5.1任意角和弧度制
一．选择题（共5小题）
1．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工．就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了．著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为每扇形的半径设为，满足，，，，若将的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的对应正方形格子的面积之和为，则下列结论错误的是
A． B．
C． D．
2．圆的半径为1，为圆周上一点，现将如图的放置的边长为1的正方形（正方形的顶点和点重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路程为
A． B． C． D．
3．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如图所示将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出（图中有，跨接了6个坐位的宽度，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是
A． B． C．295 D．
4．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则
A． B． C． D．
5．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
6．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在弧上，在上，．设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时 ．
7．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在上，在上，，设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时， ．
8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长约为 （精确到1米）．
9．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的体积为 ．
三．解答题（共3小题）
10．某校有一块圆心，为半径为200米，圆心角为的扇形绿地，半径，的中点分别为，，为弧上的一点，设，如图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用．
（1）方案一：将四边形绿地建成观赏鱼池，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？
（2）方案二：将弧和线段，围成区域建成活动场地，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？
11．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点，在上，点在弧上，设．
（1）若矩形是正方形，求的值；
（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向，修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点，与轴交于点，记，且．
（1）若，求；
（2）若，求的值；
（3）求面积的最大值．
5.1任意角和弧度制
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工．就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了．著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为每扇形的半径设为，满足，，，，若将的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的对应正方形格子的面积之和为，则下列结论错误的是
A． B．
C． D．
【分析】根据定义求数列和，利用即可化简判断选项，利用特殊值否定结论即可判断．
【解答】解：对于，由题意可得，故正确；
对于，，故正确；
对于，，故正确；
对于，因为，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了数学文化，考查了数列的递推公式的应用，考查了综合分析和问题求解能力，属于难题．
2．圆的半径为1，为圆周上一点，现将如图的放置的边长为1的正方形（正方形的顶点和点重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路程为
A． B． C． D．
【分析】由图可知：圆的半径，正方形的边长，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点首次回到点的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出．
【解答】解：由图可知：圆的半径，正方形的边长，
以正方形的边为弦时所对的圆心角为，
正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，
当点首次回到点的位置时，正方形滚动了3圈共12次，
设第次滚动，点的路程为，
则，
，
，
，
点所走过的路径的长度为．
故选：．
【点评】本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．
3．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如图所示将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出（图中有，跨接了6个坐位的宽度，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是
A． B． C．295 D．
【分析】为弯管，为6个坐位的宽度，利用勾股定理求出弧所在圆的半径，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解．
【解答】解：如图所示，为弯管，为6个坐位的宽度，
则，，
设弧所在的圆的半径为，则，解得，
可得，
可得，
可得．
比较各个选项，可得是最接近的．
故选：．
【点评】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练弧长公式的应用是解题的关键，考查了数形结合思想和分析问题的能力，属于中档题．
4．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则
A． B． C． D．
【分析】由弧田面积求出矢，设半径为，圆心到弧田弦的距离为，列出方程组求出，，从而得到，可求，进而可得．
【解答】解：如图，由题意可得：，
弧田面积（弦矢矢矢矢．
解得矢，或矢，（舍，
设半径为，圆心到弧田弦的距离为，
则，解得，，
，可得，
．
故选：．
【点评】本题考查角的余弦值的求法，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、弧田面积计算公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．
5．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间
A． B． C． D．
【分析】取，设．可得，根据，利用倍角公式即可得出结论．
【解答】解：取，设．
则．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
，．
．
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
6．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在弧上，在上，．设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时 ．
【分析】要求阴影部分面积最大，即求空白部分最小，利用角结合三角函数，可以分别表示出小扇形和三角形的面积．表示出来后，可以发现是一个正切函数与一次函数的和函数，为求最小值，只需求导数后寻其极值点即可．
【解答】解：因为，所以，，
依题意得当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小，
令
令，
故时，取得最小值，
此时．
故答案为：
【点评】本题考查了利用三角函数表示实际问题的面积，然后用导数求最值点（极值点）的问题．考查了学生利用函数思想、转化与化归思想解决问题的能力．属于填空题中的难题．
7．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在上，在上，，设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时， ．
【分析】当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小；先列出空白区域面积，再求导得时，平面区域（阴影部分）的面积取到最大值．
【解答】解：因为，所以，，
依题意得当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小，
设，，
当，即时，平面区域（阴影部分）的面积取到最大值．
故答案为：
【点评】本题考查了扇形面积公式，属难题．
8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长约为 445米 （精确到1米）．
【分析】法一：连接，由知，可由余弦定理得到的长度．法二：连接，作，交于，由余弦定理可求，，在直角中，利用三角函数的定义可求的值．
【解答】解：法一：设该扇形的半径为米，连接．
由题意，得（米，（米，
在中，
即，
解得（米
答：该扇形的半径的长约为445米．
法二：连接，作，交于，
由题意，得（米，（米，
在中，．
（米．
．
在直角中，（米，，
（米．
答：该扇形的半径的长约为445米．
故答案为：445米．
【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
9．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的体积为 ．
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，列出关系式，即可求出，，然后求出圆锥的高，即可求解圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
由题意知，且，
解得，，
圆锥高，
此圆锥的体积．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
三．解答题（共3小题）
10．某校有一块圆心，为半径为200米，圆心角为的扇形绿地，半径，的中点分别为，，为弧上的一点，设，如图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用．
（1）方案一：将四边形绿地建成观赏鱼池，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？
（2）方案二：将弧和线段，围成区域建成活动场地，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？
【分析】（1）由题意可得，，，，运用三角形的面积公式和三角函数的恒等变换，结合正弦函数的值域，即可得到所求；
（2）由已知，，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，再由导数，判断单调性，可得最大值．
【解答】解：（1）由已知，，，
；
故
，
整理得（平方米），
当时，（平方米）．
（2）由已知，，
，
即；
，故；
在上为增函数，
当时，（平方米）．
【点评】本题考查函数的单调性、导数、函数最值的求法；考查函数思想、分类讨论思想；考查阅读理解能力、数学建模能力，运算能力．
11．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点，在上，点在弧上，设．
（1）若矩形是正方形，求的值；
（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向，修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由．
【分析】（1）由已知可得，，，可求，解得的值，由，可求，即可解得的值．
（2）由于，利用三角函数恒等变换的应用可求，．利用正弦函数的图象和性质可求时，最大，此时是的中点．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）在中，，，
在中，，（2分）
，
所以，（4分）
因为矩形是正方形，
，
所以，（6分）
所以，
所以． （8分）
（2）因为，
所以，
（10分）
，． （12分）
所以，即时，最大，此时是的中点． （14分）
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．
12．如图，在平面直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点，与轴交于点，记，且．
（1）若，求；
（2）若，求的值；
（3）求面积的最大值．
【分析】（1）同角三角的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．
（2）求出，的坐标以及的表达式，利用辅助角公式将式子进行化简可得，结合范围，可求的值．
（3）求三角形的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．
【解答】解：（1）因为：，且，
所以：；
所以：
（2）由题意得，，．
可得：，
因为：，
所以：，
因为：，，，
以：，可得：．
（3）由三角函数定义，得：，从而，
所以：
，
因为：，
所以：当时等号成立，
所以：的面积的最大值为．
【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，平面向量数量积的坐标运算，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
第1页（共1页）5.2三角函数的概念
一．选择题（共5小题）
1．已知长方形的四个顶点：，，，．一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）．设的坐标为，，若，则的范围是
A． B． C． D．
2．如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，，当时四边形的面积取得最大，则的值为
A． B． C． D．
3．已知角的终边与单位圆相交于点，现将角的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转，所得射线与单位圆相交于点，则点的横坐标为
A． B． C． D．
4．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为，过点作轴，垂足为，直线与的图象交于点，则线段的长为
A． B． C． D．
5．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，，若，则的值为
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
6．如图，正方形中，，分别为，的中点，设，则 ．
7．设的三边，，所对的角分别为，，．若，则 ，的最大值是 ．
8．如图，单位圆的圆心初始位置在点，圆上一点的初始位置在原点，圆沿轴正方向滚动．当点第一次滚动到最高点时，点的坐标为 ；当圆心位于点时，点的坐标为 ．
9．“无字证明” 就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据如图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ．
三．解答题（共4小题）
10．是否存在角和，当，，时，等式同时成立？若存在，则求出和的值；若不存在，请说明理由．
11．如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于点，点、在单位圆上，且，，．
（1）求的值；
（2）设，，四边形的面积为，，求的最值及此时的值．
12．如图，在平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点．
（1）如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求；
（2）已知点，，，求
13．已知
（1）求的值；
（2）若圆的圆心在轴上，圆心到直线的距离为且直线被圆所截弦长为，求圆的方程．
5.2三角函数的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知长方形的四个顶点：，，，．一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）．设的坐标为，，若，则的范围是
A． B． C． D．
【分析】本题可以画出图形，由，利用对称性得到角的关系，然后利用三角函数来解答，可以设，得到这些角的三角函数值关于的关系式，再由的坐标为，以及，可解得的取值范围．
【解答】解：设，
，则，
、、均为，，
又，
．
而，
．
又，
．
依题设，即，
，
即有，
则，
故选：．
【点评】本题考查三角函数的概念以及利用三角函数解答相关问题的能力，轴对称图形的应用，对解不等式及不等式思想的考查等内容，属于中档题．
2．如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，，当时四边形的面积取得最大，则的值为
A． B． C． D．
【分析】先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角的范围，结合正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．
【解答】解：在直角中，，，
又在直角中：，
又，
，
，
当时，最大．
即．
即，，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．
3．已知角的终边与单位圆相交于点，现将角的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转，所得射线与单位圆相交于点，则点的横坐标为
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义，得到将的终边绕着点顺时针旋转对应的直线的角的大小，利用两角和差的余弦公式进行求解即可
【解答】解：角的终边与单位圆相交于点，
，，
将的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转，此时角为，
则点的横坐标为；
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键．
4．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为，过点作轴，垂足为，直线与的图象交于点，则线段的长为
A． B． C． D．
【分析】由条件求得，可得线段 的值．
【解答】解：由，，可得，即，
即，求得，
故线段，
故选：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的图象特征，属于中档题．
5．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，，若，则的值为
A． B． C． D．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得、的值，可得和的值，从而求得所给式子的值．
【解答】解：，点的坐标为，，故，为等边三角形，，
又，，，，
．
，
．
，
故选：．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
6．如图，正方形中，，分别为，的中点，设，则 ．
【分析】根据直角三角形中的边角关系可得 和，可求出，进而求得
的值，利用同角三角函数的基本关系求出 的值．
【解答】解：设正方形的边长等于1，根据直角三角形中的边角关系可得，
，，
，
故，
故答案为．
【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，求出，
是解题的关键，属于中档题．
7．设的三边，，所对的角分别为，，．若，则 ，的最大值是 ．
【分析】由已知可得，利用同角三角函数基本关系式，余弦定理可求的值，利用两角和的正切函数公式，基本不等式即可求解的最大值．
【解答】解：设的三边，，所对的角分别为，，．，可得为钝角，
，
则．
，
．
，可得，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
可得的最大值是，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．如图，单位圆的圆心初始位置在点，圆上一点的初始位置在原点，圆沿轴正方向滚动．当点第一次滚动到最高点时，点的坐标为 ；当圆心位于点时，点的坐标为 ．
【分析】当点第一次滚动到最高点时，点向右滚动了圆的半个周长，因此点的坐标为；当圆心位于时，，此时圆心角为3，点的横坐标为，纵坐标为，
【解答】解：作辅助线如图，
当点第一次滚动到最高点时，点向右滚动了圆的半个周长，因此点
的坐标为；
当圆心位于时，，此时圆心角为3，点的横坐标为，纵坐标为，
故答案为：，．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．
9．“无字证明” 就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据如图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ， ．
【分析】令，，，然后分别在四个直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出边长，根据和可得结果．
【解答】解：令，，，
在直角三角形中，，，则，，
在直角三角形中，，，则，，
在直角三角形中，，，则，，
，，
在直角三角形中，，故．
，故．
故答案为：，．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．
三．解答题（共4小题）
10．是否存在角和，当，，时，等式同时成立？若存在，则求出和的值；若不存在，请说明理由．
【分析】首先由诱导公式简化已知条件并列方程组，再利用公式解方程组，最后根据特殊角三角函数值求出满足要求的、．
【解答】解 存在，使等式同时成立．理由如下：
由条件得，
两式平方相加得，，即．
，，或．
将代入②得．又，
，代入①可知，符合．
将代入②得，代入①可知，不符合．
综上可知，．
【点评】本题综合考查诱导公式、同角正余弦关系式及特殊角三角函数值．
11．如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于点，点、在单位圆上，且，，．
（1）求的值；
（2）设，，四边形的面积为，，求的最值及此时的值．
【分析】（1）依题意，可求得，将中的“弦”化“切”即可求得其值；
（2）利用向量的数量积的坐标运算可求得，利用，即可求得的最值及此时的值．
【解答】解：（1）依题意，，
；
（2）由已知点的坐标为，
又，，
四边形为菱形，
，
，，
，
，
，
当，即时，；
当，即时，．
【点评】本题考查三角函数的最值，着重考查三角函数中的恒等变换应用及向量的数量积的坐标运算，考查正弦函数的单调性及最值，属于中档题．
12．如图，在平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点．
（1）如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求；
（2）已知点，，，求
【分析】（1）利用三角函数的定义与和差公式即可得出．
（2）利用三角函数求值、和差公式、数量积运算性质即可的．
【解答】解：（1）点的纵坐标为，点的横坐标为，
，
，为锐角，，，
，
（2），
，
，
，，．
【点评】本题考查了三角函数的定义、和差公式、三角函数求值、和差公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．已知
（1）求的值；
（2）若圆的圆心在轴上，圆心到直线的距离为且直线被圆所截弦长为，求圆的方程．
【分析】利用诱导公式对已知等式进行化简得到，则，代入所求的代数式进行求值；
利用圆心，半径（圆心到直线的距离为、半弦长、弦心距的勾股定理关系，求出圆心坐标，然后求出圆的标准方程．
【解答】解：（1）由，
得，
；
（2）由（1）知，，则，
可得直线的方程为．
设圆的方程为，则，
由得，
圆的方程是．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系的应用、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力
第1页（共1页）5.3 诱导公式
一．选择题（共3小题）
1．已知函数，给出下列四个说法：
①若，则；
②的最小正周期是；
③在区间，上是增函数；
④的图象关于直线对称．
其中正确说法的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知，则（1）（2）（3）
A． B．2 C． D．
3．给定函数①，②，③中，偶函数的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
二．填空题（共5小题）
4．依据三角函数线，作出如下四个判断，其中正确的是
① ； ②； ③； ④ ．
5．已知，，，，为非零实数），，则 ．
6． ．
7．设，其中，，，为非零常数．若，则 ．
8．若，则计算所得的结果为 ．
三．解答题（共4小题）
9．（1）已知角终边经过点，求的值？
（2）已知函数，在的最大值为，最小值为，求的值？
10．已知的三个内角，，满足，，求角，，的大小．
11．，
（1）求的最小正周期、最小值、图象对称轴方程；
（2）若，，，求的值．
12．设函数，
（Ⅰ）求（1）（2）；
（Ⅱ）令，若任意，，恒有，求的值．
5.3诱导公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．已知函数，给出下列四个说法：
①若，则；
②的最小正周期是；
③在区间，上是增函数；
④的图象关于直线对称．
其中正确说法的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】化简函数为：，利用奇函数判断①的正误；周期公式可求周期判断②的正误；利用单调性判断③，对称性判断④的正误即可．
【解答】解：，
因为它是奇函数，，所以①正确；
的最小正周期是，②不正确；
③利于，可解得函数在区间，上是增函数；正确；
④当时取得了最小值，故是对称轴，所以正确．
故选：．
【点评】本题是基础题，考查三角函数式的化简，基本函数的性质，掌握基本函数的性质是本题解答的根据，强化基本知识的学习，才能提高数学知识的应用．
2．已知，则（1）（2）（3）
A． B．2 C． D．
【分析】根据周期公式求出函数的周期，求出（1）（2）的值，由所求式子的项数除以12，根据余数为8即可得到所求式子化简后的式子为（1）（2）（8），其余各项为0，求出（1）（2）（8）的值即为原式的值．
【解答】解：，则的值12个一循环，
即：（1）（2），
由（1）（2）（3）共2012个加数，即2012个项，且的余数是8，
原式（1）（2）（8）．
故选：．
【点评】此题考查了余弦函数的周期性，及函数值的求法．找出的周期是解本题的关键．
3．给定函数①，②，③中，偶函数的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】把三个函数利用诱导公式化简后，把换成求出的函数值与相等还是不相等，来判断函数是否为偶函数，即可得到偶函数的个数即可．
【解答】解：对于①，是偶函数，故①正确；
对于②，是偶函数，故②正确；
对于③，
，
函数是偶函数，故③正确．
故选：．
【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式化简求值，掌握判断函数的奇偶性的方法，是一道中档题．
二．填空题（共5小题）
4．依据三角函数线，作出如下四个判断，其中正确的是 ②④
① ； ②； ③； ④ ．
【分析】根据诱导公式、三角函数的单调性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：①，错误，因为；
根据诱导共式，②正确；
根据在上单调递增，故③错误；
根据在， 上单调递减，可得④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数的单调性，属于基础题．
5．已知，，，，为非零实数），，则 3 ．
【分析】由条件利用诱导公式求得，再利用诱导公式化简，运算求得结果．
【解答】解：，
，
故，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．
6． ．
【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式．
故答案为：
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
7．设，其中，，，为非零常数．若，则 1 ．
【分析】根据，以及解析式列出等式，再将代入中，表示出，变形后利用诱导公式化简，将得出的等式代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：，
则．
故答案为：1
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
8．若，则计算所得的结果为 ．
【分析】直接利用诱导公式化简表达式，代入求解即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．
三．解答题（共4小题）
9．（1）已知角终边经过点，求的值？
（2）已知函数，在的最大值为，最小值为，求的值？
【分析】（1）利用三角函数的定义求出正切函数值，利用诱导公式化简所求表达式为正切函数形式，代入求解即可．
（2）通过角的范围求解得到，利用最值求解、即可．
【解答】解：（1）角终边经过点，（2分）
（6分）
（2）（7分）
（9分）
并且在的最大值为，最小值为
，（11分）
解得：（12分）
．（13分）
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力．
10．已知的三个内角，，满足，，求角，，的大小．
【分析】由，化为．，可得，利用平方关系可得：，由已知可得，都为锐角，可得．又由，可得，．
【解答】解：，，①
，，②
①②可得：，，
，由②可知：与同号．
因此，都为锐角，
，
．
又由，
，
．
．
，，．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．，
（1）求的最小正周期、最小值、图象对称轴方程；
（2）若，，，求的值．
【分析】（1）利用两角和与差的正弦与余弦及辅助角公式可求得，从而可求得的最小正周期、最小值、图象对称轴方程；
（2）易求；依题意，可求得，，利用两角差的正弦可求得，从而可得
的值．
【解答】解：（1）
，
的最小正周期，，
由得，图象对称轴方程；
（2）．
又，，
，
，
又，，
，
，
，
．
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查两角和与差的正弦与余弦及辅助角公式，考查转化思想与综合运算求解能力，属于难题．
12．设函数，
（Ⅰ）求（1）（2）；
（Ⅱ）令，若任意，，恒有，求的值．
【分析】（Ⅰ），依题意知是以4为周期的函数，（1）（2）（3）（4），从而可求得（1）（2）的值；
（Ⅱ）依题意，，，从而将所求关系式转化为，即可求得其值．
【解答】解：（Ⅰ），
，
是以4为周期的函数，
（1），（2），（3），（4），
（1）（2）（3）（4），又，
（1）（2）（1）；
（Ⅱ），
，
．
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查函数的周期性，求得是难点，突出转化思想与运算能力的考查。
第1页（共1页）5.4三角函数的图象与性质
一．选择题（共5小题）
1．已知既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为
A． B． C． D．
2．设函数，若对于任意实数，在区间，上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
3．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为
A． B． C．1 D．
4．已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，，且，则
A． B． C． D．
5．已知函数，的一个零点是，并且图象的一条对称轴是，则当取得最小值时，函数的单调递减区间是
A． B．
C． D．
二．填空题（共4小题）
6．已知函数在上的值域为，则的取值范围为 ．
7．函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，在点列中存在三个不同的点，，，使得△是等腰直角三角形将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则 ．
8．下列说法：
①函数是最小正周期为的偶函数；
②函数可以改写为；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象的所有的对称中心为，；
⑤将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来
的2倍，所得图象的函数解析式是；
其中所有正确的命题的序号是 ．（请将正确的序号填在横线上）
9．已知函数的最小正周期为，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
三．解答题（共3小题）
10．给定函数，，定义，为，的较小值函数．
（1）证明：，；
（2）若，，求，的最小正周期．
（3）若，，，，，2．证明：“是周期函数”的充要条件是“为有理数”．
11．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形．记，矩形的面积为．
（1）请找出与之间的函数关系（以为自变量）；
（2）求当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积．
12．已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，和．
（Ⅰ）求解析式及的值；
（Ⅱ）求的单调增区间；
（Ⅲ）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
5.4三角函数的图象与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为
A． B． C． D．
【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解．
【解答】解：可设满足“且， “
则．注意到五点法的最左段端点是，而，
故有，
当时，，
此时，
当时．此时
故选：．
【点评】本题考查了的奇偶性以及对称性的综合应用，属于难题．
2．设函数，若对于任意实数，在区间，上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【分析】令函数得，根据正弦函数的图象与性质，得出函数相邻零点满足的条件，求出相邻2个零点的最大距离和相邻3个零点占区间长度的最小值，由此求得的取值范围．
【解答】解：令函数，解得，
因为是由图象变换得到的，且最小正周期为，
在，内，，
所以函数相邻4个零点、、、满足：
，
，
所以，
即相邻两零点最大距离，
相邻四个零点占区间长度最短为
，
，时，，，
区间宽度为，
所以至少有2个零点，至多有3个零点），
解得，所以的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合解题思想，是难题．
3．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为
A． B． C．1 D．
【分析】若在其定义域上的最大值、最小值分别为，，有最大值为，则的最小值为，由函数的最小正周期为，求出，则，令，则可视为曲线上一点到直线的距离，由此能求出结果．
【解答】解：引理，若在其定义域上的最大值、最小值分别为，，
有最大值为，则的最小值为．
证明：可视为与的距离，
则，，
的最小值为，此时，
函数的最小正周期为，，
当时，，，
则，令，
则可视为曲线上一点到直线的距离，
由的特征可知，在，必存在一个极值点，记为，
根据曲线的对称性可设，
则在，上单调减，在，上单调增，
由为的对称轴，知，，离越远，越大，
记为0，中距较远的一个，
则，，，
，
由引理知．
故选：．
【点评】本题考查函数在闭区间上最大值的最小值的求法，考查三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
4．已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，，且，则
A． B． C． D．
【分析】零点即为曲线和轴的交点，所以先求出对称轴方程，在给定区间，上由8条对称轴，有中点坐标公式可知，以此类推，最后两个零点加和等于对称轴的二倍，各式相加，就可得出答案．
【解答】解：令，可得，
即函数的对称轴方程为，又的周期为，
令，可得，所以函数在，上有9条对称轴．
根据正弦函数的性质可知，，，，，
（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），
将以上各式相加得，
，
故选：．
【点评】本题结合正弦函数图象，找出对称轴方程，对称轴两侧就是两个零点，两个零点加和的二倍等于对称轴的横坐标．
5．已知函数，的一个零点是，并且图象的一条对称轴是，则当取得最小值时，函数的单调递减区间是
A． B．
C． D．
【分析】根据三角函数的对称性，和零点关系建立方程，结合取得最小值时的等价条件，求出 和的值，结合函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：的一个零点是，
，
即，则或，
图象的一条对称轴是，
，，
若取得最小，即周期最大，此时对应的取相同值，则当时．
或，
，
若得，，
若，得不满足条件．
则，
由，，
得，，
即函数的单调递减区间为，，，
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数的单调性的求解，结合对称性以及函数零点建立方程求出函数的解析式是解决本题的关键．有一定的难度．
二．填空题（共4小题）
6．已知函数在上的值域为，则的取值范围为 ．
【分析】首先，利用三角函数两角和公式，进行化简，其次，结合值域的取值范围求出的取值范围，最后根据该取值范围求出最终的解．
【解答】解：由题意可得，
，
，其中，，，
设，，
，，
，
，，
，，
，即，
，
的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的两角和公式，以及三角函数求最大值的万能公式，并且还需学生熟练掌握的图像性质，属于较难题．
7．函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，在点列中存在三个不同的点，，，使得△是等腰直角三角形将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则 ．
【分析】由三角函数的对称性求出对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐标，结合△是等腰直角三角形，归纳出满足条件的数列，进行求解即可．
【解答】解：由，得，，
由题意得，，，，，
即，，，，，，，，
由△是等腰直角三角形，
得，
即，得，
同理△是等腰直角三角形得，得．
同理△是等腰直角三角形得，得．
，
则，
故答案为：
【点评】本题主要考查三角函数对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形归纳出是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
8．下列说法：
①函数是最小正周期为的偶函数；
②函数可以改写为；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象的所有的对称中心为，；
⑤将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来
的2倍，所得图象的函数解析式是；
其中所有正确的命题的序号是 ②③ ．（请将正确的序号填在横线上）
【分析】①把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式求出函数的最小正周期，且根据正弦函数为奇函数，得到函数也为奇函数，即可作出判断；
②根据诱导公式化简函数解析式，即可作出判断；
③由②化简得到的函数解析式，令其角度等于，求出的解，判断属于求出的的解集，故本选项正确；
④先根据正切函数是奇函数，因而原点是它的对称中心，以及周期性可知点都是它的对称中心，然后平移坐标系，使原点移到，得到，依旧是奇函数，点，也是对称中心，综合到一起就得到对称中心是，．是整数）；
⑤先根据“左加右减”的平移规律把函数解析式进行变形，然后再根据伸缩规律把解析式中变为，即可得到变换后的解析式，作出判断．
【解答】解：①函数
，
，，
又正弦函数为奇函数，为奇函数，
则为周期为的奇函数，本选项错误；
②函数
，本选项正确；
③函数
，
令，
解得，
时，，
则函数图象关于直线对称，本选项正确；
④，因此正切函数是奇函数，因而原点是它的对称中心．
又因为正切函数的周期是，所以点都是它的对称中心．
平移坐标系，使原点移到，得到，依旧是奇函数，
所以在新坐标系中点也是对称中心，返回原坐标系，这些点的原坐标是，
综合到一起就得到对称中心是，．是整数），本选项错误；
⑤将函数的图象先向左平移个单位，
得到，
然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，
所得图象的函数解析式为，
本选项错误，
则正确选项的序号为：②③．
故答案为：②③
【点评】此题综合考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的恒等变形，余弦函数的对称性，以及三角函数的图象变换规律，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，诱导公式，函数奇偶性的判断，以及函数平移的规律，要求学生要融汇贯穿，灵活运用所学知识解决问题．
9．已知函数的最小正周期为，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】由题意利用三角函数的周期性求得的值，可得的解析式，化简条件可得，，则，再利用二次函数的性质，求得实数的取值范围．
【解答】解：函数的最小正周期为，，
函数．
若，，则，，，，
，，，，
则不等式恒成立．
令，，则．
①，且②，
解①求得，解②求得．
综合可得，实数的取值范围是，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，二次函数的性质，属于中档题．
三．解答题（共3小题）
10．给定函数，，定义，为，的较小值函数．
（1）证明：，；
（2）若，，求，的最小正周期．
（3）若，，，，，2．证明：“是周期函数”的充要条件是“为有理数”．
【分析】（1）运用新定义，去绝对值即可得证；
（2）由正弦函数及余弦函数的周期求解；
（3）应用周期函数的定义，结合和差化积公式证明．
【解答】证明：（1）若，则；
若，则．
综上，，；
解：（2）由（1）知，，，记，
对任意，，
是函数的一个周期．
若存在使得也是的周期，由，得，①
由，得，②
两式相减得，
或，代入②可知只能，与矛盾．
，的最小正周期为；
证明：（3）为周期函数，，有恒成立
，
由，
可得，，
即，，
由，可得，，
即有，，，，且，，
即有为有理数”．
可得“是周期函数”的充要条件是“为有理数”．
【点评】本题考查分段函数的表示法与性质，考查周期函数的判断与证明，注意定义法的合理运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属难题．
11．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形．记，矩形的面积为．
（1）请找出与之间的函数关系（以为自变量）；
（2）求当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积．
【分析】（1）先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积；
（2）再利用角的范围，结合正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．
【解答】解：在中，，
在中，（2分）
，
，（4分）
矩形的面积（8分）
（2）由，得，（10分）
所以当，即时，（12分）
所以，当时，矩形的面积最大，最大面积为．（14分）
【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．
12．已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，和．
（Ⅰ）求解析式及的值；
（Ⅱ）求的单调增区间；
（Ⅲ）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出和的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性求得的单调增区间，
（Ⅲ）由题意可得若时，方程 有2个解，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数的图象与轴的交点为，
它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，和，
，，即，，且，，
．
令，求得．
（Ⅱ）令，求得，
可得函数的增区间为，，．
（Ⅲ）若时，函数有两个零点，
即有2个实数根，
即方程 有2个解．
若时，，，，，
结合正弦函数的图象可得，应有，解得，
即实数的取值范围，．
【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的单调性，正弦函数的图象和性质
第1页（共1页）5.5 三角恒等变换
一．选择题（共5小题）
1．若、是小于180的正整数，且满足．则满足条件的数对共有
A．2对 B．6对 C．8对 D．12对
2．已知，，其中，则
A． B． C． D．
3．已知函数在定义域上是单调函数，且，当在上与在上的单调性相同时，实数的取值范围是
A．， B． C． D．
4．已知函数，的部分图象如图所示，若存在，满足，则
A． B． C． D．
5．已知函数，若对任意，，都有，则的最大值为
A．1 B． C．2 D．4
二．填空题（共5小题）
6．已知点为的重心，且，则的值为 ．
7．在中，若，，则的最小值为 ．
8．已知的周长为6，且，则的取值范围是 ．
9．已知中，，则 ．
10．设、是非零实数，，若，则 ．
三．解答题（共3小题）
11．定义：，为实数，，，对的“正弦方差”．
（1）若，证明：实数，，对的“正弦方差” 的值是与无关的定值；
（2）若，若实数，，对的“正弦方差” 的值是与无关的定值，求，值．
12．已知函数，，，是常数，，，．
（1）若，判断的奇偶性；
若，判别的奇偶性；
（2）若，是偶函数，求；
（3）请仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）
13．已知函数．
（1）若，为锐角，，，求及的值；
（2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值；
（3）已知，，，求及的值．
5.5三角恒等变换
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．若、是小于180的正整数，且满足．则满足条件的数对共有
A．2对 B．6对 C．8对 D．12对
【分析】根据，是小于180的正整数，结合换元法，三角函数的特殊值，正弦函数的图象与性质，三角恒等变换即可求解．
【解答】解：设，，则原式为，
，
，
，，，
，是小于180的正整数，故分两种情况，
（1）若，
①或，
②无解，
③或，
④无解，
⑤或，
⑥无解，
（2）若，
①，
②，
③，
④，
⑤，
⑥，
故选：．
【点评】本题主要考查对等式的理解，考查了正弦函数的图象与性质，考查了三角恒等变换，换元法，属于难题．
2．已知，，其中，则
A． B． C． D．
【分析】构造，判断的奇偶性和单调性，把化为，化为，利用的奇偶性和单调性求出的值，再计算的值．
【解答】解：设，则，
所以是偶函数；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
所以恒成立，即在定义域内单调递增；
因为，
所以是定义域上的奇函数，函数图象关于原点对称；
又，
所以，
同理可得，其中，
所以，
所以，
即，所以．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数求值的应用问题，解题的关键是构造函数，利用函数的奇偶性和单调性求出的值，是难题．
3．已知函数在定义域上是单调函数，且，当在上与在上的单调性相同时，实数的取值范围是
A．， B． C． D．
【分析】先根据所给的等式，求出，判断其单调性，化简，由题意，求导使其导函数恒大于等于零，解出．
【解答】解：函数在定义域上是单调函数，且，
为定值，设，
则，且，
，解之得，
，在上的单调递增，
，
，
在上与在上的单调性相同，
，在上恒成立，
，在上恒成立，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查函数恒等问题，三角函数恒等问题，注意可使用分离常数法，属于难题．
4．已知函数，的部分图象如图所示，若存在，满足，则
A． B． C． D．
【分析】根据图象求出函数解析式，结合对称性求出，然后利用三角函数的诱导关系进行转化求解即可．
【解答】解：由图象知函数的周期，即，得，
，
即，
即，，
当时，，
即，
存在，满足，
，则，关于对称，
即，得，且
则，
设 ，则，即
则
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及三角函数的诱导关系进行转化是解决本题的关键．有一定的难度．
5．已知函数，若对任意，，都有，则的最大值为
A．1 B． C．2 D．4
【分析】化函数为的二次函数，利用换元法设，问题等价于对任意的、，都有，即；再讨论时，利用二次函数的图象与性质，即可求出的最大值．
【解答】解：函数，
设，则，；
问题等价于，对任意的、，都有；
即，欲使满足题意的最大，只需考虑；
当时，函数的图象与函数的图象形状相同；
则，所以时显然成立；
当时，（1），解得，所以；
综上知，的取值范围是，最大值是2．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了二次函数的性质应用问题，是难题．
二．填空题（共5小题）
6．已知点为的重心，且，则的值为 ．
【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到，再应用余弦定理推出，将应用三角恒等变换公式化简得，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出．
【解答】解：如图，连接，延长交于，
由于为重心，故为中点，
，，
由重心的性质得，，即，
由余弦定理得，，
，
，，
，
，
又．
故答案为：．
【点评】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理及应用，考查三角恒等变换，三角形的重心的性质，考查运算能力，有一定的难度．
7．在中，若，，则的最小值为 ．
【分析】由三角函数求值及重要不等式得：因为，，所以，即，所以，令，则，得解．
【解答】解：因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当时，，，
即，
即不合题意，即，即，
所以
，
令，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数求值及重要不等式，属难度很大的题型．
8．已知的周长为6，且，则的取值范围是 ， ．
【分析】由得，且，由基本不等式及三角形中的边角关系求得的范围得到的范围，代入数量积公式可得．则的取值范围可求．
【解答】解：由，得，
利用正弦定理可得，
又，
，从而．
再由，得，，
，得，
又，解得，
，
，
．
则．
的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属难题．
9．已知中，，则 ．
【分析】由已知结合正弦定理可得：，由余弦定理可得：，化为：，进一步得到，又，可得．得到，．求出，再由诱导公式得答案．
【解答】解：，
由正弦定理可得：，
，又，
，
化为：，
当且仅当时取等号．
即，其中，，．
即，又，
．
，即，．
．
．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．设、是非零实数，，若，则 ．
【分析】化简条件，结合，利用配方法进行整理，计算即可．
【解答】解：，
，
即，
即，
即，
即，
即，
则，
即，
故答案为：
【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用以及三角函数的关系进行转化是解决本题的关键．
三．解答题（共3小题）
11．定义：，为实数，，，对的“正弦方差”．
（1）若，证明：实数，，对的“正弦方差” 的值是与无关的定值；
（2）若，若实数，，对的“正弦方差” 的值是与无关的定值，求，值．
【分析】（1）根据“正弦方差”的定义进行证明求解即可．
（2）根据“正弦方差”的定义建立方程进行求解即可．
【解答】证明：（1），则．
则此时的正弦方差” 的值是与无关的定值是．
解：（2），
，
此时的正弦方差” 的值是与无关的定值，
，
，，，
，，
由①可知或，即或，
由①②可得，级，
，
或或，即或或，
当时，得，经检验符合题意，
当时，得，经检验不合题意，
当时，得，经检验符合题意，
综上可知，或，符合题意．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，根据“正弦方差”结合两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，运算量大，综合性较强，有一定的难度，是个难题．
12．已知函数，，，是常数，，，．
（1）若，判断的奇偶性；
若，判别的奇偶性；
（2）若，是偶函数，求；
（3）请仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）
【分析】（1）先结合和差角公式化简，，然后把，的值代入，然后结合奇偶性的定义进行检验即可；
（2）结合偶函数定义代入睁开即可求解；
（3）结合（1）（2）的特殊情形推广一般结论即可．
【解答】解：由题意可知，，
（1）当时，，
所以是偶函数；
当时，，
所以，
因为，所以不是奇函数，
因为，所以不是偶函数
所以是非奇非偶函数；
（2）当时，是偶函数，
所以对一切恒成立，
所以，即，
也即，
则，因为，所以，
当时，，
则
所以对一切恒成立，所以为偶函数．
综上所述：．
（3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1，、是偶函数；
2，是奇函数；
3，是非奇非偶函数；
4，是既奇又偶函数；
第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1，是偶函数（数字不分奇偶）；
2，是奇函数（数字只能同奇数）；是偶函数（数字只能同偶数）；
3，是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但需相同）；
4，是既奇又偶函数（数字只能奇数）；是非奇非偶函数；
第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1，是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则；
2，是奇函数（数字只能正奇数），则；是偶函数（数字只能正偶数），则；
3，是偶函数（数字只能正奇数），则；
第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，
1，的充要条件是是偶函数，
2，是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是；是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是；
3，是偶函数（数字只能正奇数）的充要条件是则；
第五层次，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以），
1，时，都是偶函数；
2，时，是正奇数，是奇函数；时，是正偶数，是偶函数；
3，，是奇数，既奇又偶函数；
4，，是偶数，是非奇非偶函数．
【点评】本题综合考查了三角函数性质，函数性质，还考查了一定的推理的能力，属于难题．
13．已知函数．
（1）若，为锐角，，，求及的值；
（2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值；
（3）已知，，，求及的值．
【分析】（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想，可得，代入已知数据计算即可；
由于，为锐角，所以，，再结合同角三角函数的平方关系和商数关系，可依次求得，，然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知，代入已得数据进行计算即可；
（2），原问题可转化为恒成立，设，则，，所以，则．令，结合对勾函数的性质即可得函数的最小值，从而得解；
（3）根据同角三角函数的平方关系，结合配方法对等式进行变形，可推出且，再分和两种情况，分类讨论即可．
【解答】解：（1），
，
，为锐角，即，，．
，，
，，
，，
．
综上，，．
（2），
对任意都有恒成立，
恒成立，即恒成立，
设，则，，，则．
设，由对勾函数的性质可知，函数在区间，上为增函数，
，，
故的最大值为．
（3），
，
，
即，
且，
当时，，，，；
当时，与相矛盾，不符合题意．
综上所述，．
【点评】本题主要考查三角恒等变换的混合运算，还涉及函数的恒成立问题，用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等，覆盖的知识面非常广，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
第1页（共1页）5.6函数f（x）＝Asin(ωx+φ)
一．选择题（共4小题）
1．用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则
A． B．2 C． D．3
2．用五点法画，，的图象时，下列哪个点不是关键点
A． B． C． D．
3．用“五点法”作在，的图象时，应取的五点为
A．，，，，，
B．，，，，，
C．，，，，，
D．，，，，，
4．下列命题正确的是
A．的图象向右平移个单位得的图象
B．的图象向右平移个单位得的图象
C．当时，的图象向右平移个单位可得的图象
D．当时，的图象向左平移个单位可得的图象
二．填空题（共2小题）
5．函数与在，上交点的个数为 ．
6．用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，，，， ．
三．解答题（共4小题）
7．设函数
（1）列表描点画出函数在区间，上的图象；
（2）根据图象写出：函数在区间，上有两个不同零点时的取值范围．
8．已知向量，，，函数．
（Ⅰ）试用五点作图法画出函数在一个周期内的图象（要求列表）；
（Ⅱ）求方程在，内的所有实数根之和．
9．设，，，记．
（1）求函数的最小正周期；
（2）试用“五点法”画出函数在区间，的简图；
（3）若对任意，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
10．函数，，，的周期为，其图象最高点，．
（1）求该函数的解析式；
（2）用“五点法”画出函数在区间，上的图象；
（3）方程在，上有两个相异的根、，求的值．
（进阶篇）2021-2022学年上学期高中数学人教版新版高一同步分层作业5.6函数f（x）＝Asin(ωx+φ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则
A． B．2 C． D．3
【分析】由题意可得函数周期，利用正弦函数的周期公式即可解得的值．
【解答】解：由题意可得函数周期，
可得，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了五点法作函数的图象，考查了正弦函数的周期公式的应用，属于基础题．
2．用五点法画，，的图象时，下列哪个点不是关键点
A． B． C． D．
【分析】利用五点法作图的方法，判断选项的正误即可．
【解答】解：五点法作图的五个点是一个周期内的5个特殊位置，即最值点与平衡位置点，显然不满足题意，
故选：．
【点评】本题考查五点法作图的方法的应用，是基本知识的考查．
3．用“五点法”作在，的图象时，应取的五点为
A．，，，，，
B．，，，，，
C．，，，，，
D．，，，，，
【分析】取一个周期内五个关键点，即分别令，，，，即可．
【解答】解：由于，周期．
用五点法作函数的图象时，应描出的五个点的横坐标分别是，，，，，
纵坐标分别为：1，，，，1．
故应取的五点为：；，；；，；．
故选：．
【点评】本题考查五点法作图，去一个周期内五点即可，属于基础题．
4．下列命题正确的是
A．的图象向右平移个单位得的图象
B．的图象向右平移个单位得的图象
C．当时，的图象向右平移个单位可得的图象
D．当时，的图象向左平移个单位可得的图象
【分析】利用左加右减的平移规则，结合诱导公式，即可得到结论．
【解答】解：的图象向右平移个单位得的图象，故不正确；
的图象向右平移个单位得的图象，故正确；
当时，的图象向右平移个单位可得的图象，可知不正确；
当时，的图象向左平移个单位可得的图象，故不正确．
故选：．
【点评】本题考查三角函数图象的变换，考查学生分析解决问题的能力，掌握左加右减的平移规则是关键．
二．填空题（共2小题）
5．函数与在，上交点的个数为 1 ．
【分析】画图观察：在长度为的区间上，两图只有一个交点．
【解答】解：画图象
由图得，在长度为的区间上，两图只有一个交点．
答案：1
【点评】本题考查三角函数的图象问题，三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来．
6．用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，，，， ， ．
【分析】令，即可求出最后一个关键点．
【解答】解：令，则
最后一个关键点是，
故答案为：，．
【点评】本题考查三角函数图象的画法，考查学生的计算能力，属于基础题．
三．解答题（共4小题）
7．设函数
（1）列表描点画出函数在区间，上的图象；
（2）根据图象写出：函数在区间，上有两个不同零点时的取值范围．
【分析】（1）由函数，利用列表、描点、连线法，画出函数在一个周期，上的图象；
（1）根据函数的图象，函数的零点是函数与直线的交点横坐标，利用函数的图象求得函数在区间，上有两个不同零点时的取值范围．
【解答】解：（1）由函数，列表如下；
0
0
0 1 0
在直角坐标系下描点，连线，画出函数在一个周期，上的图象，如图所示；
（8分）
（1）根据函数的图象知，函数的零点为函数与直线的交点横坐标，
由函数的图象可得函数在区间，上有两个不同零点时，
的取值范围是，，．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是中档题．
8．已知向量，，，函数．
（Ⅰ）试用五点作图法画出函数在一个周期内的图象（要求列表）；
（Ⅱ）求方程在，内的所有实数根之和．
【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积求出的表达式，然后利用五点作图法画出函数在一个周期内的图象；
（Ⅱ）利用函数在，内对称性，求出相应的对称轴，进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ），（2分）
列对应值表如下：
0
0 1 0 0
（4分）
通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数在一个周期内的图象如下图所示：
（6分）
（Ⅱ）的周期，
在，内有3个周期．（7分）
令，，
，，
即函数的对称轴为，．（8分）
又，，则，，且，
在，内有6个实根，（9分）
不妨从小到大依次设为，，2，3，4，5，，
则，，
即，，，
所有实数根之和．（12分）
【点评】本题主要考查三角函数的图象做法，要掌握五点法作图，同时利用三角函数的对称性是解决本题的关键．
9．设，，，记．
（1）求函数的最小正周期；
（2）试用“五点法”画出函数在区间，的简图；
（3）若对任意，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算写出函数的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为的形式，最后由周期公式即可得的最小正周期；
（2）由（1），利用五点法，即将看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象；
（3）令，由的范围，求得的最小值，再求，由任意，时，不等式恒成立，即有不大于最小值，解不等式即可得到的范围．
【解答】解：（1），，，
则
则函数的最小正周期；
（2）先列表，再描点连线，可得简图．
0
0 1 0 0
（3）令，
，，
，
，，
，，
当即时，取得最小值，
又，
对任意，时，不等式恒成立，
则，即有．
故实数的取值范围是，．
【点评】本题综合考查了向量的数量积的坐标表示及三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，及复合三角函数值域的求法，同时考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．
10．函数，，，的周期为，其图象最高点，．
（1）求该函数的解析式；
（2）用“五点法”画出函数在区间，上的图象；
（3）方程在，上有两个相异的根、，求的值．
【分析】（1）根据三角函数的图象即可求的解析式；
（2）根据“五点法”即可画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（3）根据三角函数图象之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：（1）的周期为，
，
则，
又函数图象最高点，．
，
即．
，
，，
即，
解得，
则的解析式为．
（2）由得
0
0 1 0
故函数的图象如右图：
（3）若在，上有两个相异的根、，
则两个相异的根、，关于对称，
即．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的图象，单调性，最值性质的求解和应用
第1页（共1页）5.7三角函数的应用
一．选择题（共5小题）
1．设，，，则的最小值是
A． B．
C． D．
2．已知当时，恒成立，则正实数的取值范围为
A． B．， C．， D．，
3．函数的最大值为
A． B． C． D．
4．已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为
A． B． C． D．
5．已知函数，记，时的最大值为，则对任意的，，的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．10
二．填空题（共4小题）
6．已知函数，
（1）当，，则的最大值为 ；
（2）若对任意，，都有，则的取值范围为 ．
7．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为 ．
8．已知函数的最小正周期为．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
9．设直线与曲线有公共点，则整数的最大值是 ．
三．解答题（共3小题）
10．已知函数．
（1）若，求在，上的最大值与最小值；
（2）当，时，，求实数的取值范围．
11．已知，函数，其中．
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围．
12．已知函数．
（1）求函数的最大值及此时的值；
（2）在中，，，分别为内角，，的对边，且对定义域中的任意的都有（A），若，求的最大值．
（进阶篇）2021-2022学年上学期高中数学人教版新版高一同步分层作业5.7三角函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．设，，，则的最小值是
A． B．
C． D．
【分析】令，则，结合，构造数字式：，进而利用元均值不等式，可得函数的最小值．
【解答】解：令，
则，
又，
构造数字式：
，
，
，
当且仅当时，取等号，
即函数的最小值为，
故选：．
【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，本题运算量大，转化困难，属于难题．
2．已知当时，恒成立，则正实数的取值范围为
A． B．， C．， D．，
【分析】先对在区间，上进行讨论，可以看成显然成立，然后只需对区间讨论，转化为，，研究函数的单调性，即可求得的取值范围．
【解答】解：当，时，，显然恒成立，
当时，，所以，
记，，则，，
令，则，
所以在上单调递增，，
若，则，记，，则，
所以存在，使得，当时，，单调递减，
所以当时，，不符合题意，
若，则，即当时，单调递增，
所以，符合题意．
综上所述，正实数的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，三角函数的最值，导数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
3．函数的最大值为
A． B． C． D．
【分析】由，将所求函数的最值转化为求，时函数的最值即可，由可得时函数取得最大值，利用导数求函数的最大值即可．
【解答】解：，
故只需考虑，时函数的最值即可，
，
所以当，，即时函数取得最大值，
，
考虑函数，，，，
所以存在唯一零点，使得，可得，且，单调递减，
，，单调递增，
记，由正弦函数单调性可得，函数单调递增，，，函数单调递减，
所以函数的最大值为，
由，解得，，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，三角函数恒等变换，考查导数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
4．已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为
A． B． C． D．
【分析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得．
①再根据，可得；
②通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，
求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
【解答】解：，其中，
处取得最大值
，即，，
，①，，
，，
，②，
①②得，
，
即，解得，，
若，则，
，
，，
，
，这与矛盾，故应舍去，
由①得，，
，
在第一象限，
取，，
由，即，
，，
，，
使最小，则，
即，
若不等式恒成立，则，
故选：．
【点评】本题考查了三角恒等换和同角的三角函数的关系，三角形函数的图象和性质，属于难题．
5．已知函数，记，时的最大值为，则对任意的，，的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】先令，换元，则，再对当，时的范围进行讨论即，可求出的最大值为的最大值．
【解答】解：令，则，
因为，，，，
所以当 时，，，
所以此时，
当 时，对称轴，
①当 时，即 时，
，，
此时，即；
②当 时，即 时，
，
又，，
所以，
当 时，对称轴，
当时，即 时，，
所以，所以；
当 时，即 时，
，，
所以，
所以 最大值为10．
故选：．
【点评】本题考查三角函数有界性问题，二次函数的图象与性质，综合性比较强，属于难题．
二．填空题（共4小题）
6．已知函数，
（1）当，，则的最大值为 ；
（2）若对任意，，都有，则的取值范围为 ．
【分析】（1）当，时，，结合二倍角公式和二次函数的单调性，即可求解．
（2）函数，设，则，，问题等价于，对任意的，，，都有，分，，，四种情况讨论，并取并集，即可求解．
【解答】解：（1）当，时，，
所以当，即，时，，
故的最大值为．
（2）函数，
设，则，，
问题等价于，对任意的，，，都有，
①当时，则，则在，上单调递减，（1），解得，
故，
②当时，则，，
故，
③当，则，，（1），
故，
④当时，，在，上单调递增，（1），解得，
故，
综上所述，的取值范围为，．
故答案为：（1）．（2），．
【点评】本题主要考了三角函数的综合应用，以及函数的恒成立问题，需要学生很强的综合能力，属于难题．
7．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为 ．
【分析】先给出一个引理并证明，由函数的周期性确定的值，将问题转化为引理的知识进行分析求解，即可得到答案．
【解答】解：先给出引理：
若函数在某区间上的最大值、最小值分别为，，在该区间上有最大值，
则的最小值为，此时．
证明如下：如图所示，，
其可视为曲线上一点到直线的距离，
则为，中较大的一个，
，
所以的最小值为，此时．
本题解析如下：
因为函数的最小正周期为，
所以，不妨设，则，
当时，，，
则，
令，则可视为曲线上一点到直线的距离，
由曲线的特征可知，其一定有一个极值点在上，记为，
根据图象的对称性，不妨设，则在，上单调递减，在，上单调递增，
由直线为曲线的对称轴可知，对于任意的，越大，则越大，
记为0，中距离较远的一个，则，
为，中较大的一个，
所以，
由引理可知，的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数最值问题的求解，涉及了三角函数的周期性、对称性以及单调性的应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于较难题．
8．已知函数的最小正周期为．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】依题意可求得，，，，令，则，，恒成立，等价转化为：，，恒成立，分离参数，利用对勾函数的单调性可求得实数的取值范围．
【解答】解：函数的最小正周期为，
，
解得，
，
由得：，，
，，
，，，．
令，则，，
于是，不等式恒成立，
等价转化为：，，恒成立恒成立恒成立，
令，则，，
由对勾函数的性质可知在区间，上单调递增，
当时，，
，，即实数的取值范围是，，
故答案为：，．
【点评】本题考查三角函数的周期性与最值，突出考查等价转化思想与不等式恒成立问题，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．
9．设直线与曲线有公共点，则整数的最大值是 1 ．
【分析】设直线与曲线有公共点，，则，当，时等号成立，再设，通过求导、判断单调性可求得最大值．
【解答】解：设直线与曲线有公共点，，
则，
当，时等号成立．
设，则，
所以在上是增函数，在上是减函数，
所以（1），，又，
所以，当时等号成立，
则，等号不能同时成立，
所以整数的最大值是1．
【点评】本题考查了三角函数的最值，属难题．
三．解答题（共3小题）
10．已知函数．
（1）若，求在，上的最大值与最小值；
（2）当，时，，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出的导函数，利用导数求出的单调性，从而可求得在，上的最值；
（2）由，可得，求出的导函数，再分，两种情况讨论，利用导数求出的最大值小于等于1，从而可得的取值范围．
【解答】解：（1），
当时，，
令可得，所以，，
令可得，所以，，
故在，上单调递增，在，上单调递减，
故，
因为，，
所以．
（2），故，
，
因为，所以，
所以，，
①时，，在，上单调递增，恒成立；
②时，当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，，，
所以存在，使得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为，，所以．
综上，的取值范围是，．
【点评】本题主要考查三角函数的求值，利用导数研究函数的最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
11．已知，函数，其中．
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围．
【分析】（1）令，换元即可得解；
（2）问题转化为，，的最大值，由二次函数分类讨论即可得解；
（3）问题转化为对，成立，分类讨论即可得解．
【解答】解：（1），，
则，，
所以，
显然，
所以，，
所以，；
（2）的最大值即的最大值
①，即时，在单调递减，；
②，即时，在单调递增，（2）；
③时，在单调递增，单调递减，；
综上，．
（3）由题意可得：，，；
①，即时，在单调递减，
则；
②，即时，在单调递增，
则；
③时，在单调递增，单调递减，
，则．
综上，．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，二次函数的图象与性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
12．已知函数．
（1）求函数的最大值及此时的值；
（2）在中，，，分别为内角，，的对边，且对定义域中的任意的都有（A），若，求的最大值．
【分析】（1）利用两角和与二倍角公式化简函数为．后求函数的最大值及此时的值；
（2）在中，，，分别为内角，，所对的边，且对定义域中的任意的都有（A），推出（A）是的最大值及，求出，通过余弦定理，和基本不等式确定的范围，然后求出的表达式，即可求出它的最大值．
【解答】解：
；
当，即时，；
（2）由（A）是的最大值及得到，，
将，代入，可得，
又，，则，
，当且仅当时，最大，最大值为．
【点评】本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示，基本不等式的应用，二倍角和两角和的正弦函数的应用是解题的关键，解答（2）的关键是挖掘（A）是的最大值，属中档题
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