2023-2024学年苏科版八年级数学上 2.5等腰三角形的轴对称性 达标检测卷（含答案）

2023-2024学年苏科版八年级数学上《2.5等腰三角形的轴对称性》达标检测卷
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1.在等腰三角形ABC中,若∠A=80°,则∠B的度数是(　　)
A.20°　　　　B.50° C.80°　　　　D.20°或50°或80°
2.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,过点P作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N,那么下列结论:①BP=CP;②MN=BM+CN;③△BMP和△CNP都是等腰三角形;④△AMN的周长=AB+AC.其中正确的有(　　)
A.4个　　　　B.3个　　　　C.2个　　　　D.1个
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3..如图,两个全等的等边三角形的边长均为1 cm,一个微型机器人由A点开始按A-B-C-D-B-E-A的顺序沿两个等边三角形的边循环运动,行走2 023 cm停下,则这个微型机器人停在(　　)
A.点A处　　　　B.点B处　　　　C.点C处　　　　D.点E处
4.如图,木杆AB斜靠在墙壁上,P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度的变化情况是(　　)
A.逐渐变大　　　　B.不断变小 C.不变　　　　 D.先变大再变小
5.如图,在△ABC中,AB=AC,
∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC的中点,若AB=10,则DE的长是(　　)
A.8　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4
6.如图,已知在锐角△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连接EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是(　　)
A.12　　　　B.9　　　　C.6　　　　D.3
第6题图 第7题图 第9题图 第10题图
7.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　　)
A.80°　　　　B.100°　　　　C.120°　　　　D.140°
8．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
9．如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
10．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题(30分)
11．某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x﹣1，则该三角形的周长为________.
12..如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=28°,且AD=AE,求∠EDC的度数______
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第17题图
13.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=_________.
14．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为______.
15．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为_________．
16..定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为　　　　.
17.如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,A4,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形.若OA1=1,则△A6B6A7的边长为______.
18.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°,则底角∠B的度数为　　　　.
19．如果一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的顶角的度数为_______________．
20．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为______．
三。解答题（60分）
21.（8分）如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)求证:DC=CF.
22.（8分）如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D是边BC上一点,DE⊥AB于点E,点F是线段AD的中点,连接EF,CF.
(1)求证:EF=CF;
(2)若∠BAC=30°,AD=6,求C,E两点间的距离.
23.（8分）如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB;
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.
24.（12分）定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD.
(1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由;
(3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC.
图1 图2 图3
25. (12分)如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证：
（1）△BCE≌△ACD；
（2）CF=CH；
（3）△FCH是等边三角形；
（4）FH∥BD.
26.（12分）【推理运算】已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”).
(2)【特例启发,解答题目】
如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).
图1 图2
教师样卷
一．选择题(30分）
1.在等腰三角形ABC中,若∠A=80°,则∠B的度数是(　D　)
A.20°　　　　B.50° C.80°　　　　D.20°或50°或80°
2.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,过点P作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N,那么下列结论:①BP=CP;②MN=BM+CN;③△BMP和△CNP都是等腰三角形;④△AMN的周长=AB+AC.其中正确的有(　B　)
A.4个　　　　B.3个　　　　C.2个　　　　D.1个
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3..如图,两个全等的等边三角形的边长均为1 cm,一个微型机器人由A点开始按A-B-C-D-B-E-A的顺序沿两个等边三角形的边循环运动,行走2 023 cm停下,则这个微型机器人停在(　B　)
A.点A处　　　　B.点B处　　　　C.点C处　　　　D.点E处
4.如图,木杆AB斜靠在墙壁上,P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度的变化情况是(　C　)
A.逐渐变大　　　　B.不断变小 C.不变　　　　 D.先变大再变小
5.如图,在△ABC中,AB=AC,
∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC的中点,若AB=10,则DE的长是(　C　)
A.8　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4
6.如图,已知在锐角△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连接EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是(　B　)
A.12　　　　B.9　　　　C.6　　　　D.3
第6题图 第7题图 第9题图 第10题图
7.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　B　)
A.80°　　　　B.100°　　　　C.120°　　　　D.140°
8．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　C　）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．
9．如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　C　）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°，∠ADB=90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=30°．∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°．∴∠DAF=∠F=30°，∴AD=DF．∵AB=11，∠B=30°，∴AD=5.5，∴DF=5.5故选：C．
10．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（　B　）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：作PH⊥MN于H，∵PM=PN，∴MH=NH=MN=1，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=5，∴OM=OH﹣MH=4，故选：B．
二．填空题(30分)
11．某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x﹣1，则该三角形的周长为____8____.
解：当x=3时，此时2x﹣1=5，∴3+3＞5，能组成三角形，此时三角形的周长为：3+3+5=11，当x=2x﹣1时，此时x=1，∴1+1＜3，不能组成三角形，当2x﹣1=3时，此时x=2∴3+2＞3，能组成三角形，此时三角形的周长为：3+3+2=8，
12..如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=28°,且AD=AE,求∠EDC的度数___14°___
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第17题图
13.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=____4_____.
解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG=BD，PE=HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH，又△ABC的周长为12，
∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4
14．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为__6____.
解：∵△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC=30°，
∴∠AEB=∠C+∠EBC=60°，∠C=∠EBC，∴∠AEP=60°，BE=EC．又AD⊥BC，∴∠CAD=∠EAP=60°，
则∠AEP=∠EAP=60°，∴△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEB中，∠ABE=30°，则EB=2AE=4，∴BE=EC=4，∴AC=CE+AE=6．
15．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为_____6_____．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，
∵EC=1.5，∴CD=2EC=3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD=CD=3，∴AB=AC=AD+CD=6．
故答案为：6
16..定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为　　6　　.
17.如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,A4,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形.若OA1=1,则△A6B6A7的边长为__32____.
解: 如图,∵△A1B1A2是等边三形,∴∠2=60°,A1A2=A1B1.∵∠MON=30°,∴∠1=∠2-
∠MON=30°=∠MON.∴A1B1=OA1=1.∴A1A2=1.∴OA2=OA1+A1A2=2.∵△A2B2A3是等边三角形,∴A2B2=A2A3,∠4=60°.∵∠MON=30°,∴∠3=∠4-∠MON=30°=∠MON.∴A2B2=OA2=2.同理可得A3B3=4,A4B4=8,A5B5=16,A6B6=32.故△A6B6A7的边长为32.
18.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°,则底角∠B的度数为　68°或22°　　　.
[解析] (1)如图①,当AB的垂直平分线MN与AC相交时,设MN与AB,AC的交点分别为E,D.由题意知∠ADM=46°.∵∠AED=90°,∴∠A=90°-46°=44°.∵AB=AC,
∴∠B=∠C=(180°-∠A)=68°. (2)如图②,当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交时,设MN与CA的交点为D.由题意知∠ADN=46°,则∠DAB=90°-46°=44°.∵AB=AC,
∴∠B=∠C=∠DAB=22°.故答案为68°或22°.
图① 图②
19．如果一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的顶角的度数为____30°或150°___________．
解：本题分两种情况讨论：（1）如图1，当BD在三角形内部时，∵BD=AB，∠ADB=90°，∴∠A=30°；（2）当如图2，BD在三角形外部时，∵BD=AB，∠ADB=90°，∴∠DAB=30°，∠ABC=180°﹣∠DAB=30°=150°．故答案是：30°或150°．
20．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为__30°或150°或90°____．
解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
三。解答题（60分）
21.（8分）如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)求证:DC=CF.
解：　(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵DE⊥EF,
∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°.
(2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠EDC=∠ECD=60°,∴△DEC是等边三角形,∴CE=CD.∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°=∠F,∴EC=CF,
∴DC=CF.
22.（8分）如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D是边BC上一点,DE⊥AB于点E,点F是线段AD的中点,连接EF,CF.
(1)求证:EF=CF;
(2)若∠BAC=30°,AD=6,求C,E两点间的距离.
解：(1)证明:∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∵点F是线段AD的中点,∴EF=AD,
∴EF=CF.
(2)如图,连接CE,由(1)得EF=AF=CF=AD=3,∴∠FEA=∠FAE,∠FCA=∠FAC,
∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×30°=60°,∴△EFC是等边三角形,
∴CE=EF=3,∴C,E两点间的距离是3.
23.（8分）如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB;
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.
解：(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,∴∠CBD=∠EBD.∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,
∴∠EBD=∠EDB.
(2)CD=ED.理由如下:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE.由(1)得∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED.
24.（12分）定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD.
(1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由;
(3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC.
图1 图2 图3
解：(1)AB∥CD. 理由:∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,
∴∠OCD=∠ODC=(180°-∠COD), ∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB),
∴∠OCD=∠OAB.∵A,O,C三点共线,∴AB∥CD.
(2)AC=BD,AC⊥BD. 理由:如图,设BD交AC于点M,交OC于点J.∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD,∠OCM=∠ODJ.∵∠DJO=∠CJM,
∴∠CMJ=∠DOJ=90°,即AC⊥BD.
(3)证明:如题图3,∵E为AD中点,∴AE,DE,在△AEG和△DEO中,
∴△AEG≌△DEO(SAS),∴AG=OD,∠G=∠DOE,∴AG∥OD,∴∠OAG+∠AOD=180°.
∵∠COD=∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOC=180°,∴∠GAO=∠COB.∵OD=OC,∴AG=OC.
在△GAO和△COB中,∴△GAO≌△COB(SAS),∴∠AOG=∠OBC.
∵∠AOG+∠BOF=90°,∴∠OBC+∠BOF=90°,∴∠BFO=90°,即EF⊥BC.
25. (12分)如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证：
（1）△BCE≌△ACD；
（2）CF=CH；
（3）△FCH是等边三角形；
（4）FH∥BD.
解：（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，∴∠BCE=∠ACD.在△BCE和△ACD中， ∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，在△BCF和△ACH中，
∴∠ACH=60°，∴∠BCF=∠ACH， ∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．
（4）∵△CHF为等边三角形∴∠FHC=60°，∵∠HCD=60°，∴FH∥BD
26.（12分）【推理运算】已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”).
(2)【特例启发,解答题目】
如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).
图1 图2
解：　(1)当E为AB的中点时,AE=DB.
（2）AE=DB.理由: 如图,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,
∴△AEF为等边三角形,∴AE=AF=EF,∴BE=CF.∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.
∵∠DEB=∠ABC-∠D=60°-∠D,∠ECF=∠ACB-∠ECB=60°-∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中,∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,∴AE=DB.
(3)如图所示,过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F,易得△AEF是等边三角形,且边长为2,∴EB=FC.∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,∵BC∥EF,∴∠DCE=∠CEF,∴∠CDE=∠CEF,
又∵∠DBE=∠ABC=60°=∠AFE,∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF=2,∵BC=1,∴CD=BC+DB=3.