(共25张PPT)
24.1.3弧、弦、圆心角
人教版九年级上册
教学目标
1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角.
2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算.
3.在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题.
新知导入
简述中心对称图形的概念？说出常见的中心对称图形？
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点。
新知讲解
探究 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
结论：
新知讲解
把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
·
新知讲解
观察下图，它们有什么共同点？
顶点是圆心
圆心角的定义：
圆心角的判断方法：
顶点在圆心的角叫做圆心角.
观察顶点是否在圆心.
新知讲解
如图在同圆中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
·
O
A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒
⌒
新知讲解
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
我们得到下面的定理：
符号语言：
∵在⊙O中，∠AOB=∠A′OB′
∴AB=A′B′，AB＝A′B′
·
O
A
B
A′
B′
⌒ ⌒
新知讲解
·
O
A
B
A1
·
O1
B1
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒
⌒
归纳总结
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
弧、弦与圆心角的关系定理
·O
A
B
C
D
新知讲解
简述同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对优弧和劣弧分别相等.
【总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
典例精析
·
B
C
O
A
例3 如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵AB=AC，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
(
(
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图1，AB是⊙O的直径，== ，∠AOE=66°，则∠COD的度数是( )
A．108° B．72° C．48° D．38°
2.如图2，已知AB是⊙O的直径，点C和点D是半圆上两个三等分点，则∠COD= .
3.如图3，在⊙O中，点C是的中点，∠A=70°，则∠BOC=_____.
60°
20°
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为 .
90°
5.如图=,若AB=3,则CD=___________.
3
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，AB，CD是⊙O的两条弦．如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
答：OE=OF，
理由如下：
连结OA，OC
∵ OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=
∵AB=CD
∴ AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt
∴ OE=OF
课堂练习
【综合拓展类作业】
7．如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点
（1）求证：CD=CE．
（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．
课堂练习
【综合拓展类作业】
（1）证明：连接OC，
∵ ，
∴∠COA=∠COB，
∵D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，
∴OD=OE，
在△COD和△COE中，
∴△COD≌△COE（SAS）
∴CD=CE
课堂练习
【综合拓展类作业】
（2）连接AC，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°，又OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∵点D是OA的中点，
∴CD⊥OA，OD= OA=x，
在Rt△COD中，CD=OD tan∠COD=，
∴四边形ODCE的面积为y= ×OD×CD×2= x2．
课堂总结
圆心角
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
圆心角、弧、弦、关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
板书设计
弧、弦、圆心角
圆心角的定义：
顶点在圆心的角叫做圆心角.
定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列语句中，正确的有( )
①圆心角相等,所对的弧也相等;②圆心角相等，所对的弦也相等;③长度相等的两条弦所对的弧是等弧;④同圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在半径为1的☉O中，长为的弦所对圆心角的度数为( )
A.145° B.135° C.90° D.90°或135°
A
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
C
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，M为⊙O上一点，OD⊥AM于D，OE⊥BM于E，若OD＝OE．求证： ＝ ．
证明：∵OD⊥AM，OE⊥BM，
∴∠ODA＝∠OEB＝90°，AD＝DM，ME＝EB，
∵OD＝OE，OA＝OB，
∴Rt△ODA≌Rt△OEB（HL），
∴AD＝BE，
∴AM＝BM，
∴ ＝ ．
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要是研究圆心角、弧、弦之间的关系并利用其解决相关问题，是在学生了解了圆和学习了垂径定理以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，是下一节课的理论基础．教学过程中要注意强调“同圆或等圆中”这个前提条件，避免学生囫囵吞枣．
学习者分析 在第23章旋转中，学生知道了圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。本节课根据圆的旋转不变性，推出了弧、弦、圆心角之间的关系。初三学生尽管逻辑思维能力很强，但对于圆的认识还很浅肤，对圆的相关概念很少接触，故而在掌握知识的深度和灵活方面显得呆板，在教学过程中，一是老师讲课要耐心和细致，二是概念要讲透彻,学生基本概念要掌握扎实，三是适量涉足知识的灵活性和问题的多样性，为学好后面知识打好基础。
教学目标 1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角. 2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算. 3.在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题.
教学重点 掌握圆心角、弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算。
教学难点 理解圆的旋转不变性和对定理推论的应用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 简述中心对称图形的概念？说出常见的中心对称图形？ 学生活动1： 教师提出问题，学生回答活动意图说明：先回顾中心对称图形的相关知识，为本节课学习圆的旋转不变性做好铺垫。环节二：新知探究教师活动2： 探究 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 结论：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 把圆绕圆心旋转任意的一个角度呢？ 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形完全重合 通过上面的观察，你能得到什么结论呢？ 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.学生活动2： 师提出提问，并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作，观察，最后教师PPT动态展示. 教师在上一问题的基础上追问，仍然让学生先动手操作，观察，然后教师任选几个角度(如30°，60°，120°，210°等)进行PPT动态展示. 活动意图说明：让学生通过动手实践来感受圆的中心对称性.引导学生来归纳出圆是中心对称图形.培养学生的观察能力与语言组织能力.环节三：典例精析教师活动3： 观察下面几个角的顶点，有什么共同特征？ 顶点都在圆心. 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A'O'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 简述同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？ 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．学生活动3： 引导学生观察思考，然后总结出圆心角的概念: 教师提出问题，学生通过观察与思考 学生讨论、交流，并用语言进行总结，教师引导、点拨，得到结论活动意图说明：通过观察，使学生对圆的旋转不变性的认识从感性上升到理性. 理解弧、弦、圆心角之间的关系.培养学生的观察发现能力及对概念的理解能力.环节四:典例精析教师活动4： 例3 如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵， ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. ∵∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 学生活动4： 学生独立思考，当堂练习 活动意图说明：通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，发展应用意识，锻炼实践能力.
板书设计 圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角. 定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图1，AB是⊙O的直径，== ，∠AOE=66°，则∠COD的度数是( ) A．108° B．72° C．48° D．38° 2.如图2，已知AB是⊙O的直径，点C和点D是半圆上两个三等分点，则∠COD= . 3.如图3，在⊙O中，点C是的中点，∠A=70°，则∠BOC=_____. 选做题： 4.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为 . 5.如图=,若AB=3,则CD=___________. 6.如图，AB，CD是⊙O的两条弦．如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F， OE与OF相等吗？为什么？ 【综合拓展类作业】 7．如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点， ． （1）求证：CD=CE． （2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列语句中，正确的有( ) ①圆心角相等,所对的弧也相等;②圆心角相等，所对的弦也相等;③长度相等的两条弦所对的弧是等弧;④同圆中,相等的弧所对的圆心角相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在半径为1的☉O中，长为的弦所对圆心角的度数为( ) A.145° B.135° C.90° D.90°或135° 选做题： 3.如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ） A．30° B．25° C．20° D．10° 【综合拓展类作业】 4.如图，M为⊙O上一点，OD⊥AM于D，OE⊥BM于E，若OD＝OE．求证： ＝ ．
教学反思 在整个课堂教学设计中，我做到了四个重视。第一，重视培养学生的自学能力和初步的探索教学内容的能力。具有探索性、开放性，能给学生创设自主探索的机会；第二，重视数学知识与实际应用的紧密联系，能引导学生联系自己的生活经验和已有的知识学习数学，并能把学到的数学知识应用到实践中去；第三，重视发挥学生的主体作用，指导学生从数学活动中学习数学，通过自己的动手、动脑实践,不断探索来获得知识并应用知识:第四，重视激发学生学习数学的兴趣，培养喜爱数学的情感，树立学好数学的信心，发扬敢想、敢说、敢争论的精神。在实际教学过程中，学生在紧张竞争中巩固了知识。课堂中轻松的量一量,让学生在验证中直观地认识数学知识。在动眼、动手、动脑中再一次巩固了知识。纵观整个课堂教学过程，动手与动脑的结合不仅让学生收获颇多，而且教者也回味无穷。使我更加感受到“四个重视”的重要性。但在本节课的教学中还存在着一定的不足。如:时间安排不够合理，前松后紧。虽也能按时完成教学任务，但总觉得有点姗姗开场却草草收尾的意味。在以后的教学中,我将继续努力，让我和学生在课堂中都能时刻享受到知识带来的快乐。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十四章
课标要求 1.与圆有关的概念:正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系。2.与圆有关的角:掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理:定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”中这个关系。4.与圆有关的位置关系:了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键。5.切线长定理:切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据。6.会计算圆的弧长、扇形的面积。7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。8.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。9.在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
内容分析 与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，也是“空间与图形”的主要研究对象，是人们生活中常见的图形。在学生前面学习了一些基本的直线形一一三角形、四边形等的基础上，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，进一步研究一个基本的曲线形一一圆，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。由于本章综合性强，会与全等、相似、四边形等知识相联系，往往在考试中得分率较低，因此在讲授本章知识时，教师要注意从具体情景出发，使学生了解知识的来源和形成，加深对数学概念的理解，从而达到能熟练掌握知识技能并应用其灵活解决问题的能力。
学情分析 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质，而且把直线形里学过的一些基本图形，几何变换加以灵活运用．通过本章的学习，学生会对圆有一个较为全面系统的认识，而且对各种数学思想如分类讨论，转化思想，完全归纳、类比的思想等有很好的理解和把握。
单元目标 教学目标1、经历探索圆及其相关结论的过程，认识圆的轴对称性和中心对称性；2、探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等的关系定理；3、探索并理解圆心角和圆周角的关系定理，三种位置关系及对应的数量关系；4、知道三角形的外心和内心；5、探索并理解直线与圆的位置关系，掌握切线的性质与判断；6、了解正多边形与圆的关系，会计算弧长和扇形的面积。（二）教学重点、难点教学重点：圆周角定理和切线的性质与判定的理解和运用.教学难点：对圆集合定义的理解，运用相关定理进行证明与计算.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数24.1 圆的有关性质424.2 点和圆、直线与圆的位置关系424.3正多边形和圆124.4弧长及扇形的面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务24.1圆的有关性质1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。3.探索圆周角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论，圆内接四边形的对角互补4.知道三角形的内心和外心。学生通过理解相关概念，掌握垂径定理以及圆周角定理从而能解决一些问题任务1：学生通过图片，操作掌握圆中相关概念.任务2：学生能利用弧、弦、圆心角之间的关系解题任务3：学生知道圆是轴对称图形，并能指出圆的对称轴. 垂径定理的条件是：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，已知五个条件中的两个就可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理任务4：理解圆周角以及圆心角的关系，会用其解题.24.2点和圆、直线与圆的位置关系1.了解点与圆的位置关系.2.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。3.探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等理解点与圆，直线与圆的位置关系，并能熟练运用切线的性质以及判定解决问题。任务1：通过学生探究掌握点与圆的位置关系任务2：认识直线与圆的位置关系任务3：通过探究掌握切线的性质以及判定定理任务4：引出切线长概念并探究切线长定理24.3正多边形和圆 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系学生能根据正多边形与圆的关系解决问题任务1：认识正多边形.任务2：根据图形得出正多边形和圆的相关概念.24.4弧长与扇形面积1.会计算圆的弧长、扇形的面积2.掌握圆锥侧面展开图学生能利用弧长公式、扇形面积公式解决问题任务1：学生通过探究弧长与圆的周长之间的关系得出弧长的计算公式任务2：学生通过探究扇形与圆的面积之间的关系得出扇形的面积计算公式任务3：通过观察圆锥侧面展开图，推出圆锥侧面积的计算方法
任务1：通过例子引出圆的概念
任务2：例题求证四点共圆
24.1.1圆
任务3：归纳圆中相关概念
活动1：探究圆的对称性从而得出垂径定理
活动2：探究切线长定理
活动3：思考在三角形上截下一块圆形，得出三角形内切圆
24.2.2.3切线长定理
活动1：研究圆外一点作两条圆的切线之间的关系，得出切线长概念
24.2.2.2切线的性质与判定
活动3：例题
活动2：探究切线的性质定理
活动1：思考经过半径外端作垂线，这条直线与圆的位置关系，概括切线的概念
活动3：思考直线与圆的位置关系中数量关系的表述
活动2：理解直线与圆的关系中的相关概念
活动1： 通过日出得出直线与圆的位置关系
24.2.2.1直线和圆的位置关系
活动4：思考经过同一条直线上的三点能作出一个圆，得出反证法
活动3：思考不在同一条直线上的三点作圆，找到确定圆心的方法
24.2.1点和圆的位置关系
活动2：探究经过一个点、两个点作圆得出圆心分布的特点
活动1：通过问题得出点和圆的三种位置关系
圆
活动4：通过思考四个角的关系得出圆内接四边形的性质
24.1.4圆周角
活动3：通过例题得出圆内接四边形的概念
活动2：通过学生活动探究圆周角定理及推论
活动1：通过导入总结出圆周角的概念
活动2：验证垂径定理
活动3：例题解析
24.1.2垂直于弦的直径
24.1.3弧、弦、圆心角
活动3：例题解析
活动2：思考圆心角，弧，弦之间的关系
活动1：探究圆的中心对称性以及得出圆心角概念
24.4.2弧长及扇形的面积
活动1：通过引例得出圆锥的有关概念
活动2：思考圆锥侧面展开图，并学会计算圆锥的侧面积
活动3：例题
24.3正方形和圆
24.4.1弧长及扇形的面积
活动1： 回忆正多边形的概念知道圆与正多边形的关系
活动2：画圆内接正五边形得出相关概念
活动3：例题
活动4：练习画圆内接正多边形
活动2：例题
活动3：思考扇形面积与圆面积的关系
活动4：例题
活动1：思考弧长与圆周长的关系
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