2023-2024学年苏科版八年级数学上《2.5等腰三角形的轴对称性》强化提优训练（一）（含答案）

2023-2024学年苏科版八年级数学上《2.5等腰三角形的轴对称性》强化提优训练（一）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个等腰三角形的底边长是（　　）
A．6 B．6或14 C．14 D．34
2．在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
第3题图 第4题图 第10题图
4．如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.在等腰△ABC中，∠A=70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A.40° B.55° C.65° D.70°
6. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）
A. 1cm＜AB＜4cm B. 5cm＜AB＜10cm C. 4cm＜AB＜8cm D. 4cm＜AB＜10cm
7. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　 ）
A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20°
8. 在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A. 7 B. 7或11 C. 11 D. 7或10
9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°，则顶角的度数是（ ）
A. 30° B. 30°或150° C. 60°或150° D. 60°或120°
10．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝38°，则∠β等于（　　）
A．22° B．17° C．27° D．32°
二．填空题(30分)
11. 一等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为______．
12. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A=_________．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=64°，则∠C=______
15. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=______
16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB与点D，∠A=30°，AE=6cm，那么CE=_______
15.如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝_______°．
16．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝______°．
17．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D的度数为______.
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝____°.
19. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=______度．
20．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，D为BC边上的中点，腰AB的垂直平分线EF交AD于M，交AC于点F，则BM+DM的值为_______.
三。解答题（60分）
21. （8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
求证：（1）△ABD≌△ACD； （2）BE=CE．
E＝CE（全等三角形的对应边相等）．
22.（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
23. （10分）（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？
（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．
24.（10分）如图，点在边上，和相交于点.
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数.
25．（12分）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA.
(1)求∠DAE的度数；
(2)如果把题目中“AB＝AC”的条件去掉，其他条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？请说明理由；
(3)若∠BAC＝α，其他条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少？为什么？
26.（12分）定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD.
(1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由;
(3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC.
图1 图2 图3
教师样卷
一．选择题(30分）
1．等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个等腰三角形的底边长是（　A　）
A．6 B．6或14 C．14 D．34
2．在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（　C　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　D　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
第3题图 第4题图 第10题图
4．如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　B　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.在等腰△ABC中，∠A=70°，则∠C的度数不可能是（ C ）
A.40° B.55° C.65° D.70°
6. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ B ）
A. 1cm＜AB＜4cm B. 5cm＜AB＜10cm C. 4cm＜AB＜8cm D. 4cm＜AB＜10cm
7. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　B ）
A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20°
8. 在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ B ）
A. 7 B. 7或11 C. 11 D. 7或10
9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°，则顶角的度数是（ B ）
A. 30° B. 30°或150° C. 60°或150° D. 60°或120°
10．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝38°，则∠β等于（　A　）
A．22° B．17° C．27° D．32°
二．填空题(30分)
11. 一等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为______．
【答案】70°或55°
12. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_____________.
【答案】80°或50°或20°
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A=_________．
【答案】36°
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=64°，则∠C=______
【答案】.32°
15. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=______
【答案】 54°
16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB与点D，∠A=30°，AE=6cm，那么CE=_______
【答案】3cm
15.如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝_______°．
【答案】40
16．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝______°．
【答案】40
17．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D的度数为______.
【答案】75°
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝____°.
【答案】40
19. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=______度．
【答案】50 解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，∴∠B=∠C=50°，∵BE=BP，∴∠BEP=∠EPB=65°，同理，∠FPC=65°，∠EPF=180°-65°-65°=50°．故答案为50°．
20．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，D为BC边上的中点，腰AB的垂直平分线EF交AD于M，交AC于点F，则BM+DM的值为_______.
【答案】6cm
三。解答题（60分）
21. （8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
求证：（1）△ABD≌△ACD； （2）BE=CE．
解：（1）证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，即∠BAE＝∠CAE，在△ABE和△ACE中，∵∴△ABE≌△ACE （SAS），∴BE＝CE（全等三角形的对应边相等）．
22.（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
解：（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∵DB＝DE，∵∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC； (2)∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°.∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝35°.
23. （10分）（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？
（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．
解：(1)成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4.∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6.∴∠1=∠3，∠6=∠5.根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．
(2)∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC． ∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠ACG，∴∠ACF=∠FCG．∴∠DFC=∠FCG．
∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∴EF+DE=DF，即DE+EC=BD．2
24.（10分）如图，点在边上，和相交于点.
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数.
解：（1）证明：∵∠1=∠2∴即∠AEC=∠BED在与中∴≌(ASA)（2）∵≌(已证)，
∴∠ECD=∠BDE，EC= ED.∴∠ECD=∠EDC.又∠l =42°，∴
∴∠BDE =69°.
25．（12分）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA.
(1)求∠DAE的度数；
(2)如果把题目中“AB＝AC”的条件去掉，其他条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？请说明理由；
(3)若∠BAC＝α，其他条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少？为什么？
解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠ACB＝40°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝(180°－∠B)＝70°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝20°，在△ABE中，∠BAE＝180°－∠B－∠E＝120°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝50°；
(2)不改变，设∠CAE＝x°，∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝x°，∴∠ACB＝∠E＋∠CAE＝2x°，∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝80°－2x°，又∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝(180°－∠B)＝50°＋x°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝(100°＋x°)－(50°＋x°)＝50°；
(3)∠DAE＝α，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝(∠180°－∠B)，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝α－(180°－∠B)＝α－90°＋∠B，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝α－90°＋∠B＋∠ACB＝α－90°＋(180°－α)＝α.
（12分）定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD.
(1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由;
(3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC.
图1 图2 图3
解：　(1)AB∥CD.理由:∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,
∴∠OCD=∠ODC=(180°-∠COD),∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB),
∴∠OCD=∠OAB.∵A,O,C三点共线,∴AB∥CD.
(2)AC=BD,AC⊥BD.理由:如图,设BD交AC于点M,交OC于点J.∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD,∠OCM=∠ODJ.∵∠DJO=∠CJM,
∴∠CMJ=∠DOJ=90°,即AC⊥BD.
(3)证明:如题图3,∵E为AD中点,∴AE,DE,在△AEG和△DEO中,
∴△AEG≌△DEO(SAS),∴AG=OD,∠G=∠DOE,∴AG∥OD,∴∠OAG+∠AOD=180°.
∵∠COD=∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOC=180°,∴∠GAO=∠COB.∵OD=OC,∴AG=OC.在△GAO和△COB中,∴△GAO≌△COB(SAS),∴∠AOG=∠OBC.
∵∠AOG+∠BOF=90°,∴∠OBC+∠BOF=90°,∴∠BFO=90°,即EF⊥BC.