初中数学人教版八下19.2.2一次函数解析式的确定及应用（第3课时）教案

19.2.2一次函数解析式的确定及应用
教学内容分析
本节课是根据一次函数图象上两点的坐标，求相应一次函数的解析式，从而使学生对待定系数法有所了解. 一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数，因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要使学生能够掌握通过方程（组）确定相应系数从而确定函数解析式的方法.这种方法在几何中经常被用来解决由图象确定方程组的问题.现在接触这种方法可以为今后的进一步学习做些准备.
教学目标
1.理解待定系数法的意义，会用待定系数法求一次函数的解析式；
2.会运用一次函数的知识解决相关实际问题.
教学重难点
【重点】理解待定系数法的意义，会用待定系数法求一次函数的解析式.
【难点】会运用一次函数的知识解决相关实际问题.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法.
教学过程
（一）问题导入
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？
两点法——两点确定一条直线
思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
意图：通过问题来复习之前的一次函数的知识，来引入如何确定一次函数解析式.
效果：学生通过两点作图法初步明白了两点求一次函数解析式的思路.
新课讲授
用待定系数法求一次函数的解析式
合作探究 如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1），Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的解析式呢？
因为一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，k≠0），要求出一次函数的解析式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）.
∵P（0，-1） 和Q（1，1）都在该函数图象上，
∴它们的坐标应满足y=kx+b ， 将这两点坐标代入该式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组：
解这个方程组得
∴这个一次函数的解析式为y = 2x- 1.
知识要点 像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法.
做一做 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得：
，解方程组得
∴这个一次函数的解析式为y=2x-1.
归纳总结 求一次函数解析式的步骤：
（1）设：设一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0）；
（2）列：把图象上的点（x1，y1），（x2，y2）代入一次函数的解析式，组成二元一次方程组；
（3）解：解二元一次方程组得k，b；
（4）代：把k，b的值代入一次函数的解析式.
意图：教师引导，学生探究，得出待定系数法的概念，以及待定系数法的解题步骤，为以后待定系数法求二次函数和反比例函数做好准备.
效果：学生通过探究得出了待定系数法求一次函数的步骤.
例1. 若一次函数的图象经过点 A(2，0)且与直线y=-x+3平行，求其解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
由题意得，解得
∴y=-x+2.
例2 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.
分析：一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（，0）.由题意可列出关于k，b的方程.
注意：此题有两种情况.
解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)
∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
∴ b=2
∵一次函数的图象与x轴的交点是(，0)，则，解得k=1或-1.
∴一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
做一做 正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为(3，4)，并且OB=5.
（1）你能求出这两个函数的解析式吗？
（2）△AOB的面积是多少呢？
分析：由OB=5可知点B的坐标为(0，-5).y=k1x的图象过点A(3，4)，y=k2x+b的图象过点A(3，4)，B(0，-5)，代入解方程（组）即可.
意图：通过例题和练习使学生加深对待定系数法求一次函数解析式的理解和运用，在根据面积求坐标时，提醒学生需要分情况讨论，为以后用待定系数法求其他函数的解析式奠定了基础.
效果：学生通过练习，对待定系数法求函数解析式有了更深入的理解.
一次函数与实际问题
例3 “黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2 kg 以上的种子，超过2 kg 部分的种子的价格打8 折.
（1）填写下表：
写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
分析：从题目可知，种子的价格与购买种子量有关.
若购买种子量为0≤x≤2时，种子价格y为：y=5x.
若购买种子量为x＞2时，种子价格y为：y=4(x-2)+10=4x+2.
解：设购买量为x千克，付款金额为y元.
当0≤x≤2时，y=5x；
当x＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2.
叫做分段函数.
注意：（1）它是一个函数；（2）要写明自变量取值范围.
函数图象为：
思考：你能由上面的函数解析式或函数图象解决以下问题吗？　
（1）一次购买1.5 kg 种子，需付款多少元？
（2）30元最多能购买多少种子？
做一做 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.
求出y关于x的函数解析式；
（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费；
（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.
解：（1）y关于x的函数解析式为：
（2）当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8.
答：应缴水费为15.8元.
（3）∵1.3×8=10.4<26.6，∴该用户用水量超过8立方米.
∴2.7x-11.2=26.6，解得x=14.
答：该户这月用水量为14立方米.
意图：通过实际问题的讲解，让学生体会函数中的建模思想，明白数学来源于生活而又服务于生活.
效果：学生初步体会了一次函数解决实际问题中的建模思想.
课堂练习
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确的是 （ D ）
A．k=2　　　B．k=3　　　C．b=2　　D．b=3
2. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，　
填空：
（1）b=2 ，k= -;
（2）当x=30时，y=-18 ;
（3）当y=30时，x= -42 .
3. 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.
解：设直线l为y=kx+b，
　　∵ l与直线y=-2x平行，∴ k= -2.
又∵直线过点（0，2），
∴ 2=-2×0+b，
∴ b=2，
∴ 直线l的解析式为y=-2x+2.
4.一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象.
解：(1)由题意得
当0≤t≤2时，T=20；
当2函数解析式为：
(2)函数图像为：
意图：加深对待定系数法求一次函数解析式的理解.
效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.
课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，通过相互交流分享观点：
1.待定系数法求一次函数的解析式：
（1）设：设一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0）；
（2）列：把图象上的点（x1，y1），（x2，y2）代入一次函数的解析式，组成二元一次方程组；
（3）解：解二元一次方程组得k，b；
（4）代：把k，b的值代入一次函数的解析式.
2.一次函数的实际应用：
分段函数及取值范围
数学思想：
数形结合思想、建模思想
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
作业布置
完成配套练习
板书设计
19.2.2一次函数解析式的确定及应用
1.待定系数法求一次函数的解析式：
（1）设：设一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0）；
（2）列：把图象上的点（x1，y1），（x2，y2）代入一次函数的解析式，组成二元一次方程组；
（3）解：解二元一次方程组得k，b；
（4）代：把k，b的值代入一次函数的解析式.
2.一次函数的实际应用：
分段函数及取值范围
数学思想：
数形结合思想、建模思想
教学反思
首先，确定一次函数解析式，关键在于确定出一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b的值，用待定系数法确定一次函数解析式，不仅要求学生能正确地解出解析式，还重在让学生对一次函数式与函数图象、函数式中的变量与函数图象上点的坐标之间关系的理解，将数与形联系起来，形成数形结合的思想意识.本节课主要从两个不同方面说明了函数解析式与函数图象可以相互转化，实现这种转化的工具就是点的坐标，它是连接数与形关系的纽带.其次，一次函数在实际问题中的应用，主要是培养学生函数中的建模思想，这对今后进一步研究其它类型的函数具有广泛的意义.
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