苏科版八年级数学上册《第一章全等三角形》综合检测卷
一、选择题
1．（2020八上·长丰期末）下列说法正确是
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形
D．全等三角形是指两个能完全重合的三角形
【答案】D
【知识点】全等图形
【解析】【解答】A、全等三角形是指形状相同、大小相等的两个三角形，故本选项不符合题意；
B、全等三角形的面积相等，但是面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
C、边长相等的两个等边三角形是全等三角形，故本选项不符合题意；
D、全等三角形是指两个能完全重合的三角形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形求解即可.
2．（2023八上·福州开学考）如图，≌，，是对应点，下列结论错误的是（ ）
A．和是对应角 B．和是对应角
C．与是对应边 D．和是对应边
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△AOC≌△DOB，点C和点B是对应点，
∴∠C和∠B是对应角，∠AOC和∠DOB是对应角，OA和OD是对应边，AC的对边为BD，故A，B，D不符合题意，C符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的对应边所对的角是对应角，对应顶点所在的角是对应角，可得答案.
3．（2023八上·鄞州期末）如图，，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可得AB=AC，∠BAO=∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠BAC=∠OAD=α，由内角和定理可得∠ABC=(180°-α)，根据平行线的性质可得∠OBC=180°-∠O=90°，即∠ABO+∠ABC=90°，据此求解.
4．（2021八上·蓬江期末）如图，点、在上，，，，，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴=，
故答案为：D．
【分析】先证明，可得，再利用线段的和差求出。
5．（2023八上·横山开学考）如图，点A，E，F，D在同一直线上，若，，，则图中的全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）；邻补角
【解析】【解答】解：，
∴，
∵AB=CD，AE=FD，
∴.
∴BE=FC，，
∴，
∵EF=FE，
∴.
∵AE=FD，
∴AF=DE，
∵AB=CD，，
∴.
综上所述，，，.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质推出，利用边角边，等量转化和邻补角的定义即可证明相对应的三角形全等.
6．（2022八上·覃塘期中）如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE，
∵∠1=∠2=110°，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°，
∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°，
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠BAC=80°，
故答案为：B．
【分析】利用SAS判断出△ADB≌△AEC，由全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAE，由邻补角定义得∠ADE=∠AED=70°，由三角形由三角形内角和得∠DAE=40°，由角的和差得∠CAE与∠BAC的度数.
7．（2023八上·西安期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，
∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COG=∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG=AF=BD=4米，
设AO=x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，
解得x=8.5.
则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）.
故答案为：B.
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，由同角的余角相等可得∠COG=∠OAF， 由题意可得AO=OC，利用AAS证明△AOF≌△OCG，得到OG=AF=BD=4米，设AO=x米，在Rt△AFO中，由勾股定理可得x的值，然后根据CE=GB=OB-OG进行计算.
8．（2023七下·盐湖期末）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使．下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AD是中线，
∴BD=CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠E=∠CFD=90°，
再结合∠BDE=∠CDF，
可得：△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE=CF，DE=DF，故①正确；
∵∠G=∠BAD，
∴△ABE≌△GCF（AAS），
∴AE=GF，
∴AG=EF，
∴AG=2DE，故②正确；
∵BE=CF，
∴，故④正确；
∴S△ABD=S△ACD，
∴S△ABD+S△CDF=S△ACD+S△CDF=S△ACF+S△CDF+S△CDF=S△ACF+2S△CDF=S△ACF+S△AGC=S△GCF，故③正确；
综上，正确的结论是①②③④，
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质及三角形的面积公式及等量代换逐项判断即可.
9．（2023·永定模拟）如图， 于点 ， 于点 ，． 要根据证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵于点D，于点F，
∴，
∵，
∴当添加时，根据“”判断．
故答案为：D．
【分析】先求出，再利用全等三角形的判定方法证明求解即可。
10．（2023七下·武功期末）如图，在中，平分交于点D，延长到点E，使得，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在和中，
，
∴
∴ ∠E=∠C，
∵∠ADB=∠C+∠CBD，
∴∠ADB=∠E+∠ABD，
∵∠ADB+∠ADE+∠E+∠ABD=180°，∠ADE=44°，
∴2∠ADB+∠ADE=180°，
∴∠ADB=68°；
故答案为：B.
【分析】先用SAS证明△EBD≌△CBD，得到∠E=∠C，再通过三角形的外角等于不相邻的两个内角和得到∠ADB=∠C+∠CBD，进而得到∠ADB=∠E+∠ABD，根据三角形的内角和为180°导出2∠ADB+∠ADE=180°，进而可求∠ADB的度数.
二、填空题
11．（2023八上·长春开学考）如图，、、在同一直线上，≌，，那么 度.
【答案】55
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】
∵△ABC≌△EFC，∴∠A=∠E=35°，
∴∠EFC=180°-∠ACE-∠EFC=180°-90°-35°=55° 。
故答案为：55
【分析】根据三角形全等得出∠E=∠A=35°，再根据内角和定理求出∠EFC。
12．（2023八上·鲤城月考）如图，点、、、在一条直线上，已知，，请你添加一个适当的条件 使得≌．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：
∵FB=CE，
∴BC=EF．
又∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案为：∠A=∠D.
【分析】此题是开放性命题，答案不唯一，根据两直线平行，内错角相等可得∠ACB=∠DFE，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，即可得出结论.
13．（2020八上·林甸期末）如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为
【答案】100°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN（SAS），
∴∠AMK＝∠BKN，
∵∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，
∴∠A＝∠MKN＝40°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为100°
【分析】先证明△AMK≌△BKN（SAS），再结合外角的性质可求得∠A＝∠MKN，在利用三角形内角和定理即可求得角P的度数。
14．（2021八上·滨江月考）如图， ， ，且 ，则 .
【答案】140°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE即∠DCB=∠ACE，
在△BDC和△ACE中
∴△BDC≌△ACE（SAS）
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠EBC=50°，
∴∠CAE+∠CBE=50°，
在Rt△ABC中，∠ABE+∠BAE+∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°-50°=40°，
∴∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE）=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】利用已知可证得∠DCB=∠ACE，利用SAS证明△BDC≌△ACE，利用全等三角形的性质可得到∠DBC=∠CAE；利用∠EBC=50°，可得到∠CAE+∠CBE=50°，在Rt△ABC中，利用三角形的内角和定理求出∠ABE+∠BAE的值；然后根据∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE），代入计算可求解.
15．（2023八上·平昌期末）如图，已知 AB//CF，E为DF的中点，若AB=13cm，CF=7cm，则BD= cm .
【答案】6
【知识点】平行线的性质；线段的中点；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ABCF，
∴∠ADE=∠CFE，
∵E为DF的中点，
∴DE=EF，
在△ADE和△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD=CF=7cm，
∵AB=13cm，
∴BD=13-7=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据平行线的性质可得∠ADE=∠CFE，由中点的概念可得DE=EF，利用ASA证明△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7cm，然后根据BD=AB-AD进行计算.
16．（2022八上·宝应期中）如图，等腰中，，平分，于，若，则的周长是 ．
【答案】6
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BCA=90°，
∴AC=BC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∵ED⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°，
在△ACD与△AED中，
∵∠CAD=∠EAD，∠AED=∠C=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=DE，
∴BC=AE，
∵△BDE的周长为：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=6.
故答案为：6.
【分析】由等腰直角三角形得AC=BC，用AAS判断出△ACD≌△AED，得AC=AE，CD=DE，则BC=AE，然后根据三角形周长的计算方法、等量代换、线段的和差可得△BED的周长就是线段AB的长，从而得出答案.
17．（2020八上·孝感月考）在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是 .
【答案】①②
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AP，
在Rt△ASP和Rt△ARP中，
PR=PS，PA=PA，
所以Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以①AS=AR正确；
因为AQ=PQ，
所以∠QAP=∠QPA，
又因为Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以∠PAR=∠PAQ，
于是∠RAP=∠QPA，
所以②PQ∥AR正确；
③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等.
故答案为：①②.
【分析】①利用HL定理证出Rt△ASP≌Rt△ARP，得出AS=AR，∠PAR=∠PAQ，即可判断①正确；
②根据等腰三角形的性质得出∠QAP=∠QPA，从而得出∠RAP=∠QPA，根据平行线的判定定理得出PQ∥AR，即可判断②正确；
③根据现有条件无法确定△BRP≌△CSP，即可判断③错误.
18．（2023八上·济南开学考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8cm，AC＝4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，以2cm/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．
【答案】0，6，6，8
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8-4=4，
∴点E的运动时间为4÷2=2 (秒) ；
②当E在BN上，AC=BE时，
∵AC=4，
∴BE=4，
∴АE=8+4=12，
∴点E的运动时间为12÷2=6 (秒) ；
③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，AE=8+8=16，
∴点E的运动时间为16÷2=8 (秒) ，
故答案为：2；6；0；8.
【分析】分类讨论：①当E在线段AB上，②当E在BN上，AC=BE时，③当E在线段AB上，AB=EB时，④当E在BN上，AB=EB时，再分别利用全等三角形的性质求解即可.
三、解答题
19．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM＝CN，BM＝DN，AC＝BD．求证：BM∥DN．
【答案】证明：∵AC＝BD，
∴AB＝CD，
在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（SSS），
∴∠D＝∠ABM，
∴BM∥DN．
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】先根据SSS证得△ABM≌△CDN，继而得∠D＝∠ABM，再根据同位角相等，两直线平行，即可得证.
20．（2023七下·吴江期末）如图，在中，O为的中点，，直线交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵为中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）通过说明两个三角形有两对角和它们的夹边对应相等，来证明两个三角形全等；
（2）利用全等三角形的对应边相等，得到一对线段相等，再利用线段的差求出未知线段的长.
21．（2023八上·兴宁开学考）如图，点B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；
（1）求证：△ABO≌△CDO；
（2）当AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．
【答案】（1）证明：在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS）；
（2）解：∵△ABO≌△CDO，
∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，
∴∠AOB-∠COB＝∠COD-∠COB，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵OA∥CD，
∴∠C＝∠AOC＝30°，
∴∠A＝30°．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据三条边都对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据全等三角形的对应角相等推得∠AOC＝∠BOD＝30°，根据两直线平行，内错角相等得出∠C=∠AOC=30°，则可得出答案.
22．（2021八上·铁西期末）如图，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．求证：．
【答案】证明：∵平分，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
∴DF//BC．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算及等量代换可得，即可证明DF//BC。
23．（2023八上·长春开学考）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，
≌
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∴AB＝DC，BC＝CE，
∵AB＝2CE，∴CD＝2BC，
∴BD＝CD+BC＝3BC
∵BD＝12
∴BC＝4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】
（1）结合已知条件用SAS证明即可。
（2）根据三角形全等可得出AB＝DC，BC＝CE，再结合AB＝2CE推导出CD＝2BC，BD＝3BC，从而推导出结果。
24．（2023七下·本溪期末）已知，，，，垂足分别为点D，E．
（1）如图①，求证：
（2）如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：中的结论不成立．结论：
理由如下：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等得∠CAD=∠BCE，从而用AAS证明△ADC≌△CEB，得到CD=BE，AD=CE，再利用线段间的代换得出结论；
（2）利用同角的余角相等得∠CAD=∠BCE，从而用AAS证明△ADC≌△CEB，得到CD=BE，AD=CE，再利用线段间的代换得出结论.
25．（2023七下·二道期末）将两个全等的直角三角形和直角三角形按图方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点．
（1）求证：．
（2）如图，若将图中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，证明：．
（3）若将图中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请直接写出此时、与之间的关系．
【答案】（1）解：如图，连接，
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：如图，连接，
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
（3）解：不成立，关系式为：理由如下：
如图，连接，
≌，
，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接BF，先利用“HL”证出≌，再利用全等三角形的性质可得；
（2）连接BF，先利用“HL”证出≌，再利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换求出即可；
（3）连接BF，先利用“HL”证出≌，再利用全等三角形的性质可得，再结合AC=DE，利用线段的和差及等量代换求出即可.
26．（2023八上·南宁月考）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=α.
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上.
①如图1，若∠BCA=90°，α=90°，证明BE=CF
②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由.
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α=∠BCA，请提出关于EF、BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由.
【答案】（1）解：①∵∠BCA=90°， ∠BEC=∠CFA=α=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF；
② α+∠ACB=180°时，①中的结论仍然成立，
理由如下：∵∠BEC=∠CFA=α，α+∠ACB=180°，
∴α+∠BCE+∠ACF=180°，α+∠BCE+∠CBE=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF；
（2）解：EF=BE+AF，
证明：∵∠BEC=∠CFA=α，α=∠BCA，
∴α+∠EBC+∠BCE=180°，α+∠BCE+∠ACF=180°，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①根据AAS证出△BCE≌△CAF，即可得出BE=CF；
②根据AAS证出△BCE≌△CAF，即可得出BE=CF；
（2）根据AAS证出△BCE≌△CAF，得出AF=CE，BE=CF，再根据EF=CE+CF，即可得出EF=BE+AF．
1 / 1苏科版八年级数学上册《第一章全等三角形》综合检测卷
一、选择题
1．（2020八上·长丰期末）下列说法正确是
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形
D．全等三角形是指两个能完全重合的三角形
2．（2023八上·福州开学考）如图，≌，，是对应点，下列结论错误的是（ ）
A．和是对应角 B．和是对应角
C．与是对应边 D．和是对应边
3．（2023八上·鄞州期末）如图，，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八上·蓬江期末）如图，点、在上，，，，，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
5．（2023八上·横山开学考）如图，点A，E，F，D在同一直线上，若，，，则图中的全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
6．（2022八上·覃塘期中）如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
7．（2023八上·西安期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
8．（2023七下·盐湖期末）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使．下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023·永定模拟）如图， 于点 ， 于点 ，． 要根据证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023七下·武功期末）如图，在中，平分交于点D，延长到点E，使得，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023八上·长春开学考）如图，、、在同一直线上，≌，，那么 度.
12．（2023八上·鲤城月考）如图，点、、、在一条直线上，已知，，请你添加一个适当的条件 使得≌．
13．（2020八上·林甸期末）如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为
14．（2021八上·滨江月考）如图， ， ，且 ，则 .
15．（2023八上·平昌期末）如图，已知 AB//CF，E为DF的中点，若AB=13cm，CF=7cm，则BD= cm .
16．（2022八上·宝应期中）如图，等腰中，，平分，于，若，则的周长是 ．
17．（2020八上·孝感月考）在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是 .
18．（2023八上·济南开学考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8cm，AC＝4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，以2cm/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．
三、解答题
19．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM＝CN，BM＝DN，AC＝BD．求证：BM∥DN．
20．（2023七下·吴江期末）如图，在中，O为的中点，，直线交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．（2023八上·兴宁开学考）如图，点B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；
（1）求证：△ABO≌△CDO；
（2）当AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．
22．（2021八上·铁西期末）如图，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．求证：．
23．（2023八上·长春开学考）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长度．
24．（2023七下·本溪期末）已知，，，，垂足分别为点D，E．
（1）如图①，求证：
（2）如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．
25．（2023七下·二道期末）将两个全等的直角三角形和直角三角形按图方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点．
（1）求证：．
（2）如图，若将图中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，证明：．
（3）若将图中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请直接写出此时、与之间的关系．
26．（2023八上·南宁月考）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=α.
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上.
①如图1，若∠BCA=90°，α=90°，证明BE=CF
②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由.
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α=∠BCA，请提出关于EF、BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】全等图形
【解析】【解答】A、全等三角形是指形状相同、大小相等的两个三角形，故本选项不符合题意；
B、全等三角形的面积相等，但是面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
C、边长相等的两个等边三角形是全等三角形，故本选项不符合题意；
D、全等三角形是指两个能完全重合的三角形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形求解即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△AOC≌△DOB，点C和点B是对应点，
∴∠C和∠B是对应角，∠AOC和∠DOB是对应角，OA和OD是对应边，AC的对边为BD，故A，B，D不符合题意，C符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的对应边所对的角是对应角，对应顶点所在的角是对应角，可得答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可得AB=AC，∠BAO=∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠BAC=∠OAD=α，由内角和定理可得∠ABC=(180°-α)，根据平行线的性质可得∠OBC=180°-∠O=90°，即∠ABO+∠ABC=90°，据此求解.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴=，
故答案为：D．
【分析】先证明，可得，再利用线段的和差求出。
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）；邻补角
【解析】【解答】解：，
∴，
∵AB=CD，AE=FD，
∴.
∴BE=FC，，
∴，
∵EF=FE，
∴.
∵AE=FD，
∴AF=DE，
∵AB=CD，，
∴.
综上所述，，，.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质推出，利用边角边，等量转化和邻补角的定义即可证明相对应的三角形全等.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE，
∵∠1=∠2=110°，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°，
∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°，
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠BAC=80°，
故答案为：B．
【分析】利用SAS判断出△ADB≌△AEC，由全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAE，由邻补角定义得∠ADE=∠AED=70°，由三角形由三角形内角和得∠DAE=40°，由角的和差得∠CAE与∠BAC的度数.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，
∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COG=∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG=AF=BD=4米，
设AO=x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，
解得x=8.5.
则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）.
故答案为：B.
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，由同角的余角相等可得∠COG=∠OAF， 由题意可得AO=OC，利用AAS证明△AOF≌△OCG，得到OG=AF=BD=4米，设AO=x米，在Rt△AFO中，由勾股定理可得x的值，然后根据CE=GB=OB-OG进行计算.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AD是中线，
∴BD=CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠E=∠CFD=90°，
再结合∠BDE=∠CDF，
可得：△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE=CF，DE=DF，故①正确；
∵∠G=∠BAD，
∴△ABE≌△GCF（AAS），
∴AE=GF，
∴AG=EF，
∴AG=2DE，故②正确；
∵BE=CF，
∴，故④正确；
∴S△ABD=S△ACD，
∴S△ABD+S△CDF=S△ACD+S△CDF=S△ACF+S△CDF+S△CDF=S△ACF+2S△CDF=S△ACF+S△AGC=S△GCF，故③正确；
综上，正确的结论是①②③④，
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质及三角形的面积公式及等量代换逐项判断即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵于点D，于点F，
∴，
∵，
∴当添加时，根据“”判断．
故答案为：D．
【分析】先求出，再利用全等三角形的判定方法证明求解即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在和中，
，
∴
∴ ∠E=∠C，
∵∠ADB=∠C+∠CBD，
∴∠ADB=∠E+∠ABD，
∵∠ADB+∠ADE+∠E+∠ABD=180°，∠ADE=44°，
∴2∠ADB+∠ADE=180°，
∴∠ADB=68°；
故答案为：B.
【分析】先用SAS证明△EBD≌△CBD，得到∠E=∠C，再通过三角形的外角等于不相邻的两个内角和得到∠ADB=∠C+∠CBD，进而得到∠ADB=∠E+∠ABD，根据三角形的内角和为180°导出2∠ADB+∠ADE=180°，进而可求∠ADB的度数.
11．【答案】55
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】
∵△ABC≌△EFC，∴∠A=∠E=35°，
∴∠EFC=180°-∠ACE-∠EFC=180°-90°-35°=55° 。
故答案为：55
【分析】根据三角形全等得出∠E=∠A=35°，再根据内角和定理求出∠EFC。
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：
∵FB=CE，
∴BC=EF．
又∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案为：∠A=∠D.
【分析】此题是开放性命题，答案不唯一，根据两直线平行，内错角相等可得∠ACB=∠DFE，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，即可得出结论.
13．【答案】100°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN（SAS），
∴∠AMK＝∠BKN，
∵∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，
∴∠A＝∠MKN＝40°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为100°
【分析】先证明△AMK≌△BKN（SAS），再结合外角的性质可求得∠A＝∠MKN，在利用三角形内角和定理即可求得角P的度数。
14．【答案】140°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE即∠DCB=∠ACE，
在△BDC和△ACE中
∴△BDC≌△ACE（SAS）
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠EBC=50°，
∴∠CAE+∠CBE=50°，
在Rt△ABC中，∠ABE+∠BAE+∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°-50°=40°，
∴∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE）=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】利用已知可证得∠DCB=∠ACE，利用SAS证明△BDC≌△ACE，利用全等三角形的性质可得到∠DBC=∠CAE；利用∠EBC=50°，可得到∠CAE+∠CBE=50°，在Rt△ABC中，利用三角形的内角和定理求出∠ABE+∠BAE的值；然后根据∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE），代入计算可求解.
15．【答案】6
【知识点】平行线的性质；线段的中点；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ABCF，
∴∠ADE=∠CFE，
∵E为DF的中点，
∴DE=EF，
在△ADE和△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD=CF=7cm，
∵AB=13cm，
∴BD=13-7=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据平行线的性质可得∠ADE=∠CFE，由中点的概念可得DE=EF，利用ASA证明△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7cm，然后根据BD=AB-AD进行计算.
16．【答案】6
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BCA=90°，
∴AC=BC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∵ED⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°，
在△ACD与△AED中，
∵∠CAD=∠EAD，∠AED=∠C=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=DE，
∴BC=AE，
∵△BDE的周长为：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=6.
故答案为：6.
【分析】由等腰直角三角形得AC=BC，用AAS判断出△ACD≌△AED，得AC=AE，CD=DE，则BC=AE，然后根据三角形周长的计算方法、等量代换、线段的和差可得△BED的周长就是线段AB的长，从而得出答案.
17．【答案】①②
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AP，
在Rt△ASP和Rt△ARP中，
PR=PS，PA=PA，
所以Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以①AS=AR正确；
因为AQ=PQ，
所以∠QAP=∠QPA，
又因为Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以∠PAR=∠PAQ，
于是∠RAP=∠QPA，
所以②PQ∥AR正确；
③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等.
故答案为：①②.
【分析】①利用HL定理证出Rt△ASP≌Rt△ARP，得出AS=AR，∠PAR=∠PAQ，即可判断①正确；
②根据等腰三角形的性质得出∠QAP=∠QPA，从而得出∠RAP=∠QPA，根据平行线的判定定理得出PQ∥AR，即可判断②正确；
③根据现有条件无法确定△BRP≌△CSP，即可判断③错误.
18．【答案】0，6，6，8
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8-4=4，
∴点E的运动时间为4÷2=2 (秒) ；
②当E在BN上，AC=BE时，
∵AC=4，
∴BE=4，
∴АE=8+4=12，
∴点E的运动时间为12÷2=6 (秒) ；
③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，AE=8+8=16，
∴点E的运动时间为16÷2=8 (秒) ，
故答案为：2；6；0；8.
【分析】分类讨论：①当E在线段AB上，②当E在BN上，AC=BE时，③当E在线段AB上，AB=EB时，④当E在BN上，AB=EB时，再分别利用全等三角形的性质求解即可.
19．【答案】证明：∵AC＝BD，
∴AB＝CD，
在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（SSS），
∴∠D＝∠ABM，
∴BM∥DN．
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】先根据SSS证得△ABM≌△CDN，继而得∠D＝∠ABM，再根据同位角相等，两直线平行，即可得证.
20．【答案】（1）证明：∵为中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）通过说明两个三角形有两对角和它们的夹边对应相等，来证明两个三角形全等；
（2）利用全等三角形的对应边相等，得到一对线段相等，再利用线段的差求出未知线段的长.
21．【答案】（1）证明：在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS）；
（2）解：∵△ABO≌△CDO，
∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，
∴∠AOB-∠COB＝∠COD-∠COB，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵OA∥CD，
∴∠C＝∠AOC＝30°，
∴∠A＝30°．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据三条边都对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据全等三角形的对应角相等推得∠AOC＝∠BOD＝30°，根据两直线平行，内错角相等得出∠C=∠AOC=30°，则可得出答案.
22．【答案】证明：∵平分，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
∴DF//BC．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算及等量代换可得，即可证明DF//BC。
23．【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，
≌
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∴AB＝DC，BC＝CE，
∵AB＝2CE，∴CD＝2BC，
∴BD＝CD+BC＝3BC
∵BD＝12
∴BC＝4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】
（1）结合已知条件用SAS证明即可。
（2）根据三角形全等可得出AB＝DC，BC＝CE，再结合AB＝2CE推导出CD＝2BC，BD＝3BC，从而推导出结果。
24．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：中的结论不成立．结论：
理由如下：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等得∠CAD=∠BCE，从而用AAS证明△ADC≌△CEB，得到CD=BE，AD=CE，再利用线段间的代换得出结论；
（2）利用同角的余角相等得∠CAD=∠BCE，从而用AAS证明△ADC≌△CEB，得到CD=BE，AD=CE，再利用线段间的代换得出结论.
25．【答案】（1）解：如图，连接，
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：如图，连接，
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
（3）解：不成立，关系式为：理由如下：
如图，连接，
≌，
，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接BF，先利用“HL”证出≌，再利用全等三角形的性质可得；
（2）连接BF，先利用“HL”证出≌，再利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换求出即可；
（3）连接BF，先利用“HL”证出≌，再利用全等三角形的性质可得，再结合AC=DE，利用线段的和差及等量代换求出即可.
26．【答案】（1）解：①∵∠BCA=90°， ∠BEC=∠CFA=α=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF；
② α+∠ACB=180°时，①中的结论仍然成立，
理由如下：∵∠BEC=∠CFA=α，α+∠ACB=180°，
∴α+∠BCE+∠ACF=180°，α+∠BCE+∠CBE=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF；
（2）解：EF=BE+AF，
证明：∵∠BEC=∠CFA=α，α=∠BCA，
∴α+∠EBC+∠BCE=180°，α+∠BCE+∠ACF=180°，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①根据AAS证出△BCE≌△CAF，即可得出BE=CF；
②根据AAS证出△BCE≌△CAF，即可得出BE=CF；
（2）根据AAS证出△BCE≌△CAF，得出AF=CE，BE=CF，再根据EF=CE+CF，即可得出EF=BE+AF．
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