1.3 相似三角形的性质 同步练习（有答案） 2023—2024学年青岛版数学九年级上册

2023年青岛版数学九年级上册
《1.3 相似三角形的性质》同步练习
一 、选择题
1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的面积比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.16：81 B.4：9 C.3：2 D.2：3
2.如图,DE∥BC,分别交△ABC的边AB,AC于点D,E,=，若AE=5,则EC长度为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
3.如图，DE∥BC，且AD=4，DB=2，DE=3.5，则BC的长度为（ ）
A．5.5 B．5.25 C．6.5 D．7
4.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠BAC度数为( )
A.135° B.125° C.115° D. 105°
5.两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm,它们的周长之差为12cm,那么小三角形的周长为（ ）
A.14cm B.16cm C.18cm D.30cm
6.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，则△ODE与△AOB的面积比为(　　)
A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：5
7.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（　　）
A.m=5 B.m=4 C.m=3 D.m=10
8.如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=（　　）
A.4 B.6 C.8 D.不能确定
9.若△ABC∽△DEF，且AB∶DE=2∶3，则AB与DE边上的高h1与h2之比为( )
A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:4
10.如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是( )
A.20 B.22 C.24 D.26
二 、填空题
11.若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF＝　 　．
12.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE：S△DCE＝　 ．
13.若△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′＝3：4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为____________．
14.两个相似三角形面积比是9：25，其中较小一个三角形的周长为18cm，则另一个三角形的周长是　 　cm．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F.若S△AEG＝S四边形EBCG，则＝____.
16.如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2016A2017，若点A0(1，0)，则点A2017的横坐标为　 ．
三 、解答题
17.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长.
18.如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，连接 DE，且∠ADE＝∠ACB．
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)如果 E 是 AC 的中点，AD＝8，AB＝10，求 AE 的长．
19.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.
20.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯CD的高.
21.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.
(1) 求证：△AEF∽△ABC；
(2) 求这个正方形零件的边长；
(3) 如果把它加工成矩形零件如图②，问这个矩形的最大面积是多少？
答案
1.D
2.A
3.B.
4.B
5.A
6.A.
7.B.
8.C.
9.A
10.D.
11.答案为：4：9．
12.答案为：1：3．
13.答案为：16cm.
14.答案为：30．
15.答案为：.
16.答案为：()2022．
17.解：(1)∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°，
∴△BDE∽△CAD；
(2)由(1)知，∠ADB＝90°.
在Rt△ADB中，BD＝BC＝5，
∴AD＝＝＝12.
∵S△ABD＝AD·BD＝AB·DE，
∴DE＝.
18.解：(1)∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
(2)由(1)可知：△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，
∵点 E 是 AC 的中点，
设 AE＝x，
∴AC＝2AE＝2x，
∵AD＝8，AB＝10，
∴ ＝ ，解得：x＝2 ，
∴AE＝2 ．
19.解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，，
解得＝(米).
答：两岸间的大致距离为100米.
20.解：由题意知AM＝BN＝1.75m，设CD＝xm.
∵AE＝AM，AM⊥EC，
∴∠E＝45°，
∴EC＝CD＝xm，AC＝(x－1.75)m.
∵CD⊥EC，BN⊥EC，
∴BN∥CD，
∴△ABN∽△ACD，
解得x＝6.125.
答：路灯CD的高为6.125m.
21.解：(1)∵四边形EFHG为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC　
(2)∵四边形EFHG为正方形，
∴EF∥BC，EG⊥BC，
又∵AD⊥BC，
∴EG∥AD，
设EG＝EF＝x，则KD＝x，
∵BC＝120 mm，AD＝80 mm，
∴AK＝80－x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝48，
∴这个正方形零件的边长是48 mm　
(3)设EG＝KD＝m，则AK＝80－m，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴EF＝120－m，
∴S矩形EFHG＝EG·EF＝m·(120－m)＝－m2＋120m＝－(m－40)2＋2400，
故当m＝40时，矩形EFHG的面积最大，最大面积为2400 mm2