初中数学人教版九下27.2.1相似三角形的判定 （第2课时） 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版九下27.2.1相似三角形的判定 （第2课时） 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 172.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-16 19:27:03 | ||
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文档简介
27.2.1相似三角形的判定
（第2课时)
一、教学内容分析
由于全等是相似比为1的特殊情形，这为我们提供了一种思路：类比判定两个三角形全等的方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”方法，发现并提出判定两个三角形相似的简单方法.
在探究“三边成比例的两个三角形相似”的过程中，学生通过度量，发现结论成立：再通过作与△A'BC'相似的三角形，把证明相似的问题转化为证明所作三角形与△ABC全等的问题；“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证法与前一个判定定理的证明方法类似，再次体现了定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基础性作用.
二、教学目标
1. 经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程， 在教学过程中渗透类比、转化等数学思想.
2.掌握“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.
3．会运用三角形相似的两个判定定理解决简单问题.
三、教学重难点
【重点】掌握“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，并能解决简单问题.
【难点】判定定理“三边成比例的两个三角形相似”的证明.
四、教学方法
类比探究，类比全等三角形的探究方法探究相似三角形的判定方法；探索归纳法，在探究“三边成比例的两个三角形相似”的过程中，学生通过度量，发现结论成立，再通过逻辑证明归纳结论.
五、教学过程
（一）新课导入
活动一 复习“旧知”，关联“新知”
1.我们学了哪些判定两三角形相似的方法？
2.解决问题：在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D.E，AD=2，BD=4， BC=6，则DE= .
意图：对相似三角形判定方法进行及时总结归纳，并体会其应用．
效果：使学生熟悉平行推相似的数学模型，为推到其它相似三角形判定定理打下伏笔.
活动二 抓住“本质”，类比猜想
1.一般三角形全等的判定方法有什么？
2.全等是相似比为1的特殊情形，类比判定两个三角形全等的方法，是否有判定两个三角形相似的简单方法？提出你的猜想.
意图：使学生深刻体会全等与相似的关系，并提出猜想，为本课的学习提供研究的方向．
效果：培养学生的类比思维方，引出新课．
（二）新课讲授
今天我们一起来探索满足“三边成比例的两个三角形”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形”是否相似.
思考：我们可以用什么办法说明“三边成比例的两个三角形相似”呢？
意图：引导学生尝试从不同角度解决问题．
效果：体验用实验操作、逻辑证明、分析归纳等不同方法得出数学结论的过程，培养思维的广阔性和灵活性.
活动一 画图探究，初步感知
探究：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍.度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.
意图：在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，体验探索过程，积累活动经验．k取1时，两个三角形全等，取其它值时，两个三角形相似，进一步感受相似与全等的紧密联系
效果：激发学习数学的积极性，感受数学学习的乐趣.
活动二、动手演示，直观感受
1.教师演示：引导学生观察新课导入中的图1，当DE∥BC时， △ABC∽△ADE，如果我把△ADE从△ABC上取下来，如所示位置摆放，即使给出两三角形三边成比例能直接说明它们相似吗？（稍等片刻）将△ADE放回△ABC，此时满足什么条件这两个三角形必然相似？
2.追问：试想，我们是否可以在△ABC中构造一个与△ADE全等的三角形呢？将问题转化成形如图1的相似问题？
意图：帮助学生建立新知与相似三角形预备定理的关系，分解难点.
效果：通过教师演示，培养学生几何直观，帮学生梳理解决问题思路，正确添加辅助线.
活动三 构造中介 证明定理
1．怎样证明“三边成比例的两个三角形相似”呢？结合图形写出已知、求证、证明过程.
强调：完成证明后，帮助学生总结证明思路。
2.用几何语言表述“三边成比例的两个三角形相似.”.
【答案或提示】
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点D作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC.
∴
∵ AD=A′B′
∴ AE= A′C′， DE= B′C′
∴ △ADE≌△A′B′C′，
∴ △A′B′C′∽△ABC.
思路梳理：在△ABC上通过平行线构造相似三角形，同时使新构造的△ADE与△A′B′C′全等，△ADE发挥了中介的作用.
几何语言：在△A′B′C′ 和△ABC中
∵
∴ △A′B′C′ ∽△ABC
意图：引导学生将教师演示中的直观感受转化为数学语言表达，完成证明过程，突破重难点.
效果：梳理证明思路，便于把证明方法迁移到后面两种情况的证明中去.
活动四 类比实验 自主探究
合作探究:三角形全等有“SAS”的判定方法，类似地，两边成比例且夹角相等能否判定两个三角形相似？若成立，试着说说证明过程并写出几何语言.
已知： 在△A′B′C′ 和△ABC中，，且∠A=∠A′.
求证：△A′B′C′∽△ABC
【答案或提示】
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE∽△ABC.
∴
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴ △A′B′C′ ∽△ABC.
几何语言：
∴ △A′B′C′ ∽△ABC
追问：若在△A′B′C′ 和△ABC中，，且∠B=∠B′，两三角形相似吗？试着说明理由.
【答案或提示】学生可以用作图的方法画出反例图(如下图)，否定结论，也可以通过类比全等三角形中“两边相等且一边对角相等的两三角形不全等”说明此命题不对.
以A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于C′′，则AC=AC′′，当∠B=∠B′时，△A′B′C′ 与△ABC′′形状不同，显然不相似.
意图：引导学生在前面活动经验的基础上，写出“两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似”的证明过程，并且以上活动经验说明“追问”为假命题，同时突破重点.
效果：在探索过程中，训练学生的类比思维，体会类比思想、数形结合思想的重要意义．
活动五 运用结论 解决问题
例1.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
（1）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，
A′B′=12cm，B′C′=18cm， A′C′=24′cm ;
(2) ∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，
∠ A′=120°， A′B′=3cm， A′C′=6cm
【答案或提示】解：（1） ， ，
∴ △A′B′C′ ∽△ABC
（2）
又∠A=∠A′.
∴ △A′B′C′ ∽△ABC
意图：在解决问题过程中，强调每一个判定定理使用方法，严谨解题过程.
效果：巩固新知.
（三）课堂练习
1.教材34页1.2.3题.
2.能使△ABC∽△ACD的条件是（ D ）
解析：判定三角形相似，当题目中公共角时，我们要考虑两边成比例且夹角相等这个判定方法，并且必须保证夹公共角的两边成比例.
3.如图所示，
【答案或提示】证明：
∴△ABC ∽△DBE
∴∠ABC=∠DBE
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC
意图：用“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，解决简单数学问题.
效果：巩固新知，加深对相似三角形判定定理的理解.
（四）课堂小结
内容：这节课你有哪些收获？
（1）我们到现在为止学了几种相似三角形的判定方法？
（2）在探索相似三角形的判定方法的过程中，我们经历了哪些环节？
（3）本节课中有哪些重要的数学思想方法让你印象深刻，举例说明？
意图：从知识与技能、过程与方法等方面引导学生总结收获．
效果：在获得知识的同时，习得必要的数学学习方法，感悟数学思想方法的重要
（四）作业布置
A组：教材42页3题
B组：1.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是（C ）
A.△PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
【答案】C
解析：设AP=PB=BC=CD=a，∵∠APD=90°，∴AB=a，AC= a ，
AD=a ，而 ∴△ABC∽△DBA 故选C .
2.如图，四边形ABCD.四边形CDEF和四边形EFGH是边长相等的正方形.
（1）△ACF∽△GCA相似吗？说说你的理由.
(2)求∠1+∠2的度数.
【答案或提示】
（1）类比上一题揭发利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明.
（2）∠1+∠2=∠1+∠CAG=45°
六、板书设计
全等三角形 相似三角形
SSS SAS 判定定理：三边成比例的两个三角形相似. 几何语言：在△A′B′C′ 和△ABC中 ∵ ∴ △A′B′C′ ∽△ABC 判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 在△A′B′C′ 和△ABC中， ∵ ，且∠A=∠A′. ∴ △A′B′C′ ∽△ABC
ASA AAS 两角分别相等的两个三角形相似.
七、课后反思
（1）关注基本知识，促进“整体化”
在教学设计中特别强调旧知识与新知识的有效衔接，让新知识的“生成”和“生长”有理有据、有情有理，进而达到关联教学基础的目的. 在本课例中，将全等三角形知识深度渗透到教学过程中，并复习三角形相似的定义及预备定理，回顾三角形全等的判别法然后让学生在类比探索过程中获得三角形相似条件的新命题.强调研究几何图形的普遍策略及构建一以贯之的知识体系.
（2）关注基本思想，促进“主动式”
数学思想是对数学事实与理论概括后的本质认识，本课突出“类比”的思想方法，关注相似三角形与全等三角形的内在关系：从“一般”到“特殊”，再进一步梳理探索全等三角形判定的知识结构，为学生类比学习相似三角形的探索过程指明了方向，是学生研究新命题的思维生长点. 紧接着学生通过“类比”自主研究相似三角形判定的新命题.在此过程中主动发挥了学生的创造潜能，加深学生对数学基本思想的理解.
（3）关注基本活动经验，促进“深度学习”
深度学习离不开概念、定理的探索过程. 学生在探索中，积累观察、猜想、分析、类比、归纳、证明等基本活动经验，深化对数学的理解. 本课从全等三角形的基本知识和探索知识的结构出发尝试唤醒与激活学生原有的经验，为积累新经验做铺垫；引导学生尝试弱化条件拾阶而上；通过“经验迁移”“类比”全等 三角形判定定理的探索结构，同化和顺应到相似三角形判定的新命题中并证明；学生在数学活动中的体验和感悟通过“经验升 华”为研究数学的思维习惯和一般策略.
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（第2课时)
一、教学内容分析
由于全等是相似比为1的特殊情形，这为我们提供了一种思路：类比判定两个三角形全等的方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”方法，发现并提出判定两个三角形相似的简单方法.
在探究“三边成比例的两个三角形相似”的过程中，学生通过度量，发现结论成立：再通过作与△A'BC'相似的三角形，把证明相似的问题转化为证明所作三角形与△ABC全等的问题；“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证法与前一个判定定理的证明方法类似，再次体现了定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基础性作用.
二、教学目标
1. 经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程， 在教学过程中渗透类比、转化等数学思想.
2.掌握“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.
3．会运用三角形相似的两个判定定理解决简单问题.
三、教学重难点
【重点】掌握“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，并能解决简单问题.
【难点】判定定理“三边成比例的两个三角形相似”的证明.
四、教学方法
类比探究，类比全等三角形的探究方法探究相似三角形的判定方法；探索归纳法，在探究“三边成比例的两个三角形相似”的过程中，学生通过度量，发现结论成立，再通过逻辑证明归纳结论.
五、教学过程
（一）新课导入
活动一 复习“旧知”，关联“新知”
1.我们学了哪些判定两三角形相似的方法？
2.解决问题：在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D.E，AD=2，BD=4， BC=6，则DE= .
意图：对相似三角形判定方法进行及时总结归纳，并体会其应用．
效果：使学生熟悉平行推相似的数学模型，为推到其它相似三角形判定定理打下伏笔.
活动二 抓住“本质”，类比猜想
1.一般三角形全等的判定方法有什么？
2.全等是相似比为1的特殊情形，类比判定两个三角形全等的方法，是否有判定两个三角形相似的简单方法？提出你的猜想.
意图：使学生深刻体会全等与相似的关系，并提出猜想，为本课的学习提供研究的方向．
效果：培养学生的类比思维方，引出新课．
（二）新课讲授
今天我们一起来探索满足“三边成比例的两个三角形”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形”是否相似.
思考：我们可以用什么办法说明“三边成比例的两个三角形相似”呢？
意图：引导学生尝试从不同角度解决问题．
效果：体验用实验操作、逻辑证明、分析归纳等不同方法得出数学结论的过程，培养思维的广阔性和灵活性.
活动一 画图探究，初步感知
探究：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍.度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.
意图：在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，体验探索过程，积累活动经验．k取1时，两个三角形全等，取其它值时，两个三角形相似，进一步感受相似与全等的紧密联系
效果：激发学习数学的积极性，感受数学学习的乐趣.
活动二、动手演示，直观感受
1.教师演示：引导学生观察新课导入中的图1，当DE∥BC时， △ABC∽△ADE，如果我把△ADE从△ABC上取下来，如所示位置摆放，即使给出两三角形三边成比例能直接说明它们相似吗？（稍等片刻）将△ADE放回△ABC，此时满足什么条件这两个三角形必然相似？
2.追问：试想，我们是否可以在△ABC中构造一个与△ADE全等的三角形呢？将问题转化成形如图1的相似问题？
意图：帮助学生建立新知与相似三角形预备定理的关系，分解难点.
效果：通过教师演示，培养学生几何直观，帮学生梳理解决问题思路，正确添加辅助线.
活动三 构造中介 证明定理
1．怎样证明“三边成比例的两个三角形相似”呢？结合图形写出已知、求证、证明过程.
强调：完成证明后，帮助学生总结证明思路。
2.用几何语言表述“三边成比例的两个三角形相似.”.
【答案或提示】
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点D作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC.
∴
∵ AD=A′B′
∴ AE= A′C′， DE= B′C′
∴ △ADE≌△A′B′C′，
∴ △A′B′C′∽△ABC.
思路梳理：在△ABC上通过平行线构造相似三角形，同时使新构造的△ADE与△A′B′C′全等，△ADE发挥了中介的作用.
几何语言：在△A′B′C′ 和△ABC中
∵
∴ △A′B′C′ ∽△ABC
意图：引导学生将教师演示中的直观感受转化为数学语言表达，完成证明过程，突破重难点.
效果：梳理证明思路，便于把证明方法迁移到后面两种情况的证明中去.
活动四 类比实验 自主探究
合作探究:三角形全等有“SAS”的判定方法，类似地，两边成比例且夹角相等能否判定两个三角形相似？若成立，试着说说证明过程并写出几何语言.
已知： 在△A′B′C′ 和△ABC中，，且∠A=∠A′.
求证：△A′B′C′∽△ABC
【答案或提示】
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE∽△ABC.
∴
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴ △A′B′C′ ∽△ABC.
几何语言：
∴ △A′B′C′ ∽△ABC
追问：若在△A′B′C′ 和△ABC中，，且∠B=∠B′，两三角形相似吗？试着说明理由.
【答案或提示】学生可以用作图的方法画出反例图(如下图)，否定结论，也可以通过类比全等三角形中“两边相等且一边对角相等的两三角形不全等”说明此命题不对.
以A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于C′′，则AC=AC′′，当∠B=∠B′时，△A′B′C′ 与△ABC′′形状不同，显然不相似.
意图：引导学生在前面活动经验的基础上，写出“两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似”的证明过程，并且以上活动经验说明“追问”为假命题，同时突破重点.
效果：在探索过程中，训练学生的类比思维，体会类比思想、数形结合思想的重要意义．
活动五 运用结论 解决问题
例1.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
（1）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，
A′B′=12cm，B′C′=18cm， A′C′=24′cm ;
(2) ∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，
∠ A′=120°， A′B′=3cm， A′C′=6cm
【答案或提示】解：（1） ， ，
∴ △A′B′C′ ∽△ABC
（2）
又∠A=∠A′.
∴ △A′B′C′ ∽△ABC
意图：在解决问题过程中，强调每一个判定定理使用方法，严谨解题过程.
效果：巩固新知.
（三）课堂练习
1.教材34页1.2.3题.
2.能使△ABC∽△ACD的条件是（ D ）
解析：判定三角形相似，当题目中公共角时，我们要考虑两边成比例且夹角相等这个判定方法，并且必须保证夹公共角的两边成比例.
3.如图所示，
【答案或提示】证明：
∴△ABC ∽△DBE
∴∠ABC=∠DBE
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC
意图：用“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，解决简单数学问题.
效果：巩固新知，加深对相似三角形判定定理的理解.
（四）课堂小结
内容：这节课你有哪些收获？
（1）我们到现在为止学了几种相似三角形的判定方法？
（2）在探索相似三角形的判定方法的过程中，我们经历了哪些环节？
（3）本节课中有哪些重要的数学思想方法让你印象深刻，举例说明？
意图：从知识与技能、过程与方法等方面引导学生总结收获．
效果：在获得知识的同时，习得必要的数学学习方法，感悟数学思想方法的重要
（四）作业布置
A组：教材42页3题
B组：1.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是（C ）
A.△PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
【答案】C
解析：设AP=PB=BC=CD=a，∵∠APD=90°，∴AB=a，AC= a ，
AD=a ，而 ∴△ABC∽△DBA 故选C .
2.如图，四边形ABCD.四边形CDEF和四边形EFGH是边长相等的正方形.
（1）△ACF∽△GCA相似吗？说说你的理由.
(2)求∠1+∠2的度数.
【答案或提示】
（1）类比上一题揭发利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明.
（2）∠1+∠2=∠1+∠CAG=45°
六、板书设计
全等三角形 相似三角形
SSS SAS 判定定理：三边成比例的两个三角形相似. 几何语言：在△A′B′C′ 和△ABC中 ∵ ∴ △A′B′C′ ∽△ABC 判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 在△A′B′C′ 和△ABC中， ∵ ，且∠A=∠A′. ∴ △A′B′C′ ∽△ABC
ASA AAS 两角分别相等的两个三角形相似.
七、课后反思
（1）关注基本知识，促进“整体化”
在教学设计中特别强调旧知识与新知识的有效衔接，让新知识的“生成”和“生长”有理有据、有情有理，进而达到关联教学基础的目的. 在本课例中，将全等三角形知识深度渗透到教学过程中，并复习三角形相似的定义及预备定理，回顾三角形全等的判别法然后让学生在类比探索过程中获得三角形相似条件的新命题.强调研究几何图形的普遍策略及构建一以贯之的知识体系.
（2）关注基本思想，促进“主动式”
数学思想是对数学事实与理论概括后的本质认识，本课突出“类比”的思想方法，关注相似三角形与全等三角形的内在关系：从“一般”到“特殊”，再进一步梳理探索全等三角形判定的知识结构，为学生类比学习相似三角形的探索过程指明了方向，是学生研究新命题的思维生长点. 紧接着学生通过“类比”自主研究相似三角形判定的新命题.在此过程中主动发挥了学生的创造潜能，加深学生对数学基本思想的理解.
（3）关注基本活动经验，促进“深度学习”
深度学习离不开概念、定理的探索过程. 学生在探索中，积累观察、猜想、分析、类比、归纳、证明等基本活动经验，深化对数学的理解. 本课从全等三角形的基本知识和探索知识的结构出发尝试唤醒与激活学生原有的经验，为积累新经验做铺垫；引导学生尝试弱化条件拾阶而上；通过“经验迁移”“类比”全等 三角形判定定理的探索结构，同化和顺应到相似三角形判定的新命题中并证明；学生在数学活动中的体验和感悟通过“经验升 华”为研究数学的思维习惯和一般策略.
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