初中数学人教版九下27.2.1相似三角形的判定（第1课时）教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版九下27.2.1相似三角形的判定（第1课时）教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 366.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-16 19:30:37 | ||
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文档简介
相似三角形的判定
（第1课时）
一、教学内容分析
本节课是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定方法的基础上对相似三角形判定方法的探索.首先，根据定义法判定两三角形相似，接着类比全等三角形的判定方法提出判定三角形相似是否存在简单方法，通过引入平行线分线段成比例定的基本事实，为获得相似三角形判定定理奠定基础.“平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，这一定理探究过程蕴含了“提炼图形”—“提出问题”—“平移转化”—“解决问题”的探究思路.该定理的推导是本节课的重点，也是难点.
二、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步培养探索交流能力.
2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，并能用其进行简单的证明和计算.
3.掌握基本定理的推导过程，并利用其判定两三角形相似.
三、教学重难点
【重点】掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，以及三角形相似的预备定理．
【难点】三角形相似的预备定理的推导过程.
四、教学方法
类比探究发，类比全等三角形的探究方法探究相似三角形的判定方法；计算机辅助教学，归纳平行线分线段成比例的基本事实；探究归纳法，依照“提炼图形”—“提出问题”—“平移转化”—“解决问题”的探究思路，归纳出相似三角形预备定理.
五、教学过程
（一）新课导入
1.如何判定两个多边相似？什么是相似多边形的相似比？
2.满足什么条件△ABC与△A1B1C1相似？试着用几何语言表述.
意图：尝试用几何语言表述两个三角形相似的条件.
效果：感受定义法作为判定方法的必要性和繁琐.
（二）新课讲授
活动一 基本概念学习
1.相似三角形记法:△ABC与△A1B1C1相似，记作:△ABC∽△A1B1C1
2.相似比:相似三角形对应边的比.（强调相似比的顺序性）
3.相似三角形性质:相似三角形的三角分别相等，三边成比例.
思考：全等三角形的相似比是多少？
意图：讲授基本概念，体会相似与全等的关系，为新授课学习提供知识基础..
效果：全等是特殊的相似，为下面利用从特殊到一般的方法，由研究全等三角形的思路，提出研究相似三角形的问题和方法.
活动二 类比探究 提出猜想
思考：类比全等三角形的思路，判定两个三角形相似是否同样存在着简单的方法？
意图：鼓励学生思考，并大胆提出猜想，体会运用类比思想探究几何图形判定方法.
效果：培养学生思维的速度与宽度.
活动三 动手实践 发现事实
(为了证明同学们猜想的准确性，我们先来学习平行线分线段成比例这个基本事实)
1.如图，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A，B，C，D，E，F
问题：计算，你有什么发现？若将b向下平移到其他位置，直线m，n与直线b的交点分别为B1，E1，刚才发现的结论还成立吗？利用比例的性质你还能得到哪些比例线段？
【答案或提示】
若将b向下平移到其他位置，直线m，n与直线b的交点分别为B1，E1，刚才在问题（1）中发现的结论依然成立，利用比例的性质可以得到以下比例线段：
2.教师在学生动手实践的基础上，利用多媒体技术，通过任意拖动直线进行演示，验证猜想．
归纳：平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例.
意图：通过学生的独立思考，动手实践，验证结果，发现基本事实．
效果：训练学生独立思考，提出猜想的能力，培养学生思维的深刻性；引导学生抓住问题典型特征，“直接而快速”的解答，培养学生思维的敏捷性.
活动四 应用新知，知识迁移
1.把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？（依然成比例）
2.擦掉②部分线段，在△ACF中，BE∥CF，以上结论还成立吗？成立吗？试着在三角形中概括你的结论.
【答案或提示】
成比例线段，不包括平行线上的线段.
结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.
3．仿照以上做法，擦掉③部分线段，你又有什么发现？试着说一说并仿照归“2”归纳结论.
归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.（推论）
意图：从两条直线被一组平行线所截的图形中提炼出三角形，让学生体会问题的本质，找出不变的关系，感受数学的魅力.
效果：培养学生的空间观念，提高知识迁移能力.
4. 小试牛刀
如图⑤，若AE∥CF∥DG，AB=2cm，BC=4cm，CD=6cm，BG=8cm，BE= FG=
例：如图在△ACF中，BE∥CF，DE∥CA，=，求
分析：求，BE为平行线上的线段，如果使用平行线分线段成比例基本事实解决问题，必须将BE转化到三角形的边上，所以可以借助平行线构造平行四边形转化等线段.
解析：解：∵BE∥CF，DE∥CA
∴四边形BEDC为平行四边形.
∴BE=CD
∵BE∥CF，
∵ DE∥CA
意图：巩固新知.
效果：为证明相似三角形预备定理打下伏笔.
活动五 知识再生 巧推定理
思考：如图⑦，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC是否相似？
追问1：用定义证明相似，需满足哪些条件？这些条件成立吗？
追问2： 这个结论可以直接由“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”推出吗？说说你的理由.
【答案或提示】
追问1：根据相似三角形定义，需满足
，其中与另外两组边的比是否相等不确定.
追问2：直接由“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”不可以推出.该基本事实中的比例线段不包括平行线上的线段.
意图：追问1，使学生体会到几何图形中定义的重要性，它既是性质又是判定方法，并且是推导其它判定方法的基础方法；追问2是对平行分线段成比例定理正确理解的检验.
效果：引导学生掌握正确的思考问题的方向，同时明确平行线分线段成比例定理中的比例线段不包括平行线上的线段.
追问3:结合例题解题思路，是否可以借助平移转化解决问题？
【答案或提示】
分析：直观告诉我们：△ADE∽△ABC，根据三角形相似的概念，要想证明两个三角形相似，必须证明三个角对应相等，三条边对应边对应成比例.由平行线分线段成比例定理，可知：，还需证明所以要将DE平移到BC上，使得BF=DE(如图⑥)，再证明：即可.
解析： 证明:过E作EF∥AB交BC于F
∵DE∥BC
∴四边形DEFB为平行四边形
∴DE=BF
∵DE∥BC， EF∥AB
∴
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED =∠C
∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言：∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
强调：解决相似问题时，常做的辅助线是平行线.
意图：引导学生在已有活动经验基础上，找出解决问题的关键，借助平行线，利用平行线分线段成比例定理转移线段，证得结论的准确性.
效果：学生解决问题过程中，体会通过平移，可以把两条线段的比转化为另外两条线段的比.
例：如图△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD=4cm，BD=2cm，CF=3cm.
(1)求证△ADE∽△EFC，并求△ADE与△EFC的相似比.
（2）求BC长.
分析：由平行线段想相似三角形，相似三角形与全等三角形一样，同样具有传递性，从而证得△ADE∽△EFC，相似比即对应边的比，要注意顺序性.利用相似三角形性质求出DE长，从而得到BC=BF+FC=5.
解析：
解：(1).∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵EF∥AB
∴△EFC∽△ABC
∴△ADE∽△EFC
又∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB为平行四边形.
∴DE=BF，DB=EF=2
∴△ADE与△EFC的相似比为
(2).由(1)可得∵△ADE∽△EFC，
则即， ，DE=6
∴BC=BF+FC=DE+FC=6+3=9
意图：引导学生综合运用新知解决简单问题.
效果：巩固新知，强化重点.
课堂练习
1. 如图⑧，DE∥BC，则下面比例式不成立的是（ B ）
2.如图⑨，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ A ）
3.如图⑩，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，求线段BF的长.
解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴BC=15
∵DE∥BC，DF∥AC
∴四边形DECF是平行四边形.
∴CF=DE=5
∴BF=BC-CF=15-5=10cm
意图：利用平行线分线段成比例定理以及推论、预备定理解决简单问题．
效果：及时应用所学知识，加深对结论的理解．
（四）课堂小结
这节课你有那些收获？
（1）相似三角形里有哪些基本概念？今天学了哪些判定定理.
（2）在探究相似三角形判定定理的过程中，我们经历了哪些环节？
（3）本节课中有哪些重要的数学思想方法让你印象深刻，举例说明？
意图：从知识与技能、过程与方法等方面引导学生总结收获．
效果：在获得知识的同时，学得必要的数学学习方法，感悟数学思想方法的重要意义．
(五) 作业布置
A组：教材31页练习1.2题.
B组：1.在△ABC中，AB=6，AC=9，点P是直线AB上一点，且AP=2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为 .
解析：题目中P是直线AB上一点，说明P可能在线段AB上或BA的延长线上，应分情况讨论.
当P可能在线段AB上时，
∵PM∥BC
∴
∴AM=3，
∴MC=AC-AM=9-3=6
当P在线段BA的延长线上时，
∵PM∥BC
∴
∴AM=3，
∴MC=AC+AM=9+3=12
2.如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点.若AC=6，则DH= .
解析：∵EF∥AC， D，E为边AB的三等分点，
∴△BEF∽△BCA
∴
∴EF=2
∵EF∥DH
∴ DH=1
3.如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF=3FE，则
.
解析：求线段比想通过平行线，构造比例线段.题目中有中点，则过中点做平行线解决问题.
解：过E作EM∥AD交BC于点M
∴E为AC的中点， BF=3FE
则，且
∴BD=3DM，CD=2DM
∴
六、板书设计
(一)相似三角形的概念
1.概念:三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似.
2.记法:△ABC与△A1B1C1相似，记作:△ABC∽△A1B1C1
3.相似比:相似三角形对应边的比.
4.性质:相似三角形的三个角分别相等，三条边成比例.
(二)平行线分线段成比例
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
2.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
(三) 三角形相似的判定定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相.
几何语言：∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
七、课后反思
本节课对平行线分线段成比例定理进行了淡化处理，教材中采用让学生通过画图、测量、猜想感知结论的基础上，直接给出基本事实，但对于学生来说这个过程会状况百出，直接影响后续知识处理.我尝试利用网格图，构建数学模型，这样从一定程度上避免了测量产生的误差，并且拓宽了学生解决问题的思路，锻炼了学生思维的广阔性和灵活性.利用平行线分线段成比例基本事实推导相似三角形判定定理是本节课的难点，我巧用习题做铺垫，让学生感受到平行线可以平移线段同时，为判定定理证明打下伏笔.本节课课堂容量较大，需加强课后巩固.
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（第1课时）
一、教学内容分析
本节课是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定方法的基础上对相似三角形判定方法的探索.首先，根据定义法判定两三角形相似，接着类比全等三角形的判定方法提出判定三角形相似是否存在简单方法，通过引入平行线分线段成比例定的基本事实，为获得相似三角形判定定理奠定基础.“平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，这一定理探究过程蕴含了“提炼图形”—“提出问题”—“平移转化”—“解决问题”的探究思路.该定理的推导是本节课的重点，也是难点.
二、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步培养探索交流能力.
2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，并能用其进行简单的证明和计算.
3.掌握基本定理的推导过程，并利用其判定两三角形相似.
三、教学重难点
【重点】掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，以及三角形相似的预备定理．
【难点】三角形相似的预备定理的推导过程.
四、教学方法
类比探究发，类比全等三角形的探究方法探究相似三角形的判定方法；计算机辅助教学，归纳平行线分线段成比例的基本事实；探究归纳法，依照“提炼图形”—“提出问题”—“平移转化”—“解决问题”的探究思路，归纳出相似三角形预备定理.
五、教学过程
（一）新课导入
1.如何判定两个多边相似？什么是相似多边形的相似比？
2.满足什么条件△ABC与△A1B1C1相似？试着用几何语言表述.
意图：尝试用几何语言表述两个三角形相似的条件.
效果：感受定义法作为判定方法的必要性和繁琐.
（二）新课讲授
活动一 基本概念学习
1.相似三角形记法:△ABC与△A1B1C1相似，记作:△ABC∽△A1B1C1
2.相似比:相似三角形对应边的比.（强调相似比的顺序性）
3.相似三角形性质:相似三角形的三角分别相等，三边成比例.
思考：全等三角形的相似比是多少？
意图：讲授基本概念，体会相似与全等的关系，为新授课学习提供知识基础..
效果：全等是特殊的相似，为下面利用从特殊到一般的方法，由研究全等三角形的思路，提出研究相似三角形的问题和方法.
活动二 类比探究 提出猜想
思考：类比全等三角形的思路，判定两个三角形相似是否同样存在着简单的方法？
意图：鼓励学生思考，并大胆提出猜想，体会运用类比思想探究几何图形判定方法.
效果：培养学生思维的速度与宽度.
活动三 动手实践 发现事实
(为了证明同学们猜想的准确性，我们先来学习平行线分线段成比例这个基本事实)
1.如图，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A，B，C，D，E，F
问题：计算，你有什么发现？若将b向下平移到其他位置，直线m，n与直线b的交点分别为B1，E1，刚才发现的结论还成立吗？利用比例的性质你还能得到哪些比例线段？
【答案或提示】
若将b向下平移到其他位置，直线m，n与直线b的交点分别为B1，E1，刚才在问题（1）中发现的结论依然成立，利用比例的性质可以得到以下比例线段：
2.教师在学生动手实践的基础上，利用多媒体技术，通过任意拖动直线进行演示，验证猜想．
归纳：平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例.
意图：通过学生的独立思考，动手实践，验证结果，发现基本事实．
效果：训练学生独立思考，提出猜想的能力，培养学生思维的深刻性；引导学生抓住问题典型特征，“直接而快速”的解答，培养学生思维的敏捷性.
活动四 应用新知，知识迁移
1.把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？（依然成比例）
2.擦掉②部分线段，在△ACF中，BE∥CF，以上结论还成立吗？成立吗？试着在三角形中概括你的结论.
【答案或提示】
成比例线段，不包括平行线上的线段.
结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.
3．仿照以上做法，擦掉③部分线段，你又有什么发现？试着说一说并仿照归“2”归纳结论.
归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.（推论）
意图：从两条直线被一组平行线所截的图形中提炼出三角形，让学生体会问题的本质，找出不变的关系，感受数学的魅力.
效果：培养学生的空间观念，提高知识迁移能力.
4. 小试牛刀
如图⑤，若AE∥CF∥DG，AB=2cm，BC=4cm，CD=6cm，BG=8cm，BE= FG=
例：如图在△ACF中，BE∥CF，DE∥CA，=，求
分析：求，BE为平行线上的线段，如果使用平行线分线段成比例基本事实解决问题，必须将BE转化到三角形的边上，所以可以借助平行线构造平行四边形转化等线段.
解析：解：∵BE∥CF，DE∥CA
∴四边形BEDC为平行四边形.
∴BE=CD
∵BE∥CF，
∵ DE∥CA
意图：巩固新知.
效果：为证明相似三角形预备定理打下伏笔.
活动五 知识再生 巧推定理
思考：如图⑦，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC是否相似？
追问1：用定义证明相似，需满足哪些条件？这些条件成立吗？
追问2： 这个结论可以直接由“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”推出吗？说说你的理由.
【答案或提示】
追问1：根据相似三角形定义，需满足
，其中与另外两组边的比是否相等不确定.
追问2：直接由“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”不可以推出.该基本事实中的比例线段不包括平行线上的线段.
意图：追问1，使学生体会到几何图形中定义的重要性，它既是性质又是判定方法，并且是推导其它判定方法的基础方法；追问2是对平行分线段成比例定理正确理解的检验.
效果：引导学生掌握正确的思考问题的方向，同时明确平行线分线段成比例定理中的比例线段不包括平行线上的线段.
追问3:结合例题解题思路，是否可以借助平移转化解决问题？
【答案或提示】
分析：直观告诉我们：△ADE∽△ABC，根据三角形相似的概念，要想证明两个三角形相似，必须证明三个角对应相等，三条边对应边对应成比例.由平行线分线段成比例定理，可知：，还需证明所以要将DE平移到BC上，使得BF=DE(如图⑥)，再证明：即可.
解析： 证明:过E作EF∥AB交BC于F
∵DE∥BC
∴四边形DEFB为平行四边形
∴DE=BF
∵DE∥BC， EF∥AB
∴
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED =∠C
∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言：∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
强调：解决相似问题时，常做的辅助线是平行线.
意图：引导学生在已有活动经验基础上，找出解决问题的关键，借助平行线，利用平行线分线段成比例定理转移线段，证得结论的准确性.
效果：学生解决问题过程中，体会通过平移，可以把两条线段的比转化为另外两条线段的比.
例：如图△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD=4cm，BD=2cm，CF=3cm.
(1)求证△ADE∽△EFC，并求△ADE与△EFC的相似比.
（2）求BC长.
分析：由平行线段想相似三角形，相似三角形与全等三角形一样，同样具有传递性，从而证得△ADE∽△EFC，相似比即对应边的比，要注意顺序性.利用相似三角形性质求出DE长，从而得到BC=BF+FC=5.
解析：
解：(1).∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵EF∥AB
∴△EFC∽△ABC
∴△ADE∽△EFC
又∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB为平行四边形.
∴DE=BF，DB=EF=2
∴△ADE与△EFC的相似比为
(2).由(1)可得∵△ADE∽△EFC，
则即， ，DE=6
∴BC=BF+FC=DE+FC=6+3=9
意图：引导学生综合运用新知解决简单问题.
效果：巩固新知，强化重点.
课堂练习
1. 如图⑧，DE∥BC，则下面比例式不成立的是（ B ）
2.如图⑨，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ A ）
3.如图⑩，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，求线段BF的长.
解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴BC=15
∵DE∥BC，DF∥AC
∴四边形DECF是平行四边形.
∴CF=DE=5
∴BF=BC-CF=15-5=10cm
意图：利用平行线分线段成比例定理以及推论、预备定理解决简单问题．
效果：及时应用所学知识，加深对结论的理解．
（四）课堂小结
这节课你有那些收获？
（1）相似三角形里有哪些基本概念？今天学了哪些判定定理.
（2）在探究相似三角形判定定理的过程中，我们经历了哪些环节？
（3）本节课中有哪些重要的数学思想方法让你印象深刻，举例说明？
意图：从知识与技能、过程与方法等方面引导学生总结收获．
效果：在获得知识的同时，学得必要的数学学习方法，感悟数学思想方法的重要意义．
(五) 作业布置
A组：教材31页练习1.2题.
B组：1.在△ABC中，AB=6，AC=9，点P是直线AB上一点，且AP=2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为 .
解析：题目中P是直线AB上一点，说明P可能在线段AB上或BA的延长线上，应分情况讨论.
当P可能在线段AB上时，
∵PM∥BC
∴
∴AM=3，
∴MC=AC-AM=9-3=6
当P在线段BA的延长线上时，
∵PM∥BC
∴
∴AM=3，
∴MC=AC+AM=9+3=12
2.如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点.若AC=6，则DH= .
解析：∵EF∥AC， D，E为边AB的三等分点，
∴△BEF∽△BCA
∴
∴EF=2
∵EF∥DH
∴ DH=1
3.如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF=3FE，则
.
解析：求线段比想通过平行线，构造比例线段.题目中有中点，则过中点做平行线解决问题.
解：过E作EM∥AD交BC于点M
∴E为AC的中点， BF=3FE
则，且
∴BD=3DM，CD=2DM
∴
六、板书设计
(一)相似三角形的概念
1.概念:三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似.
2.记法:△ABC与△A1B1C1相似，记作:△ABC∽△A1B1C1
3.相似比:相似三角形对应边的比.
4.性质:相似三角形的三个角分别相等，三条边成比例.
(二)平行线分线段成比例
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
2.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
(三) 三角形相似的判定定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相.
几何语言：∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
七、课后反思
本节课对平行线分线段成比例定理进行了淡化处理，教材中采用让学生通过画图、测量、猜想感知结论的基础上，直接给出基本事实，但对于学生来说这个过程会状况百出，直接影响后续知识处理.我尝试利用网格图，构建数学模型，这样从一定程度上避免了测量产生的误差，并且拓宽了学生解决问题的思路，锻炼了学生思维的广阔性和灵活性.利用平行线分线段成比例基本事实推导相似三角形判定定理是本节课的难点，我巧用习题做铺垫，让学生感受到平行线可以平移线段同时，为判定定理证明打下伏笔.本节课课堂容量较大，需加强课后巩固.
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