15.1 分式 同步练习
一、单选题
1．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）在代数式，，，，中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）根据下列表格信息，可能为（ ）
… 0 1 2 …
… * 0 * * 无意义 …
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）若分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．
5．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）已知时，分式无意义，则“□”可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．0 B．3 C． D．
7．（2022秋·河南三门峡·八年级期末）若分式的值为0，若，则x的值为（ ）
A． B．0 C．5 D．
8．（2022春·河南南阳·八年级统考期末）已知5，则分式的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
9．（2022秋·河南焦作·八年级统考期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）若把分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的3倍 D．扩大到原来的9倍
11．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）．
A．扩大倍 B．扩大倍 C．扩大10倍 D．不变
12．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）将x、y的值同时扩大到原来的10倍，则关于分式的值，说法正确的是（ ）
A．变为原来的 B．变为原来的10倍
C．不变 D．无法确定
13．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，设，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）的最简公分母是( )
A． B． C． D．
16．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．（2022秋·河南焦作·八年级统考期末）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 ．
18．（2022春·河南洛阳·八年级统考期末）．（ ）里应填 ．
19．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）若分式的值为0，则x的值为 ．
20．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）当x的值为 时，分式的值为负．
21．（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）等式成立的条件是 ．
22．（2022春·河南开封·八年级统考期末）计算的结果为 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据分式的定义，逐个分析判断即可求解．分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母．
【详解】解：在代数式，，，，中，分式有，，，共3个
故选B
【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴分式的分母可能是，
∵当时，分式为0，
∴分式的分母可能是，
∴分式可能是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3．A
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：若分式在实数范围内有意义，则x-1≠0，
解得x≠1，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．
4．C
【分析】根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：若分式有意义，则，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义分母不为零是解题的关键．
5．C
【分析】根据分式无意义的条件解答即可．
【详解】解：∵时，分式无意义，
∴当时，分式的分母等于0，
∵当时，，
∴C选项符合．
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
6．B
【分析】根据分式值为0的条件“分子为0，分母不为0”列式求解即可．
【详解】解：由题意可知且，解得：．
故选B．
【点睛】本题考查分式值为0的条件．熟练掌握分式值为0的条件分式值为0的条件“分子为0，分母不为0”是解题关键．
7．A
【分析】根据分式的值为0，分子为0且分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵的值为0，且，，
∴，即，
整理得，即，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．也考查了利用平方根解方程．
8．A
【分析】由5，得x﹣y＝﹣5xy，进而代入求值，即可．
【详解】∵5，
∴5，即x﹣y＝﹣5xy，
∴原式1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的求值，掌握等式的基本性质以及分式的约分，是解题的关键．
9．D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
10．A
【分析】由题意可知x、y都扩大到原来的3倍分别为3x，3y，然后再进行计算即可判断．
【详解】解：由题意得：x、y都扩大到原来的3倍后分别为：3x，3y，
∴，
∴分式的值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
11．B
【分析】将原式中的x、y分别用、代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案．
【详解】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的10倍，
则原式变为，
分式的值扩大倍，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
12．A
【分析】把分式中的分子，分母中的x,y都同时变成原来的10倍，就是用10x，10y分别代替式子中的x，y看得到的式子与原式子的关系．
【详解】解：，
∴分式的值变为原来的．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解决这类题目的关键是正确地代入，并根据分式的性质进行分式的化简．
13．A
【分析】根据最简分式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、分子、分母不含公因式，是最简分式，故A正确；
B、，能约分，不是最简分式，故B错误；
C、＝＝，能约分，不是最简分式，故C错误；
D、＝，能约分，不是最简分式，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的化简，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．
14．C
【分析】先用a、b的代数式表示出甲图和乙图的面积，然后利用分式的约分可得k的值，由即可确定k的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：甲图中阴影部分的面积=，乙图中阴影部分的面积=，
∴，
∵，∴，
∴，
观察4个选项，k的值可以为．
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解、分式的约分化简以及用代数式表示图形的面积，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述相关知识是解题的关键．
15．D
【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
【详解】解：的最简公分母为：．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．
16．A
【分析】先根据最简公分母是，将分式变为，分子和分母都乘以，即可得出答案．
【详解】．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的通分，确定最简公分母是通分的关键．
17．
【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可．
【详解】∵无论字母x取何值，x2+1＞0，
∴x2+1≠0，
∴是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一个代数式使分母不等于零．
18．c
【分析】根据分式的基本性质解答即可．
【详解】解：由分式可知，等号左边的分母除以c可得等号右边的分母，
∴由分式的性质可知，等号右边的分子1乘以c可得等号左边的分子，
∴等号左边的分子为c，
故答案为：c．
【点睛】此题考查了分式的基本性质：分式的分子分母乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变．
19．-2
【分析】根据分式的值为0，可得分式的分子等于0，分母不等于0，由此可解．
【详解】解：，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0时，分子等于0，分母不等于0．
20．＜1且≠0
【分析】根据分式的值为负，得到不等式组，求解即可．
【详解】解：分式的值为负，
∴，
解得：＜1且≠0，
故答案为：＜1且≠0．
【点睛】本题考查了分式为负的情况和解不等式组，解题的关键是明确分式的分母不能为0．
21．
【分析】依据等式的性质解题即可．
【详解】解：从左到右的变形，是分子与分母同时乘以了a
故当a≠0时，此等式成立，
∴a≠0，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
22．1
【分析】分子分母约去公因式即可．
【详解】
故答案为1
【点睛】本题考查了分式的约分，当分子、分母是多项式时，首先要把分子分母分解因式．15.2 分式的运算 同步练习
一、单选题
1．（2022春·河南洛阳·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）若，，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．已知一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2022秋·河南洛阳·八年级期末）若，则＝ ．
5．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）计算： ．
6．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末） ．
7．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）在，，这3个数中，最大的数是 ．
8．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）计算： ．
三、解答题
9．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）计算
(1)
(2)
10．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
11．（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
(1)接力中，自己负责的一步出现错误的是
A．只有乙 B．甲和丁 C． 乙和丙 D．乙和丁
(2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值．
12．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)“丰收1号”单位面积产量为__________kg，“丰收2号”单位面积产量为__________kg（结果用含a的式子表示）；
(2)哪种小麦的单位面积产量高 试说明理由：
(3)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍
13．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）计算 ．
14．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
；；；……
特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：计算＝______．
15．（2022秋·河南安阳·八年级期末）先化简，再求值：，其中x是一元一次不等式组的整数解．
16．（2022秋·河南焦作·八年级统考期末）先化简，再选取一个合适的数代入求值．
17．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．
18．（2022春·河南开封·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2022春·河南南阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中x在－3，－1，1，3这四个数中选一个合适的数代入求值．
20．（2022秋·河南郑州·八年级统考期末）请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务：
先化简，再求值：，其中：．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
………………………………第五步
当时，原式．
(1)任务一：以上解题过程中，第________步是约分，其变形依据是________；
(2)任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值；
(3)任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议．
参考答案：
1．D
【分析】将分式变形后整体代换求解即可．
【详解】解：∵x-y=2xy（x≠0），
∴
=3．
故选：D．
【点睛】本题考查求分式的值，将分子变形后整体代换是求解本题的关键．
2．C
【分析】将所求式子变形，再整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵x+y=3，xy=-3，
∴===-2，
故选：C．
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质和整体思想的应用．
3．D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：
故选：D
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4．7
【分析】根据完全平方公式可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用完全平方公式解答是解题的关键．
5．
【分析】先计算乘方，再计算除法．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，掌握运算顺序：先计算乘方再计算乘除是解题的关键．
6．3
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键，注意非零底数的结果为1．
7．
【分析】先算出零指数幂，负整数指数幂的值，再比较大小即可．
【详解】解：，
∵，
∴在，，这3个数中，最大的数是；
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数比较大小，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键．
8．0
【分析】先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法即可解答．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查含有乘方的有理数混合运算，解题关键是负指数幂性质：a-p=（，p为正整数），非零数的零次幂等于1即零指数幂：．
9．(1)a4b3
(2)x（x+y）2
【分析】（1）根据分式的乘除，分式的乘方运算进行计算即可求解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】（1）原式=a2b6× （-）×
=-a2b6×
=-a4b3；
（2）原式=x（x2+2xy+y2）
=x（x+y）2.
【点睛】本题考查了分式的混合运算，因式分解，正确的计算是解题的关键．
10．(1)
(2)
【详解】（1）原式
（2）原式
11．(1)D
(2)，
【分析】（1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
（2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可．
【详解】（1）
出现错误是在乙和丁，
故选：D．
（2）
，
根据分式有意义的条件可得且，
即只能从和中选择一个，
代入，得出结果为．
【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．
12．(1)；
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）根据产量除以试验田面积即可作答；
（2）先得出，即有，则有，问题随之的解；
（3）计算，即可得解．
【详解】（1）根据题意，“丰收1号”单位面积产量为；
“丰收2号”单位面积产量为，
故答案为：； ；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴
，
答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
【点睛】本题主要考查了分式的应用，明确题意，正确列式是解答本题的关键．
13．
【分析】先把括号内的分式通分，将除法转化为乘法，然后再按照分式的混合运算法则计算．
【详解】解：
=
=
=
=
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
14．(1)（答案不唯一）
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）根据题意得到规律即可得到答案；
（3）根据异分母分式减法和分式的乘法分别计算出左右两边的结果即可得到答案；
（4）先证明，然后根据（2）的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：根据规律可得：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：第1个式子为：；
第2个式子为：；
第3个式子为：；
第4个式子为：；
……
∴第n个式子为：；
故答案为：；
（3）证明：∵左边，
右边，
∴；
（4）解：∵
∴原式
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
15．；
【分析】根据分式的混合运算化简，然后解不等式组求得整数解，代入化简结果进行计算即可求解．
【详解】解：
=
解不等式①得：；
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为：
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，正确地计算是解题的关键．
16．；（答案不唯一）
【分析】先计算乘法及括号内的加减法，再化简，最后代入即可．
【详解】解：原式=
，
其中和3，
∴当时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式混合运算法则及分式有意义的条件是解题的关键．
17．，当时，原式（答案不唯一）
【分析】先把括号内式子通分，再把分子、分母分解因式约分化简，然后从中取一个使分式有意义的数代入计算即可．
【详解】解：
，
，，
，，
的范围内，可以选取的整数有0和1，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，属于基础题，解题的关键是掌握分式的混合运算法则并正确计算，注意分式的分母不能为0，除数不能为0．
18．，
【分析】先将分式的分子、分母因式分解，再进行约分，然后进行分式的加减运算，再代值计算．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值．解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
19．；-1
【分析】先因式分解，后运用乘法的分配律化简计算，再选值代入计算即可．
【详解】
=
=
=
=．
因为分母不能为零，
所以x不等于3或-3或-1，
故x=1，
所以原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分是解题的关键．
20．(1)五；分式的基本性质
(2),
(3)见解析
【分析】（1）根据分式的基本性质进行分析即可；
（2）先去括号，再化简即可；
（3）在分式化简求值的过程中需要注意：去括号不要漏乘，要化成最简分式，去括号注意变号，必要时可以适当地运用运算律求解．
【详解】（1）解：第五步为约分，其变形依据是分式的基本性质，
故答案为：五；分式的基本性质；
（2）原式
．
当时，原式．
（3）去括号时，要注意符号是否需要改变．（答案不唯一）
【点睛】本题考查分式的化简求值、实数的运算及零指数幂，应充分掌握相关的法则，特别要注意运算的顺序，在分式的化简求值中约分的时候要把分子分母因式分解．15.3 分式方程 同步练习
一、单选题
1．（2022春·河南鹤壁·八年级统考期末）若关于x的方程有增根，则的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2022春·河南洛阳·八年级统考期末）方程有增根，则的值为（ ）
A．3 B．－3 C． D．
3．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）“十一”黄金周，几名同学乘坐一辆客车前去“方特欢乐世界”游玩，客车的车费为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，若设实际参加游览的学生共有人，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）甲、乙两个搬运工推运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运，甲搬运所用时间与乙搬运所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少货物．设甲每小时搬运货物，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）辉县市将在2022年底前实现县城5G全覆盖，5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输1000兆数据，4G网络比5G网络慢45秒，求这两种网络的峰值速率．设5G网络的峰值速率为每秒传输兆数据，根据题意，可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河南周口·八年级期末）疫情期间，某学校用元钱到药店去采购的酒精消毒液，经过协商议价，实际每瓶降价，结果比用原价多买了瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶x元，则可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的200元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买包罩，则依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）某校在为贫困学生献爱心活动中，已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，且两个年级人均捐款额恰好相等．设八年级捐款人数为x人，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022秋·河南焦作·八年级统考期末）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（ ）
A．B． C． D．
二、填空题
12．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）请写出一个解为4的分式方程： ．
13．（2022春·河南郑州·八年级期末）请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ．
14．（2022秋·河南周口·八年级期末）分式方程的解是，则 ．
15．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期末）已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为 ．
16．（2022秋·河南开封·八年级期末）若关于x的分式方程无解，则的值为 ．
17．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）若关于x的分式方程无解，则实数 ．
18．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为 ．
19．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）阳阳是一个有爱心的同学，经常帮助同学，如下图，阳阳家到学校的路程是，到小明家的路程是．阳阳原来是步行上学，为让小明每天准时到学校上课，他坚持骑小三轮车接送小明，已知阳阳骑小三轮车的速度是他步行速度的3倍，接送小明上学要比他自己步行上学多用，求阳阳步行速度和骑车速度各是多少？如果设阳阳步行的速度为，根据题意，可列方程为 ．
三、解答题
20．（2022秋·河南漯河·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点， ，且，以为边作等腰，，点D为的中点，直线轴，交x轴于点F，交的延长线于点E．
(1)若，求点A的坐标：
(2)在（1）的条件下，请直接写出C点坐标；
(3)若点C为第四象限内一点，求的度数．
21．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）（1）先化简，在求值：，再从、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为的值代入求值，
（2）解方程：
22．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）（1）因式分解：；
（2）解方程：．
23．（2022秋·河南三门峡·八年级期末）解下列方程
(1)；
(2)．
24．（2022秋·河南郑州·八年级统考期末）刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
刘峰：我查好地图了，你看看 李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟到科技馆那站停的车，我坐明天的车．
刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了． 李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上点从家出发，如顺利，咱俩同时到达．
25．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）在学习“分式方程应用”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程．
15.3分式方程 例：有甲乙两个工程队，甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等，乙队每天比甲队多修40m，求甲队每天修路的长度 小明： 小亮：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明同学所列方程中x表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；小亮同学所列方程中y表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；
(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．
参考答案：
1．B
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根求出a的值，然后代值计算即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以得：，
∵分式方程有增根，
∴把代入到中得：，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，代数式求值，正确求出a的值是解题的关键．
2．A
【分析】用含m的式子表示出分式方程的根，根据分式方程有增根再令含m的代数式等于3，求出m的值即可．
【详解】解得：，
∵方程有增根，
∴x=3，
∴令，
∴解得m=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程有增根求解参数的值的知识，理解分式方程有增根的含义是解答本题的关键．
3．D
【分析】设实际参加游览的同学共人，则实际每人分担的车费为：元，原来每名同学分担的车费为：元，根据每个同学比原来少分摊了3元车费即可得到等量关系从而列出方程．
【详解】解：设原来参加游览的同学共人，
根据题意可得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清楚题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．
4．B
【分析】设甲每小时搬运货物，则乙每小时搬运货物，然后根据甲搬运所用时间与乙搬运所用时间相等，列出方程即可．
【详解】解：设甲每小时搬运货物，则乙每小时搬运货物，
由题意得，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
5．A
【分析】设5G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，则4G网络的峰值速率为每秒传输0.1x兆数据，根据“在峰值速率下传输1000兆数据，4G网络比5G网络慢45秒”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设5G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，则4G网络的峰值速率为每秒传输0.1x兆数据，
依题意得，，即．
故选A．
【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．D
【分析】根据金额=单价数量及多买了瓶列式即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选D．
【点睛】本题考查用分式方程解决销售问题，解题的关键是根据数量列方程．
7．D
【分析】根据题意设原计划购买口罩x包，则实际购买口罩（x + 5）包，利用单价=总价÷数量，结合药店对学生购买口罩每包优惠2元，即可得出关于x的分式方程，即可得解．
【详解】解：设原计划购买口罩x包，则实际购买口罩（x + 5）包，
根据题意得： ；
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解决本题的关键．
8．B
【分析】根据题意可知，八年级人数为x，则七年级人数为（x-20），人均捐款额=，分别表示出七年级和八年级得人均捐款额，列出方程即可．
【详解】根据题意，找出等量关系：
设八年级捐款人数为x人
人数 捐款总额 人均捐款额
七年级 x-20 4800
八年级 x 5000
∵两个年级人均捐款额恰好相等
∴可得方程
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确的理解题意，找出等量关系是列出方程的关键．借助表格可以将题目的数据和信息清晰的展示出来．
9．D
【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
10．B
【分析】设更新技术后每天生产x万份疫苗，更新技术前每天生产（x-10）万份疫苗，根据题意，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设更新技术后每天生产x万份疫苗，则更新技术前每天生产（x-10）万份疫苗，
依题意得，，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，属于基础题，难度一般，设出未知数，再根据条件得出方程是解题的关键．
11．B
【分析】设现在每天生产x台，则原来可生产（x 50）台．根据现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天，列出方程即可．
【详解】解：设现在每天生产x台，则原来可生产（x 50）台．
依题意得：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键．
12．（答案不唯一）
【分析】根据分式方程的定义及分式方程解的定义写出一个即可．
【详解】解：写出一个解为4的分式方程为：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式方程的定义及分式方程解的定义，掌握分式方程的有关定义是解题的关键．
13．(答案不唯一)
【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可．
【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键．
14．1
【分析】先将代入分式方程中求解即可．
【详解】解：∵分式方程的解是，
∴，
解得：．
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式方程的解，理解分式方程的解是解答的关键．
15．且
【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零．
【详解】解：由原方程去分母，得，
去括号，得，
解得，
关于x的方程的解是正数，
，
解得，
又，
，
，，
故m的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出m的范围是解此题的关键．
16．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
【详解】解：方程两边都乘，得
，
即
∵原方程增根为，
∴把代入整式方程，得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解分式方程和分式方程的解，求一个数的平方根，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
17．或
【分析】将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，分类讨论求解即可．
【详解】解：由可得：
即
因为分式方程无解，
所以，或
由可得
将代入可得，，解得
故答案为：或
【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况．
18．
【分析】根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可．
【详解】解：设规定的时间为天，则慢马送的时间为天，快马送的时间为天，
根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
19．
【分析】阳阳骑小三轮车的速度是他步行速度的3倍，可得阳阳骑小三轮车的速度是，利用时间路程速度，结合阳阳接送小明学要比他自己步行上学多用，可得关于的方程，此题得解．
【详解】阳阳骑小三轮车的速度是他步行速度的3倍，且阳阳步行的速度为
阳阳骑小三轮车的速度是
根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先解分式方程求得a的值，即可确定点A的坐标；
（2）先由是等腰直角三角形证明，得到,最后写出C点坐标即可；
（3）证明得到、,进而得到,从而得到，最后根据等腰三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
经检验，是分式方程的解．
所以点A的坐标为．
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴
∴．
（3）解：∵，
∴,
∴
∴．
∵直线轴，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、解分式方程、等腰直角三角形的判定等知识点，通过等腰直角三角形的性质证明是解题的关键．
21．（1），；（2）无解
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入一个使分式有意义的值计算即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，验根的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：原式
，
要使分式有意义，不能取，1，
则当时，原式．
（2）解：
去分母，得，
去括号，得：，
移项、合并同类项得，
检验，当时，，故是该方程的增根．
故此分式方程无解．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，使分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．（1）；（2）
【分析】（1）先将看作一个整体，运用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式即可；
（2）方程两边同乘，将分式方程变为整式方程，解整式方程，得出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
方程两边乘，得：
，
解得，
检验，把代入得：，
∴是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了因式分解和解分式方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，解分式方程的一般步骤，准确计算，注意解分式方程最后要进行检验．
23．(1)
(2)无解
【分析】（1）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可；
（2）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】（1）两边都乘以得，
移项得，
合并同类项得，
经检验，是原方程的解；
（2）两边都乘以得，
移项得，
系数化为1得，
当时，，
故原方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
24．刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米
【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米，则李明乘车的速度为每小时3x千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可．
【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴（千米/时），
答：刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．
25．(1)甲队每天修路的米数；甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等；甲队修路800m所用时间；乙队每天比甲队多修40m
(2)甲队每天修路为80m
【分析】（1）设甲队每天修的路为x米，则甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等，设甲队修路800m所用时间为y天；乙队每天比甲队多修40m，以此数量关系列出两个分式方程；
（2）解出分式方程即可．
【详解】（1）x表示甲队每天修路的米数；
等量关系是：甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等
y表示甲队修路800m所用时间；
等量关系是：乙队每天比甲队多修40m
（2）解：若小明设甲队每天修xm，则：
解这个分式方程
经检验，是原分式方程的根
答：甲队每天修路为80m．
设甲队修路800m所用时间为y天，
，
解得：y＝10，
经检验，是原分式方程的根，
（m），
答：甲队每天修路为80m．
【点睛】本题考查分式方程，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出等量关系式是解题的关键．
