人教版2023年九年级上册第22章《二次函数》单元测试卷 （含解析）

人教版2023年九年级上册第22章《二次函数》单元测试卷
一、选择题（共30分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
3．二次函数的最大值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．抛物线不经过的象限是( )
A．第一、二象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第二、三象限
5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．点 ，是抛物线图像上的两点，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
7．在同一平面直角坐标系中，直线 （是常数且）与抛物线的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.25 0.26 …
A． B． C． D．
9．一位运动员在距篮圈中心（点）水平距离处竖直跳起投篮（为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为时，达到最高点（点），此时高度为，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心（点）到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
10．已知经过点且对称轴为的二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共24分）
11．已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ．
12．若将二次函数配方为的形式，则 ．
13．已知二次函数的图象如图所示，则a 0，k 0．（填）

14．如图，抛物线与直线交于两点，当时，则x的取值范围是 ．
15．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离是 米．
16．二次函数的图象如图所示，点、、、…、在二次函数位于第一象限的图象上．点、、、…、在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则 ．

三、解答题（共66分）
17．（8分）已知抛物线经过点．
(1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置；
(2)判断点是否在此抛物线上．
18．（8分）已知抛物线与x轴没有交点．
（1）求 c的取值范围．
（2）试确定直线经过的象限，并说明理由．
19．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．

(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到．
20．（8分）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．

(1)求两个函数的解析式；
(2)求的面积．
21．（10分）如图，一小球（看做一个点）从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画、若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：

(1)求抛物线的表达式；
(2)小球落点为，求点的坐标；
(3)在斜坡上的点有一棵树（树高看成线段且垂直于轴），点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(4)若过点作轴的垂线，交斜坡于点，则线段的最大值为____．（直接写出答案）
22．（12分）如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
23．（12分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．

(1)求点、、的坐标；
(2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
(3)点是轴正半轴上一点，若，求点的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次．
【详解】解：A：最高次项为一次，不符合题意；
B：当时，不是二次函数，不符合题意；
C：满足二次函数的定义，符合题意；
D：二次项在分母位置，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．
2．C
【分析】直接根据二次函数图象的顶点式进行解答即可．
【详解】解：抛物线的解析式为：，
其顶点坐标为：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．
3．C
【分析】二次函数的顶点坐标为，最值为，据此即可求解．
【详解】解：由题意得
顶点为，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据，可得抛物线的图象在x轴下方，问题得解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的图象在x轴下方，
∴抛物线不经过的象限是第一、二象限，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据，得出抛物线的图象在x轴下方，是解答本题的关键．
5．A
【分析】直接利用函数图像的平移规律“上加下减，左加右减”进行解答即可．
【详解】解：将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，根据“上加下减，左加右减”的原则可得新函数的关系式为．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移变换，掌握函数图象平移的法则是解答本题的关键．
6．B
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点，是抛物线图像上的两点，且，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数的增减性比较函数值的大小是解答的关键．
7．A
【分析】根据抛物线的开口方向，一次函数图像的分布规律，确定即可．
【详解】∵，
∴当时，一次函数的图像分布在二、三、四象限；时，一次函数的图像分布在一、三、四象限；
故C，D都是错误的；
当时，抛物线开口向上，
故B是错误的；
当时，一次函数的图像分布在二、三、四象限；抛物线开口向下，
故A正确；
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与一次函数图像的分布规律，熟练掌握图像与分布的规律是解题的关键．
8．C
【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由此即可得出结论．
【详解】解：由表格知，当时，；当时，．
∴一元二次方程的一个近似解的范围为．
故选：C．
【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
9．D
【分析】设抛物线的表达式为，根据题意可知图象经过的坐标，由此可得的值，然后将代入抛物线解析式，得，再由即可求解．
【详解】解：如图所示，以水平面所在的直线为x轴，以过点B且与水平面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，
设抛物线的表达式为，
∵抛物线经过，
∴
∴，
∴抛物线的表达式为，
当时，，
，
∴球出手时，他跳离地面的高度是，
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的相关知识，利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上是解题关键．
10．B
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【详解】解：由图可知，抛物线对称轴是直线，
即，
∵抛物线开口向下，
∴，，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
由图象经过点可得，，故②错误；
∵抛物线对称轴是直线，
∴和时，函数值相等，
而时，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④正确；
∵，，
∴，即，故⑤错误；
∴正确的有③④，共个，
故选∶B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
11．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的定义，注意到是关键．
12．
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：
故本题答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：，、、为常数）；（2）顶点式：；（3）交点式（与轴）．
13．
【分析】根据二次函数的图象与性质进行作答即可．
【详解】解：由图象可知，图象开口向下，交轴的正半轴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14．
【分析】由题意知，当时，则x的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可．
【详解】解：由题意知，当时，则x的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，
∵图象交于两点，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合．
15．
【分析】铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】解：当时，，
解之得：，（负值不合题意，舍去），
所以推铅球的水平距离是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
16．
【分析】先计算、、的长度，从中找到规律，再计算即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴设，则，
∵点在二次函数位于第一象限的图象上．
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴设，则，
∵点在二次函数位于第一象限的图象上．
∴，
解得：（舍去），，
∴，
同理，，，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的特征，坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，通过计算发现规律是解题的关键．
17．(1)它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点
(2)点不在此抛物线上
【分析】（1）把代入，求出a的值，即可解答．
（2）把代入表达式，求出函数值，判断是否等于，即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴此抛物线对应的函数解析式为．
∴它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点；
（2）解：把代入得，，
∴点不在此抛物线上．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数，顶点为原点，当时，开口向下，反之开口向上．
18．（1）c>；
（2）直线y=cx+1经过第一、二、三象限；理由见解析；
【详解】试题分析：（1）由已知可知△<0，代入即可得到c的取值范围；
（2）由（1）中得到的c的取值范围及解析式即可得到直线所经过的象限；
试题解析：（1）由已知可得△=12-4×c<0，解得c>；
（2）直线y=cx+1经过第一、二、三象限；
理由：∵c>
∴y=cx+1过一、三象限
∵直线y=cx+1与y轴交于点（0,1）
∴直线y=cx+1经过第一、二、三象限；
考点：1、二次函数与坐标的交点；2、一次函数的性质；3、根的判别式
19．(1)答案见解析
(2)上，3
【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可．
【详解】（1）解：如图所示，

，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：
，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：；
（2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同，
相当于向上平移3个单位得到．
故答案为：上；．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键．
20．(1)，
(2)3
【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可；
（2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可．
【详解】（1）解：把点代入二次函数得，，
二次函数的解析式；
点代入二次函数解析式得，
把点，代入一次函数得
，
解得，
故一次函数的解析式．
（2）一次函数的解析式中，令，得，
∴一次函数与轴交于点，
∴．
【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题．
21．(1)；
(2)；
(3)小球能飞过这棵树；
(4)．
【分析】（1）根据小球到达的最高的点坐标为，设，把代入得，，即可求出抛物线的表达式；
（2）点A在一次函数又在抛物线上，即解方程，得，，即可求出点A的坐标；
（3）依题意，把分别代入一次函数和抛物线，求出y值，再进行比较即可作答；
（4）设点M坐标为，那么点N坐标，记线段的长度为，然后根据二次函数的图像性质作答即可．
【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为，
∴设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：解方程，得，，
当时，，
所以；
（3）解：当时，，
，
∵，
∴小球能飞过这棵树；
（4）解：设点M坐标为，
那么点N坐标，
记线段的长度为，
因为，所以在上，有最大值，
则
线段的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，正确掌握二次函数的图象性质是解题的关键，本题难度适中．
22．(1)；
(2)能．或或．
【分析】（1）将，代入，列方程组求出b、c的值即可；
（2）当线段时，以B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，先求出的长，按点P在直线的上方或下方分类讨论，列方程求出相应的点E的坐标即可．
【详解】（1）∵抛物线与直线相交于，两点，
∴
解得
∴二次函数解析式为
（2）能．理由如下：
设直线的解析式为，
把，代入，
得，解得
∴直线AC的解析式为
∵抛物线的解析式为，
∴该抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，
直线，当时，，
∴，
∴，
设点E的横坐标为t，则点F的坐标为，
当，，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴点的坐标为；
当或时，四边形、是平行四边形，
则，
∴，
解得，，
∴点F的坐标为，或．
综上所述点 F的坐标为或或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，用待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，平行四边形的判定与性质等知识与方法，解第（2）题时应分类讨论，属于考试压轴题．
23．(1)，，
(2)；；
(3)
【分析】（1）分别令和，即可求点、、的坐标；
（2）先求出的面积，可求的面积为1，从而可以求出的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出的坐标；
（3）过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明，求出点的坐标，再求出直线的函数解析式，令即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：令，得：
，
解得：，，
，，
令，得：
，
，
点、、的坐标分别为：、、．
（2），
，
设点的纵坐标为，则有：
，
，
当时，
，
解得：，
，
当时，
，
解得：，，
，或，，
点的坐标为：或，或，．
（3）如图，点在轴正半轴上，且，

过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
设，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
设直线的函数解析式为，
则有：，
解得：，
，
由，得，
点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，此题综合性强，属于压轴题．