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向心力的实例分析-合作与讨论
(一)在郊区的高速公路上,你常常会看到,在公路转弯的地方,总是把它的外侧修得高一些,内侧修得低一些.这是为什么？2·1·c·n·j·y
我的思路：汽车在公路上转弯时 ( http: / / www.21cnjy.com )需要向心力,但通常汽车在平路上转弯靠静摩擦力提供向心力,但在速度很快的情况下,静摩擦力不足以提供向心力时,汽车会倾覆.当把外侧修得高一些,其车向内略微倾斜,此时转弯的向心力可以由重力和支持力的合力提供,提高了速度,减少了事故.【来源：21·世纪·教育·网】
(二)游乐场翻滚过山车上的乘客常 ( http: / / www.21cnjy.com )常会在高速旋转或高空倒悬时吓得魂飞魄散,但这种车的设计有足够的安全系数.离心力的作用足以使乘客在回旋时稳坐在座椅上,还有安全棒紧紧压在乘客胸前,在列车未达终点以前,谁也无法将它们打开.设想如下数据,试利用牛顿第二定律和圆周运动的知识,确认它是安全的.轨道最高处距地面32 m,最低处几乎贴地,圆环直径15 m.21·cn·jy·com
我的思路：首先我们分析一下当滑车运动到环底 ( http: / / www.21cnjy.com )和环顶时车中的人的受力情况:mg为人所受的重力；N下和N上分别为滑车在底部和顶部时对人的支持力(为使问题简化,可不考虑摩擦及空气阻力).我们知道,滑车沿圆环滑动,人也在做圆周运动.这时人做圆周运动所需的向心力由mg和N提供.用v下表示人在圆环底部的速度,v上表示人在圆环顶部的速度,R表示环的半径,则21世纪教育网版权所有
在底部N下=mg+m ①
在顶部N上+mg=m ②
因为不考虑摩擦及空气阻力的作用,所以滑 ( http: / / www.21cnjy.com )车在轨道上各点的机械能守恒.用h表示从高处到环底的高度,根据机械能守恒定律,对底部和顶部而言存在下列关系：21·世纪*教育网
mgh=mv下2 ③
mgh=mv上2+mg2R ④
把h＝32 m,R＝7.5 m代入 ( http: / / www.21cnjy.com )③④式得：v下＝25.3 m/s；v上＝18.2 m/s(实际上由于摩擦及空气阻力的影响,底部和顶部的车速要略小于理论上的计算值).21教育网
由①式可知：N下=mg+m
就是说,在环的底部时,滑车对人的支持力比人的体重增大了m,这时人对滑车座位的压力自然也比体重大m,好像人的体重增加了m.由于底部的速度较大,所以人的体重要增加好多倍,使人紧压在椅子上不能动弹.21cnjy.com
由②式可知,在环的顶部,当重力mg等于向心力m时,就可以使人沿圆环做圆周运动,不掉下来.由mg=m可得v上==8.7 m/swww.21-cn-jy.com
这就是说,滑车要安全通过顶点,有 ( http: / / www.21cnjy.com )8.7 m/s的速度就足够了.而从前面的计算知道,滑车通过顶点时的速度是v上＝18.2 m/s,比8.7 m/s大得多,所以滑车和人一定能安全地通过顶点,绝对安全,不必担心.
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向心力的实例分析
一、知识与技能
1、知道如果一个力或几个力的合力的效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力。会在具体问题中分析向心力的来源。 21世纪教育网版权所有
2、引导学生应用牛顿第二定律和有关向心力知识分析实例，使学生深刻理解向心力的基础知识。
3、熟练掌握应用向心力知识分析两类圆周运动模型的步骤和方法。
二、过程与方法
1、通过对匀速圆周运动的实例分析，渗透理论联系实际的观点，提高学生的分析和解决问题的能力。
2、通过对匀速圆周运动的规律也可以在变速圆周运动中使用，渗透特殊性和一般性之间的辨证关系，提高学生的分析能力。21cnjy.com
3、运用启发式问题探索教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学生观察、分析、抽象、建模的解决实际问题的方法和能力。www.21-cn-jy.com
三、情感态度与价值观
1、通过对几个实例的分析，使学生明确具体问题必须具体分析。
2、激发学生学习兴趣，培养学生关心周围事物的习惯。
3、培养学生的主动探索精神、应用实践能力和思维创新意识。
重点难点
重点：理解做匀速圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )运动的物体受到的向心力是由某几个力的合力提供的，而不是一种特殊的力；找出向心力的来源，理解并掌握在匀速圆周运动中合外力提供向心力， 能用向心力公式解决有关圆周运动的实际问题。2·1·c·n·j·y
难点：火车在倾斜弯道上转弯的圆周运动模型的建立；临界问题中临界条件的确定。
教学方法
讲授、分析、推理、归纳
教学用具
说明火车转弯的实物模型，CAI课件
教学过程
新课引入： 分析和解决匀速圆周运动的问题，关键是把向心力的来源弄清楚。本节课我们应用向心力公式来分析几个实际问题。 21教育网
（一）、复习关于向心力的来源
1、向心力是按效果命名的力；
2、任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力；21·世纪*教育网
3、不能认为做匀速圆周运动的物体除了受到物体的作用力以外，还要另外受到向心力作用。
（二）、实例1：火车转弯
课件模拟在平直轨道上匀速行驶的火车，提出问题：
（1）、火车受几个力作用？
（2）、这几个力的关系如何？
（学生观察，画受力分析示意图）
师生互动：火车受重力、支持力、牵引力及摩檫力，其合力为零。
过渡：那火车转弯时情况会有何不同呢？
课件模拟平弯轨道火车转弯情形，提出问题：
（1）、转弯与直进有何不同？
（2）、当火车转弯时，它在水平方向做圆周运动。是什么力提供火车做圆周运动所需的向心力呢？
师生互动：分析内外轨等高时向心力的来源（运用模型说明）
（1）此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对轮缘的弹力。
（2）外轨对轮缘的弹力提供向心力。
（3）由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且由于火车质量很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损害铁轨。www-2-1-cnjy-com
师设疑：那么应该如何解决这个问题？
学生活动：发挥自己的想象能力，结合知识点设计方案。
提示 ：（1）、设计方案目的是为了减少弹力
（2）、播放视频——火车转弯
学生提出方案：火车外轨比内轨高，使铁轨 ( http: / / www.21cnjy.com )对火车的支持力不再是竖直向上。此时，支持力与重力不再平衡，他们的合力指向“圆心”，提供向心力，从而减轻轮缘和铁轨之间的挤压。21·cn·jy·com
学生讨论：什么情况下可以完全使轮缘和铁轨之间的挤压消失呢？
学生归纳：转弯处要选择内外轨适当的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力FN来提供，这样外轨就不受轮缘的挤压了。2-1-c-n-j-y
师生互动：老师边画图边讲解做定量分析并归纳总结（过程略）
（三）、实例2：汽车过拱桥 （可通过学生看书，讨论，总结）
问题：质量为m的汽车在拱桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为 r，求汽车通过桥的最高点时对桥面的压力。 21*cnjy*com
解析：选汽车为研究对象，对汽 ( http: / / www.21cnjy.com )车进行受力分析：汽车在竖直方向受到重力G和桥对车的支持力F1作用，这两个力的合力提供向心力、且向心力方向向下【来源：21cnj*y.co*m】
建立关系式：
又因支持力与汽车对桥的压力是一对作用力与反作用力，所以
（1） 当v = 时，F = 0
（2） 当0 ≤ v ＜ 时 , 0 ＜ F ≤ mg
（3） 当 v ＞ 时, 汽车将脱离桥面，发生危险。
小结：上述过程中汽车虽然不是做匀速圆周运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，但我们仍然使用了匀速圆周运动的公式。原因是向心力和向心加速度的关系是一种瞬时对应关系，即使是变速圆周运动，在某一瞬时，牛顿第二定律同样成立，因此，向心力公式照样适用。【来源：21·世纪·教育·网】
（四）、竖直平面内的圆周运动
过渡：教师演示“水流星”提出问题
提问：最高点水的受力情况？向心力是什么？
提问：最低点水的受力情况？向心力是什么？
提问：速度最小是多少时才能保证水不流出？
学生讨论：最高点、最低点整体的受力情况。
师生互动：在竖直平面内圆周运动能经过最高点的临界条件：
1、用绳系水桶沿圆周运动，桶内的水恰能经过最高点时，满
足弹力F=0,重力提供向心力 mg=m 得临界速度v0=
当水桶速度v≥v0时才能经过最高点
2、如果是用杆固定小球使球绕杆另一端做圆周运动经最高点时，由于
所受重力可以由杆给它的向上的支持力平衡，由mg－F=m=0得临界速度v0=0
当小球速度v≥0时，就可经过最高点。
3、小球在圆轨道外侧经最高点时，mg－F=m 当F=0时得临界速度 v0=
当小球速度 v≤v0 时才能沿圆轨道外侧经过最高点。
（五）、归纳匀速圆周运动应用问题的解题步骤
1、明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周运动，找到圆心和半径。
2、确定研究对象在某个位置所处的状态，进行具体的受力分析，分析哪些力提供了向心力。
3、建立以向心方向为正方向的坐标，找出向心方向的合外力，根据向心力公式列方程。
4、解方程，对结果进行必要的讨论。
（六）、课堂讨论
1、 教材【思考与讨论】”
（七）、课堂小结
1、用向心力公式求解有关问题时的解题步骤如何？
2、火车转弯时，向心力由什么力提供？
3、汽车通过凹形或凸形拱桥时对桥的压力与重力的关系如何？
（八）、布置作业
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向心力的实例分析 同步练习
一、选择题
1.杂技节目“水流星”是用细绳拴着一个盘子,盘子内盛有水,水的质量为m,使之整体在竖直平面内做圆周运动.以下说法中正确的是21教育网
A.盘子过最高点时,绳中的拉力可以为零,此时水刚好不流出
B.盘子过最高点时的最小速度可以是零
C.到圆周最高点,水刚好不流出时的速度是
D.盘子到圆周最高点时,绳子对盘子的拉力可以与盘子所受重力的方向相反
答案：AC
2.关于在公路上行驶的汽车转弯,下列说法中正确的是
A.在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由静摩擦力提供
B.在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由滑动摩擦力提供
C.在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力和支持力的合力提供
D.在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力、摩擦力和支持力的合力提供
答案：ACD
3.小金属球质量为m,用长为L的轻线固 ( http: / / www.21cnjy.com )定于O点,在O点正下方L/2处有一颗钉子P.现将悬线沿水平方向拉直,然后无初速释放.当悬线碰到钉子的瞬间(设此时悬线没有断),则下列说法正确的是
A.小球的角速度突然增大
B.小球的线速度突然增大
C.小球的向心加速度突然增大
D.悬线的张力突然增大
答案：ACD
4.小物块在开口向上的半圆形曲面内以某一速度开始下滑,因受到阻力作用,速率保持不变.在下滑过程中,下列说法中正确的是21世纪教育网版权所有
A.因物块匀速下滑,所以加速度为零
B.物块所受合外力的大小不变,但方向不断变化
C.物块在滑到最低点以前,阻力在逐渐减小
D.物块在滑到最低点以前,对曲面的压力在逐渐减小
答案：BC
5.如图所示,一轻杆一端固定质量为m的小球,以另一端O为圆心,使小球在竖直面内做圆周运动,以下说法中正确的是21cnjy.com
A.小球过最高点时,杆所受的弹力一定等于零
B.小球过最高点时速度只要稍大于零即可
C.小球过最高点时,杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反,此时重力一定大于杆对球的作用力
D.小球过最高点时,杆对球的作用力大小可能等于重力
答案：CD
6.用细绳系一小球,使小球在水平面内做 ( http: / / www.21cnjy.com )圆周运动,如图所示,该装置叫圆锥摆.设锥摆摆长是L,半顶角是θ,质量为M的摆球在水平面内做圆周运动.则21·cn·jy·com
A.摆线的拉力为mg/cosθ
B.摆球转动的角速度越大,其半顶角越大
C.转动的角速度越大,其向心力越大
D.其周期为2π(Lcosθ/g) 1/2
ABCD
二、非选择题
7.如图所示,在竖直平面内有一半径是R的圆弧形光滑轨道.质量为m的小球,从轨道顶端由静止释放,小球滑至轨道最底端时速度的大小是_______,向心加速度的大小是_______,对轨道的压力是_______.
答案： 2g 3mg
8.表演“水流星”节目时,杯子在竖 ( http: / / www.21cnjy.com )直平面内沿半径是1 m的圆周运动,杯中水的质量是1 kg,则运动到圆周最高点时使水不流出的最小速度是_______,此时杯底所受到的水的压力是_______.
答案：3.2 m/s 0
9.汽车质量为1.5×104 kg,以不 ( http: / / www.21cnjy.com )变的速率v=10 m/s驶过凹形路面,路面圆弧半径为20 m,汽车驶过路面的最低点时,对地面的压力是_______.www.21-cn-jy.com
答案：2.25×105 N
10.如图是一段破坏严重的乡间公路,试通过计算判断汽车在那个位置容易爆胎.
答案：A点
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向心力的实例分析-知识探讨
1.火车转弯情况：
向心力的来源：(1)靠挤压铁轨获得.
(2)内外侧铁轨高度不同,支持力和重力的合力获得.
2.汽车过拱桥：重力和支持力的合力提供向心力.
3.竖直平面内圆周运动
(1)绳或内轨道(类水流星)
(2)杆或外轨道(类拱桥)
4.圆锥摆：靠绳的拉力和重力的合力提供向心力.
5.解决圆周运动问题的步骤:
(1)正确地受力分析.
(2)根据运动情况找到圆周的圆心.
(3)在指向圆心的方向上建立x轴.
(4)x轴上的合力充当向心力并列出方程；y轴上的合力提供切线加速度.
例题思考
【例1】 火车在倾斜的轨道上转弯,如图所示.弯道的倾角为θ,半径为r.则火车转弯的最大速率是(设转弯半径水平)21教育网
A. B.
C. D.
解析:先对车的受力进行分析,车受 ( http: / / www.21cnjy.com )到的重力竖直向下,受到的支持力垂直斜面向上,两者的合力水平,根据牛顿第二定律可得：mgtanθ=mv2/r,解得C正确.21cnjy.com
答案:C
点评:正确的受力分析是解决圆周运动问题的关键.
【例2】 细线长为L,小球质量为m ( http: / / www.21cnjy.com ),使小球在水平面内做圆周运动.增大小球绕O点的圆周运动的角速度ω′,会发现线与竖直方向的夹角θ随着增大,为什么？www.21-cn-jy.com
解析:小球受重力mg、拉力T.
我们可以说由mg和T的合力 ( http: / / www.21cnjy.com )充当向心力,也可以说由T的水平分量充当向心力,因为小球是在水平面内做圆周运动,而重力方向竖直向下,与水平面垂直,重力的水平分量为零.2·1·c·n·j·y
有Tcosθ=mg,Tsinθ=mω2r,r=Lsinθ
所以mgtanθ=mω2Lsinθ
所以cosθ=g/Lω2,可见,ω增大则cosθ减小,在0<θ<π/2范围内,cosθ减小则θ增大.
所以转得越快,θ角就越大.
点评:绳的拉力在此有两个分量,水平分量充当向心力,竖直分量与重力平衡.
知识总结
规律：牛顿运动定律,圆周运动的规律.
知识：力的分解与合成的应用.
方法：1.圆周运动的最高点的速度极限分析
(1)绳子、内侧轨道：这两种约束情况只能提供向下的拉力或支持力,不能提供向上的力,所以,通过最高点的条件是v≥.21世纪教育网版权所有
(2)外侧轨道：只能提供向上的支持力,它不能提供向下的拉力,所以速度有最大值,超过这个值,物体会做平抛运动.能够通过最高点的条件是v<.21·cn·jy·com
(3)杆、管：硬杆和管道既能提供向下的力,也能提供向上的力,所以能够通过最高点的条件为v>0.
2.圆周运动往往和机械能守恒结合处理竖直方向的圆周运动问题.注意零势能点的选取.
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第三节 向心力的实例分析
水平弯道滑行
优美的花样表演
水平路面上转弯(圆周运动)
G
N
f
G
N
G
N
N
G
汽车在弯道匀速转弯
火车在倾斜轨道转弯
水流星表演
v
r
r
v
T
G
T1
G
G
N
N1
G
在最高点
在最低点又如何呢
游乐场的过山车
v
r
汽车过拱桥
质量为m的汽车在拱桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为 r，重力加速度为g。
求：（1）汽车通过桥的最高点时对桥面的压力F。
（2） 讨论：当v = 时， F =？
当0 ≤ v ＜ 时 ，F=？
当 v ＞ 时, F=？
汽车过凹桥
质量为m的汽车在凹桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为 r，重力加速度为g。
求：汽车通过桥的最低点时对桥面的压力F。并讨论
若速度增大会发生什么情况
课堂小结：
一、学习了做圆周运动物体在转弯时的向心力实例分析
二、用向心力公式求解有关问题的解题方法：
1、受力分析
2、分析做圆周运动的向心力F来源
3、利用向心力 F=
三、作业：课内 P77页 1、2、3
课外：做P75页“迷你实验室”的凹凸桥
解方程求出答案本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
4.3 向心力的实例分析 同步测试
（一）选择题：
1．下列关于向心力的论述中正确的是（ ）
A．物体因为受到向心力的作用，才可能做圆周运动；
B．向心力仅仅是从它产生的效果来命名的，它可以使有初速度的物体做圆周运动，它的方向始终指向圆心；21世纪教育网版权所有
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某一种力，也可以是这些力中某几个力的合力；
D．向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2．一圆盘可绕通过圆盘中心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一个物体，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动，如图7。那么21cnjy.com
（ ）
A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心；
B．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心；
C．因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向 相同；
D．因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反。
3．有三个相同材料制成的物体放在水平转台上，它们的质量之比为，它们与转轴之间的距离为。当转台以一定的角速度旋转时，它们均无滑动，它们受到的静摩擦力分别为，比较这些力可得（ ）21·cn·jy·com
A． B．
C． D．
4．如图8所示，三段细线长，三球质量相等，当它们绕点在光滑的水平桌面上以相同的角速度作匀速圆周运动时，则三段线的拉力为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
5．一小球沿半径为的轨道作匀速圆周运动，若周期为秒，则（ ）
A．小球的线速度是； B．经过，小球的位移是米；
C．小球的加速度是； D．经过，小球速度增量为。
6．如图9所示，用细线将一小球悬挂在匀速前进的车厢里，当车厢突然制 动时（ ）
A．线的张力不变； B．线的张力突然减小；
C．线的张力突然增大； D．线的张力如何变化无法判断。
7．如图10所示，两小球质量相同，用轻线把它们连结，并跨过两个无摩擦的定滑轮。在球左右摆动的时候，则球将（ ）2·1·c·n·j·y
A．不动； B．向上运动；
C．上下往复运动 D．向下运动。
8．原来做圆周运动的物体产生离心运动的条件的简略表述，可以是（ ）
A．当物体需要的向心力等于物体所受合外力时；
B．当物体需要的向心力小于物体所受合外力时；
C．当物体所受合外力小于作圆周运动所需要的向心力时；
D．当物体所受的外力不能与向心力平衡时。
（二）填空题：
9． 一根水平横杆可绕轴在水平面内转动，杆上穿一个空心圆柱形物体，质量为，物体可在杆上无摩擦滑动，物体和转轴间用一根劲度系数的弹簧相连，如图11所示。当横杆绕轴匀速转动时，弹簧从原长伸长到，那么弹簧对物体的拉力是______，物体运动 的角速度是______，线速度是______。（物体可视为质点）【来源：21·世纪·教育·网】
10．一个做匀速圆周运动的物体，如果每秒转数变为原来的倍，所需的向心力比原来的向心力大，则物体原来的向心力应为______。21·世纪*教育网
11．如图12所示，沿半球形碗的光滑内表面，一质量为的小球正以角速度在水平面内做匀速圆周运动。如果碗的半径为，则该球做匀速圆周运动的水平面离碗底的距离为______。www-2-1-cnjy-com
12．质量为的物体沿着半径为的半球形金属内壁下滑至最低点时的速度 为。若物体与球壳之间的动摩擦因数为，那么物体在最低点时，受到的摩擦力 。
（三）计算题：
13．如图13所示，有一个半径为的圆弧形的轨道，滑块分别从轨 道上面和下面沿轨道滑动，如果要求它们在最高处不离开轨道，对它们在最高点的速率有什么限制？21教育网
14．在水平转台上，距转轴为处插立一竖直杆，杆顶系一根长为的细绳，绳的末端挂一个质量为的小球（图14），当转台匀速转动后，试证悬绳张开的角度与转台转速的关系是： 2-1-c-n-j-y
答案与提示
1．ABCD
2．B
3．D
4．B
5．ACD
（提示：
，小球转过圆周，则位移为）
6．C
7．C
（提示：若球摆动时的最大偏角为，则绳子承受的拉力最小时为，最大时为
，球的重力介于其间，所以做上下往复运动。）
8．C
9．；；。
10．
11．；
（提示：如图15 ① ② ②代入①得
由图15可知，而）
12．
13．解：取为研究对象，受力分析如图16(a)
有 ∴
滑块刚好离开轨道时，，则
依题意，在最高点处不离开轨道的速率应为
取为研究对象，受力分析如图16(b)
有 由此得
当滑块刚离开轨道时，，则有
依题意，在最高点处不离开轨道的速率应为
14．证明如下：
如图17① ②
②代入①得
解得 证毕。
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向心力的实例分析
当
一、汽车过桥问题
1-1.求汽车以速度v过半径为r 的拱桥时对拱桥的压力？
【解】G和N的合力提供汽车做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
可见汽车的速度越大对桥的压力越小。
N
G
时汽车对桥的压力为零。（临界速度）
由于ａ竖直向下，属失重现象。
当ｖ大于ｖ临界时，汽车做什么运动？
平抛运动！
1-2.求汽车过凹形路段最低点时对路面的压力？
N
G
【解】G和N的合力提供汽车做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
可见汽车的速度越大对桥的压力越大。
由于ａ竖直向上，属超重现象。
比较三种桥面受力的情况
N=G
G
G
G
N
N
N
二、拐弯问题
车受重力mg及路面的弹力FN作用．
这两个力的合力F水平并指向圆周弯道的圆心，充当向心力，由图可知:F＝mgtanθ
依据牛顿第二定律有
mgtanθ＝
2-1.汽车在倾斜路面上拐弯
2-2.火车在倾斜路轨上拐弯
火车转弯时所需的向心力是由重力G和支持力FN的合力F来提供．
h是内外轨高度差，d是轨距
G
N
∝
∝
h
d
∝
F向心
火车转弯规定临界速度
注意这时的向心力是水平的
1.当火车转弯时的速率等于V规定(临界速度)时,内、外轨道对车轮（轮缘）都没有侧压力,为理想转弯速度。
2.当火车转弯时的速率小于V规定(临界速度)时,内轨道对车轮（轮缘）有侧压力。内轨易损坏。
3.当火车转弯时的速率大于V规定(临界速度)时,外轨道对车轮（轮缘）有侧压力。外轨易损坏。
B
A
C
D
mg
N
mg
N
N
A
三、圆周运动中的临界问题
小球沿竖直圆形轨道内侧运动
3-1.有约束物类型---光滑轨道结构
T
mg
T
mg
过最高点的最小速度是多大
O
3-2.有约束物类型---绳物结构
用绳系着小球在竖直平面内做变速圆周运动。
杂技演员表演“水流星”节目，我们发现不管演员怎样抡，水都不会从杯里洒出，甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，已经杯口朝下，水也不会从杯子里洒出。这是为什么？
(1)当 时，Ｎ＝０，水在杯中刚好不流出，此时水作圆周运动所需向心力刚好完全由重力提供，此为临界条件。
(2)当 时，Ｎ>０，杯底对水有一向下的力的作用，此时水作圆周运动所需向心力由Ｎ和重力Ｇ的合力提供。
(3)当 时，Ｎ<０，实际情况杯底不可能给水向上的力，所以，此时水将会流出杯子。
过最高点的最小速度是多大
V=0
Ｌ
3-3.有约束物类型---杆物结构
小球固定在轻质杆上，在竖直平面内做变速圆周运动。
绳 杆 圆管
m的受力情况
最高点A的速度
最低点B的速度
A
O
m
B
L
重力、绳的拉力
A
O
m
B
L
重力、杆的拉力或支持力
A
O
m
B
R
重力、外管壁的支持力或内管壁的支持力
总结：竖直平面内的变速圆周运动
例题
轻杆长 ，杆的一端固定着质量
的小球。小球在杆的带动下，绕水平轴O在竖直平面内作圆周运动，小球运动到最高点C时速度为2m/s，求此时小球对细杆的作用力。
