人教版九年级数学上册《第二十二章 二次函数》综合检测题

人教版九年级数学上册《第二十二章 二次函数》综合检测题
一、选择题
1．（2022九上·陵城期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A．，不是函数，故该选项不符合题意；
B． ，是一次函数，故该选项不符合题意；
C．，是二次函数，符合题意；
D．，当时，不是二次函数，故该选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。
2．（2023九上·滨江期末）已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当时，y随x的增大而减小，
抛物线开口向上，
，
，
故答案为：B.
【分析】由题意可得：抛物线开口向上，则m-2>0，求解可得m的范围.
3．（2022九上·乳山期中）如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则（　　）
A．-2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：连接，过点B作轴于D，
∵四边形是边长为1的正方形，
∴，，.
∵与轴正半轴的夹角为，
∴.
在中，，.
∵点B在第四象限，
∴点B的坐标为（，），
将点B的坐标代入中，得
解得：
故答案为：C．
【分析】连接，过点B作轴于D，先求出，，可得点B的坐标为（，），再将点B的坐标代入，求出a的值即可。
4．（2022九上·杭州期中）下列关于抛物线的说法，正确的是（　　）
A．开口向下 B．顶点坐标是
C．有最小值 D．对称轴是直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、∵∴开口向上，本项错误；
B、顶点坐标为：，本项错误；
C、当时，y有最小值为：1，本项正确；
D、对称轴是直线本项错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可.
5．（2023九上·福州开学考）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，且a＞0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
即抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，
∵A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，
其到坐标轴的距离分别是1-（-1）=2，2-1=1，4-1=3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小，分别求出点A，B，C到对称轴的距离，即可根据二次函数的性质推得函数值的大小.
6．（2023九上·海淀开学考） 如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】根据题意，当x=-5或3，y=m
即对称轴是x=-1
代入（1，0）得a+b+2=0
解得
顶点纵坐标
当
函数的开口向下，对称轴为x=-1，顶点为（-1，），抛物线经过点（）和点（0，2）
如图
当，的图象，
∴当
y=k与二次函数的图象实线部分只有一个交点
当
y=k与二次函数的图象实线部分有个两交点。
综上，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，
则的取值范围是
故选：C
【分析】根据给定的x和y值，判定出对称轴是x=-1的直线，找到关系式，代入（1，0）得到联立的方程组，可求出函数解析式；根据解析式，可根据函数性质画出图象，找出关键点坐标，再结合图象找到直线与该二次函数图象有两个公共点时的k值范围。
7．（2023九上·巴南开学考） 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：，，，，正确结论的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵二次函数的图象关于直线x=1对称，∴，∴x1=2-x2，
∵-2＜x1＜-1，∴-2＜2-x2＜-1，∴3＜x2＜4，故①正确；
②由图得抛物线开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象关于直线x=1对称，∴，∴b=-2a，∴3a+2b=3a+2×（-2a）=-a＜0，故②错误；
③由图得抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，由①得-2＜x1＜-1，3＜x2＜4，结合图象，∴x=1时，y=a+b+c＜0，x=-1时，y=a-b+c＜0，∴2a+2c＜0，即a+c＜0，∴b2-4ac＞a+c，即b2＞a+c+4ac，故③正确；
④由②得a＞0，b=-2a，∴b＜0，函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0；由②得b=-2a，∴a=，由③得，x=-1时，y=a-b+c＜0，∴-b+c＜0，解得：c＜；∴b＞c，∴a＞b＞c，故④正确；
⑤∵函数图象开口向上，对称轴是x=1，∴x=1时，ymin=a+b+c，∴当x=m时，y=am2+bm+c≥ymin，∴am2+bm+c≥a+b+c，am2-a≥b-bm，a（m+1）（m-1）≥b（1-m），故⑤错误；
综上所述，①③④正确.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称轴得，代入-2＜x1＜-1即可判断①；由开口方向得a＞0，由对称轴得b=-2a，代入3a+2b，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a-b+c<0，即可判断④；根据图象可判断当x=1时，y有最小值为a+b+c，又可求出x=m时，y=am2+bm+c≥ymin，从而am2+bm+c≥a+b+c，解得a（m+1）（m-1）≥b（1-m），即可判断⑤.
8．（2023九上·赵县期末）如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（　　）
A．-15 C．x<-1且x>5 D．x<-1或x>5
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（-1，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜-1或x＞5
故答案为：D
【分析】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解
9．（2022九上·定海月考）如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（　　）
A．5米 B．4米 C．2.25米 D．1.25米
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵OA=5，CA⊥x轴，
∴点A的坐标为（-5，0）
当x=-5时y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴点C（-5，-2.25），
∴AC=|-2.25|=2.25米.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件OA=5，CA⊥x轴，可得到点A的坐标，同时可知点A和点C的横坐标相等，将x=-5代入函数解析式，可求出对应的y的值，即可得到点C的坐标，从而可求出AC的长.
10．（2023九上·长顺期末）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、一次函数图象过二、三、四象限，则c<0，a<0，此时二次函数的图象开口向下，故错误；
B、一次函数图象过一、二、四象限，则c<0，c>0，此时二次函数的图象与y轴的交点位于负半轴，故错误；
C、由二次函数解析式可得对称轴为直线x=2，故错误；
D、一次函数图象过一、二、三象限，则c>0，a>0，此时二次函数的图象开口向上，与y轴的交点位于正半轴，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数经过的象限确定出a、c的范围，然后确定出二次函数图象的开口方向以及与y轴交点的位置，进而判断.
二、填空题
11．（2023九上·海淀开学考） 已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则　 　 ．
【答案】±2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】根据题意，二次函数的判别式
解得
解得
故填：
【分析】根据二次函数判别式与根的关系，函数图象与x轴有一个交点，说明判别式为0，根据此等量关系求出b值。
12．（2023九上·拱墅开学考）已知二次函数，当时，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数可化为，
∴二次函数的对称轴为x=2，且开口向上，顶点坐标为（2，-3），
在 中，
当x=-1时，二次函数有最大值：y=6，
当x=2时，二次函数有最小值：y=-3，
∴当 时，y的取值范围是：；
故答案为：.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解.
13．（2023九上·福州开学考）已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵抛物线的对称轴为：直线x=，
且y1＜y2，
若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，
则可得不等式组：，
解得：，不等式组无解；
若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧，
则可得不等式组：，
解得：0＜n＜2，
∴n的取值范围是：0＜n＜2.
故答案为：0＜n＜2.
【分析】根据二次函数的a的值可判断抛物线的开口向下，由抛物线的对称轴x=可求得抛物线的对称轴，根据已知条件y1＜y2，分两种情况讨论：
若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧，可分别得关于n的不等式组，解之可求解.
14．（2023九上·乌鲁木齐开学考）已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为　 　 ．
【答案】或
【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当时，，则，
是以为底的等腰三角形，
点为直线与抛物线的交点，
当时，，解得，，
点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】根据题意先求出，再求出点为直线与抛物线的交点，最后计算求解即可。
15．（2023九上·孝南期末）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数中，，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∵抛物线的对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
故答案为∶ .
【分析】利用函数解析式，可知抛物线的开口向上，利用二次函数的增减性，可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，利用抛物线的对称轴，可得到m的取值范围.
16．（2023九上·余姚期末）如图，抛物线y=ax2-2ax+3 (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2 2ax＋3（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴顶点P坐标为（1，3 a），点M坐标为（2，3）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，3），
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0），
将点B（4，3）代入得4k＝3，
解得k＝，
∴直线OP解析式为y＝x，
将点P（1，3 a）代入得y＝x，
得3 a＝，
解得a＝，
∴点P(1，)，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B的坐标；再将点B的坐标代入直线OP的解析式，用含a的式子表示出点P坐标，即可求解出a的值，据此即可解答．
17．（2023·鞍山模拟）将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为：，
故答案为：.
【分析】根据二次函数的图象与几何变换：“上加下减，左加右减”的法则计算求解即可。
18．（2023·沈阳）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边　 　时，羊圈的面积最大．
【答案】15
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，面积为S，由题意可得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450，
∴当x=15时，羊圈的面积最大.
故答案为：15.
【分析】设AB=x，面积为S，则BC=(60-2x)，根据矩形的面积公式可得S=x(60-2x)，然后根据二次函数的性质进行解答.
三、解答题
19．（2023九上·长沙开学考）已知二次函数
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
【答案】（1）解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，顶点坐标为：；
（2）解：∵抛物线的开口向下，
∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再直接求出二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标即可；
（2）根据抛物线的开口方向及对称轴求解即可.
20．（2019九上·江津期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.
【答案】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得： ，
解得： ，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；
∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC＝ ＝8.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式；然后将解析式配成顶点式找出函数图象顶点D的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，根据S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC求得即可.
21．（2023·朝阳模拟） 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）求抛物线的对称轴用含的式子表示；
（3）点，，在抛物线上，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：，
，
抛物线的对称轴为：直线；
（3）解：当时，可知点，，从左至右分布，
，
，
解得；
当时，
，
，不合题意，
综上，的取值范围是．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点代入，可得，再求出a的值即可；
（2）利用对称轴公式求解即可；
（3）根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，再根据可得，再求出即可.
22．（2020九上·安庆期末）如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 的住房墙，另外三边用 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？
【答案】解：设猪舍的宽为 ，则长为 ，
由题意得 ，
对称轴为 ，
， ，
，
在 中，
∵ ，
∴在对称轴右侧 随着 的增大而减小，
所以当 米时，
即矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，
最大面积是96平方米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设猪舍的宽为 ，则长为 ， 根据矩形的面积公式建立函数解析式求出其最值即可。
23．（2019·通州模拟）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).
（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);
（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.
【答案】（1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2).
（2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.
（3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,
∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将抛物线的顶点化为顶点式，写出D点的坐标即可。
（2）根据抛物线过点B，将点B的坐标代入，求出m的值即可。
（3）根据点A和点B的坐标写出线段AB的解析式，根据二者只有一个交点即可得到答案。
24．（2020九上·河西期末）已知抛物线与x轴交于点 ， ，与y轴交于点 ，该抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）直线 的解析式为　 　；
（3）过点D作 轴于H，在线段 上有一点P到直线 的距离等于线段 的长，求点P的坐标；
（4）设直线 交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线 于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
【答案】（1）解：设抛物线解析式为 ，把 代入得 ．
∴ ，顶点
（2）y=x+8
（3）作 于M，设 ，
因为直线 与x轴的夹角为 ，
∴点P到 的距离 ，且 ，又 ．
∴由题意 ，即 ，
∴
整理得： ，
解得 ； （舍）．
∴P的坐标为 ．
（4）由上求得 ， ．
①若抛物线向上平移，可设解析式为
．
当 时， ．当 时， ，
∴ 或 ．∴ ．
②若抛物线向下移，可设解析式为 ．
由 ，有 ．
∴ ，∴ ．
∴向上最多可本题考查了平移72个单位长，向下最多可平移 个单位长．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（2）①设CD的解析式为y=kx+b，
把 和 代入，得
解得
∴CD的解析式为：
【分析】（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；（2）①解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度．
25．（2019九上·郑州期末）某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：
月份（x） 1月 2月 3月 4月 5月 6月
销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台
（1）求p关于x的函数关系式；
（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？
（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．
【答案】（1）解：设p＝kx+b，
把p=3.9，x=1；p=4.0，x=2分别代入p=kx+b中，
得：
解得： ，
∴p=0.1x+3.8
（2）解：设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元，
w＝（﹣50x+2600）（0.1x+3.8）
＝﹣5x2+70x+9880
＝﹣5（x﹣7）2+10125，
当x＝7时，w最大＝10125，
答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；
（3）解：当x＝12时，y＝2000，p＝5，
1月份的售价为：2000（1﹣m%）元，则2月份的售价为：0.8×2000（1﹣m%）元；
1月份的销量为：5×（1﹣1.5m%）万台，则2月份的销量为：[5×（1﹣1.5m%）+1.5]万台；
∴0.8×2000（1﹣m%）×[5×（1﹣1.5m%）+1.5]＝6400，
解得：m1%＝ （舍去），m2%＝ ，
∴m=20，
答：m的值为20
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 由表格中的信息将点（x，p）代入解析式
p＝kx+b， 可得关于k、b的方程组，解方程组即可求解析式；
（2）根据销售金额=销售量X单价可得销售金额与销售月份的二次函数关系式，并将解析式配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）由关系式 y＝﹣50x+2600 可计算出去年12月份每台的售价y和12月的销售量P的值；再结合已知条件可分别表示出今年1月份和2月份的售价和销量，根据今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元 可列方程求解。
26．（2017·深圳模拟）如图所示，已知抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8），抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝x－4交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G．当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标．
【答案】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c∵抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8）∴,解得.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－8
点D的坐标为（－1，－5）
（2）过P作PE∥y轴，交直线AB于点E
设P（x，x2－2x－8）则E（x，x－4）
∴PE＝x－4－(x2－2x－8)＝－x2＋3x＋4
∴S△BDP＝S△DEP＋S△BEP＝ PE·(xE－xD)＋ PE·(xB－xE)
＝ PE·(xB－xD)＝ PE＝ (－x2＋3x＋4)
＝－ (x－ )2＋
∴当x＝ 时，△BDP面积的最大值为
此时点P的坐标为（ ，－ ）
（3）设直线y＝x－4与y轴相交于点K，则K（0，－4）∵B（4，0），∴OB＝OK＝4，∴∠OKB＝∠OBK＝45°
∵QF⊥x轴，∴∠DQG＝45°
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形①∠QDG＝90°，过D作DH⊥QG于H，∴QG＝2DH，
∴－x2＋3x＋4＝2(x＋1)，解得x 1＝－1（舍去），
x 2＝2，∴Q1（2，－2）
②∠DGQ＝90°，则DH＝QH，∴－x2＋3x＋4＝x+1，解得x 1＝-1（舍去），x 2＝3，∴P2（3，－1）综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，－2）或（3，－1）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设出一元二次函数，利用待定系数法求出a、b、c的值；
（2）设出PE两点的坐标，从图中可以看出SBDP=SEPB+SEPD.运用二次函数的性质求出SBDP的的最值及P点的坐标；
（3）一次函数为y=x-4，则意味着∠OKB=∠OBK=45°，则如果△QDG是直角三角形，必定是等腰直角三角形。但接下来要分两种情况去进行讨论：①∠QDG=90°；②∠DGQ=90°.
1 / 1人教版九年级数学上册《第二十二章 二次函数》综合检测题
一、选择题
1．（2022九上·陵城期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023九上·滨江期末）已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022九上·乳山期中）如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则（　　）
A．-2 B． C． D．
4．（2022九上·杭州期中）下列关于抛物线的说法，正确的是（　　）
A．开口向下 B．顶点坐标是
C．有最小值 D．对称轴是直线
5．（2023九上·福州开学考）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023九上·海淀开学考） 如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023九上·巴南开学考） 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：，，，，正确结论的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2023九上·赵县期末）如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（　　）
A．-15 C．x<-1且x>5 D．x<-1或x>5
9．（2022九上·定海月考）如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（　　）
A．5米 B．4米 C．2.25米 D．1.25米
10．（2023九上·长顺期末）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023九上·海淀开学考） 已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则　 　 ．
12．（2023九上·拱墅开学考）已知二次函数，当时，的取值范围是　 　．
13．（2023九上·福州开学考）已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是　 　．
14．（2023九上·乌鲁木齐开学考）已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为　 　 ．
15．（2023九上·孝南期末）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是　 　.
16．（2023九上·余姚期末）如图，抛物线y=ax2-2ax+3 (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为　 　.
17．（2023·鞍山模拟）将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为　 　．
18．（2023·沈阳）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边　 　时，羊圈的面积最大．
三、解答题
19．（2023九上·长沙开学考）已知二次函数
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
20．（2019九上·江津期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.
21．（2023·朝阳模拟） 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）求抛物线的对称轴用含的式子表示；
（3）点，，在抛物线上，若，求的取值范围．
22．（2020九上·安庆期末）如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 的住房墙，另外三边用 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？
23．（2019·通州模拟）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).
（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);
（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.
24．（2020九上·河西期末）已知抛物线与x轴交于点 ， ，与y轴交于点 ，该抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）直线 的解析式为　 　；
（3）过点D作 轴于H，在线段 上有一点P到直线 的距离等于线段 的长，求点P的坐标；
（4）设直线 交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线 于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
25．（2019九上·郑州期末）某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：
月份（x） 1月 2月 3月 4月 5月 6月
销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台
（1）求p关于x的函数关系式；
（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？
（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．
26．（2017·深圳模拟）如图所示，已知抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8），抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝x－4交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G．当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A．，不是函数，故该选项不符合题意；
B． ，是一次函数，故该选项不符合题意；
C．，是二次函数，符合题意；
D．，当时，不是二次函数，故该选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当时，y随x的增大而减小，
抛物线开口向上，
，
，
故答案为：B.
【分析】由题意可得：抛物线开口向上，则m-2>0，求解可得m的范围.
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：连接，过点B作轴于D，
∵四边形是边长为1的正方形，
∴，，.
∵与轴正半轴的夹角为，
∴.
在中，，.
∵点B在第四象限，
∴点B的坐标为（，），
将点B的坐标代入中，得
解得：
故答案为：C．
【分析】连接，过点B作轴于D，先求出，，可得点B的坐标为（，），再将点B的坐标代入，求出a的值即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、∵∴开口向上，本项错误；
B、顶点坐标为：，本项错误；
C、当时，y有最小值为：1，本项正确；
D、对称轴是直线本项错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，且a＞0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
即抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，
∵A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，
其到坐标轴的距离分别是1-（-1）=2，2-1=1，4-1=3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小，分别求出点A，B，C到对称轴的距离，即可根据二次函数的性质推得函数值的大小.
6．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】根据题意，当x=-5或3，y=m
即对称轴是x=-1
代入（1，0）得a+b+2=0
解得
顶点纵坐标
当
函数的开口向下，对称轴为x=-1，顶点为（-1，），抛物线经过点（）和点（0，2）
如图
当，的图象，
∴当
y=k与二次函数的图象实线部分只有一个交点
当
y=k与二次函数的图象实线部分有个两交点。
综上，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，
则的取值范围是
故选：C
【分析】根据给定的x和y值，判定出对称轴是x=-1的直线，找到关系式，代入（1，0）得到联立的方程组，可求出函数解析式；根据解析式，可根据函数性质画出图象，找出关键点坐标，再结合图象找到直线与该二次函数图象有两个公共点时的k值范围。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵二次函数的图象关于直线x=1对称，∴，∴x1=2-x2，
∵-2＜x1＜-1，∴-2＜2-x2＜-1，∴3＜x2＜4，故①正确；
②由图得抛物线开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象关于直线x=1对称，∴，∴b=-2a，∴3a+2b=3a+2×（-2a）=-a＜0，故②错误；
③由图得抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，由①得-2＜x1＜-1，3＜x2＜4，结合图象，∴x=1时，y=a+b+c＜0，x=-1时，y=a-b+c＜0，∴2a+2c＜0，即a+c＜0，∴b2-4ac＞a+c，即b2＞a+c+4ac，故③正确；
④由②得a＞0，b=-2a，∴b＜0，函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0；由②得b=-2a，∴a=，由③得，x=-1时，y=a-b+c＜0，∴-b+c＜0，解得：c＜；∴b＞c，∴a＞b＞c，故④正确；
⑤∵函数图象开口向上，对称轴是x=1，∴x=1时，ymin=a+b+c，∴当x=m时，y=am2+bm+c≥ymin，∴am2+bm+c≥a+b+c，am2-a≥b-bm，a（m+1）（m-1）≥b（1-m），故⑤错误；
综上所述，①③④正确.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称轴得，代入-2＜x1＜-1即可判断①；由开口方向得a＞0，由对称轴得b=-2a，代入3a+2b，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a-b+c<0，即可判断④；根据图象可判断当x=1时，y有最小值为a+b+c，又可求出x=m时，y=am2+bm+c≥ymin，从而am2+bm+c≥a+b+c，解得a（m+1）（m-1）≥b（1-m），即可判断⑤.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（-1，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜-1或x＞5
故答案为：D
【分析】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解
9．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵OA=5，CA⊥x轴，
∴点A的坐标为（-5，0）
当x=-5时y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴点C（-5，-2.25），
∴AC=|-2.25|=2.25米.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件OA=5，CA⊥x轴，可得到点A的坐标，同时可知点A和点C的横坐标相等，将x=-5代入函数解析式，可求出对应的y的值，即可得到点C的坐标，从而可求出AC的长.
10．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、一次函数图象过二、三、四象限，则c<0，a<0，此时二次函数的图象开口向下，故错误；
B、一次函数图象过一、二、四象限，则c<0，c>0，此时二次函数的图象与y轴的交点位于负半轴，故错误；
C、由二次函数解析式可得对称轴为直线x=2，故错误；
D、一次函数图象过一、二、三象限，则c>0，a>0，此时二次函数的图象开口向上，与y轴的交点位于正半轴，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数经过的象限确定出a、c的范围，然后确定出二次函数图象的开口方向以及与y轴交点的位置，进而判断.
11．【答案】±2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】根据题意，二次函数的判别式
解得
解得
故填：
【分析】根据二次函数判别式与根的关系，函数图象与x轴有一个交点，说明判别式为0，根据此等量关系求出b值。
12．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数可化为，
∴二次函数的对称轴为x=2，且开口向上，顶点坐标为（2，-3），
在 中，
当x=-1时，二次函数有最大值：y=6，
当x=2时，二次函数有最小值：y=-3，
∴当 时，y的取值范围是：；
故答案为：.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解.
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵抛物线的对称轴为：直线x=，
且y1＜y2，
若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，
则可得不等式组：，
解得：，不等式组无解；
若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧，
则可得不等式组：，
解得：0＜n＜2，
∴n的取值范围是：0＜n＜2.
故答案为：0＜n＜2.
【分析】根据二次函数的a的值可判断抛物线的开口向下，由抛物线的对称轴x=可求得抛物线的对称轴，根据已知条件y1＜y2，分两种情况讨论：
若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧，可分别得关于n的不等式组，解之可求解.
14．【答案】或
【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当时，，则，
是以为底的等腰三角形，
点为直线与抛物线的交点，
当时，，解得，，
点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】根据题意先求出，再求出点为直线与抛物线的交点，最后计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数中，，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∵抛物线的对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
故答案为∶ .
【分析】利用函数解析式，可知抛物线的开口向上，利用二次函数的增减性，可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，利用抛物线的对称轴，可得到m的取值范围.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2 2ax＋3（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴顶点P坐标为（1，3 a），点M坐标为（2，3）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，3），
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0），
将点B（4，3）代入得4k＝3，
解得k＝，
∴直线OP解析式为y＝x，
将点P（1，3 a）代入得y＝x，
得3 a＝，
解得a＝，
∴点P(1，)，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B的坐标；再将点B的坐标代入直线OP的解析式，用含a的式子表示出点P坐标，即可求解出a的值，据此即可解答．
17．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为：，
故答案为：.
【分析】根据二次函数的图象与几何变换：“上加下减，左加右减”的法则计算求解即可。
18．【答案】15
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，面积为S，由题意可得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450，
∴当x=15时，羊圈的面积最大.
故答案为：15.
【分析】设AB=x，面积为S，则BC=(60-2x)，根据矩形的面积公式可得S=x(60-2x)，然后根据二次函数的性质进行解答.
19．【答案】（1）解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，顶点坐标为：；
（2）解：∵抛物线的开口向下，
∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再直接求出二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标即可；
（2）根据抛物线的开口方向及对称轴求解即可.
20．【答案】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得： ，
解得： ，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；
∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC＝ ＝8.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式；然后将解析式配成顶点式找出函数图象顶点D的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，根据S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC求得即可.
21．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：，
，
抛物线的对称轴为：直线；
（3）解：当时，可知点，，从左至右分布，
，
，
解得；
当时，
，
，不合题意，
综上，的取值范围是．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点代入，可得，再求出a的值即可；
（2）利用对称轴公式求解即可；
（3）根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，再根据可得，再求出即可.
22．【答案】解：设猪舍的宽为 ，则长为 ，
由题意得 ，
对称轴为 ，
， ，
，
在 中，
∵ ，
∴在对称轴右侧 随着 的增大而减小，
所以当 米时，
即矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，
最大面积是96平方米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设猪舍的宽为 ，则长为 ， 根据矩形的面积公式建立函数解析式求出其最值即可。
23．【答案】（1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2).
（2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.
（3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,
∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将抛物线的顶点化为顶点式，写出D点的坐标即可。
（2）根据抛物线过点B，将点B的坐标代入，求出m的值即可。
（3）根据点A和点B的坐标写出线段AB的解析式，根据二者只有一个交点即可得到答案。
24．【答案】（1）解：设抛物线解析式为 ，把 代入得 ．
∴ ，顶点
（2）y=x+8
（3）作 于M，设 ，
因为直线 与x轴的夹角为 ，
∴点P到 的距离 ，且 ，又 ．
∴由题意 ，即 ，
∴
整理得： ，
解得 ； （舍）．
∴P的坐标为 ．
（4）由上求得 ， ．
①若抛物线向上平移，可设解析式为
．
当 时， ．当 时， ，
∴ 或 ．∴ ．
②若抛物线向下移，可设解析式为 ．
由 ，有 ．
∴ ，∴ ．
∴向上最多可本题考查了平移72个单位长，向下最多可平移 个单位长．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（2）①设CD的解析式为y=kx+b，
把 和 代入，得
解得
∴CD的解析式为：
【分析】（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；（2）①解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度．
25．【答案】（1）解：设p＝kx+b，
把p=3.9，x=1；p=4.0，x=2分别代入p=kx+b中，
得：
解得： ，
∴p=0.1x+3.8
（2）解：设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元，
w＝（﹣50x+2600）（0.1x+3.8）
＝﹣5x2+70x+9880
＝﹣5（x﹣7）2+10125，
当x＝7时，w最大＝10125，
答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；
（3）解：当x＝12时，y＝2000，p＝5，
1月份的售价为：2000（1﹣m%）元，则2月份的售价为：0.8×2000（1﹣m%）元；
1月份的销量为：5×（1﹣1.5m%）万台，则2月份的销量为：[5×（1﹣1.5m%）+1.5]万台；
∴0.8×2000（1﹣m%）×[5×（1﹣1.5m%）+1.5]＝6400，
解得：m1%＝ （舍去），m2%＝ ，
∴m=20，
答：m的值为20
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 由表格中的信息将点（x，p）代入解析式
p＝kx+b， 可得关于k、b的方程组，解方程组即可求解析式；
（2）根据销售金额=销售量X单价可得销售金额与销售月份的二次函数关系式，并将解析式配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）由关系式 y＝﹣50x+2600 可计算出去年12月份每台的售价y和12月的销售量P的值；再结合已知条件可分别表示出今年1月份和2月份的售价和销量，根据今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元 可列方程求解。
26．【答案】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c∵抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8）∴,解得.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－8
点D的坐标为（－1，－5）
（2）过P作PE∥y轴，交直线AB于点E
设P（x，x2－2x－8）则E（x，x－4）
∴PE＝x－4－(x2－2x－8)＝－x2＋3x＋4
∴S△BDP＝S△DEP＋S△BEP＝ PE·(xE－xD)＋ PE·(xB－xE)
＝ PE·(xB－xD)＝ PE＝ (－x2＋3x＋4)
＝－ (x－ )2＋
∴当x＝ 时，△BDP面积的最大值为
此时点P的坐标为（ ，－ ）
（3）设直线y＝x－4与y轴相交于点K，则K（0，－4）∵B（4，0），∴OB＝OK＝4，∴∠OKB＝∠OBK＝45°
∵QF⊥x轴，∴∠DQG＝45°
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形①∠QDG＝90°，过D作DH⊥QG于H，∴QG＝2DH，
∴－x2＋3x＋4＝2(x＋1)，解得x 1＝－1（舍去），
x 2＝2，∴Q1（2，－2）
②∠DGQ＝90°，则DH＝QH，∴－x2＋3x＋4＝x+1，解得x 1＝-1（舍去），x 2＝3，∴P2（3，－1）综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，－2）或（3，－1）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设出一元二次函数，利用待定系数法求出a、b、c的值；
（2）设出PE两点的坐标，从图中可以看出SBDP=SEPB+SEPD.运用二次函数的性质求出SBDP的的最值及P点的坐标；
（3）一次函数为y=x-4，则意味着∠OKB=∠OBK=45°，则如果△QDG是直角三角形，必定是等腰直角三角形。但接下来要分两种情况去进行讨论：①∠QDG=90°；②∠DGQ=90°.
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