初中数学人教版九下27.2.1相似三角形的判定（第3课时） 教案

27.2.1相似三角形的判定
（第3课时）
一、教学内容分析
本节课是相似三角形的判定的第三课时，学生已经积累了丰富的数学活动经验，基本掌握探究两三角形相似的一般思路，本节课是对研究几何图形的经验、基本思路、方法的再强化，相似三角形的判定方法证明仍为重点，灵活运用定理解决问题成为难点.
二、教学目标
1. 继续探究两个三角形相似的判定方法，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程， 在教学过程中渗透类比、转化等数学思想.
2. 掌握“两角分别相等的两个三角形相似”和判定两直角三角形相似的方法.
3．会运用三角形相似的条件解决简单问题.
三、教学重难点
【重点】掌握“两角分别相等的两个三角形相似”和判定两直角三角形相似的方法.
【难点】运用两个三角形相似的判定方法解决简单问题.
四、教学方法
本节课采用以引导发现法为主，并以讨论法、演示法相结合，意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手操作，从自己的实践中获取知识并通过讨论来深化对知识的理解.
五、教学过程
（一）新课导入
1.相似三角形的判定方法有哪些？
2.我们探究相似三角形判定方法的基本思路是什么？
意图：对相似三角形判定方法和基本思路及时进行归纳整理．
效果：复习“旧知”，关联“新知”.
（二）新课讲授
活动一 类比探究 证明定理
1. 类比以上探究三角形相似的方法，猜想两角分别相等的两个三角形相似吗？说说你的方法.
意图：引导学生分别用“寻找生活中的实例”、“画图测量”、“理论证明”等不同角度解决问题．
效果：训练学生多方面、多角度解决问题，培养学生思维的广阔性和灵活性.
2.写出命题“两角分别相等的两个三角形相似“的已知、求证，并完成证明过程.
追问：结合命题的已知，我们需要再找到什么条件证两三角形相似？如何做辅助线？
3.写出该定理的几何语言.
【答案或提示】
1.生活实例，两幅三角尺； 画图测量，在边长都是1的方格纸上，任意绘制△ABC和△A'B'C' ，使得∠A＝∠A' ，∠B＝∠B'，计算任意夹一组对应角的两组边是否成比例； 写出已知、求证，进行严谨证明.
2.已知： △ABC和△A'B'C' ，使得∠A＝∠A' ，∠B＝∠B'，
求证:△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD= A' B'， 过点 D 作 DE∥BC.
∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC.
∵∠B=∠B′
∴∠ADE=∠B′
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
3.几何语言：在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠A＝∠A' ，∠B＝∠B'
∴△A′B′C′∽△ABC
意图：训练学生在已有的数学活动经验基础上完成命题证明过程.
效果：训练学生逻辑思维的严谨性，提高学生的推理论证能力.
活动二 小试牛刀 再显身手
问题：在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C'=90°，试添加一个条件，使Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.并试着说明你的根据是什么.
追问：能否类比直角三角形全等的“HL”判定方法，提出新的猜想？
教师展示证明过程，并点评张明思路.
【答案或提示】
添加条件：两边成比例且角相等的两个三角形相似.
∠A＝∠A'或∠B＝∠B' 两角分别相等的两个三角形相似.
猜想：满足斜边和一条直角边成比例的两个三角形相似.
分析：要证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证
设，则只需证通过代数计算的方法，利用勾股定理证明.
证明：设，则AB=kA′B′，AC=kA′C′
由勾股定理，得BC=，
∴
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
意图：利用所学相似三角形判定方法解决直角三角形的相似.
效果：巩固相似三角形判定定理，丰富学生的分析问题、解决问题的活动经验.
活动三 精讲例题 拓展延伸
例2，如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC 一点，AE =5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
变式1：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
(1).图中有几对相似的三角形？写一写
(2).若AB=10，AC=8，求AD的长.
变式2：如图：在△ABC中，D为边AB上一点，连接CD，能使△ABC∽△ACD的条件是:
①∠ACD=∠B ②∠ACD=∠B ③ ④AC2=AD﹒AB ⑤
若△ABC∽△ACD，AB=10，AC=8，CD=4.8， AD= ，此时∠ACB= °
【答案或提示】例2解：∵ ED⊥AB，
∴∠EDA=90°.
又∵∠C=90°，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
∴
∴
变式1：（1）3对，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD， △CBD∽△ACD
（2）利用△ABC∽△ACD相似，AC2=AD﹒AB，AD=6.4
变式2：① ② ③ ④ ，6.4 ，90（利用勾股定理逆定理证得△ACD为直角三角形，再利用相似三角形对应角相等求∠ACB度数.）
意图：巩固新知，融会贯通.
效果：通过变式训练，训练学生的思维发散性和敏捷性，优化思维品质.
（三）课堂练习
1.教材36页1.3题.
2. 如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )
3.如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = 6 .
意图：利用“两角分别相等的两个三角形相似”解决简单问题.
效果：巩固新知.
（四）课堂小结
这节课我们的收获是什么？试着分别从知识与技能、过程与方法等方面分享一下.
意图：从知识与技能、过程与方法等方面引导学生总结收获．
效果：在获得知识的同时，习得必要的数学学习方法，感悟数学思想方法的重要意义．
(五) 作业布置
A组：教材43页7题，58页8.9题.
B组：1.如图，在边长为9的等边△ABC中，BD=3，∠ADE＝60°，，则AE的长为 7 .
【解析】结合图形符合一线三等角基本模型，易证△ABD∽△DCE，则，带入求值CE=2，则AE=7
2.如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高，求证：
【解析】证明： 连接CE，则∠A=∠E.
又∵BE是△ABC的外接圆O的直径，
∴∠BCE=90°=∠ADC，
∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC，
∴△ACD∽△EBC.
∴
3.如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，当AB 的长为多少时，△ACB 与△ADC相似．
【解析】当两个相似三角形不是用相似符号连接时，要根据对应角或对应比不同分情况讨论.
详解：解：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，
当△ACB 与△ADC相似时，有两种情况：
（1）当∠CAD =∠BAC时，
有;
(2) 当∠ACD =∠BAC时，
∴当AB为3或时，这两个直角三角形相似．
意图：A组题目注重基础知识的直接运用，B组题目有一定灵活性，适用于学有余力的同学．
效果：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我检测．
六、板书设计
27.2.1相似三角形的判定
1.相似三角形判定方法.
2.分别相等的两个三角形相似.
几何语言： 在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠A＝∠A' ，∠B＝∠B'
∴△A′B′C′∽△ABC
例题：
变式1：
变式2：
七、课后反思
《义务教育数学课程标准》指出:有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式. 为了充分体现《义务教育数学课程》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，积累丰富的数学活动经验，这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程，在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析、转化等数学思想方法.1