初中数学人教版八下19.2.1正比例函数教案

19.2.1正比例函数
教学内容分析
正比例函数是特殊的一次函数，也是初中学生接触到的第一种函数，要通过对正比例函数内容的学习，为后续类比学习一般一次函数打好基础，更好的体现函数概念的实际背景，反映数学与实际的关系，即数学理论来源于实际又服务于实际.在正比例函数的图象及其性质研究中蕴含数形结合思想、分类讨论思想和观察、表征、类比、归纳等数学认知活动.学生在这节课中如果能内化和感悟数形结合的思想，将为后续研究较为复杂的一次函数，更为复杂的反比例函数及二次函数的图象和性质打下坚实的基础，在教材地位上具有承上启下的作用.
教学目标
1.理解正比例函数的概念，并会求正比例函数的解析式；
2.掌握正比例函数的图象和性质，并能灵活运用解答有关问题.
教学重难点
【重点】掌握正比例函数的概念和图像性质.
【难点】能根据实际情况运用正比例函数的知识来解决相关问题.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法.
教学过程
（一）视频导入
多媒体播放《数青蛙》的手指操视频：
如果设青蛙的数量为x，y分别表示青蛙嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？
y=x，y=2x，y=4x……
意图：运用《数青蛙》的手指操视频，可以吸引学生的注意力，之后用问题引发学生数量关系的思考，从而引出课题.
效果：引发了学生思考，激发了学生学习正比例函数的兴趣.
新课讲授
正比例函数的概念
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.
设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：
（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？
（2）京沪高铁的行程y（km）与时间t（h）之间有何数量关系？
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？
解：（1）1318÷300≈4.4（h）
y=300t（0≤t≤4.4）
y=300×2.5=750（km）， 这时列车尚未到达距始发站1 100km的南京站.
思考 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．
（4）冷冻一个0℃ 的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．
问题2 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．
这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！
知识要点 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
追问：这里为什么强调k是常数，k≠0呢？
学生交流，讨论，互相补充.
意图：通过观察这四个函数的解析式，使学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.
效果：学生通过思考、观察和归纳，得出了正比例函数的概念.
例1 已知函数 y=(m-1)是正比例函数，求m的值.
解：∵函数
∴即
∴
方法归纳：正比例函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式.
变式训练
若是正比例函数，则m=-2；
若是正比例函数，则m=-1；
做一做
列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为x cm，周长为y cm.
y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．
y=12x 是正比例函数
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为x cm ，体积为y cm3.
y=3x 是正比例函数
意图：通过题目讲解和练习，使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.
效果：学生通过实际问题理解了正比例函数的概念.
正比例函数的图象
我们知道函数的表示形式分为三种：图象法，列表法，解析式法．
那么如果已知一个正比例函数，该如何制作它的图象呢？
列表、描点、连线.
例2 画出下列正比例函数的图象：
y=2x，；（2）y=-1.5x，y=-4x.
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
① 列表
② 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；
③ 连线
同样可以画出函数的图象.
（2）用同样的方法，依次可画出函数y=-1.5x，y=-4x的图象
观察与思考 这四个函数图象有什么共同特征，又有什么区别？
归纳总结
两点作图法：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.
意图：让学生回忆函数图象的作法，并在坐标系中画出四个正比例函数图象，目的是让学生熟练画图，在动手操作中感知数学直观，并探究正比例函数图象的性质，体会自我探究的喜悦感和成就感.
效果：学生在教师的引导下经历了画图、观察、思考、归纳的数学探究过程，得出了正比例函数的图象特征.
做一做 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
y=-3x；（2）
例3 已知正比例函数y=(k+1)x.
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________.
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+1>0，解得k>-1.
（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.
解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k+1)·2，
解得k=1.
意图：通过题目，让学生加深对正比例函数图象的理解，体会数形结合思想.
效果：学生加深了对正比例函数图象的理解和运用.
正比例函数的性质
问题：在函数y=x ， y=3x， y=-x和 y=-4x 中，随着x的增大，y的值分别如何变化？
分析：对于函数y=x，当x=-1时，y=-1；当x=1时，y=1；当x=2时，y=2；不难发现y的值随x的增大而增大.
我们还可以借助函数图象分析此问题.
观察图象可以发现： 直线y=x，y=3x向右逐渐上升，即y的值随x的增大而增大；
直线y=-x，y=-4x向右逐渐下降，即y的值随x的增大而增大而减小.
总结归纳
在正比例函数y=kx中：
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
议一议 （1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数y= - x和y =-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.
练一练
（1）已知正比例函数y=2x的图象上有两点（3，y1），（5，y2），则y1（2）已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点（-3，y1），（1，y2），则y1>y2.
分析：因为k<0，所以y的值随着x值的增大而减小，又-3<1，则y1意图：教师从正比例函数解析式，图象草图，自变量取值范围，图象位置，增减性这五个方面引导学生进行列表总结，使得学生在探究正比例函数性质这环节的学习上，更加完整，在探究的基础上总结，学生易于接受，并且升华认识.
效果：学生经过思考探究得出了正比例函数的性质，为以后一次函数的性质探究打下了基础.
课堂练习
1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（ B ）
A.圆的面积S与它的半径r
B.行驶速度不变时，行驶路程s与时间t
C.正方形的面积S与边长a
D.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工作时间t
2.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（ B ）
3.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围 （ C ）
　　A．k＜2　　　　　　B．k≤2
　　C．k＞2　　　　　　D．k≥2
4.函数y=-7x的图象经过第二、四象限，经过点（0，0） 与点（1，-7），y随x的增大而减小.
5.已知正比例函数y=(2m+4)x.
（1）当m>-2，函数图象经过第一、三象限；
（2）当m<-2，y 随x 的增大而减小；
（3）当m=0.5，函数图象经过点（2，10）.
6.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.
解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx，
∵x=4时，y=7，∴7-3=4k，解得k=1.
∴y-3=x，即y=x+3.
意图：巩固加深学生对正函数的概念、图象、性质的理解和运用情况.
效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.
课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，通过相互交流分享观点：
1. 正比例函数的概念：
形式：y=kx（k≠0）
2.正比例函数的图象：
图象：经过原点的直线.
3.正比例函数的性质：
性质：当k>0时，过一、三象限，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，过二、四象限，y的值随x值的增大而减小.
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能，升华思想认识.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
作业布置
完成配套练习
板书设计
19.2.1正比例函数
1. 正比例函数的概念：
形式：y=kx（k≠0）
2.正比例函数的图象：
图象：经过原点的直线.
3.正比例函数的性质：
性质：当k>0时，过一、三象限，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，过二、四象限，y的值随x值的增大而减小.
教学反思
本节课用学生熟悉的视频引入正比例的概念，激发了学生学习的兴趣.之后通过一系列的问题逐步启发学生思考，让学生经历分析、观察、思考、归纳的探究过程，充分调动了学生学习的主观能动性.在探究正比例函数概念、图象、性质的过程中，有意培养学生数形结合的思想，为下节研究一次函数的相关知识奠定基础.
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