,
∴，
∵,
∴,
又∵，，，
∴，
又∵,,
∴,
∴，
如下图，连接与的中点,则,,
∴,
∴,即（），
解得，
∴，，
∴,
故答案为：.
【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的等边对等角的性质、三线合一的性质、三角形等角对等边的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理，解题的关键是发现D是AC的中点，三角形BCD、三角形BCE是等腰三角形，依据勾股定理列出关于的方程.
2．（2022秋·浙江·八年级期末）中，，，，折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，当点由向连续移动过程中，点经过的路径长记为，则________，________．
【答案】
【分析】过B作BM⊥AC，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质求出BM，再利用勾股定理求出BC的长度，分三段分别求出点E的运动路径长度，再相加即可．
【详解】解：过B作BM⊥AC，垂足为M，如图1，
∵∠A=45°，AB=，
∴BM=AM=，
∵，
∴，
∴；
①∵由折叠可知：EF垂直平分CD，
当D与B重合时，此时最小，
如图2，作E1G⊥AB，垂足为G，连接E1B，
设，
，
，，
垂直平分 CB，
，
∴在 中，，
即，
解得：（负值舍去），
∴；
②，
∴当AE最大时，EC最短，
∴ED最短，
∴当ED⊥AB时，ED为垂线段，取最小值，
∴如图3，作，垂足为，
设，则，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴E从最近到最远走了；
③当D从点继续向A移动，ED增加，
∴AE减小，
∴当D与A重合时，如图4，
此时，
∴，
∴E从到运动了，
∴点E从运动到，再运动到，
路径长为，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了折叠问题，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，根据点D运动的情况分别得出点E相应的运动情况，逐步求解．
3．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，，，，点E为AB的中点，D为BC边上的一动点，把△ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当△AEF为直角三角形时，CD的长为__________．
【答案】2或
【分析】本题以三角形为基础，考查内容包含中点的用法，可立刻推边等；动点图形翻折问题，可得到角等以及边等，解答本题需以题目要求直角三角形为前提，采取分类讨论方法，通过构造辅助线、假设未知数并结合勾股定理求解．
【详解】（1）当∠AFE=90°时
作EM⊥BC垂足为M.，作AN⊥ME于N，如下图所示：
∵∠C=∠EMB=90°
∴EM∥AC
∴∠C=∠CMN=∠N=90°
∴四边形ACMN是矩形
∵AC=CM=2
∴四边形ACMN是正方形
在RT△ABC中，∵AC=2,BC=4
∴AB= ，AE=
在RT△AFE中，∵AE= ，AF=AC=2
∴FE=1
设CD=FD=x，在RT△EDM中，∵DE=1+x，EM=1，DM=2-x
∴
∴CD=
（2）当∠AFE=90°时，如下图所示
∵∠AFD=90°
∴F,E,D三点共线
在RT△AFE中，∵AE= ，AF=AC=2
∴EF=1
又∵DE=1
∴EF=ED
又∵EA=EB，∠AEF=∠BED
所以△AFE△BDE(SAS)
∴∠BDE=∠AFE=90°
故四边形AFCD是矩形
又∵AF=AC
所以四边形AFCD是正方形
∴CD=AC=2
【点睛】本题主要考查动点翻折问题，需要着重注意分类讨论，思考要全面，求解过程尝试利用割补法将图形补成常见模型以便求解．
4．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在中，，点D为的中点，点E在边上，将沿着翻折，使点C落在点F处，当时，________．
【答案】或
【分析】分点在上方和下方，分别画图图形，求出 ，根据直角三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：①如图：
∵在中：,
∴,
∴．
∵点D为的中点,
∴．
∵,
∴．
∴，
∴，
∴．
由折叠可知：
∵在中：,
∴
∴．
∵在中：,
∴
∴．
∴．
②如图所示，
∵将沿着翻折，，
∴，
∴，
∴
∵折叠，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：或．
【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，实数的运算，掌握以上知识点是解题的关键．
5．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为________．
【答案】##2.25
【分析】连接，勾股定理求得，进而证明，设，根据,以及三边关系建立方程组，解方程组求解即可．
【详解】解：如图，连接，
折叠
，，
四边形是长方形，，，
,，
设
则
是的中点，
在中，
在中，
即
解得
,
又∵
设
在中
即①
又
②
由①可得③
将②代入③得④
②-④得
解得
即
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，因式分解，三角形全等的性质与判定，解二元一次方程组，掌握折叠的性质是解题的关键．
6．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）在中，，，垂直直线于点P．
(1)当时，求的长；
(2)当时，
①求的长；
②将沿直线翻折后得到，连接，请直接写出的周长为___________．
【答案】(1)20
(2)①25或5；②或
【分析】（1）根据双勾股列方程即可求出，进而求得的长；
（2）分情况讨论当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，分别求出的长和的周长．
【详解】（1）如图：
∵
∴，，
设，则
∴，
解得：
∴
（2）①当是锐角三角形时，
当时，
；
；
∴
当是钝角三角形时，如图：
∵，
∴，
∴
综上所述：或5
②当是锐角三角形时，由①知，，，，如图，与交于 过点作，
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵
∴，
解得：，
∴
∴的周长为：
当是钝角三角形时，如图，
同理可得：，，，
设，则，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴
∴的周长为：
综上所述：的周长为或．
【点睛】本题考查等积法求高，双勾股定理的求直角三角形边长，解题的关键是在做题时注意分类讨论．
1．（2022春·浙江·八年级期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在中，．如图所示作矩形，延长交于点G．若正方形的面积等于矩形面积的3倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，利用勾股定理得到，再说明△BMG∽△CBA，得到，根据，结合可得，整理得：，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：设，
在中，
由勾股定理可得：,即，
∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形ABML是正方形，四边形是矩形，
∴,∠MGB＝∠ABM＝BAC＝90°，
∵∠BMG＋∠MBG＝∠MBG＋∠ABC＝∠ABC＋∠ACB，
∴∠BMG＝∠ABC，∠MBG＝∠ACB，
∴△BMG∽△CBA，
∴，即
∴，
∵四边形是矩形，四边形BCDE是正方形，
∴BC＝BE＝c，
∴，
∵
又
∴
∴两边同除以可得：
整理得：，
解得：
∵a＜b
∴
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质，正方形和矩形的面积公式等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
2．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．121 B．110 C．100 D．90
【答案】B
【分析】延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形．
，
，
又直角中，，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
所以，矩形是正方形，
边长，
所以，，，
因此，矩形的面积为，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
3．（2022秋·全国·八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得，然后计算，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，
∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，
∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，
∴∠BAI=∠DAC，
∴△ABI≌△ADC（SAS），
∴∠AIB=∠ACD，
∵∠CNI=∠CAI=90°，
∴BI⊥CD，
故①正确；
∵S△ACD=S△AIB=×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，
∴S1：S△ACD=2：1，
故②正确；
∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3+S4，
∴S1-S4=S3-S2，
故③正确；
S1-S4=S3-S2，
，
∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK KJ= AK AB，S4=BK KJ=BK AB，
，，
∵AB2=AC2+ BC2，，
，
即，
，
∴S1 S4=S2 S3，
故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的条件，勾股定理的运用，完全平方公式的变形．
4．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为__．
【答案】2
【分析】分别设A，B，C，D四个小正方形的边长为a，b，c，d，根据题图可得出相应等式．
【详解】分别设A，B，C，D四个小正方形的边长为a，b，c，d，根据题意得：
题目中需要求的值，则由①式得，则最大正方形的边长为
【点睛】本题关键是学会设未知数解题，同时利用数形结合的思想解题．
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3)
【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答；
（2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；
（3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）①证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简得．
②在图1中：，，
图2中大正方形的面积为：，
∵，，
∴，，
∴，
∴图2中大正方形的面积为29．
（2）根据题意得：，
如图4：
即有：，，，
∴；
如图5：
，，，
∵，
∴；
如图6：
下面推导正三角形的面积公式：
正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图，
在正中，有，，
∵，
∴，，
∴在中，有，
∴正的面积为：，
∴，，
∵
∴；
∴三个图形中面积关系满足的有3个
故答案为：3；
（3）关系：，理由如下：
以a为直径的半圆面积为：，
以b为直径的半圆面积为：，
以c为直径的半圆面积为：，
三角形的面积为：，
∴，
即：，
结合（1）的结论：
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
1．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
（1）请利用这个图形证明勾股定理；
（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；
（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）详见解析；（2）当且仅当a＝b时，等号成立；（3）当且仅当x＝y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．
【分析】1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）利用非负数的性质证明即可．
（3）利用（2）中的结论求得当x，y取何值时，该矩形面积最大以及其最大面积．
【详解】解：（1）因为边长为c的正方形面积为c2，
它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为（a– b）的小正方形组成的，
它的面积为4×ab＋(a– b)2＝a2＋b2，
所以c2＝a2＋b2．
（2）∵(a– b)2≥0，
∴a2＋b2–2ab≥0，∴a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
（3）依题意得2(x＋y)＝8，∴x＋y＝4，长方形的面积为xy，
由（2）的结论知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2–2xy，
∴4xy≤(x＋y)2，∴xy≤4，
当且仅当x＝y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．
【点睛】本题考查了四边形综合题．需要学生掌握勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
2．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理.
证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4×ab＋(b－a)2，
∴4×ab＋(b－a)2＝c2.
∴______________
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.
(3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）通过化简即可证得；（2）根据四个全等的直角三角形的面积＋阴影部分小正方形的面积＝大正方形的面积，代入数值，即可证明；（3）作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论．
【详解】解答：证明：（1）∵大正方形面积表示为S＝，又可表示为S＝4×，
∴4×=．
∴，
∴，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
故答案为；
（2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4＋＝（a＋b）×（a＋b），
整理得，，
即 ；
（3）如图，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边形ABDF是矩形，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB＋∠ECD，
∵∠ACB＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，
S矩形ABDF＝b（a＋b）＝2× ，
∴．
【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
3．（2022·山东潍坊·八年级统考期中）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．
拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论 ．
拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是 ．
【答案】证明勾股定理：见解析；拓展应用l：FM+EN＝BC；拓展应用2：正方形的面积为5.
【分析】用a、b、c表示三角形与梯形的面积，再根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积和便可得结论；
拓展1．过点A作AP⊥BC于点P，再证明三角形全等便可得结论；
拓展2．过点D作PQ⊥m，分别交m于点P，交n于点Q，然后证明三角形全等，转化线段，再用勾股定理解答.
【详解】如图：
∵点C、点B、点B′三点共线，∠C＝∠C′＝90°，
∴四边形ACC′B′是直角梯形，
∵△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，
∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，
∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，
∴∠CBA+∠C′BB’＝90°
∴△ABB′是等腰直角三角形，
所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′） CC′÷2＝，
S△ACB＝，S△BC′B′＝ab，S△ABB′＝c2，
所以，
a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
拓展1．过A作AP⊥BC于点P，如图2，
则∠BMF＝∠APB＝90°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BFM+∠MBF＝∠MBF+∠ABP，
∴∠BFM＝∠ABP，
在△BMF和△ABP中，
，
∴△BMF≌△ABP（AAS），
∴FM＝BP，
同理，EN＝CP，
∴FM+EN＝BP+CP，
即FM+EN＝BC，
故答案为FM+EN＝BC；
拓展2．过点D作PQ⊥m，分别交m于点P，交n于点Q，如图3，
则∠APD＝∠ADC＝∠CQD＝90°，
∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠CDQ＝90°，
∴∠DAP＝∠CDQ，
在△APD和△DQC中，
，
∴△APD≌△DQC（AAS），
∴AP＝DQ＝2，
∵PD＝1，
∴AD2＝22+12＝5，
∴正方形的面积为 5，
故答案为5．
【点睛】本题是勾股定理的探究与应用，主要考查了勾股定理的性质及应用，正方形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，关键是构造全等三角形和直角三角形．
4．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：
把两个全等的直角三角形（）如图1放置，，点E在边AC上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
（1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米．
（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．
（4）借助上面的思考过程，当时，求代数式的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）41千米；（3）见解析，千米；（4）最小值为
【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出；
（2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=25-16=9千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
（3）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC=PD建立方程，解方程即可．
（4）根据轴对称-最短路线的求法作图，然后根据勾股定理即可求出．
【详解】（1），，，
他们满足的关系式为：，化简得
证毕；
（2）如图2①，连接CD，作于点E，
∵，，
∴，，
∴千米，
∴（千米），
∴两个村庄相距41千米．
故答案为：41千米．
（3）如图2②所示：
设千米，则千米，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即千米．
故答案为千米；
（4）
先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作于E，即：DF就是代数式最小值．
代数式的几何意义是线段AB上一点到D，C的距离之和，而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小值，
令，
则原式
最小值为
故答案为．
【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3)
【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答；
（2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；
（3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）①证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简得．
②在图1中：，，
图2中大正方形的面积为：，
∵，，
∴，，
∴，
∴图2中大正方形的面积为29．
（2）根据题意得：，
如图4：
即有：，，，
∴；
如图5：
，，，
∵，
∴；
如图6：
下面推导正三角形的面积公式：
正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图，
在正中，有，，
∵，
∴，，
∴在中，有，
∴正的面积为：，
∴，，
∵
∴；
∴三个图形中面积关系满足的有3个
故答案为：3；
（3）关系：，理由如下：
以a为直径的半圆面积为：，
以b为直径的半圆面积为：，
以c为直径的半圆面积为：，
三角形的面积为：，
∴，
即：，
结合（1）的结论：
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
1．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，一长方体木块长，宽，高 ， 一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点位置最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析．
【详解】解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线．
①如图1，
∵，， ，
∴在中，，，
∴；
②如图2，
∵，， ，
∴，
∴，
∴．
②如图3，
∵，， ，
∴，，
∴．
∵，
∴蚂蚁所行路程的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用．
2．（2022秋·江苏·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
【答案】16
【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．
【详解】
如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴，，，，
此时最小，
∵点是中点，
∴cm，
∴cm，cm，
在中，cm，
∴cm，
故答案为：16．
【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．
3．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点在棱上，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是______．
【答案】
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
∴A ；
把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
；
把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
4．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为___________cm．
【答案】15
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： ；
又∵圆柱高为，
∴小长方形的一条边长是；
根据勾股定理求得；
∴；
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）在一个长米，宽为4米的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是___________．
【答案】
【分析】根据几何体的展开图，利用两点之间线段最短计算．
【详解】解：因为木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，
所以等腰直角三角形的腰为2，斜边长为，
将木块展开如下，
所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何体的展开图中计算最短距离，熟练掌握几何展开图是解题的关键．
6．（2022秋·江苏·八年级期末）如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．
(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm．
①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为 cm；
②当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①；②（cm）．
【分析】（1）根据题意画出图形，利用勾股定理求出AG即可；
（2）①画出平面图形，过点O作OK⊥BG于K，根据等腰三角形的性质可得KG＝KF＝cm，然后利用勾股定理求出OK和BO即可；
②画出平面图形，过点O作OM⊥BC于M，则OM⊥FG，垂足为N，利用勾股定理求出ON，可得OM＝4＋4＝8cm，根据BP＝a cm可得PM＝cm或P′M＝cm，分别求出OP和OP′可得答案．
【详解】（1）解：最短路径为AG，如图，
∵AB＝8cm，BF＝4cm，FG＝BC＝6cm，
∴BG＝10cm，
∴其最短路径AG＝cm；
（2）①平面图如图，过点O作OK⊥BG于K，
∵OE＝OF＝OG＝OH＝5cm，
∴KG＝KF＝cm，
∴OK＝cm，BK＝BF＋FK＝7cm，
∴点B爬行到点O的最短路径BO＝cm，
故答案为：；
②平面图如图，过点O作OM⊥BC于M，则OM⊥FG，垂足为N，
∵OE＝OF＝OG＝OH＝5cm，FG＝BC＝6cm，
∴FN＝GN＝cm，且BM＝CM＝3cm，
∴ON＝cm，
∵FG∥BC，BF＝4cm，NM⊥BC，
由平行线间的距离处处相等可得NM＝4cm，
∴OM＝4＋4＝8cm，
∵BP＝a cm，
∴PM＝cm或P′M＝cm，
∴OP＝（cm），
OP′＝（cm），
∴蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长为（cm）．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能够根据题意画出平面图形是解答本题的关键．
1．（2022春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是________．
【答案】##米
【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，过D点作，垂足为E，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴
∴（负值舍去），
∴小鸟飞行的最短路程为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确画出图形作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期中）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．
【详解】解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB CH＝AC BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
3．（2022秋·重庆·八年级校联考期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
【答案】（1）学校受到噪音影响，理由见解析；（2）32秒
【分析】（1）过点A作于B，根据在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半，得到，由于这个距离小于100m，所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作交MN于C、D，再根据勾股定理计算出，则，根据速度公式计算出拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间．
【详解】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作于B，如图，
，，
，
而，
消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作交MN于C、D，如图，
，
在中，，，
，
同理，
，
拖拉机的速度，
拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间为：（秒），
学校受影响的时间为32秒．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、含30度的直角三角形三边的关系以及路程与速度之间的关系，恰当的作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．
4．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第八十五中学校考期中）【问题探究】
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；
【问题解决】
(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）AM=(480 )km．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE；
（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案．
【详解】解：(1)如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求。
理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点，
∴∠BAD=30 ，
∵EF⊥AB，
∴EF=AE；
(2)如图②,作CN⊥AB,垂足为点N,交AD于点M,此时AM+MC最小，最小为CN的长。
∵△ABC是边长为2的正△ABC，
∴CN=BCsin60 =2×=
∴MN+CM=12AM+MC=
即AM+MC的最小值为
(3)如图③,作BD⊥AC,垂足为点D,在AC异于点B的一侧作∠CAN=30
作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求。
在Rt△ABD中,AD=(km)
在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30 ,得MD=BDtan30 =(km)，
所以AM=(480 )km．
【点睛】此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键．
5．（2022春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．
（1）求的度数；
（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？
【答案】（1）135°；（2）被监控到的道路长度为米.
【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案；
（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，∠CAB=45°，
∵，
在△ACD中，有
，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴；
（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：
由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF，
由（1）知，∠BAD=135°，
∴∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，
在Rt△ADE中，有，
解得：，
∴；
∴被监控到的道路长度为米.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用轴对称的性质和勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算.
6．（2022秋·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B 处，在沿海城市 A 的正南方向 240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以 20 千米/时的速度沿 BC 方向移动．已知 AD⊥BC 且AD= AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过 4 级，则称受台风影响．试问：
（1）A 城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【答案】（1）该城市会受到这次台风的影响．
（2）台风影响该市的持续时间16小时
（3）该城市受到这次台风最大风力为7.2级．
【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．
（2）以A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆与BC有两个交点E、F，E即开始影响，F是结束影响，求出EF长度再除以台风速度即为影响持续时间．
（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．
【详解】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=240，
∴AD=AB =120，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12-4）=200．
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE=AF=200，ED=FD．
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DF=2=320．
∴台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把实际问题转换成我们熟悉的几何图形是解题的关键．
1．（1）如图1，在中，，，为边上的中线．求中线的取值范围；（提示：延长到点，使，连接）
（2）如图2，在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）如图3，四边形中，，，为中点，、分别边、上，且，若，，求长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）延长到点，使，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系，求出的取值范围，进而求出的取值范围；
（2）延长至，使，连接，，推出，证明，得到，推出，利用勾股定理，即可得证；
（3）延长至，使，连接，，得到，推出，延长，过作于，得到为含角的直角三角形，求出，的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得解．
【详解】解：（1）如图1，延长到点，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
（2）证明：如图2，延长至，使，连接，，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
由（1）同理得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，延长至，使，连接，，
同理得：，
∴，，
∵，，
∴，
延长，过作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理．熟练掌握倍长中线法，证明三角形全等，是解题的关键．
2．如图，已知和中，，，，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接，，求证．
【分析】（1）根据证明即可．
（2）设交于点，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）连接，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】（1）证明：，
，即：，
，，
．
（2）解：设交于点．
，
，
，，
，
，
．
（3）证明：连接．
，
，，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．已知△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，点D在线段BC上，∠DAE＝∠BAC=90°，连接CE，请写出：①BD和CE之间的位置和数量关系为 、 ；
②BD、CD和AE之间的数量关系为 ．
（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，AC＝，求线段BE的长；
（3）如图3，点D是等边△ABC外一点，∠ADC＝75°，若CD＝3，AD=，则BD的长为 ，请简要写出解答过程．
【分析】（1）①利用全等三角形的判定定理证明≌，再由全等三角形的性质得到BD=CE，∠B=∠ACE，从而得到结论；②结合①的结论及勾股定理得到，，再等量代换即可得到结论；
（2）连接BD，利用全等三角形的判定与性质定理证得BD=CE，∠ADB=∠AEC，再证明是等边三角形求得∠BDE=90°，结合已知条件及勾股定理求出CE长，再由勾股定理计算BE长即可；
（3）以AD为边作等边△ADM，过点M作MN⊥CD交CD的延长线于点N，利用全等三角形的判定与性质定理证得BD=CM，再说明△DMN为等腰直角三角形，最后利用勾股定理进行计算求解即可．
【详解】解：（1）①∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC，即∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴≌，
∴BD=CE，∠B=∠ACE，
又∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACE +∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE；
②由①知∠BCE=90°，BD=CE，
∴在中，，
又∵在中，，
∴，
∴；
故答案为：①BD⊥CE，BD=CE；②；
（2）如图，连接BD，
∵∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴≌，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴是等边三角形，
∴AE=DE，∠DEA=∠ADE=60°，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠ADB=∠DEA=30°，
∴∠BDE=90°，
∵AE=4，AC=，
∴在中，，，
在中，，
∴，
∴在中，；
（3）如图，以AD为边作等边△ADM，过点M作MN⊥CD交CD的延长线于点N，则AD=AM=DM=，∠DAM=∠ADM=60°，
∵等边△ABC，
∴∠BAC=∠DAM=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAM+∠CAD，即∠BAD=∠CAM，
又∵AB=AC，AD=AM，
∴≌，
∴BD=CM，
∵∠ADC＝75°，
∴∠MDN=180°－∠ADC－∠ADM=180°－75°－60°=45°，
∴∠DMN=∠MDN=45°，
∴MN=DN，即△DMN为等腰直角三角形，
∴，
∴MN=DN=1，
∴CN=DN+CD=1+3=4，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理论证是解题的关键．
4．如图1，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．
（1）证明；
（2）猜想之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点F是的中点，求的长．
【分析】（1）由三角形内角和定理和平角的性质可求解；
（2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
（3）由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】解：（1）证明：和都是等腰直角三角形，，，
，，，
∴∠ECA=∠DCB，
，，
；
（2），
理由如下：
连接，
在和中，
，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（3）如图2，过点作于，
，，，，
，
，
点是的中点，
，
都是等腰直角三角形，，，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
5．如图①，在等腰中，，，CD平分交AB于点D．点P为线段CD上一点（不与端点C．D重合）．、PB与BC的延长线交于点E，与AC交于点F，连接AE、AP、BP．
（1）求证：．
（2）求的度数．
（3）探究线段BC．PD之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）（或），证明见解析
【分析】（1）根据“三线合一”说明CD是AB的中垂线即可得出结论；
（2）证明三角形APE是等腰直角三角形即可；
（3）将DC进行延长，过E作垂线交DC，结合（2）可利用“三垂直”模型证明全等，进而结合等腰直角三角形的性质及勾股定理进行证明即可．
【详解】（1）∵，，CD平分，
∴，，
，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，∴．
又∵，∴是等腰直角三角形，
∴．
（3）（或）
如图，过点B作的延长线于点H，
∵，∴，
∵，
∴，，
∴．
又∵，，
∴，∴，
∵，，
∴，∴．
在中，，
∴（或）．
【点睛】本题考查了等腰直角三角的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握基本辅助线的添加，灵活推理是解题关键．
6．如图，在中，∠A=90°，是的中点，过点的直线、交直线、于点、，且，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，，，请直接写出线段的长度．（不必写过程）
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）如图1中，延长ED到H，使得ED=DH，连接FH，CH．想办法证明EF=FH，CH=BE，∠FCH=90°即可解决问题；
（2）如图2中，延长ED到H，使得ED=DH，连接FH，CH．作DK⊥AC于K，设AC交DH于点O．想办法求出CH的长，利用（1）中结论即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长ED到H，使得ED=DH，连接FH，CH．
∵BD=DC，DE=DH，∠BDE=∠CDH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE=CH，∠B=∠DCH，
∵∠A=90°，
∴∠ACB+∠B=∠ACB+∠DCH=90°，
∴∠FCH=90°，
∴FH2=FC2+CH2=FC2+BE2，
∵FD⊥EH，DE=DH，
∴EF=FH，
∴EF2=BE2+CF2；
（2）如图2中，延长ED到H，使得ED=DH，连接FH，CH．作DK⊥AC于K，
设AC交DH于点O．
同（1）的方法易证△BDE≌△CDH（SAS），∠FCH=90°，DK∥CH，
∴BE=CH，可得EF2=BE2+CF2，
∵∠A=90°，AB=6，∠ACB=30°，
∴BC=12
∴AC= ，
∵AF=，
∴CF=5
∵BD=DC，DK∥AB，
∴AK=KC=3，FK=2，DK=AB=3，
∴DF=，
∵OD⊥DF，DK⊥OF，
∴，，
∴OK=，
∴OC==，
∴OC= OK，
∵DK∥CH，
∴∠ODK=∠OHC，∠OKD=∠OCH，
∴△OHC≌△ODK，
∴CH= DK =3，
∴EF=．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长．
【分析】（1）根据题中给出的垂美四边形的定义，得知对角线互相垂直，在直角三角形里利用勾股定理解答即可；
（2）根据垂美四边形的性质、勾股定理结合（1）的结论计算即可．
【详解】（1）解：结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．（或：．）
证明：设与相交于点E．
，
，
由勾股定理得，，
，
．
（2）连接，相交于点N，交于点M．
，
，即，
又，，
≌，
，又，
，即，
四边形是垂美四边形，
由（1）得，，
，，
，，，
，
．
【点睛】本题考查了新定义、勾股定理以及全等三角形的判定的知识点，利用给出的垂美四边形定义求解是解题的关键．
1专题17.5 勾股定理全章七类必考压轴题
【人教版】
1．（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．
2．（2022秋·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点都是格点，且四边形为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形的边长为，此时正方形的面积为．问：当格点弦图中的正方形的边长为时，正方形的面积的所有可能值是________(不包括)．
3．（2022秋·山东东营·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ____.
4．（2022春·全国·八年级统考期末）图中的虚线网格是等边三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的等边三角形.
(1)边长为1的等边三角形的高=____;
(2)图①中的 ABCD的对角线AC的长=____;
(3)图②中的四边形EFGH的面积=____.
5．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a，2a，a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
6．（2022秋·全国·八年级期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．
（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（一种情况即可）；
（2）直接写出图2中△FGH的面积是 ；
（3）在图3中画一个格点正方形，使其面积等于17．
7．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积．
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，点在线段上，现将沿着翻折后得到，交于点，且，若，则的面积为__________．
2．（2022秋·浙江·八年级期末）中，，，，折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，当点由向连续移动过程中，点经过的路径长记为，则________，________．
3．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，，，，点E为AB的中点，D为BC边上的一动点，把△ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当△AEF为直角三角形时，CD的长为__________．
4．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在中，，点D为的中点，点E在边上，将沿着翻折，使点C落在点F处，当时，________．
5．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为________．
6．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）在中，，，垂直直线于点P．
(1)当时，求的长；
(2)当时，
①求的长；
②将沿直线翻折后得到，连接，请直接写出的周长为___________．
1．（2022春·浙江·八年级期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在中，．如图所示作矩形，延长交于点G．若正方形的面积等于矩形面积的3倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．121 B．110 C．100 D．90
3．（2022秋·全国·八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为__．
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．
1．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
（1）请利用这个图形证明勾股定理；
（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；
（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？
2．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理.
证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4×ab＋(b－a)2，
∴4×ab＋(b－a)2＝c2.
∴______________
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.
(3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2.
3．（2022·山东潍坊·八年级统考期中）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．
拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论 ．
拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是 ．
4．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：
把两个全等的直角三角形（）如图1放置，，点E在边AC上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
（1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米．
（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．
（4）借助上面的思考过程，当时，求代数式的最小值．
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．
1．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，一长方体木块长，宽，高 ， 一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点位置最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·江苏·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
3．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点在棱上，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是______．
4．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为___________cm．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）在一个长米，宽为4米的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是___________．
6．（2022秋·江苏·八年级期末）如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．
(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm．
①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为 cm；
②当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．
1．（2022春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是________．
2．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期中）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
3．（2022秋·重庆·八年级校联考期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
4．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第八十五中学校考期中）【问题探究】
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；
【问题解决】
(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)
5．（2022春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．
（1）求的度数；
（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？
6．（2022秋·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B 处，在沿海城市 A 的正南方向 240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以 20 千米/时的速度沿 BC 方向移动．已知 AD⊥BC 且AD= AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过 4 级，则称受台风影响．试问：
（1）A 城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
1．（1）如图1，在中，，，为边上的中线．求中线的取值范围；（提示：延长到点，使，连接）
（2）如图2，在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）如图3，四边形中，，，为中点，、分别边、上，且，若，，求长．
2．如图，已知和中，，，，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接，，求证．
3．已知△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，点D在线段BC上，∠DAE＝∠BAC=90°，连接CE，请写出：①BD和CE之间的位置和数量关系为 、 ；
②BD、CD和AE之间的数量关系为 ．
（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，AC＝，求线段BE的长；
（3）如图3，点D是等边△ABC外一点，∠ADC＝75°，若CD＝3，AD=，则BD的长为 ，请简要写出解答过程．
4．如图1，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．
（1）证明；
（2）猜想之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点F是的中点，求的长．
5．如图①，在等腰中，，，CD平分交AB于点D．点P为线段CD上一点（不与端点C．D重合）．、PB与BC的延长线交于点E，与AC交于点F，连接AE、AP、BP．
（1）求证：．
（2）求的度数．
（3）探究线段BC．PD之间的数量关系，并证明．
6．如图，在中，∠A=90°，是的中点，过点的直线、交直线、于点、，且，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，，，请直接写出线段的长度．（不必写过程）
7．【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长．
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