13.1 轴对称 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）剪纸是我国传统的民间艺术瑰宝，早在2009年已入选“人类非物质文化遗产代表作名录”，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南焦作·八年级统考期末）古人称：“山南水北”谓之阳，焦作位于太行山之南．因此，自古以来被叫成“山阳”，下列四个汉字中，可看作轴对称图形的是（ ）
A．山 B．阳 C．焦 D．作
3．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）近几年来，国产汽车越来越受到人们的青睐．下面分别是“吉利”“传祺”“长城”“长安”四种国产汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
4．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5
C．6 D．7
5．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ）
A．80° B．40° C．90° D．140°
6．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，中边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
7．（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一所小学，使小学到三个小区的距离相等，则小学应建在（ ）
A．两内角的平分线的交点处 B．两边高线的交点处
C．两边中线的交点处 D．两边垂直平分线的交点处
8．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
9．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于和，连接，若，的周长为，则的周长是（ ）
A．19 B．16 C．10 D．7
10．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．12 D．8
二、填空题
11．（2022秋·河南安阳·八年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ．
12．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，将沿着折叠，点B落在点处．若，，则 ．
13．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于△ABC边时，∠CDB的大小为 ．
14．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，中，，为的中点，将沿折叠至，边与相交于点若面积是面积的一半，则 ．
15．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，在中，，，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点是边上一点，连接．则有下列结论：①是的平分线；②为直角三角形；③点在的垂直平分线上；④；⑤；其中正确结论的序号有 ．
16．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE；其中正确的有 ．（填写序号）
17．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为16cm，BE长为12cm，则EC的长为 cm．
18．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点．，则 度．
19．（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 ．
20．（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝ ．
21．（2022春·河南漯河·八年级统考期末） 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5．作一边的垂直平分线交另一边于点D，则CD的长是 ．
三、解答题
22．（2022秋·河南焦作·八年级统考期末）已知在中，的平分线与线段的垂直平分线相交于点P，过点P分别做于点N，于点M，求证：．
23．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，已知点A、B以及直线l，，垂足为点E．（要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．）
(1)过点B作，垂足为点F；
(2)在直线l上求作一点C，使；
(3)在所作的图中，连接、，若，求证：．
24．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在的边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，写出作法，并说明理由）
25．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在中，，D是延长线上一点，点E是的中点．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标注相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作的平分线；
②连接，并延长交于点G；
③过点A作的垂线，垂足为F．
(2)猜想与证明：猜想与有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．
26．（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，OF是的平分线，点A在射线上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
27．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）已知（如图），按下列要求画图：
(1)的中线AD；
(2)的角平分线；
(3)的高线；
(4)若（C表示周长）且，则________．
28．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图所示，CD和EF是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，公司要在P处修建一个货运站，使P到两条道路的距离相等，且到A、B两个销售点的距离相等，请做出符合条件的点P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
29．（2022秋·河南郑州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，射线AM平分∠BAC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG；
（2）在（1）条件下，∠BAC和∠BGC有何数量关系？并证明你的结论．
参考答案：
1．D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．A
【分析】根据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】A、是轴对称图形，故本选项符合题意．
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义：沿着一条直线对折，直线两边图形能够重合的图形是轴对称图形.
3．B
【分析】根据轴对称图形的定义可直接判断出答案．
【详解】解：观察四个选项可知，选项A，C，D中的图形沿着一条直线对折后直线两侧的部分能够完全重合，选项B中的图形不能，
因此选项B中的图形不是轴对称图形，
故选B．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后直线两侧的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
4．B
【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】解：连接，如图，
∵是P关于直线l的对称点，
∴直线l是的垂直平分线，
∴
∵是P关于直线m的对称点，
∴直线m是的垂直平分线，
∴
当不在同一条直线上时，
即
当在同一条直线上时，
故选：B
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
5．A
【分析】由轴对称的性质得出∠C=∠D，再由∠1=∠C+∠3，∠3=∠2+∠D，即可得到∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C，从而求出答案．
【详解】解：由题意得：∠C=∠D，
∵∠1=∠C+∠3，∠3=∠2+∠D，
∴∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C，
∴∠1－∠2=2∠C=80°．
故选：A．
【点睛】本题主要三角形外角的性质及轴对称的性质，运用三角形外角的性质及轴对称的性质找出角与角之间的关系是解题的关键．
6．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，，
，，
的周长为，
，
的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．D
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、A小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边的垂直平分线上，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
8．A
【分析】根据到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上，即可求解．
【详解】解：根据题意得：凳子的位置到3名同学的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
9．D
【分析】利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用三角形周长的定义和等线段代换得到的值即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，，
的周长为，
即，
，
即，
的周长为．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段的垂直平分线的性质．
10．A
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周长最小．
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，
∵EF垂直平分BC，
∴AD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC=4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11．5
【分析】过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【详解】解：过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，如图：
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N′，
∴M′N′=M′E，
∴CE=CM′+M′E=CM′+M′N′是CM+MN最小值，此时M与M′重合，N与N′重合，
∵三角形ABC的面积为10，AB=4，
∴×4 CE=10，
∴CE=5．
即CM+MN的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解题的关键是根据题意作出辅助线，理解CE的长度即为CM+MN最小值．
12．/80度
【分析】先利用三角形内角和定理求出，利用折叠的性质可知，再根据三角形外角的定义和性质得出，，则．
【详解】解：中，，，
，
将沿着折叠，点B落在点处，
．
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的定义和性质等，解题的关键是综合运用上述知识，熟练进行等量代换．
13．或
【分析】先根据折叠的性质可得，设，再分①和两种情况，画出相应的图形，利用平行线的性质、平角的定义建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，
设，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当时，
，
，
，
，
解得，
即；
②如图，当时，
，
，
，
解得，
即；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用，正确分两种情况，并画出图形是解题关键．
14．
【分析】根据三角形中线把三角形面积分成相等的两部分即可得到和的面积相等，，，，即可证明≌，得到，从而推出，由此即可得到答案．
【详解】解：为的中点，
和的面积相等，．
面积是面积的一半，
的面积是面积的一半，
，．
又，
≌，
．
由折叠的性质可知
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，正确理解题意是解题的关键．
15．①②③
【分析】根据作图的过程可判断①正确；根据勾股定理的逆定理即可判断②正确；根据角平分线的定义结合，根据垂直平分线的判定可知可知③正确；根据直角三角形的性质得，进而得，再根据等高的三角形的面积比等于底边之比便可判断④．当为的中点时⑤正确，据此解答．
【详解】
根据作图的过程可知：是的平分线，故①正确；
∵，，
∴，
∴为直角三角形，故②正确；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，故④错误，
当为的中点时，，而点是边上任意一点，故⑤错误．
故答案为：①②③
【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16．①②④
【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝ AD，DF＝AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．
【详解】解：如图所示：连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．故①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED＝AD．
同理：DF＝AD．
∴DE+DF＝AD．故②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF．故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE＝FC．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB+AC＝2AE．故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17．4
【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据等量代换求解即可；
【详解】∵AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，
∴，
∵AC长为16cm，BE长为12cm，
∴；
故答案是4．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的应用，准确计算是解题的关键．
18．90
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得的度数，然后求解．
【详解】解：
故答案为：90．
【点睛】此题考查了三角形的角度问题，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理．
19．35°
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD=30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=100°-30°=70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=∠CAD=×70°=35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
20．
【分析】连接CD、BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相较于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，从而得到AF=AE，可证的Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，即可得到结果．
【详解】解：如图所示，连接CD、BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中
∴Rt△CDF≌Rt△BDE
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=6，AC=3，
∴BE=．
故答案为：
【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
21．或
【分析】分两种情况：①当作斜边AB的垂直平分线PQ，与BC交于点D时，连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；②当作直角边的垂直平分线PQ，与斜边AB交于点D时，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线性质求得CD．
【详解】解：当作斜边AB的垂直平分线PQ，与BC交于点D时，连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5-x）2，
解得x=，
∴CD=BC-DB=5-=；
当作直角边的垂直平分线PQ或P′Q′，都与斜边AB交于点D时，连接CD，
则D是AB的中点，
∴CD=AB=，
综上可知，CD=或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
22．见解析
【分析】连接，，根据角平分线性质求出，根据线段垂直平分线求出，根据证，即可得出答案．
【详解】
解：证明：连接，，
是的平分线，，，
，，
在的垂直平分线上，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，关键是掌握全等三角形的判定定理．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用尺规作图法，任取一点，使点在点B的两侧，以B点为圆心，B点到该点的长为半径画弧，交直线于两点，再分别以这两点为圆心，以大于两点一半距离为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与该点与直线l交于点F，即为所求点；
（2）利用尺规作图法，在线段的两端点用同一半径画弧，在线段的两旁各得一个交点，将此两交点连接起来，这个连线即为线段的垂直平分线，与直线l交于点C，即为所求点；
（3）首先由，得出，，再由，，得出，即可证明．
【详解】（1）解：如图，直线就是要求作的垂线；
（2）解：如图，点C就是所要求作的点；
（3）证明：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴，
在和中
∴．
【点睛】此题主要考查尺规作图法过直线外一点作其垂线，以及线段的垂直平分线，三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题．
24．见解析
【分析】作边的垂直平分线交边于点，则点即为所求，理由：先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．
【详解】解：如图，作边的垂直平分线交边于点，则点即为所求．
理由：连接，
垂直平分，
，
，
．
【点睛】本题考查了作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
25．(1)见解析
(2)，．理由见解析
【分析】（1）利用基本作图（作一个角的平分线和过一点作直线的垂线）求解；
（2）先利用等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质和角平分线定义可得，则可判断；接着根据“”证明得到，然后根据等腰三角形的性质，由得到，所以．
【详解】（1）如图所示；
（2），．
理由如下：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，即；
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
26．(1)，理由见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）连接BQ，根据BC垂直平分OQ，可知，则，根据OF平分，则，即，根据，可知，则可知；
（2）如图，连接，根据垂直平分，可知，结合条件可证，则，根据平分，，可知，则，进而可知，由此可证（），则．
【详解】（1）解：
理由如下：
连接BQ
∵BC垂直平分OQ
∴
∴
∵OF平分
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）存在，
理由：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
在和中，
∴（）
∴，
∵平分，
，
∴，
∴，
∴，
在△AOB和△PQB中，
∴（），
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，本题属于中考常考问题．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)7
【分析】（1）先作出线段的垂直平分线与的交点D，连接即为所求；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（3）根据垂线的尺规作图方法作图即可；
（4）根据三角形周长公式和中线的定义可以推出．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：∵，，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了画三角形的中线，高和角平分线，三角形周长等等，熟知相关知识是解题的关键．
28．见解析
【分析】根据线段垂直平分线和角平分线的性质，分别作线段AB的垂直平分线，∠EOD的平分线，两直线的交点即为货运站．
【详解】解：如图所示：
作线段AB的垂直平分线，
作∠EOD的平分线，
两直线相交于点P即为货运站．
【点睛】本题考查的是应用与设计作图，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
29．（1）详见解析；（2）∠BAC+∠BGC＝180°，证明详见解析．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线即可；
（2）在AB上截取AD＝AC，连接DG．首先证明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG＝180°，利用四边形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：（1）线段BC的中垂线EG如图所示：
（2）结论：∠BAC+∠BGC＝180°．
理由：在AB上截取AD＝AC，连接DG．
∵AM平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAG，
在△DAG和△CAG中
∵
∴△DAG≌△CAG（SAS），
∴∠ADG＝∠ACG，DG＝CG，
∵G在BC的垂直平分线上，
∴BG＝CG，
∴BG＝DG，
∴∠ABG＝∠BDG，
∵∠BDG+∠ADG＝180°，
∴∠ABG+∠ACG＝180°，
∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC＝360°，
∴∠BAC+∠BGC＝180°．
【点睛】本题考查的知识点有简单的尺规作图，全等三角形的判定定理，四边形内角和定理等，此类题目需要用数形结合的方法，通过作辅助线，可以使题目简单明了，更容易得解.13.2 画轴对称图形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2022秋·河南开封·八年级期末）与点关于直线对称的点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）点P的坐标为，则点P关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南郑州·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2
B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0
C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2）
D．点C（﹣3，2）在第一象限内
5．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）已知点和点关于y轴对称，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
6．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）点A（﹣1，3）和点B（﹣1，﹣3）在坐标平面内的关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．没有对称关系
7．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当ΔAEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．100° B．90° C．70° D．80°
二、填空题
9．（2022秋·河南濮阳·八年级统考期末）正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有 种．
10．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）已知点与点关于轴对称，则的值为 ．
11．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点关于轴对称的点的坐标是 ．
12．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，A（1，3），B（3，－1），点P在y轴上，当PA＋PB取得最小值时，点P的坐标为 ．
13．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）已知点与点关于x轴对称，那么的值为 ．
14．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（m，n），则经过第2021次变换后所得的A点坐标是 ．
15．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则 ．
16．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °．
三、解答题
17．（2022秋·河南焦作·八年级统考期末）如图：的三个顶点的坐标分别为，，
(1)请在图中画出关于y轴对称的图形，写出，，的坐标；
(2)如果关于x轴对称的图形是，写出、、的坐标．
18．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在正方形网格的格点上．
(1)画出将沿轴方向向右平移个单位长度后得到的；
(2)画出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标；
(3)在轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹）
19．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
(1)画出关于轴对称的；
(2)画出将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度的，井写出点的坐标；
(3)连接，，求的面积．
20．（2022秋·河南郑州·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 ；
(3)△A1B1C1的面积为 ；
(4)在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）
21．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)在图中作出关于轴对称的，并写出、、的坐标；
(2)点为的中点，请写出点关于轴对称的点的坐标．
22．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，△ABC在正方形网格中，已知网格的单位长度为1，点A，B，C均在格点上，按要求回答下列问题：
(1)分别写出点A，B，C的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)请在这个坐标系内画出，使与△ABC关于y轴对称．
23．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）在如图所示的直角坐标系中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点C的坐标是（-1，-2）．
(1)将△ABC沿y轴正方向上平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积．
24．（2022秋·河南濮阳·八年级统考期末）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），建立如图所示的直角坐标系．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)在图中作出关于y轴对称的（点与点A，点与点B，点与点C相对应）；
(3)请求出的面积．
25．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）某兴趣小组遇到这样一个问题：在中，，，，求的面积．为了解决问题，他们在网格纸上建立了平面直角坐标系，并根据边长作出了，进而得到的三个顶点的坐标为，，．这样就可以轻松地求出的面积．
(1)请你直接写出的面积______．
(2)画出关于轴对称的，并写出点，的坐标．
(3)形状是______．
26．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，在下方单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积．
27．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；
（2）△ABC的面积是 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
28．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）△ABC的面积为______．
29．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．
30．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1 ；B1 ；C1 ；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
31．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，ΔABC中，A点坐标为(2，4)，B点坐标为(-3，-2)，C点坐标为(3，1).
(1)在图中画出ΔABC关于y轴对称的ΔA′B′C′(不写画法)，并写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)求ΔABC的面积.
32．（2022秋·河南焦作·八年级统考期末）如图已知的三个顶点坐标分别为，，
(1)的面积是______（每个小方格是边长为1的正方形）
(2)请画出关于x轴对称的图形．其中的坐标为（______，______），关于y轴对称的点的坐标为（______，______）
(3)设点P在坐标轴上，且与的面积相等，直接写出P的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【详解】解：如图所示：
与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选C．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
2．D
【分析】作点关于直线对称的点A，连接，可得直线垂直平分，设点A的坐标为，可得到关于a，b的方程组，即可求解．
【详解】解：如图，作点关于直线对称的点A，连接，
∴直线垂直平分，
∴，
设点A的坐标为，
∴，解得：或（舍去），
∴与点关于直线对称的点是．
故选：D
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，坐标与图形，熟练掌握线段垂直平分线的性质，坐标与图形的性质是解题的关键．
3．C
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可得出答案．
【详解】解：点关于y轴的对称点为，
的坐标为，
故选C．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握“关于y轴对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标相等”．
4．C
【分析】分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．
【详解】解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意；
B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；
C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意；
D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点，即可求得a、b的值，据此即可解答．
【详解】解：点和点关于y轴对称，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于y轴对称的点的坐标特点是解决本题的关键．
6．A
【分析】根据坐标系内对称点的坐标特征即可解答．
【详解】解：∵点A（-1，3），点B（-1，-3）的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∴点A和点B关于轴对称．
故选A．
【点睛】本题主要考查了点与坐标、轴对称等知识点，关于轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数．
7．B
【分析】直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，
∵飞机E的坐标为(40，a)，
∴飞机D的坐标为(-40，a)，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
8．A
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点分别为点G和点H，即可得出，，根据的内角和为，可得出；再根据四边形的内角和为可知，，即，建立方程组，可得到的度数，即可得出答案．
【详解】解：作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，
∵四边形的内角和为，
∴，
即①，
由作图可知：，，
∵的内角和为，
∴②，
方程①和②联立方程组，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称变换、最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理、四边形的内角和及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E、F的位置是解题关键．
9．4
【分析】利用轴对称图形定义进行补图即可．
【详解】解：如图所示：
，
共4种，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
10．1
【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
则．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
11．
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标符号改变可得答案．
【详解】解：∵将点向右平移5个单位长度得到点，
∴点，
∵点和点关于轴对称，
∴点的坐标是．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化——平移，以及关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
12．（0，2）
【分析】根据对称性，作出点关于y轴的对称点，连接与y轴交于点P,，根据两点之间线段最短即可得结论．
【详解】
如图所示，作出点关于点y轴的对称点，连接交y轴与点Ｐ，此时根据两点之间线段最短，所以点P的坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性性质．
13．7
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．
【详解】∵点与点关于x轴对称，
∴，，
∴．
故答案为7．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
14．（m，－n）
【分析】根据轴对称图形的坐标特点分别求出前四次变换后的A点坐标，找到规律求解即可．
【详解】解：第一次变换后A点坐标是（m，－n），第二次变换后A点坐标是（－m，－n），第三次变换后A点坐标是（－m，n），第四次变换后A点坐标是（m，n），
每四次变换一个循环，
∵2021=4×505+1，
∴经过第2021次变换后所得的A点坐标是（m，－n），
故答案为：（m，－n）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的轴对称变换规律，利用点关于坐标轴对称的点的特点找出规律是解题关键．
15．-1
【分析】根据轴对称的性质，点M和点N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可以求得a、b的值，从而可得a+b的值.
【详解】解：∵点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），
∴b=-3，a=2，
∴a+b=-1，
∴（a+b）2021=（-1）20121=-1．
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了轴对称的性质和有理数乘方的运算，解题的关键是先求得a、b的值.
16．50
【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值；
【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
∵AM=AM，
∴△AME≌△AMN，
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；
故答案为：50．
【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．
17．(1)作图见解析，，，
(2)，，
【分析】（1）分别作出点、、关于轴的对称点，再顺次来连接可得，根据图形及关于轴的对称的点的特点写出坐标即可；
（2）根据关于轴的对称的点的特点写出坐标即可；
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得：，，；
（2）关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得：
，，．
【点睛】本题主要考查作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
18．(1)见解析
(2)图见解析，点的坐标为
(3)见解析
【分析】（1）分别作出点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可；
（2）分别作出点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可；
（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求作三角形；
（2）解：如图所示，即为所求作三角形；
点的坐标为；
（3）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则点即为所求．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——平移和轴对称，熟练掌握平移变换和轴对称变换的性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)图见解析，F点的坐标为
(3)2
【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于x轴对称的对应点，顺次连接得到，即为所求；
（2）根据平移的性质找到的对应点，顺次连接得出，即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可求解；
（3）根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：关于x轴对称得如解图所示
（2）如解图所示，F点的坐标为
（3）△如解图所示，在中，，边上的高=4
∴
【点睛】本题考查了画轴对称图形，画平移图形，坐标与图形，数形结合是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)y轴，（﹣2，3）
(3)
(4)见解析
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（2）利用轴对称的性质求解问题即可．
（3）利用分割法的思想，将三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
（4）连接交轴于点，连接，点即为所求．
【详解】（1）解：如图，△即为所求．
（2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为．
故答案为：轴，．
（3）解：△的面积为．
故答案为：．
（4）解：如图，点即为所求．
【点睛】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
21．(1)作图见解析，
(2)
【分析】（1）分别确定A，B，C关于y轴对称的对应点、、，再顺次连接、、即可，再根据点的位置直接写出其坐标即可；
（2）由点为的中点，点关于轴对称的点为，可得为的中点，再利用中点坐标公式求解其坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，
∴，，．
（2）∵点为的中点，点关于轴对称的点为，
∴为的中点，
∵，，
∴
【点睛】本题考查的是坐标与图形，轴对称的作图，中点坐标公式的应用，利用轴对称的性质作图是解本题的关键．
22．(1)；；
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据三个顶点在坐标系中的位置即可得出答案；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可；
（3）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可．
【详解】（1）解：由图知，A（0，3）、B（﹣4，4）、C（﹣2，1）；
（2）△ABC的面积为3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝5，
答：△ABC的面积为5；
（3）如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点睛】此题主要考查作图—轴对称变换、点的坐标、三角形的面积等知识，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出变换后的对应点．
23．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）将三个顶点分别向上平移3个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可，用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．
；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求，
△A2B2C2的面积的面积为2×3-×1×3-×1×2-×1×2=6--1-1=．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
24．(1)A（﹣3，4），B（﹣4，0），C（﹣1，1）
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用点的坐标的表示方法求解；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用包围△ABC的最小的长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可．
【详解】（1）解：根据点的坐标的表示方法从图中找出点点A，B，C的坐标分别为：
A（﹣3，4），B（﹣4，0），C（﹣1，1）；
（2）解：如图所示：
（3）解：用包围△ABC的最小的长方形的面积减去三个直角三角形的面积得
S△ABC
【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
25．(1)；
(2)见解析，，；
(3)等腰直角三角形
【分析】（1）利用割补法，用长方形减去三角形即可求出面积；
（2）根据对称的定义画出图形，写出变化之后坐标即可；
（3）计算出三边长度，判断为等腰直角三角形．
【详解】（1）
故答案为：8.5；
（2）如图所示，点，
（3）∵，，，
∴，
∴等腰直角三角形．
【点睛】本题考查直角坐标系中求线段，求面积，及对称问题，熟练掌握相关计算方法是解题关键．
26．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标，并画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′即可；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【详解】（1）解：关于y轴对称的如下图所示 ：
（2）
．
【点睛】本题考查的是作图 轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
27．（1）见解析；（2）4；（3）或
【分析】（1）根据平面直角坐标系描出点,再根据题意作关于轴的对称点,顺次连接即可；
（2）根据网格的特点求解；
（3）设，进而根据三角形的面积公式进行计算即可；
【详解】（1）如图，根据平面直角坐标系描出点,再根据题意作关于轴的对称点,顺次连接即可；
（2）
（3）设，
或
或
【点睛】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，割补法求网格内三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）见解析；（3）5.5
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）根据对称的性质，画出A、B、C的对称点A2、B2、C2即可；
（3）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△ABC的面积=，
故答案为5.5．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．
29．（1）见解析，A1（1，﹣1）、B1（4，﹣2）、C1（3，﹣4）；（2）见解析．
【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1，根据轴对称性质得到A1、B1、C1的坐标即可；
（2）因为A′与A点是关于y轴对称的点，连结A′B，交与y轴于点P，此时PA+PB的值最小．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
∵A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
又∵△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，
关于x轴对称，对称点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标变为它的相反数，
∴A1的坐标为（1，﹣1）、B1的坐标为（4，﹣2）、C1的坐标为（3，﹣4）；
（2）因为A′与A点是关于y轴对称的点，连结A′B，交与y轴于点P，
∵A′、P、B三点在一直线上，利用两点之间线段最短A′B=A′P+PB=AP+PB，
∴PA+PB的值最小．
如图所示，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题．凡是涉及最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称的变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．（1）见解析；（2）（3，2）；（4，﹣3）；（1，﹣1）；（3）6.5；（4）见解析
【分析】（1）根据关于y轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所作图形，进而得出各点坐标；
（3）利用△ABC所在矩形面积减去△ABC周围三角形面积进而求出即可；
（4）利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）由（1）中所作图形，得
A1 (3，2)；B1 (4，﹣3)；C1 (1，﹣1)；
（3）△A1B1C1的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝6.5；
（4）如图所示：如图，连接B1C与y轴的交点为P， P点即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称变换以及三角形面积求法等知识，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
31．(1)见解析，A′(-2，4)，B′(3，-2)，C′(-3，1)；(2)
【分析】（1）根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【详解】解：（1）如图，
A′（-2，4），B′（3，-2），C′（-3，1）；
（2）S△ABC=6×6-×5×6-×6×3-×1×3，
=36-15-9-，
=．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
32．(1)
(2)详见解析，
(3)P点的坐标为或或或
【分析】（1）根据的面积等于所在的长方形的面积减去其周围的三个直角三角形的面积，即可求解；
（2）分别找到点A、B、C的对应点，即可求解；
（3）分两种情况：当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，即可求解．
【详解】（1）解：的面积是；
故答案为：
（2）解：如图所示，即为所求，
的坐标为；
∴关于y轴对称的点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：当点P在x轴上时，
设点P的坐标为，则，
∵与的面积相等，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为或；
当点P在y轴上时，
设点P的坐标为，则，
∵与的面积相等，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为或；
综上所述，P点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了作图——轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13.3.1 等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管多少根．（ ）
A．2根 B．4根 C．5根 D．无法确定
2．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，于点D．按下列方法作图：（1）以点B为圆心，以适当长为半径画弧分别交，于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点G；（3）作射线交于H；（4）连接并延长交于M．关于线段，下列说法正确的是（ ）
A．线段是的一条角平分线 B．线段是的一条中线
C．线段是的一条高 D．线段平分线段
3．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
4．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角和是360° B．等腰三角形的两底角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．真命题的逆命题是真命题
5．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）如图，，，，下列等式不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河南信阳·八年级期末）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
7．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022秋·河南周口·八年级期末）如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该 三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )
A．15° B．40 C．15°或20° D．15°或40°
9．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在中，已知和的平分线相交于点F，交于点D，交于点E．若，则的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
10．（2022秋·河南新乡·八年级期末）如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点．D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③；④的周长；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
11．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
12．（2022春·河南濮阳·八年级统考期末）若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（ ）
A．12 B．16 C．12或15 D．15
二、填空题
13．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于M，的垂直平分线交于N，连接，若，则＝ °.
14．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，点P在四边形ABCD中，，，PA平分，设，，则与满足的数量关系是 ．
15．（2022秋·河南开封·八年级统考期末）如图，∠B＝∠C，要使△ABD≌△ACE，只需增加的一个条件是 （只需填写一个你认为适合的条件）．
16．（2022秋·河南三门峡·八年级期末）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 ．
17．（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期末）已知等腰三角形的两条边长分别是，那么这个等腰三角形的周长是 cm．
三、解答题
18．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图，在中，．
(1)请用尺规作图的方法作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求的度数．
19．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，在中，于点D，是的外角的平分线．
(1)求证：．
(2)若平分交于点N，判断的形状并说明理由．
20．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在等腰三角形中，两底角的平分线交于点O，求证：．
21．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动（点P不与点C重合），同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间是1s时，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当△BPD与△CQP全等时，点P，点Q的运动时间是多少？
22．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，在中，，于点，于点，，相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD⊥BC，CE⊥AB．求证：
(1)△AEF≌△CEB；
(2)AF＝2CD．
24．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，
①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
②作直线．
所以直线CD就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
∴．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
∵，
∴，
．
∴．
∴．（ ）（填推理的依据）
∴和都是等腰三角形．
25．（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．
26．（2022秋·河南焦作·八年级统考期末）学过三角形全等后，老师在黑板上出了这样一道题：如图1，已知D是的中点，．求证：．同学们猛一看很简单，肯定成立．那么具体怎么证明呢？此时有同学发现这是典型的“边边角”条件，而三角形全等判定中没有该定理，这该怎么办？此时皮皮同学说我们可以“倍长中线”通过转化进行证明，聪明的你知道怎么写出证明过程吗？
(1)请做出辅助线，写出证明过程．
(2)如图2，点D是的中点，点A在线段上，如果，求证：．
(3)拓展与应用：把（2）中的条件与结论进行了互换．如图3，点D在上，点A在线段上，如果，，那么D是的中点成立吗？请同学们做出判断．如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
27．（2022秋·河南安阳·八年级期末）如图①，，，，相交于点M，连接．
(1)求证：；
(2)用含的式子表示的度数；
(3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明．
28．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，三个顶点的坐标分别为、、．
(1)若与关于y轴成轴对称，作出，写出点B的对称点的坐标______；
(2)若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______；
(3)点Q在x轴上，且满足为等腰三角形，则这样的Q点有______个；
(4)计算的面积．
参考答案：
1．C
【分析】利用三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算求解．
【详解】如图所示，
∵，，
∴，
∴。
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
此时无法再添加了，所以总共添加，，，，共5根。
故选：C
【点睛】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．A
【分析】根据等腰三角形的性质可证明，得到，再根据，得到，利用可得，即可得到CH平分．
【详解】解：由题意可知：平分，
∵，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴CH平分，即线段是的一条角平分线，
故选：A
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的定义性质，解题的关键是证明，进一步证明．
3．D
【分析】分两种情况：①AB为等腰三角形的底边，连接AB，作AB的垂直平分线，得到的格点C有6个符合要求；②AB为等腰三角形的一条腰，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，得到的格点C有4个；画出图形，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有6个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有4个．
所以符合条件的点C共有10个．
故选：D．
【点睛】此题考查了画等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，注意数形结合的解题思想．
4．B
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A、逆命题为：外角和是360°的多边形是三角形，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：两角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题看，符合题意；
C、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为：真命题的逆命题为真命题，错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是写出原命题的逆命题，难度不大．
5．D
【分析】由全等推出对应角，对应边相等，由等腰三角形的判定推出边相等．
【详解】解：∵，
∴，
∴选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴选项B正确，选项C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴选项D不一定正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定．理解和掌握全等三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
6．C
【分析】根据是角平分线和可以得出，继而可以得出的周长，从而可以得出答案．
【详解】解：∵分别是与的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出是解题的关键．
7．C
【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．
【详解】∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，
∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1= ∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2= （180°-∠1）=65°；
当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；
当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．
∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个．
故选C．
【点睛】本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论．
8．C
【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．
【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC，DB=DC时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°，
所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；
故∠ABC=60°，∠C=80°；
如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，
∵△APB，△APC都是等腰三角形；
∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，
如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，
∵△APB，△APC都是等腰三角形，
∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
9．B
【分析】先由平行线的性质与角平分线的定义证得，，再由等腰三角形的判定即可得出，，然后根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证得是解题的关键．
10．B
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一判定即可解答．
【详解】解：，
，，
是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，都是等腰三角形，故①正确；
，，即有，故②正确；
显然,故，故③错误；
的周长，故④正确；
根据题意，无法得到，故⑤错误，
综上所述，①②④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
11．B
【分析】利用非负数的性质，求出，的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．
【详解】解：，
又，，
，，
当等腰三角形的边长为4，4，8时，不符合三角形的三边关系；
当等腰三角形的三边为8，8，4时，周长为20，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．D
【分析】根据非负数的性质求得的值，进而根据等腰三角形的定义，以及三角形三边关系取舍，即可求解．
【详解】解：，
m-3=0，n-6=0，
m=3，n=6，
当等腰△ABC的底边是3时，腰是6；△ABC的周长：3+6+6=15，
当等腰三角形的底边是6时，三角形的三边为：6，3，3，不能构成三角形．
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键
13．85
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理求出的值，然后根据再根据三角形的内角和定理求出的度数即可.
【详解】解：∵的垂直平分线交于M，的垂直平分线交于N，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴∠.
故答案为：85.
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，灵活运用垂直平分线的性质是解答本题的关键.
14．
【分析】连接AC，延长BP交AC于点E，证明BP垂直平分AC，得到，连接BD，延长AP交BD于F，证明△ABD关于AP对称，得出∠ABE=，由此得到答案．
【详解】解：如图，连接AC，延长BP交AC于点E，
∵AB=BC，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∵AP=PC，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
∴BP垂直平分AC，
∴，
连接BD，延长AP交BD于F，
∵AB=AD，PA平分，
∴△ABD关于AP对称，
∴BP=DP，
∴∠ABE=，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，正确掌握垂直平分线的判定定理及等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
15．或或
【分析】先根据等角对等边得出AB=AC，得出了一条边和一个角对应相等，有角边角、边角边或角角边定理，再补充一组对边相等或一组对角相等即可；
【详解】解： ，
添加，，后可分别根据、、判定；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
16． 或
【分析】过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故答案为： 或，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．15或18
【分析】根据题意分两种情况：第一种是底边长为7，第二种情况是底边长为4，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，然后再将三边长相加即可求得答案．
【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别是4cm、7cm，
∴当此三角形的腰长为4cm时，4＋4＞7，能构成三角形，
此等腰三角形的周长＝4＋4＋7＝15cm，
∴此三角形的腰长为7cm，底边长为4cm，
4＋7＞7，能构成三角形，
∴此等腰三角形的周长＝7＋7＋4＝18cm，
故答案为：15或18．
【点睛】此题是等腰三角形的性质，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解本题的关键是用三角形的三边关系判断能否构成三角形．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）以为圆心，适当长为半径作弧交于，交于，以，为圆心大于的长为半径作弧，两弧交于，作射线交于，则即为所求；
（2）由为的角平分线，，可得，，又，故，从而得．
【详解】（1）解：如图：线段即为所求；
（2）为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查作图基本作图，涉及等腰三角形的性质及应用，三角形内角和定理的应用等知识，解题的关键是掌握作一个角的平分线的方法．
19．(1)见解析
(2)等腰直角三角形，见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；
（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵
∴
∴
∴．
（2）是等腰直角三角形，
理由是：∵，
∴，
∵平分，
∴．
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．
20．见解析
【分析】根据等边对等角及角平分线定义求出，推出；证明，得到，进而证得．
【详解】证明：在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
21．(1)△BPD≌△CQP，理由见解析
(2)s
【分析】（1）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的对应关系，再根据路程=速度×时间公式，即可求得点P，点Q的运动时间．
【详解】（1）解：△BPD≌△CQP，理由如下：
∵t=1s， ∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
∵PC=BC-BP，BC=8cm，
∴PC=8-3=5cm，
∴PC=BD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
则只有△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
∴BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间s．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、路程=速度×时间等知识，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先根据角的代换求得，再由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得答案．
【详解】解：（1）证明：
在与中
（2）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由“ASA”可证△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质可得AF＝BC，由等腰三角形的性质可得AF＝BC＝2CD．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE，
∵AD⊥BC，
∴∠B＋∠BAD＝90°＝∠B＋∠BCE，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2CD，
∴AF＝2CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．(1)见详解
(2)垂直平分线上的点到线段两端距离相等；；；等角对等边．
【分析】（1）作的垂直平分线交于点，需分别以，两点为圆心，以大于的长度作弧，分别交于，两点，然后连接交于点；
（2）根据垂直平分线的性质以及等角关系填空即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
∴．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴．
∵，
∴，
．
∴．
∴．（等角对等边）
∴和都是等腰三角形．
故答案为：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；；；等角对等边．
【点睛】本题考查垂直平分线的尺规作图与性质以及等腰三角形的相关证明；熟练掌握等腰三角形的判定方法是本题的解题关键．
25．(1)见解析
(2)等腰三角形，证明见解析
【分析】（1）利用HL公理证明 Rt△ABC≌Rt△DCB ；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB证明∠ACB＝∠DBC，从而证明△OBC是等腰三角形.
【详解】（1）证明：在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查斜边直角边判定两个直角三角形全等和等腰三角形的判定与性质，熟练掌握斜边直角边等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
26．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)D是的中点成立，证明见解析
【分析】（1）如图所示，延长到E，使，连接，利用证明，得到，，进而推出， 则，即可证明；
（2）如图所示，延长到E，使，连接，利用证明，得到，，进而推出， 则，即可证明；
（3）如图所示，过点C作交的延长线于点E．由平行线的性质得到，推出，得到，进而推出，利用证明得到，即可证明D是的中点．
【详解】（1）解：如图所示，延长到E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长到E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：D是的中点成立，证明如下：
如图所示，过点C作交的延长线于点E．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即D是的中点．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27．(1)证明见解析
(2)
(3)为等腰直角三角形．证明见解析
【分析】（1）利用证明，即可得；
（2）根据得出，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出的度数；
（3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图1，∵，
，
在中，，
=
，
在中，
．
（3）解：为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）得，
的中点分别为点P、Q，
，
∵，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键．
28．(1)
(2)
(3)3
(4)
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别做出A、B、C的对应点、、即可；
（2）连接交y轴于点P，连接即可；
（3）根据等腰三角形的定义即可判断；
（4）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）如图，即为所求，点的对称点的坐标
故答案为：；
（2）如图，连接、
的长度固定
为最小，则周长为最小
只有、、或、、三点同线时，存在最小
点即为所求，
故答案为：；
（3）当时，有两个点满足条件
当时，只有一个点满足条件
当时，不存在
故答案为：3；
（4）的面积
．
【点睛】本题考查作图，等腰三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题关键是掌握轴对称变换的性质．13.3.2 等边三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南新乡·八年级期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，已知，，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，中，，，点在边上，，，则的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）如图，在中，，，，垂足为点D，平分交于点E，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
7．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，与关于直线a对称，若，，，则的长为 ．
9．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图，和都是等腰三角形，且，O是的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为 ．
10．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）如图，中，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，，直线交于点，交于点．若，则 ．
三、解答题
11．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）已知中，，中，，，点A，D，E在同一直线上，与相交于点F，连接．如图，当时，
(1)请直接写出和的形状；
(2)求证：；
(3)请求出的度数．
12．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，为等边三角形，，与相交于点，于Q，，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求的长．
13．（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期末）问题发现：如图①，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结．填空：
(1)的度数为___________；
(2)线段之间的数量关系是___________．
拓展探究：
(3)如图②，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连结，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
14．（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）问题呈现：下现是小明复习等边三角形时遇到的一个问题，请仔细阅读：
如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且，求证：． 小明的思路：过点E作，交AC于点F，通过证明，然后进一步推导就可以得到所求证的结论．
请借鉴小明的思路写出证明过程．
15．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为1cm/s，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为t秒，连接AQ、CP交于点M．
(1)求证：△ABQ≌△CAP．
(2)求证：点P、Q在运动的过程中，∠CMQ的度数不变化，并求出∠CMQ的度数．
(3)当t为何值时△PBQ是直角三角形？
16．（2022秋·河南安阳·八年级期末）如图，点E，B在线段上，，于点E，于点B，连接，连接分别交，于点M，G，．
(1)由上述条件可得，下面是小唯同学的思考过程，请你在横线上填写内容，在括号内填写依据．
思考过程：
∵于点E，于点B，
∴和是直角三角形．
∵．
∴______，即______（依据：等量代换）．
在和中
∴（依据：______）．
∴（依据：______）；
(2)若，判断的形状．
17．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)求的度数．
(2)是等边三角形吗？为什么？
18．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M．已知AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠FME＝60°，求证：△MFE是等边三角形．
19．（2022秋·河南开封·八年级统考期末）如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD=CE，BE=CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．
20．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）在中，，，，点，分别在，上，沿将翻折，使顶点的对应点落在边上，若，求的长．
21．（2022秋·河南郑州·八年级统考期末）数学课上，刘老师出示了如下框中的题目：
如图，在等边中，E为线段AB上一点，D为线段CB延长线上一点，且，试确定AE与DB的大小关系，并说明理由．
小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解．刘老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”．两人茅塞顿开，于是进行了如下解答，请你根据他们提供的思路完成下面相应内容：
(1)特殊情况·探索结论
当点E为线段AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE________DB．（选填“>”，“<”或“=”）
(2)特例启发·解答题目
当E为线段AB上除中点外的任意一点时，其余条件不变，如图2，（1）中线段AE与DB的大小关系会发生改变吗？若不会，请证明；若改变，请说明理由．
(3)拓展结论·设计新题
经过以上的解答，小聪和小明发现如果把刘老师的题目稍加改变，就会得到这样一道题目：在等边中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且．若的边长为1，，求CD的长．
请你根据（1）（2）的探究过程，尝试解决两人改编的此问题，直接写出CD的长．
22．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，和都是等边三角形，、、三点共线，连接交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
23．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=6，点E，F分别在AB，AC上，沿EF将△AEF翻折，使顶点A的对应点D落在BC边上，若FD⊥BC，求EF的长．
24．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．
(1)的度数为_______________；
(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；
(3)连接，若，求的长．
25．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）请结合以下命题和图形，写出已知，求证，并进行证明．
命题：平行于等边三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形是等边三角形．
已知：如图，__________________．
求证：________________________．
证明：
26．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：
探究．
如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
(1)图中直角边BC与斜边AB的数量关系是___________；
(2)爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在中，，，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接CP．
①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
②帮助小明完成证明过程．
27．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）已知M是等边的边BC上的点．
(1)如图①，过点M作，交AB于点N，求证：；
(2)如图②，连接AM，过点M作，MH与的邻补角的平分线交于点H，过点H作，交BC延长线于点D．求证：；
(3)在（2）的条件下，猜想CB，CM，CD之间的数量关系，并证明．
参考答案：
1．C
【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，与交于点P，此时最小，
∵是等边三角形，AD⊥BC，
∴，
∴，
即就是的最小值，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，最短线路问题，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
2．D
【分析】由题意得，，故阴影部分的周长可以转化为三角形的周长．
【详解】解：等边的边长为，将沿直线折叠，点落在点处，
∴，，
∴阴影部分图形的周长为：
，
．
故答案为：D．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）．折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
3．D
【分析】由是等边三角形，得，由，得，则，所以，可判断A正确；由是等边三角形的中线，得，而，则，可判断B正确；由，得，可判断C正确；由，根据垂线段最短得，所以，可判断D错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故A正确，不符合题意；
∵是等边三角形的中线，
∴，，
∴，
故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
故D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，正确地求出的度数和的度数是解题的关键．
4．C
【分析】根据角平分线的定义可得到，然后由可知，从而得到，所以是等边三角形，由，即可得出答案．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键，属于基础综合题．
5．B
【分析】过点C作于点H，根据含30°角直角三角形的性质可得BH的长，进一步得到DH的长，再根据等腰三角形三线合一性质证明H是AD的中点，据此解答．
【详解】解：如图，过点C作于点H，
H是AD的中点
故选：B．
【点睛】本题考查含30°角直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．B
【分析】根据30°角所对直角边等于斜边一半，求出AD，再根据角平分线，得，从而有 ，进而即可求解DE的长．
【详解】解：∵，
∴，，
∵BE平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练运用30°角所对直角边等于斜边的一半这一性质，推导线段之间的关系是解题关键．
7．B
【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB = 30°，运用直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半可得CD=AD=BD，再利用角平分线的性质定理CD=DE=BD，从而可求得结论．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA= DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠B=∠CAD=∠DAB，
又∵∠C= 90°，
∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD = 30°，
∴CD=AD=BD，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=BD，
∵BC=6，
∴CD=DE=2；
故选：B．
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，掌握含30°角的直角三角形性质和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
8．/5厘米
【分析】先根据轴对称的性质得出，，再根据含角的直角三角形的性质即可求解出的长．
【详解】解：与关于直线a对称，，，
，，
又，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质、含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握成轴对称的两个图形的对应边相等、对应角相等．
9．2
【分析】取的中点为点，连接，先证得，得出 ，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半求得时的 的值，即可求得线段的最小值．
【详解】解：取的中点为点，连接，
，
，
即，
，为中点，
，
在和中，
，
，
，
点在直线上运动，
当时，最小，
是等腰三角形，
，
，
，
线段的最小值是为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题．
10．6
【分析】连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，再计算出，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出即可．
【详解】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线及直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决此类问题的关键．
11．(1)都是等边三角形
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得出结论；
（2）证明，即可得证；
（3）根据，得到，根据等边三角形的性质，得到，得到，利用，即可得出结论．
【详解】（1）解：和都是等边三角形．
∵，，
∴为等边三角形．
∵，，
∴为等边三角形．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握有一个角是的等腰三角形是等边三角形，证明三角形全等，是解题的关键．
12．(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据SAS证明与全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，进而解答即可；
（3）根据含的直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，，
又，
在与中，，
（SAS），
；
（2）解：由（1）得，，
；
（3）解：，，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
13．(1)
(2)相等
(3)，，理由见解析
【分析】（1）易证，利用全等三角形的性质、等边三角形的性质即可求得结果；
（2）由（1）即可求得两线段间的关系；
（3）易证，利用全等三角形的性质、等边三角形的性质即可求得的度数，再由全等三角形的性质及等腰三角形的判定与性质即可得到三线段的关系．
【详解】（1）解：、都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
；
，
，
；
故答案为：．
（2），
，
即、间的数量关系是相等；
故答案为：相等．
（3）解：；
理由如下：
、都是等腰直角三角形，
，，，
即，
在与中，
，
，
；
，，
，，，
，
；
即的度数为．
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，其中证明两个三角形全等是关键．
14．见解析
【分析】根据等边三角形的性质证明，，结合证明，得到，再根据得到，最终证明．
【详解】过点E作，交AC于点F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形和等边三角形的性质，解题的关键是证明．
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析；∠CMQ＝60°
(3)当第秒或第秒时，△PBQ为直角三形
【分析】（1）利用等边三角形的性质可知AB=AC， ∠B=∠CAP=60°，结合AP=BQ即可得证；
（2）由△APC≌△BQA知∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°；
（3）可用t分别表示出BP和BQ，分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，
又AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
（2）∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
又∠CMQ＝∠ACP﹢∠CAM
∴∠CMQ＝∠BAQ﹢∠CAM＝∠BAC＝60°．
（3）由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，即4﹣t＝2t，
解得t＝；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，即t＝2（4﹣t），
解得t＝；
综上所述，当第秒或第秒时，△PBQ为直角三形．
【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．
16．(1)见解析
(2)等边三角形
【分析】（1）根据证明即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据对顶角相等以及三角形内角和求出其余内角的度数，从而判定的形状．
【详解】（1）解：∵于点E，于点B，
∴和是直角三角形．
∵．
∴，即（依据：等量代换）．
在和中，
，
∴（依据：）．
∴（依据：全等三角形对应角相等）
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形内角和，解题的关键是掌握直角三角形全等的判定方法．
17．(1)
(2)是，理由见解析
【分析】（1）是等腰三角形，其底角度数顶角度数，可得的度数，根三线合一的性质可得，进而可得答案．
（2）是等腰三角形，可得，根据垂直平分线的性质可得，可得，即可得出是等边三角形．
【详解】（1）解：在中，
，，
．
又，
．
在中，，是边上的中线，
，
，
；
（2）是等边三角形．理由如下：
垂直平分，
．
，
，
．
，
，
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
18．（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）证得AE＝BF．根据SAS可得结论；
（2）由△ACE≌△BDF，可得∠CEA＝∠DFB，则结论得证．
【详解】（1）∵AF＝BE，
∴AF＋EF＝BE＋EF，
即AE＝BF．
∵AC＝BD，∠A＝∠B，
∴△ACE≌△BDF（SAS）．
（2）∵△ACE≌△BDF，
∴∠CEA＝∠DFB，
∴ME＝MF，
∵∠FME＝60°，
∴△MFE是等边三角形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
19．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；
（2）∠A=60°时，△DEF是等边三角形，首先根据△DBE≌△ECF，再证明∠DEF=60°，可以证出结论．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=60°时，△DEF是等边三角形，
理由：∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠DEF=180°-∠BED-∠EFC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B
当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，
∴∠B=∠DEF=60°，
则△DEF是等边三角形．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，等边三角形的判定，关键是证明△DBE≌△ECF．
20．2
【分析】根据直角三角形的性质得到，，由折叠的性质得到，，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】解：，，
，，
由折叠的性质可知，，，
，，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、等边三角形的判定与以性质，含30度角的直角三角形的性质等，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
21．(1)=
(2)不会改变，仍有．见解析
(3)3或1
【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；
（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；
（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．
【详解】（1）解：∵△ABC为等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE=30°，∠ABC=60°，AE=BE，
∵DE=CE，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°，
∴∠D=∠BED，
∴DB=BE=AE；
故答案为：=
（2）解：不会改变，仍有．证明如下：
如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
∵是等边三角形，
∴，．
∵EF∥BC，
∴，．
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∴，即．
∵，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴．
∵，
∴．
（3）解：如图，若点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠ACB=60°，
∵AE=2，
∴AB=BC=BE=1，
∵∠ABC=∠BEC+∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE=30°，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是直角三角形，
∵DE=CE，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°-30°-60°=90°，即△DEB是直角三角形．
∴BD=2BE=2
∴CD=BD+BC=1+2=3；
如图，若点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上，过点E作EM⊥BD于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BEM=30°，
∴BE=2BM，
∵AE=2，
∴BE=3，
∴，
∴CM=BM-BC=0.5，
∵CE=DE，
∴CD=2CM=1；
如图，若点E在AB的延长线上，点D在BC的延长线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠CBE=120°，
∵AE=2，
∴AB=BC=BE=1，
∵∠ABC=∠BEC+∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE=30°，
∴∠ECD=∠BEC+∠CBE=150°，
∵CE=DE，
∴∠D=∠ECD=150°，不符合三角形内角和定理，，舍去；
如图，若点E在BA的延长线上，点D在CB的延长线上，则∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，
∵∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，且∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠EDC<∠DCE，
∴DE≠CE，不合题意，舍去；
综上所述，CD的长为3或1．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出△BEC≌△ADC即可；
（2）根据ASA证明△BCF≌△ACG，得到CF=CG，证明△CFG是等边三角形，得到∠ACB=∠CFG=60°，从而证明．
【详解】（1）解：∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BEC和△ADC中，
，
∴△BEC≌△ADC（SAS），
∴BE=AD．
（2）∵△BEC≌△ACD，
∴∠CAG=∠CBF，
在△BCF和△ACG中，
，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴CF=CG．
又∵∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠ACB=∠CFG=60°，
∴FG∥BD．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，证明三角形全等是正确解答本题的关键．
23．2
【分析】根据直角三角形的性质得到∠CFD＝60°，DF＝FC，由折叠的性质得到∠AFE＝∠DFE＝60°，AF＝DF，得到△AEF是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵FD⊥BC，∠C=30°，
∴∠CFD=60°，DF=FC，
由折叠的性质可知，∠AFE=∠DFE=60°，AF=DF，
∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AF=FC，
∴EF=AC=2．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、等边三角形的判定与性质、含30°直角三角形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
24．(1)
(2)小明，理由见解析
(3)5
【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，可证明△ADB≌△ADC，继而推出∠ADB=∠ADC进行计算即可；
（2）小明更准确，△ABE是等边三角形．只需证明△ABD≌△EBC即可；
（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60° ，
∴△DBC是等边三角形 ，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．
在△ADB和△ADC中， ，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB=∠ADC ，
∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．
（2）解：小明的说法更准确，理由如下：
∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠EBC ，
在△ABD和△EBC中，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB=BE ．
∵∠ABE=60° ，
∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE，如图所示，
∵∠BCE=150°，∠DCB=60° ，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60° ，
∴∠EDC=30° ，
∴ ．
∵△ABD≌△EBC，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
25．△ABC为等边三角形，E，F分别为AB，AC上的点，且EF∥BC；△AEF是等边三角形．证明见解析
【分析】根据命题的题设和结论可写出已知和求证，利用等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°，再利用平行线的性质可证明∠A=∠B=∠C，即可得AE=AF=EF，进而可证明△AEF是等边三角形．
【详解】解：已知：如图，△ABC为等边三角形，E，F分别为AB，AC上的点，且EF∥BC．
求证：△AEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B=60°，∠AFE=∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
∴AE=AF=EF，
∴△AEF是等边三角形．
故答案为：△ABC为等边三角形，E，F分别为AB，AC上的点，且EF∥BC；
△AEF是等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，证得∠A=∠B=∠C是解题的关键．
26．(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质求出一角为，利用全等三角形的性质得出，等边三角形的判定得是等边三角形，最后由等边三角形性质得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出一角为，再由垂直平分线的性质得出，，进而得，是等边三角形，再由等边三角形性质证明结论．
【详解】（1）中，，，
．
≌，
,，
是等边三角形（一角为的等腰三角形为等边三角形）．
，，
．
（2）①如图所示
②证明：
，，
．
垂直平分，
．
，
，
，
是等边三角形．
，
．
，
．
【点睛】本题考查直角三角形、等边三角形、全等三角形、线段的垂直平分线的性质的理解与运用能力．掌握线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；等边三角形的性质与判定（三边相等，三个角相等且为，有一个角为的等腰三角形是等边三角形）是解题的关键．
27．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)BC=MC+2CD
【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的性质可得∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，根据等角对等边可得MB=BN；
（2）过M点作交AB于N，然后证明△AMN≌△MHC，再根据全等三角形的性质可得MA=MH；
（3） 过M点作MG⊥AB于G，再证明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因为BM=2CD可得BC=MC+2CD；
【详解】（1）证明：∵，
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM ，
∴BM=BN；为等边三角形．
（2）证明：如图2，过M点作交AB于N， 则BM=BN，∠ANM=120°
∵等边，
∴AB=BC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60° ，
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中 ， ，
∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA=MH；
（3）CB=CM+2CD；
证明：过M点作MG⊥AB于G，如图2，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵为等边三角形，
∴MN=MB，
∴HC=BM，
∵△BMN为等边三角形，
∴BM=2BG，
平分
而，
在△BMG和△CHD中， ，
∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴BG=CD，
∴BM=2CD，
∴BC=MC+2CD．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，熟练掌握证明三角形全等的方法．13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，正方形网格中有M、N两点，在直线上求点P使最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
2．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸CD的距离分别为AC、BD，且，若A到河岸CD的中点的距离为500m.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家所走的最短路程为（ ）
A．500m B．1000m C．1500m D．2000m
4．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．13.5
5．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，四边形中，， 在上分别找一点M、N，使周长最小，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，，，，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为 ．
9．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，M为∠AOB内一定点，E、F分别是射线OA、OB上一点，当MEF周长最小时，若∠OME＝40°，则∠AOB＝ ．
10．（2022秋·河南安阳·八年级期末）如图，等腰的底边长为4，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为： ．
11．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 ．
12．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为 ．
三、解答题
13．（2022秋·河南信阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有一个，点．
(1)画出关于y轴的对称图形（不写画法）；
(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积是______．
(3)，请在y 轴上画一点P，使得最小．
14．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣2），B（﹣1，﹣1），C（﹣1，﹣4）．
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)在x轴上作出一点P，使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）
15．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，
(1)请在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)求的面积；
(3)在y轴上画出点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标．
16．（2022秋·河南商丘·八年级期末）在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：，都是格点．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹．
(1)画出线段AB关于x轴对称的线段EF；
(2)在x轴上找一点P，使最小；
(3)连接AP，BP，画出△APB关于y轴对称的．
17．（2022秋·河南郑州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）写出下列点的坐标：A_____，B_____，C_____；
（2）若△ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘﹣1，请在同一平面直角坐标系中找出对应的点A′，B′，C′，并依次连接这三个点，从图象可知△ABC与△A′B′C′有怎样的位置关系？
（3）请在x轴上作出一点P，使得PB＋PC最小．注意：将点P标出，保留作图痕迹．
18．（2022秋·河南信阳·八年级期末）如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）
（1）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PA+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大．
19．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝76°，求∠ADE的大小．
20．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，已知△ABC 的顶点分别为 A（-2，2）、B（-4，5）、C（-5，1）和直线 m （直线 m 上各点的横坐标都为 1）．
（1）作出△ABC 关于 轴对称的图形△A1B1C1，并写出点 A1 的坐标；
（2）作出点 C关于直线 m 对称的点C2 ，并写出点C2 的坐标；
（3）在轴上找一点P，使 PA+PC的值最小，请直接写出点P的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】利用轴对称思想，作出点M关于直线的对称点E，连接，其经过的点是C点，判断选择即可．
【详解】作出点M关于直线的对称点E，连接，
其经过的点是C点，
故选C．
【点睛】本题考查了线段和最短问题，熟练掌握轴对称性质，准确构造对称确定点的位置是解题的关键．
2．C
【分析】作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，推出EF+CF最小时即为CM，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴M在AB上，
∴MF=EF，
∴EF+CF=MF+CF=CM，
即此时EF+CF最小，且为CM，
∵AE=2，
∴AM=2，即点M为AB中点，
∴∠ECF=30°，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到CM是解题的关键．
3．B
【分析】根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．
【详解】解：作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．
由题意：AC=BD，∠A’CM=∠BDM=90°，
∴A′C=BD，
在△A′CM与△BDM中，
，
∴△A′CM≌△BDM，
∴CM=DM，M为CD的中点，A′M=BM，
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=2A′M=1000米．
故最短距离是1000米．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称的性质和“两点之间线段最短”，全等三角形的判定和性质等，解答时注意应用全等三角形的性质是解题关键．
4．A
【分析】根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=13．
【详解】∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP=PC
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP
∵两点之间线段最短，
∴AP+BP≥AB
∴△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB
∵AC=6，AB=7
∴△APC周长最小为AC+AB=13
故选：A．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短，灵活运用两点之间线段最短时解题的关键．
5．D
【分析】作点关于的对称点，关于的对称点，根据轴对称确定最短路线问题，连接与、的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理列式求出，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后计算即可得解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，
连接与、的交点即为所求的点、，
，，
，
由轴对称的性质得：，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点、的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
6．C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到当时，的值最小，即的值最小，即可得到结论．
【详解】解：连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
的最小值的最小值，
，
当时，的值最小，即的值最小，
的最小值是线段的长度，
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
7．D
【分析】根据轴对称的性质以及线段的性质可得到结论．
【详解】解：根据题意知，在墙l边上建立一个垃圾站点P，使PA＋PB距离最小，则作A或者B关于l的对称点，然后连接找到点P，则D选项符合要求．
故选：D
【点睛】主要考查轴对称的性质的应用，最短路线的数学模型问题，其次考查作图能力，要求学生能够把实际问题转化为数学模型．
8．
【分析】作点M关于BD的对称点，连接P=PM，BM=B=1，当N，P，在同一直线上，且时，的值最小，等于垂线段的长，据此解答
【详解】解：作点M关于BD的对称点，连接P=PM，BM=B=1，
，
当N，P，在同一直线上，且时，的值最小，等于垂线段的长，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查最短路线问题，涉及垂线段最短、含30°角直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9．50°/50度
【分析】分别作关于的对称点，连接,当分别为与的交点时，MEF周长最小，进而根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得．
【详解】分别作关于的对称点，连接,当分别为与的交点时，MEF周长最小，连接，
,，
，
，
对称，
，
，
∠OME＝40°，
，
，
．
故答案为：50°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角，轴对称的性质，根据轴对称求线段和最短，掌握轴对称的性质是解题的关键．
10．8
【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴与的交点为点时，的周长最小，
故的长为的最小值，
在中，，，
∴，
解得，
∴的周长最小为：，
故答案为：
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11．15
【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．
【详解】解：如图，连接PC．
∵EF垂直平分线段BC，
∴PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC≥AC=9，
∴PA+PB的最小值为9，
∴△ABP的周长的最小值为6+9=15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
12．80°/80度
【分析】作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，此时周长最小，利用整体思想得出，从而得到答案．
【详解】如图，作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，
此时周长最小，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称，最短路径问题，三角形内角和定理等知识，运用整体思想是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)9
(3)见解析
【分析】（1）先做出三角形每个点关于y轴的对称点，然后顺次连接即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）作点D关于y轴的对称点E，连接，与y轴交于点P，即为所求．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）的面积为：，
故答案为：9；
（3）作点D关于y轴的对称点E，
∴，
连接，与y轴交于点P，
∴，
∴，
∴点P即为所求．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的作法及三角形面积及轴对称最短路径问题，理解题意，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
14．(1)见解析．
(2)见解析
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出点P的位置．
【详解】（1）解：A1（4，﹣2），B1（1，﹣1），C1（1，﹣4）．
如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）解：如图所示：点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键．
15．(1)图见解析，C′(-4，0)
(2)10.5
(3)图见解析，P(0，4)
【分析】（1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A′、B′、C′的坐标，然后描点连接即可；
（2）利用三角形面积公式计算；
（3）利用两点之间线段最短，A′C与y轴的交点即为所求点P．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
；
（2）
（3）
如图，点为所作．P(0，4)
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质即可得出结论；
（2）连接交x轴于点P，连接，此时最小
（3）根据轴对称的性质作出△APB各顶点关于y轴对称的点，顺次连接即可
【详解】（1）如图，线段EF即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
17．（1），，；（2）图见解析：与△ABC关于y轴对称；（3）见解析
【分析】（1）直接根据图形在平面直角坐标系中的位置写出坐标即可；
（2）根据题意得出点，，的坐标，画出图形即可解答；
（3）过轴作点的对称的,连接,与的交点即为所求．
【详解】解：（1）根据图形在平面直角坐标系中的位置可知，
，
故答案为：，，；
（2）根据题意得：，如图：
则与△ABC关于y轴对称；
（3）如图即为所作：
．
【点睛】本题考查了坐标与图形－轴对称变换，轴对称最短路径等知识，根据题意画出相应的轴对称图形是解本题的关键．
18．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．
【分析】（1）分别作点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1；顺次连接A1、B1、C1所得的三角形即为所求．
（2）依据轴对称的性质，连接C1A（或A1C）与直线DE交于点P即可．
（3）根据QA﹣QB≤AB，即可得到QA﹣QB最大值为AB的长，据此延长AB交DE于点Q，点Q即为所求．
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，连接A1C交DE于点P，点P即为所求；
（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求．
【点睛】本题考查了有关轴对称﹣最短路线的问题中的作图步骤，用到的知识点为：两点之间，线段最短．注意作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点．
19．26°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝52°，∠BDE＝64°，∠ADB＝90°，计算即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝76°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝52°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝64°，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝26°．
【点睛】此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质．
20．（1）图详见解析，A1的坐标为（-2，-2）；（2）图详见解析，C2(7，1)；（3）图详见解析，P（-4，0）
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点A1，B1，C1，再首尾顺次连接可得；
（2）C点坐标为(-5,1)，直线m的横坐标为1，所以点C到直线m的距离为6，即点C2到直线m的距离为6，所以C2(7，1)；
（3）连结AC1，与x轴的交点即为点P，写出点P坐标即可.
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点A1的坐标为(-2，-2)；
（2）点C2如图，C2(7，1)；
（3）如图所示，连结AC1，点P为所求，P(-4，0)
【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换及最短路径问题. 解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并根据轴对称变换的定义和性质得出变换后的对应点位置．
