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1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值.
2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
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第一章 直角三角形的边角关系
专题一 本章易错点例析
目录
01
02
易错典例
过关训练
易错典例
易错点1 不理解三角函数的符号
【例1】计算：sin 45°＋sin 60°.
错解：sin 45°＋sin 60°＝sin（45＋60）°＝sin 105°.
过关训练
1. 计算：2cos 60°＋tan 45°－4sin 30°.
易错典例
易错点2 计算三角函数值时忽视直角三角形
【例2】（2020凉山州）如图XZ1－1－1，△ABC的顶点均在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
图XZ1－1－1
C. 2
错解分析：在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边与邻边的比值.错解忽视了直角三角形这一前提条件.
故选A.
图XZ1－1－2
过关训练
2. （2020南充）如图XZ1－1－3，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（ B ）
图XZ1－1－3
B
易错典例
易错点3 忽视锐角三角函数值的范围
【例3】若∠A是锐角，且cos A的值是方程2x2－3x＋1＝0的一个根，则cos A＝ .
过关训练
A. 45° B. 60°
C. 75° D. 105°
D
易错典例
易错点4 误认为半角的正切值等于角的正切值的一半
过关训练
图XZ1－1－4
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第一章 直角三角形的边角关系
专题五 课标新导向
目录
01
教材母题
02
跨学科融合
03
数学文化
04
实践探究
教材母题
1. （课本P27第21题）如图XZ1－5－1，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗.经测量，得到大门的高度是5 m，大门距主楼的距离是30 m.在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面1.4 m.求：
（1）学校主楼的高度（结果精确到0.01 m）；
图XZ1－5－1
（2）大门顶部与主楼顶部的距离（结果精确到0.01 m）.
解：（2）如答图XZ1－5－1，
过A作AM平行于BC交DC于M.
∵DM＝DC－MC且AB＝MC＝5 m，
∴DM＝DC－AB＝13.72（m）.
在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，
∵AM＝BC＝30 m，DM＝13.72 m，由勾股定理，得
答图XZ1－5－1
答：大门顶部与主楼顶部的距离约为32.99 m.
2. （母题变式）随着科技的发展，无人飞机的应用越来越广泛.如图XZ1－5－2，无人飞机从A处水平飞行至B处需12 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度.（结果保留根号）
图XZ1－5－2
答图XZ1－5－2
3. （课本P26第14题）如图XZ1－5－3，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8 cm的B处进入身体，求射线与皮肤所成的锐角.
图XZ1－5－3
答：射线与皮肤所成的锐角约为32°.
4. （母题变式）（2022盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图XZ1－5－4是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA＝1 m，AB＝5 m，BC＝2 m，∠ABC＝143°.机械臂端点C到工作台的距离CD＝6 m.
（1）求A，C两点之间的距离；
图XZ1－5－4
答图XZ1－5－3
（2）求OD的长.
答：OD的长约为4.5 m.
跨学科融合
5. （三角函数与物理融合）（2022吉林）动感单车是一种新型的运动器械.图XZ1－5－5①是一辆动感单车的实物图，图XZ1－5－5②是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70 cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34 cm时，求点A到CD的距离AE的长度.（结果精确到1 cm；参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60）
答：点A到CD的距离AE的长度约88 cm.
图XZ1－5－5
数学文化
图XZ1－5－6
图XZ1－5－7
解得x≈133.84.
答：海岛的高AB约为133.84 m.
实践探究
图XZ1－5－8
图XZ1－5－8
答图XZ1－5－4
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图XZ1－5－8③，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求这片区域的面积.（结果保留根号；参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9）
图XZ1－5－8
答图XZ1－5－5
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第一章 直角三角形的边角关系
专题二 本章重难点
一、锐角三角函数及其应用
【例1】（2022广元）如图XZ1－2－1，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ B ）
B
图XZ1－2－1
【对接中考】
1. （2022贵港）如图XZ1－2－4，在4×4的网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ C ）
图XZ1－2－4
C
一、锐角三角函数及其应用
【例2】（2022陕西）如图XZ1－2－2，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（ D ）
图XZ1－2－2
D
【对接中考】
图XZ1－2－5
C
B. 3
D. 2
一、锐角三角函数及其应用
【例3】（2021深圳）如图XZ1－2－3，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15 m到达点E处，即EF＝15 m，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ C ）
图XZ1－2－3
C
A. 15sin 32° B. 15tan 64°
C. 15sin 64° D. 15tan 32°
【对接中考】
图XZ1－2－6
A. 10 m
C. 5 m
A
一、锐角三角函数及其应用
【例4】（2022随州）如图XZ1－2－7，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β.若CD＝a，则建筑物AB的高度为（ D ）
图XZ1－2－7
D
【对接中考】
4. （2022十堰）如图XZ1－2－8，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ A ）
A
图XZ1－2－8
A. m（cos α－sin α）
B. m（sin α－cos α）
C. m（cos α－tan α）
二、解直角三角形
图XZ1－2－9
【对接中考】
5. （2022宜宾）如图XZ1－2－10，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED的位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ C ）
图XZ1－2－10
C
图XZ1－2－11
答：建筑物的高度AB约为31.9 m.
（1）求C，D两点的高度差；
图XZ1－2－12
答图XZ1－2－3
（2）求居民楼的高度AB.
答图XZ1－2－3
答：居民楼的高度AB约为24 m.
三、解直角三角形的应用
【例7】（2022丹东）如图XZ1－2－13，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2 n mile（n mile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40 n mile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离.（参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33）
解：如答图XZ1－2－2，过点A作AE⊥CD，
垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F.
由题意，得
EF＝BC＝33.2 n mile，AG∥DC，
∴∠GAD＝∠ADC＝53°.
在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40 n mile，
∴AF＝AB·sin 50°≈40×0.77＝30.8（n mile）.
∴AE＝AF＋EF＝64（n mile）.
答图XZ1－2－2
答：货船与A港口之间的距离约为80 n mile.
图XZ1－2－14
答图XZ1－2－4
∴AC＝AD＋CD＝64.3＋76.6≈141（n mile）.
答：此时货轮与A港口的距离约为141 n mile.
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第一章 直角三角形的边角关系
专题三 中考新题型（中考新动向）
【考情讲述与中考真题】近三年广东省中考情况
图XZ1－3－1
【考点】平行四边形的性质；解直角三角形.
【核心能力考查】推理填空题；图形的相似；运算能力；推理能力.
【解析】如图XZ1－3－2，过点B作BF⊥EC于点F.
图XZ1－3－2
∴DE＝4.
在 ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，
【命题趋势分析】
【核心能力考查】解直角三角形的应用——仰角、俯角问题.
图XZ1－3－3
解：由题意，得
DH＝CG＝BE＝1.5 m，CD＝GH＝5 m，DE＝BH，∠AED＝90°.
设CE＝x m，
∴BH＝DE＝CE＋CD＝（x＋5）m.
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE·tan 45°＝x（m）.
在Rt△ADE中，∠ADE＝α，
解得x＝17.5.
经检验，x＝17.5是原方程的根，
∴AB＝AE＋BE＝17.5＋1.5＝19（m）.
答：建筑物AB的高度为19 m.
【中考创新】
【例】（创新题）（2022宜昌）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°.
如图XZ1－3－4，现有一架长4 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上.
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
图XZ1－3－4
（2）当梯子底端B距离墙面1.64 m时，计算∠ABO的度数，并判断此时人是否能安全使用这架梯子.（参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 66°≈0.91，cos 66°≈0.41，tan 66°≈2.25）
答：此时人能安全使用这架梯子.
图XZ1－3－4
（创新变式）（2022江西）如图XZ1－3－5①是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图XZ1－3－5②所示的示意图.已知AB∥CD∥FG，点A，D，H，G在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6 m，EF＝6.2 m.
图XZ1－3－5
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A.
∵∠FEC＝∠A，
∴∠FEC＝∠CDG.
∴EF∥DG.
又∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形.
图XZ1－3－5
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）.（结果保留到小数点后一位；参考数据：sin 72.9°≈0.96，cos 72.9°≈0.29，tan 72.9°≈3.25）
（2）解：如答图XZ1－3－1，过点G作GP⊥AB于P.
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2 m.
∵AD＝1.6 m，
答图XZ1－3－1
答：雕塑的高约为7.5 m.
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第一章 直角三角形的边角关系
专题四 模型拓展——解直角三角形模型
目录
01
模型解读
02
针对训练
模型解读
模型一 背靠背型
【基本模型】
通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边是解题的关键.
等量关系：如图XZ1－4－1，CD为公共边，AD＋BD＝AB.
图XZ1－4－1
【模型演变】
等量关系：如图XZ1－4－2①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；
如图XZ1－4－2②，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB.
图XZ1－4－2
针对训练
1. 如图XZ1－4－3，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC＝80 km，∠A＝45°，∠B＝30°.
图XZ1－4－3
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
解：如答图XZ1－4－1，过点C作CD⊥AB于点D，
则△ACD和△BCD均为直角三角形.
在Rt△BCD中，∠B＝30°，BC＝80 km，
∴CD＝BC·sin B＝80×sin 30°＝40（km），
在Rt△ACD中，∠A＝45°，
答图XZ1－4－1
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？
答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2 km.
模型解读
模型二 母子型
【基本模型】
通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边是解题的关键.
等量关系：如图XZ1－4－4，BC为公共边，AD＋DC＝AC.
图XZ1－4－4
【模型演变1】
等量关系：如图XZ1－4－5①，BE＋EC＝BC；
如图XZ1－4－5②，EC－BC＝EB；
如图XZ1－4－5③，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG.
图XZ1－4－5
针对训练
图XZ1－4－6
解得x≈34.59.
答：楼高AC大约为34.59 m.
模型解读
【模型演变2】
等量关系：如图XZ1－4－7①，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；
如图XZ1－4－7②，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.
图XZ1－4－7
【模型演变3】
等量关系：如图XZ1－4－8①，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；
如图XZ1－4－8②，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF，AC＋BD＋DF＝AG.
图XZ1－4－8
针对训练
图XZ1－4－9
答图XZ1－4－2
解得x1＝4，x2＝－4（不合题意，舍去）.
∴DF＝4 m，CF＝8 m.
∴CE＝CF＋FE＝8＋2＝10（m）.
在Rt△ACE中，∠ACE＝40°，
∴AE＝CE·tan∠ACE＝10×tan 40°≈8.4（m）.
∴AB＝AE－BE＝8.4－4≈4（m）.
答：宣传牌的高度AB约为4 m.
模型解读
模型三 拥抱型
【基本模型】
分别解两个直角三角形，其中公共边是解题的关键.
等量关系：如图XZ1－4－10，BC为公共边.
图XZ1－4－10
【模型演变】
等量关系：如图XZ1－4－11①，BF＋FC＋CE＝BE；
如图XZ1－4－11②，BC＋CE＝BE；
如图XZ1－4－11③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.
图XZ1－4－11
针对训练
4. 如图XZ1－4－12，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15 m，CD＝20 m.AB和CD之间有一景观池，小明在点A处测得池中喷泉处点E的俯角为42°，在点C处测得点E的俯角为45°，点B，E，D在同一直线上.求两幢建筑物之间的距离BD. （结果精确到0.1 m；参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）
图XZ1－4－12
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7 m.
谢 谢！
