初中数学人教版九下27.2.1相似三角形的判定 （第3课时） 同步检测（含解析）
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版九下27.2.1相似三角形的判定 （第3课时） 同步检测（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 164.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-16 19:27:58 | ||
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文档简介
27.2.1相似三角形的判定（3）
一、单选题
1．如图所示的三个三角形中，相似的是（ ）
A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3）
2．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
3．如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD C．∠ACD＝∠BCD D．
4．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
6．在△ABC和△A1B1 C1中，下列四个命题
（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1 C1；
（2）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1 C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1 C1．
其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，若添加一个条件，使得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则下列条件中不符合要求的是（ ）
A．∠A＝∠A′ B．∠B＝∠B′ C． D．
8．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
9．如图，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD:DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在边AD上，AE=8，点F在边DC上，则当EF=________时，△ABE与△DEF相似．
11．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________.
三、解答题
12．如图，在△ABC中，D.E分别是边AC.BC的中点，F是BC延长线上一点，
∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
13．已知正方形的边长为1．
(1)如图①所示，可以算出一个正方形的对角线长为，那么两个正方形并排拼成的矩形的对角线的长为________，n个正方形并排拼成的矩形的对角线长为________；
(2)根据图②，说明△BCE∽△BED；
(3)如图③，在下列所给的三个结论中，通过合理的推理选出正确的结论，并加以说明．
(A)∠BEC＋∠BDE＝45°；
(B)∠BEC＋∠BED＝45°；
(C)∠BEC＋∠DFE＝45°．
14．如图，甲、乙两人分别从A（1，）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4 km／h的速度行走．th后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？
1
参考答案
1．A
【解析】根据相似的判定找到两组对应角即可．
【详解】题图（1）中三角形的三个内角分别为71°，65°，44°，
题图（2）中三角形的三个内角分别为71°，44°，65°，
题图（3）中三角形的三个内角分别为71°，67°，42°，
所以（1）和（2）相似．
故选A．
【点睛】本题考查相似的判定，关键在于熟练掌握相似的判定条件．
2．D
【解析】找出对应角判定相似即可．
【详解】
∵CD⊥AB ，
∴∠BDC=∠ADC=90°，∠ACD+∠A=90°，∠BCD+∠B=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠ACB=∠BDC=∠ADC，
∴∠BCD=∠A，∠BCD=∠B ，
∴△ADC∽△CDB， △CDB∽△ACB， △ADC∽△ACB，
∴题图中相似的三角形有3对．
故选D．
【点睛】本题考查相似的判定，关键在于熟练掌握相似的判定条件．
3．C
【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】（A）∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；
（B）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，故B能判定△ACD∽△ABC；
（D）∵
∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．
4．D
【解析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A.根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
5．C
【解析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【详解】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．B
【解析】分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项．
【详解】
解：（1）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；
（2）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；
（3）若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；
（4）若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．
正确的个数有3个；故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法．
7．D
【解析】由两角分别相等的两个三角形相似可得选项A.B正确．由直角三角形相似的判定可得选项C正确．只有选项D中不是对应线段，不能说明两三角形相似．故选D．
8．C
【解析】∵∠BAC=∠PED=90°，，
∴当时，△ABC∽△EPD时．
∵DE=4，
∴EP=6．
∴点P落在P3处．故选C．
9．A
【解析】根据相似三角形的判定与性质，可得 ，再根据AD：DE=3：5，AE=8，可得AD.DE的长，根据比例的性质，可得答案．
【详解】∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴，
又∵AD:DE=3:5，AE=8，
∴AD=3，DE=5，
∵BD=4，
∴，即 .
∴DC=. 故选A.
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
10．5或
【解析】若要△ABE与△DEF相似，则需要对应直角边成比例，代入数值计算即可．
【详解】由题意，知△ABE与△DEF是直角三角形，
所以当或时， △ABE与△DEF相似，
由AB=6，AE=8，AD=12，得BE=10，DE=4
∴或，
∴EF=5或．
【点睛】△ABE与△DEF和△ABE∽△DEF是有区别的，前者没有明确两个三角形的对应关系，后者已给出了对应关系，因此前者要分类讨论．
11．5．
【解析】解：设AE=x，则AC=x+4，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD.
∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），
∴∠CAD=∠CDB，
∴△ACD∽△DCE，
∴，即
解得：x=5． 故答案为5．
【点睛】本题考查1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．相似三角形的判定与性质．
12．(1) FD=5; (2)证明见解析.
【解析】（1）利用三角形中位线的性质得出DE∥AB，进而得出∠DEC =∠B，即可得出FD=DE，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠A=∠CED=∠CDE，即可得出∠CDE=∠F，即可得出△CDE∽△DFE．
【详解】解：（1）∵D.E分别是AC.BC的中点，
∴DE//AB， DE=AB=5
又∵DE//AB，
∴∠DEC= ∠B．
而∠ F= ∠B，
∴∠DEC =∠B，
∴FD=DE=5；
（2）∵AC=BC，
∴∠A=∠B．
又∠CDE=∠A，∠CED= ∠B，
∴∠CDE=∠B．
而∠B=∠F，
∴∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，
∴△CDE∽△DFE ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和平行线的性质等知识，熟练利用相关性质是解题关键．
13．见解析
【解析】解：(1) (2)
(2)因为BE=，BC＝1，BD＝2，
所以
又∠CBE＝∠EBD，
所以△BCE∽△BED．
(3)B，C正确．
由(2)知，△BCF∽△BED，
所以∠BCE＝∠BDE，∠BCE＝∠BED．
又∠BEC＋∠BCE＝45°，
所以∠BEC＋∠BED＝45°．
所以B正确．
因为
所以△DEF∽△BEC，
所以∠DFE＋∠BCE．
又∠BEC＋∠BCE＝45°，
所以∠BEC＋∠DFE＝45°，所以C正确．
14．见解析
【解析】（1）因为A点坐标为（1，），所以OA＝2，由题意知OM＝2－4t，ON＝6－4t，若，解之得t＝0．即在甲、乙两人到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行．
（2）因为甲到达O点的时间为，乙到达O点的时间为，所以，O、M、N三点不能连接成三角形．①当时，如果△OMN∽△OBA，则有，解之得；②当时，∠MON＞∠OAB，显然△OMN不可能相似于△OBA；③当时，，解之得
t=2＞．所以当t＝2时，△OMN∽△OBA．
答案第1页，共2页
答案第5页，共5页
一、单选题
1．如图所示的三个三角形中，相似的是（ ）
A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3）
2．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
3．如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD C．∠ACD＝∠BCD D．
4．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
6．在△ABC和△A1B1 C1中，下列四个命题
（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1 C1；
（2）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1 C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1 C1．
其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，若添加一个条件，使得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则下列条件中不符合要求的是（ ）
A．∠A＝∠A′ B．∠B＝∠B′ C． D．
8．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
9．如图，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD:DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在边AD上，AE=8，点F在边DC上，则当EF=________时，△ABE与△DEF相似．
11．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________.
三、解答题
12．如图，在△ABC中，D.E分别是边AC.BC的中点，F是BC延长线上一点，
∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
13．已知正方形的边长为1．
(1)如图①所示，可以算出一个正方形的对角线长为，那么两个正方形并排拼成的矩形的对角线的长为________，n个正方形并排拼成的矩形的对角线长为________；
(2)根据图②，说明△BCE∽△BED；
(3)如图③，在下列所给的三个结论中，通过合理的推理选出正确的结论，并加以说明．
(A)∠BEC＋∠BDE＝45°；
(B)∠BEC＋∠BED＝45°；
(C)∠BEC＋∠DFE＝45°．
14．如图，甲、乙两人分别从A（1，）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4 km／h的速度行走．th后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？
1
参考答案
1．A
【解析】根据相似的判定找到两组对应角即可．
【详解】题图（1）中三角形的三个内角分别为71°，65°，44°，
题图（2）中三角形的三个内角分别为71°，44°，65°，
题图（3）中三角形的三个内角分别为71°，67°，42°，
所以（1）和（2）相似．
故选A．
【点睛】本题考查相似的判定，关键在于熟练掌握相似的判定条件．
2．D
【解析】找出对应角判定相似即可．
【详解】
∵CD⊥AB ，
∴∠BDC=∠ADC=90°，∠ACD+∠A=90°，∠BCD+∠B=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠ACB=∠BDC=∠ADC，
∴∠BCD=∠A，∠BCD=∠B ，
∴△ADC∽△CDB， △CDB∽△ACB， △ADC∽△ACB，
∴题图中相似的三角形有3对．
故选D．
【点睛】本题考查相似的判定，关键在于熟练掌握相似的判定条件．
3．C
【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】（A）∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；
（B）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，故B能判定△ACD∽△ABC；
（D）∵
∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．
4．D
【解析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A.根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
5．C
【解析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【详解】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．B
【解析】分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项．
【详解】
解：（1）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；
（2）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；
（3）若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；
（4）若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．
正确的个数有3个；故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法．
7．D
【解析】由两角分别相等的两个三角形相似可得选项A.B正确．由直角三角形相似的判定可得选项C正确．只有选项D中不是对应线段，不能说明两三角形相似．故选D．
8．C
【解析】∵∠BAC=∠PED=90°，，
∴当时，△ABC∽△EPD时．
∵DE=4，
∴EP=6．
∴点P落在P3处．故选C．
9．A
【解析】根据相似三角形的判定与性质，可得 ，再根据AD：DE=3：5，AE=8，可得AD.DE的长，根据比例的性质，可得答案．
【详解】∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴，
又∵AD:DE=3:5，AE=8，
∴AD=3，DE=5，
∵BD=4，
∴，即 .
∴DC=. 故选A.
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
10．5或
【解析】若要△ABE与△DEF相似，则需要对应直角边成比例，代入数值计算即可．
【详解】由题意，知△ABE与△DEF是直角三角形，
所以当或时， △ABE与△DEF相似，
由AB=6，AE=8，AD=12，得BE=10，DE=4
∴或，
∴EF=5或．
【点睛】△ABE与△DEF和△ABE∽△DEF是有区别的，前者没有明确两个三角形的对应关系，后者已给出了对应关系，因此前者要分类讨论．
11．5．
【解析】解：设AE=x，则AC=x+4，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD.
∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），
∴∠CAD=∠CDB，
∴△ACD∽△DCE，
∴，即
解得：x=5． 故答案为5．
【点睛】本题考查1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．相似三角形的判定与性质．
12．(1) FD=5; (2)证明见解析.
【解析】（1）利用三角形中位线的性质得出DE∥AB，进而得出∠DEC =∠B，即可得出FD=DE，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠A=∠CED=∠CDE，即可得出∠CDE=∠F，即可得出△CDE∽△DFE．
【详解】解：（1）∵D.E分别是AC.BC的中点，
∴DE//AB， DE=AB=5
又∵DE//AB，
∴∠DEC= ∠B．
而∠ F= ∠B，
∴∠DEC =∠B，
∴FD=DE=5；
（2）∵AC=BC，
∴∠A=∠B．
又∠CDE=∠A，∠CED= ∠B，
∴∠CDE=∠B．
而∠B=∠F，
∴∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，
∴△CDE∽△DFE ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和平行线的性质等知识，熟练利用相关性质是解题关键．
13．见解析
【解析】解：(1) (2)
(2)因为BE=，BC＝1，BD＝2，
所以
又∠CBE＝∠EBD，
所以△BCE∽△BED．
(3)B，C正确．
由(2)知，△BCF∽△BED，
所以∠BCE＝∠BDE，∠BCE＝∠BED．
又∠BEC＋∠BCE＝45°，
所以∠BEC＋∠BED＝45°．
所以B正确．
因为
所以△DEF∽△BEC，
所以∠DFE＋∠BCE．
又∠BEC＋∠BCE＝45°，
所以∠BEC＋∠DFE＝45°，所以C正确．
14．见解析
【解析】（1）因为A点坐标为（1，），所以OA＝2，由题意知OM＝2－4t，ON＝6－4t，若，解之得t＝0．即在甲、乙两人到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行．
（2）因为甲到达O点的时间为，乙到达O点的时间为，所以，O、M、N三点不能连接成三角形．①当时，如果△OMN∽△OBA，则有，解之得；②当时，∠MON＞∠OAB，显然△OMN不可能相似于△OBA；③当时，，解之得
t=2＞．所以当t＝2时，△OMN∽△OBA．
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