第四章4.1.2 指数函数的性质与图象
A级 必备知识基础练
1.[探究点三]已知函数f(x)=4ax+1的图象恒过定点P,则点P的坐标是( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(-1,4) D.(1,4)
2.[探究点一·2023河南周口高一校考]若函数y=(m2-m-1)·mx是指数函数,则m=( )
A.-1或2 B.-1 C.2 D.
3.[探究点三·2023云南玉溪高一校考]如图所示,函数y=|2x-2|的图象是( )
4.[探究点二]若0.3x>0.3y>1,则( )
A.x>y>0 B.y>x>0
C.x
5.[探究点三]已知06.[探究点三]已知函数f(x)=ax-2(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
B级 关键能力提升练
7.(多选题)在下列四个图象中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=x的图象可能是( )
8.[2023浙江高一开学考试]已知函数f(x)=则不等式f(x)≤1的解集为 .
9.设函数f(x)=若函数y=f(x)-k存在两个零点,则实数k的取值范围是 .
C级 学科素养创新练
10.设a是实数,f(x)=a-(x∈R).
(1)试证明对于任意实数a,f(x)为增函数;
(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.
参考答案
4.1.2 指数函数的性质与图象
1.C 令x+1=0,则x=-1,此时f(-1)=4,所以函数的图象恒过(-1,4),即点P的坐标是(-1,4).故选C.
2.C 由题意可得解得m=2.故选C.
3.B ∵y=|2x-2|=
∴x=1时,y=0,故排除D;x≠1时,y>0,故排除A,C.故选B.
4.C 令f(t)=0.3t,∵0<0.3<1,∴f(t)为R上的减函数,由已知得f(x)>f(y)>1=f(0),∴x5.三 06.解(1)∵函数图象经过点,
∴a4-2=,∴a=.
(2)f(x)=(x≥0),由x≥0,得x-2≥-2,
∴0<=9.
∴函数y=f(x)(x≥0)的值域为(0,9].
7.ABD 由y=是指数函数,可得a,b同号且不相等,故函数y=ax2+bx图象的对称轴x=-<0.
当a>0时,y=ax2+bx图象开口向上,当<1时,a>b.
令x=-1,则a-b>0,符合题意,故A正确;
当>1时,b>a.
令x=-1,则a-b<0,符合题意,故B正确;
当a<0时,y=ax2+bx图象开口向下,且b<0.
令x=-1,若a-b>0,则a>b,∴>1,即指数函数y=单调递增,故D正确,C错误.故选ABD.
8.(-∞,0] 因为函数f(x)=则不等式f(x)≤1等价于
由得x≤0;
由得方程组无解.
所以不等式f(x)≤1的解集为(-∞,0].
9.(0,1] ∵函数y=f(x)-k存在两个零点,∴函数y=f(x)与y=k的图象有两个公共点.在同一个坐标系中作出它们的图象(如图),由图象可知,实数k的取值范围是(0,1].
10.(1)证明设x1,x2∈R,且x10,则Δy=f(x2)-f(x1)=.
定义指数函数y=2x,则y=2x在R上是增函数,且x10.
又由2x>0,得+1>0,+1>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,所以对于任意实数a,f(x)为增函数.
(2)解若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),
即a-=-,
整理得2a=,
解得a=1.所以当a=1时,f(x)为奇函数.第四章4.6 函数的应用(二)
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]某种动物繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只 C.500只 D.600只
2.[探究点四]今有一组数据如下表所示:
t 1.993 3.002 4.001 5.032 6.121
s 1.501 4.413 7.498 12.04 17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是( )
A.s=2t-3+1 B.s=log2t
C.s=t2- D.s=2t-2
3.[探究点一](多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
4.[探究点二·2023陕西汉中高一]声强级L(单位:dB)与声强I的函数关系式为L=10lg.若普通列车的声强级是95 dB,高速列车的声强级为45 dB,则普通列车的声强是高速列车声强的( )
A.106倍 B.105倍 C.104倍 D.103倍
5.[探究点三]如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形的面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大致为( )
6.[探究点三]某工厂一年中12月份的产量是1月份的a倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是 .
7.[探究点二]香农公式C=Wlog21+是被广泛公认的通信理论基础和研究依据,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递率C取决于信道宽带W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中称为信噪比.若不改变信道宽带W,而将信噪比从11提升至499,则最大信息传递率C会提升到原来的 倍(附:log23≈1.58,log25≈2.32).(结果保留一位小数)
8.[探究点一]某企业于2021年在其基地投入200万元研发资金,用于养殖业发展,并计划今后7年内,在此基础上每年投入的资金比上一年增长15%.
(1)写出第x年(2022年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)该企业从第几年开始(2022年为第一年),每年投入的资金数将超过400万元 (参考数据:lg 0.15≈-0.824,lg 1.5≈0.176,lg 0.115≈-0.939,lg 1.15≈0.061,lg 2≈0.301)
B级 关键能力提升练
9.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为T0,则经过一定时间t(单位:min)后的温度T(单位:℃)满足T-Ta=(T0-Ta),h称为半衰期,其中Ta是环境温度.若Ta=25 ℃,现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1 min,那么水温从75 ℃降至45 ℃,大约还需要(参考数据:lg 2≈0.30,lg 11≈1.04)( )
A.9 min B.10 min
C.11 min D.12 min
10.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
11.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0且a≠1).有以下叙述:
①第4个月时,剩留量会低于;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中正确的是 .(填序号)
12.已知某时段内某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=其中t为关税的税率,且t∈,x(单位:元)为市场价格,b,k为正实数,当t=时的市场供应量曲线如图所示.
(1)根据图象求k,b的值;
(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=,当P=Q时的市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.
13.某项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明,注意力指数p与听课时间t(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的连续不间断曲线.当t∈(0,12]时,曲线是函数y=10+46的图象的一部分,当t∈(12,18]时,曲线是一次函数图象的一部分,当t∈(18,40]时,曲线是函数y=loga(t-9)+86(a>0且a≠1)图象的一部分,当t=18时,y=84.根据专家研究,当注意力指数不小于83时,听课效果最佳.
(1)试求p=f(t)的函数关系式;
(2)一道数学难题,讲解需要25分钟,老师能否经过合理安排使得学生在听课效果最佳时完成 如果可以,上课多长时间开始讲解合适(取整数分钟) 如果不可以,说明理由.
14.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人,甲城市人口的年自然增长率为1.2%,乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题:
(1)分别求出两城市的人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;
(2)计算10年、20年、30年后两城市分别有多少人口总数(精确到0.1万人);
(3)对两城市人口增长情况作出分析.
参考数据:(1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)20≈1.269,(1+1.2%)30≈1.430.
C级 学科素养创新练
15.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中每升血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(a为常数),如图所示.
(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)之间的解析式.
(2)根据麻醉师的统计,当人体内每升血液中的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么从实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒
参考答案
4.6 函数的应用(二)
1.A 当x=1时,y=100,得a=100,
故当x=7时,y=100log28=300.
2.C 画出数据点如图所示.
由上图可知该函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项A;此函数的图象不是直线,排除选项D;此函数的图象不符合对数函数的图象,排除选项B;经验证,C项符合规律.
3.BC 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则×n≤,即,由nlg≤-lg20,即n(lg2-
lg3)≤-(1+lg2),得n≥≈7.4.故选BC.
4.B 设普通列车的声强为I1,高速列车的声强为I2,
则95=10lg=10(lgI1+12),解得-2.5=lgI1,所以I1=10-2.5,
45=10lg=10(lgI2+12),解得-7.5=lgI2,所以I2=10-7.5,
两式相除得=105,
则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选B.
5.C
6.-1 设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M,于是得M(1+x)11=aM,解得x=-1,
所以该工厂这一年中的月平均增长率是-1.
7.2.5 设提升前最大信息传递率为C1,提升后最大信息传递率为C2,则由题意可知,C1=Wlog2(1+11)=Wlog212,
C2=Wlog2(1+499)=Wlog2500,
所以≈2.5.
所以最大信息传递率C会提升到原来的2.5倍.
8.解(1)第一年投入的资金数为200(1+15%)万元,
第二年投入的资金数为200(1+15%)+200(1+15%)15%=200(1+15%)2万元.
第x年(2022年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式为y=200(1+15%)x,其定义域为{x∈N*|1≤x≤7}.
(2)由(1)得200(1+15%)x>400,∴1.15x>2,
即x>,
因为≈4.93,所以x≥5.
即该企业从第5年,就是从2026年开始,每年投入的资金数将超过400万元.
9.B 由题意,Ta=25℃,由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1min,可得75-25=(80-25),
所以.
又水温从75℃降至45℃,所以45-25=(75-25),即.
所以=t=,
所以t=lo=10,
所以水温从75℃降至45℃,大约还需要10min.
故选B.
10.A 两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,
令m2=-1.45,m1=-26.7,则lg(m2-m1)=(-1.45+26.7)=10.1,=1010.1.故选A.
11.①③ 由图象可得,当t=2时,y=,即a2=,
解得a=.故y=.
所以当t=4时,有害物质的剩留量为y=,所以①正确;
第一个月减少的有害物质量为1-;
第二个月减少的有害物质量为,显然两者不同,所以②错误;
③由已知,
所以,
即,所以t1+t2=t3,故③正确.
12.解(1)由题图可知t=时,图象过点(5,1),(7,2),
所以有
解得
(2)当P=Q时,得,
解得t==-.
令m=,∵x≥9,∴m∈,在t=-(17m2-m-2)中,其图象的对称轴为直线m=,且,且图象开口向下,所以当m=时,t取得最小值,此时x=9.
13.解(1)由题意得loga(18-9)+86=84,解得a=,又y=10+46=86,设一次函数为y=kt+b(t∈(12,18]),则有解得所以y=-t+90.
综上,p=f(t)=
(2)能.当t∈(0,12]时,令y=10+46≥83,解得t≥9.69,所以效果最佳的听课时间为t∈[9.69,12],当t∈(12,18]时,令y=-t+90≥83,解得t≤21,所以效果最佳的听课时间为t∈(12,18];当t∈(18,40]时,令lo(t-9)+86≥83,解得t≤36,所以效果最佳的听课时间为t∈(18,36].
因为取整数分钟,综上,效果最佳的听课时间为t∈[10,36],而36-10=26>25,所以老师能经过合理安排使得学生在听课效果最佳时完成,在上课10分钟开始讲解合适.
14.解(1)1年后甲城市人口总数为100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后甲城市人口总数为100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;
3年后甲城市人口总数为100×(1+1.2%)3;
……
x年后甲城市人口总数为y1=100×(1+1.2%)x.
x年后乙城市人口总数为y2=100+1.3x.
(2)10年、20年、30年后,甲、乙两城市人口总数(单位:万人)如表所示.
城市 10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113.0 126.0 139.0
(3)甲、乙两城市人口都逐年增长,而甲城市人口增长的速度快些,呈指数增长型,乙城市人口增长缓慢,呈线性增长.从中可以体会到,不同的函数增长模型,增长变化存在很大差异.
15.解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y是关于时间t的一个分段函数:
当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),设(0.1,1)为点A,又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.
当t≥0.1时,函数解析式为y=,
而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得1=,
所以有0.1-a=0,解得a=0.1.
故当t≥0.1时,y=.
综上,血液中麻醉剂的含量y与时间t之间的解析式为y=
(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要人体内每升血液中的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=.
当t>0.1时,由,得t-0.1≥1,
解得t≥1.1.
所以至少需要经过1.1小时,病人才能清醒.(共19张PPT)
第四章
4.4 幂函数
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点二]设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是( )
A.cC.bC
解析 因为y=x0.5在区间(0,+∞)上是增函数,且0.5>0.3,所以0.50.5>0.30.5,即a>b.c=log0.30.2>log0.30.3=1,而1=0.50>0.50.5,所以b1
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2.[探究点三·2023北京海淀人大附中]下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=x2 B.y=x C.y= D.y=
D
解析 函数y=x是定义在R上的奇函数,函数y= 是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,故B,C不符合;函数y=x2是R上的偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故A不符合;函数y= 是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,故D符合.故选D.
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3.[探究点三](多选题)下列说法错误的是( )
A.幂函数的图象不经过第四象限
B.y=x0的图象是一条直线
D.若函数y=x2的值域为{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}
BCD
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解析 对于A,幂函数的图象不经过第四象限,故A正确;对于B,因为当x=0时,x0无意义,即y=x0在x=0上无定义,故B错误;对于C,若函数y= 的定义域为{x|x>2},则它的值域为 ,故C错误;对于D,定义域不一定是{x|-2≤x≤2},如{x|0≤x≤2},故D错误.故选BCD.
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4.[探究点一]已知幂函数y=f(x)的图象过点 ,则f(x)= .
x-2
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5.[探究点一·2023河南洛阳高一]已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm在(0,+∞)上是减函数,则m= .
-2
解析 由幂函数的定义可知,m2+m-1=1,解得m=-2或m=1.
又f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则m<0,所以m=-2.
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6.[探究点一、二]若幂函数f(x)的图象过点(2,8),则满足不等式
f(a-3)+f(a-1)≤0的实数a的取值范围是 .
(-∞,2]
解析 由题意,不妨设f(x)=xα,
因为幂函数f(x)的图象过点(2,8),所以f(2)=2α=8,解得α=3,故f(x)=x3为定义在R上的奇函数,且f(x)为增函数.
因为f(a-3)+f(a-1)≤0,所以f(a-3)≤-f(a-1)=f(1-a),故a-3≤1-a,解得a≤2,
从而实数a的取值范围是(-∞,2].
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7.[探究点一、二·2023湖南邵阳高一]若幂函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1在其定义域上是增函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2-a)1
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解 (1)因为f(x)=(2m2+m-2)x2m+1是幂函数,所以2m2+m-2=1,解得m=- 或m=1.
又f(x)在其定义域上是增函数,所以2m+1>0,即m>- ,所以m=1,则f(x)=x3.
(2)因为f(x)在其定义域上为增函数,所以由f(2-a)2或a<-3.
故a的取值范围是{a|a<-3或a>2}.
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B 级 关键能力提升练
A.f(x)的值域为(0,+∞)
B.f(x)的图象与直线y=2有两个交点
C.f(x)是单调函数
D.f(x)是偶函数
ACD
解析 函数f(x)的图象如图所示,由图可知f(x)的值域为[0,+∞),故A错误;C,D显然错误;f(x)的图象与直线y=2有两个交点,故B正确.
故选ACD.
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9.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列说法正确的有( )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
ACD
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10.已知 ,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,则α= .
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C 级 学科素养拔高练
12.已知幂函数 在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求m的值;
(2)当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设p:n∈A,q:n∈B,若p是q成立的必要条件,求实数k的取值范围.
解 (1)依题意得(m-1)2=1,解得m=0或m=2,当m=2时,f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,当m=0时,f(x)=x2,满足题意.故m=0.
(2)由(1)得f(x)=x2,当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4),当x∈[1,2)时,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k),若p是q成立的必要条件,则B A,
即k的取值范围是[0,1].
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12第四章4.3 指数函数与对数函数的关系
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]函数y=2x的反函数的图象经过点( )
A.(1,3) B.(0,1) C.(3,1) D.(1,0)
2.[探究点二]已知f(x)=x5-a且f(-1)=0,则f-1(1)的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
3.[探究点二]已知a>0且a≠1,f(x)=ax,g(x)=logax,若f(1)·g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
4.[探究点二]设a>0且a≠1,若函数y=ax的反函数的图象过点(2,-1),则a= .
5.[探究点一]已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,则f(3)= .
6.[探究点二]函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)=x2-2x+2(x≤0),则g(5)= .
B级 关键能力提升练
7.函数f(x)=log2(3x+1)的反函数的定义域为( )
A.(1,+∞) B.[0,+∞)
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
8.(多选题)[2023辽宁辽阳高一]已知函数f(x)在其定义域内单调递增,且f(1)=-1,若f(x)的反函数为g(x),则( )
A.g(-1)=1
B.g(x)在定义域内单调递增
C.g(1)=1
D.g(x)在定义域内单调递减
9.若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是 .
10.若函数f(x)=的图象关于直线y=x对称,则a的值是 .
11.已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),且f(x)=2x.
(1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求实数x的值;
(2)若关于x的方程f(x)+f(1-x)=m在区间[0,1]内有解,求实数m的取值范围.
C级 学科素养创新练
12.已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.
(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的反函数;
(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.
参考答案
4.3 指数函数与对数函数的关系
1.D 函数y=2x的反函数为y=log2x,经过点(1,0).故选D.
2.A 因为f(x)=x5-a,且f(-1)=0,所以-1-a=0,故a=-1,所以f(x)=x5+1.令x5+1=1,所以x=0,所以f-1(1)=0.
3.C 由f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即loga2<0,∴0∴f(x)是减函数,且g(x)是减函数.故选C.
4. ∵函数y=ax的反函数的图象过点(2,-1),
∴(-1,2)在函数y=ax的图象上,∴2=a-1,即a=.
5.log23 ∵函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,
∴函数f(x)与函数g(x)=2x互为反函数,
∴f(x)=log2x,∴f(3)=log23.
6.-1 因为y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,所以y=f(x)与y=g(x)互为反函数.
令x2-2x+2=5(x≤0),解得x=-1或x=3(舍去),即g(5)=-1.
7.C ∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,
∴函数f(x)=log2(3x+1)的值域为(0,+∞),
∴函数f(x)=log2(3x+1)的反函数的定义域为(0,+∞).
故选C.
8.AB 由反函数的性质可知,g(-1)=1,且g(x)在定义域内单调递增.
故选AB.
9.(-∞,0) 因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以y=f(x)=log5x为增函数.
又y=x2-2x=(x-1)2-1,在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
又y=x2-2x>0,所以x∈(-∞,0)∪(2,+∞).
综上,y=f(x2-2x)的单调递减区间为(-∞,0).
10.-1 ∵函数f(x)=的图象关于直线y=x对称,
∴1,与,1都在函数f(x)的图象上.
由=1,得a=-1或a=2,
若a=2,则f(x)=,y=的反函数为x=,得y=≠f(x),与题意不合,舍去;
若a=-1,则f(x)=-,y=-的反函数为x=-,得y=-=f(x),满足题意.
综上,a=-1.
11.解(1)因为函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),且f(x)=2x,所以f-1(x)=log2x,
所以f-1(x)-f-1(1-x)=log2x-log2(1-x)=log2=1,则解得x=.
(2)因为关于x的方程f(x)+f(1-x)=m在区间[0,1]内有解,所以2x+21-x=m在区间[0,1]内有解,
令g(x)=2x+21-x=2x+,
令t=2x∈[1,2],且t=2x是单调递增的,
又y=t+在区间[1,]上单调递减,在区间[,2]上单调递增,所以g(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,g(x)min=2,当x=1或0时,g(x)max=3,所以实数m的取值范围是[2,3].
12.解(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.
因为f(x)+f(-x)==0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.
(2)令y=,对调x,y,得x=,
所以2y=(-1所以f-1(x)=log2(-1(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,
所以所以
所以当0当k≥2时,原不等式的解集为{x|-14.2.1 对数运算
A级 必备知识基础练
1.[探究点三]方程的解是( )
A. B. C. D.9
2.[探究点三]若loga=c(a>0且a≠1,b>0),则有 ( )
A.b=a7c B.b7=ac C.b=7ac D.b=c7a
3.[探究点三]有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是( )
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
4.[探究点一·2023四川广安高一校考]方程log2(5-x)=2,则x= .
5.[探究点一·2023上海浦东新区高一校考]已知a=log23,则4a= .
6.[探究点二]计算:log525+lg+ln= .
7.[探究点三]求下列各式的值:
(1)lo(2+)-1;
(2)log27;
(3)lg 1+lg 10+10lg 5;
(4)ln e+1+eln 3.
B级 关键能力提升练
8.若loga3=m,loga5=n,a>0且a=1,则a2m+n的值是 ( )
A.15 B.75 C.45 D.225
9.[2023上海高一专题练习]已知log3(log2x)=0,那么x=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.若log(1+k)(1-k)有意义,则实数k的取值范围是 .
11.方程9x-3x+2+8=0的实数解为 .
12.= .
13.已知log2a=log5b=,求lg(ab的值.
C级 学科素养创新练
14.设a,b,c为正数,且满足a2+b2=c2,log41+=1,log8(a+b-c)=,求a,b,c的值.
参考答案
4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
1.A ∵=2-2,∴log3x=-2,∴x=3-2=.
2.A ∵loga=c,∴ac=.∴(ac)7=()7.
∴a7c=b.
3.A 由对数定义可知,lg(lg10)=lg1=0,①正确;ln(lne)=ln1=0,②正确;10=lgx x=1010,③错误;e=lnx x=ee,④错误.故选A.
4.1 由题得,5-x=22=4,∴x=1.
5.9 由a=log23,得2a=3,所以4a=22a==32=9.
6. 原式=2-2+.
7.解(1)设lo(2+)-1=x,则(2-)x=(2+)-1=2-,所以x=1,即lo(2+)-1=1.
(2)设log27=x,则27x=,即33x=3-2,所以3x=-2,解得x=-,即log27=-.
(3)lg1+lg10+10lg5=0+1+5=6.
(4)lne+1+eln3=1+1+3=5.
8.C ∵loga3=m,loga5=n,∴am=3,an=5,
∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45.
故选C.
9.B 因为log3(log2x)=0,所以log2x=1,则x=2.故选B.
10.(-1,0)∪(0,1) 若log(1+k)(1-k)有意义,则满足解得k∈(-1,0)∪(0,1).
11.0或log38 因为9x-3x+2+8=(3x)2-9×3x+8=0,令3x=t,则t2-9t+8=0,解得t=1或t=8,
所以3x=1或3x=8,解得x=0或x=log38.
所以方程9x-3x+2+8=0的实数解为0或log38.
12.1 =2×=1.
13.解因为log2a=log5b=,所以a=,b=,
所以ab=(2×5=1,(ab=102,
所以lg(ab=lg102=2.
14.解由log41+=1,可得1+=4,
即-3a+b+c=0. ①
由log8(a+b-c)=,可得a+b-c=4. ②
由①+②,得b-a=2. ③
由①得c=3a-b,代入a2+b2=c2,得a(4a-3b)=0.
因为a>0,所以4a-3b=0. ④
由③④得a=6,b=8,则c=10.(共19张PPT)
第四章
4.1.1 实数指数幂及其运算
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A 级 必备知识基础练
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4.[探究点二](多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是
( )
BC
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5.[探究点三]设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .
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6.[探究点三·2023上海高一专题练习]已知a,b为正数,化简
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B 级 关键能力提升练
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9.如果x=1+2b,y=1+2-b,那么用x表示y,则y=( )
D
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C 级 学科素养创新练
③“(甲⊥乙)二=甲二⊥二甲乙⊥乙二”表示“(x+y)2=x2+2xy+y2”.
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
11.《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则,如用
A
相除,底数不变,指数相减,所以①②正确;由“(甲⊥乙)三=甲三⊥三甲二乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3”可知⊥是加号,所以③是完全平方公式,所以③正确.故选A.
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14.[2023浙江温州高一校联考]对下列式子化简求值.
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14第四章4.2.3 对数函数的性质与图象
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]函数f(x)=的定义域为( )
A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]
C.(1,3)∪(3,+∞) D.(-∞,3)
2.[探究点二·2023安徽合肥阶段练习]若a=ln 0.4,b=0.23,c=log23,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.bC.b3.[探究点三]函数y=x+a与函数y=logax的图象可能是( )
4.[探究点三]函数y=loga(x+2)+1(a>0且a≠1)的图象过定点( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,1) D.(-1,1)
5.[探究点二·2023四川成都高一]若函数f(x)=ln(e2x-2ex-a)对x∈R恒有意义,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.(1,+∞)
C.(-1,1) D.(-∞,-1)
6.[探究点三](多选题)函数f(x)=loga(x+2)(0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.[探究点一]若对数函数f(x)的图象经过点P(8,3),则f= .
8.[探究点二]函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 .
9.[探究点一、二]已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
B级 关键能力提升练
10.(多选题)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4,2),则下列说法正确的有( )
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若011.(多选题)已知函数f(x)=|ln x|,0A.>b
B.a-2b>2
C.+b>3
D.(a+1)2+(b+1)2>8
12.已知a=log3,b=e0.1,c=ln ,则a,b,c的大小关系是( )
A.aC.c13.函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数f(lox)的定义域为 .
14.设a=log3π,b=log2,c=log3,则a,b,c的大小关系是 .
15.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是 .
16.作出函数y=|log2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.
17.已知函数f(x)=的定义域为A,函数g(x)=(-1≤x≤0)的值域为B.
(1)求A∩B;
(2)若C={y|y≤a-1},且B C,求a的取值范围.
C级 学科素养创新练
18.已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1).
(1)求函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域;
(2)试讨论关于x的不等式f(x)≥g(x)的解集.
参考答案
4.2.3 对数函数的性质与图象
1.B 由题意知∴12.D a=ln0.4b=0.23=0.008,
c=log23>log22=1,故a故选D.
3.C 因为a为对数函数y=logax的底数,所以a>0且a≠1.同时a为直线y=x+a在y轴上的截距,故排除A,D.当a>1时,y=logax为增函数,y=x+a在y轴上的截距大于1,故排除B.故选C.
4.D 令x+2=1,得x=-1,此时y=1.
5.D 由题意得,e2x-2ex-a>0对x∈R恒成立,
即a令y=ex(ex-2),当且仅当ex=1,即x=0时,有最小值-1,
故a<-1,即实数a的取值范围为(-∞,-1).故选D.
6.BCD 因为0函数f(x)=loga(x+2)的图象是把y=logax的图象向左平移2个单位长度,所以图象过第二、三、四象限.
7.-1 设f(x)=logax(a>0且a≠1),则loga8=3,
∴a3=8,∴a=2.
∴f(x)=log2x,故f=log2=-1.
8.(0,+∞) ∵3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,
∴f(x)的值域为(0,+∞).
9.解(1)设f(x)=logax(a>0且a≠1).
由题意,f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox.
10.ACD 由题意知2=loga4,解得a=2,故f(x)=log2x.
对A,函数为增函数正确;
对B,f(x)=log2x不为偶函数;
对C,当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立;
对D,∵=log2,f=log2,∵0∴11.CD 对于A,由题意得a<1对于B,a-2b=a-,而0对于C,+b=3b>3,故C正确;
对于D,(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2>2ab+4+2=8,故D正确.
故选CD.
12.B a=log3e0=1,c=,故b>c>a.故选B.
13.,2 由题得-1≤lox≤1,所以lo2≤lox≤lo,所以≤x≤2,所以函数f(lox)的定义域为,2.
14.a>b>c 由题意,a=log3π>log33=1,=log3>log3=c,=log2∴c<b>c.
15.(0,1] 函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则016.解先作出函数y=log2x的图象,如图1.再将y=log2x在x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的图象不变),得函数y=|log2x|的图象,如图2;然后将y=|log2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log2x|+2的图象,如图3.
由图3得函数y=|log2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1],值域是[2,+∞).
17.解(1)由题意知,解得x≥2.
∴A={x|x≥2}.易知B={y|1≤y≤2},∴A∩B={2}.
(2)由(1)知B={y|1≤y≤2},若要使B C,则有a-1≥2.所以a≥3.即a的取值范围为[3,+∞).
18.解(1)由题意可得解得-1故函数F(x)的定义域为(-1,1).
(2)当a>1时,函数y=logax是增函数.
因为f(x)≥g(x),所以解得0≤x<1.
当0因为f(x)≥g(x),所以解得-1综上,当a>1时,原不等式的解集为[0,1);
当0第四章
4.2.3 对数函数的性质与图象
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A 级 必备知识基础练
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A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]
C.(1,3)∪(3,+∞) D.(-∞,3)
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2.[探究点二·2023安徽合肥阶段练习]若a=ln 0.4,b=0.23,c=log23,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.bC.bD
解析 a=ln 0.4b=0.23=0.008,
c=log23>log22=1,故a故选D.
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3.[探究点三]函数y=x+a与函数y=logax的图象可能是( )
C
解析 因为a为对数函数y=logax的底数,所以a>0且a≠1.同时a为直线y=x+a在y轴上的截距,故排除A,D.当a>1时,y=logax为增函数,y=x+a在y轴上的截距大于1,故排除B.故选C.
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4.[探究点三]函数y=loga(x+2)+1(a>0且a≠1)的图象过定点( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,1) D.(-1,1)
D
解析 令x+2=1,得x=-1,此时y=1.
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5.[探究点二·2023四川成都高一]若函数f(x)=ln(e2x-2ex-a)对x∈R恒有意义,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.(1,+∞) C.(-1,1) D.(-∞,-1)
D
解析 由题意得,e2x-2ex-a>0对x∈R恒成立,
即a令y=ex(ex-2),当且仅当ex=1,即x=0时,有最小值-1,
故a<-1,即实数a的取值范围为(-∞,-1).故选D.
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6.[探究点三](多选题)函数f(x)=loga(x+2)(0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
BCD
解析 因为0函数f(x)=loga(x+2)的图象是把y=logax的图象向左平移2个单位长度,所以图象过第二、三、四象限.
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7.[探究点一]若对数函数f(x)的图象经过点P(8,3),则 = .
-1
解析 设f(x)=logax(a>0且a≠1),则loga8=3,
∴a3=8,∴a=2.
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8.[探究点二]函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 .
(0,+∞)
解析 ∵3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,
∴f(x)的值域为(0,+∞).
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9.[探究点一、二]已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
解 (1)设f(x)=logax(a>0且a≠1).
由题意,f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以
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10.(多选题)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4,2),则下列说法正确的有( )
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
ACD
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解析 由题意知2=loga4,解得a=2,故f(x)=log2x.
对A,函数为增函数正确;
对B,f(x)=log2x不为偶函数;
对C,当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立;
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B 级 关键能力提升练
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11.(多选题)已知函数f(x)=|ln x|,0D.(a+1)2+(b+1)2>8
CD
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13.函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数 的定义域为 .
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14.设a=log3π,b=log2 ,c=log3 ,则a,b,c的大小关系是 .
a>b>c
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15.已知函数 直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是 .
(0,1]
解析 函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则01
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16.作出函数y=|log2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.
解 先作出函数y=log2x的图象,如图1.再将y=log2x在x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的图象不变),得函数y=|log2x|的图象,如图2;然后将y=|log2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log2x|+2的图象,如图3.
由图3得函数y=|log2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1],值域是[2,+∞).
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(1)求A∩B;
(2)若C={y|y≤a-1},且B C,求a的取值范围.
∴A={x|x≥2}.易知B={y|1≤y≤2},∴A∩B={2}.
(2)由(1)知B={y|1≤y≤2},若要使B C,则有a-1≥2.所以a≥3.即a的取值范围为[3,+∞).
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C 级 学科素养拔高练
18.已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1).
(1)求函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域;
(2)试讨论关于x的不等式f(x)≥g(x)的解集.
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18第四章4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
A级 必备知识基础练
1.[探究点三]式子(m>0)的计算结果为( )
A.1 B. C. D.m
2.[探究点一]若,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.R
3.[探究点二](多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.-=(-x
B.(y<0)
C.(x>0)
D.(x>0)
4.[探究点二](多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( )
A.(-1和(-1 B.
C. D.和
5.[探究点三]设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .
6.[探究点三·2023上海高一专题练习]已知a,b为正数,化简·-1·= .
7.[探究点三](1)化简:(x,y>0);
(2)计算:-8×()0+.
B级 关键能力提升练
8.化简的结果为( )
A.- B.- C. D.
9.如果x=1+2b,y=1+2-b,那么用x表示y,则y= ( )
A. B. C. D.
10.(1)计算:+(0.002-10×(-2)-1+()0;
(2)设a>0,化简:.
C级 学科素养创新练
11.《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则,如用“”来表示“=x”,用“(甲⊥乙)三=甲三⊥三甲二乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3”.那么下列表述正确的序号是( )
①“”表示“=x6”;
②“”表示“=x3”;
③“(甲⊥乙)二=甲二⊥二甲乙⊥乙二”表示“(x+y)2=x2+2xy+y2”.
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
12.若=3(x>0),则x2-x-2= ,= .
13.(1)计算:(-0.12)0+-(;
(2)化简:(a>0,b>0).
14.[2023浙江温州高一校联考]对下列式子化简求值.
(1)求值:×()6-4×+2 0220;
(2)已知=2(a>0且a≠1),求的值.
参考答案
4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
1.D =m.故选D.
2.B 因为,
则,
可得|2a-1|=1-2a,所以1-2a≥0,即a≤.故选B.
3.CD 对于选项A,因为-=-(x≥0),而(-x(x≤0),所以A错误;
对于选项B,因为=-(y<0),所以B错误;
对于选项C,因为(x>0)成立,所以C正确;
对于选项D,当x>0时,=|-x,所以D正确.故选CD.
4.BC A不符合题意,(-1和(-1虽然符合分数指数幂的定义,但(-1=-1,(-1=1,值不相等;B符合题意,;C符合题意,;D不符合题意,和均符合分数指数幂的定义,但,=23=8,值不相等.
5. ∵α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,
∴α+β=-2,αβ=.
∴2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=.
6. 原式=.
7.解(1)原式==3×=-10y.
(2)原式=(100-1-(-1)-8+(23=10+1-8+=10+1-8=3.
8.A 由题意,可知a≥0,∴=(-a=-=-=-=-.故选A.
9.D 由x=1+2b,得2b=x-1,
所以y=1+2-b=1+=1+.
故选D.
10.解(1)原式=(-1+1=+(500-10×(+2)+1=+10-10-20+1=-.
(2)原式=.
11.A 由题知,“”来表示“=x”,相当于同底数幂相除,底数不变,指数相减,所以①②正确;由“(甲⊥乙)三=甲三⊥三甲二乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3”可知⊥是加号,所以③是完全平方公式,所以③正确.故选A.
12.±21 ±8 因为=3,所以()2=9,整理得x+x-1=7,令t=,则t2=()2=x+x-1-2=5,所以=±,所以x2-x-2=(x+x-1)·(x-x-1)=(x+x-1)·()·()=7×3×(±)=±21.
=()·(x+x-1+1)=±8.
13.解(1)(-0.12)0+-(=1+-1=1+-3+-1=-2;
(2)原式==a-1=.
14.解(1)原式=×23×32-4×+1=36-9+1=28.
(2)∵=2,∴()2=ax+a-x-2=4,
∴ax+a-x=6.
同理,a2x+a-2x=-2=34,
∴.(共17张PPT)
第四章
4.3 指数函数与对数函数的关系
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]函数y=2x的反函数的图象经过点( )
A.(1,3) B.(0,1) C.(3,1) D.(1,0)
D
解析 函数y=2x的反函数为y=log2x,经过点(1,0).故选D.
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2.[探究点二]已知f(x)=x5-a且f(-1)=0,则f-1(1)的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
A
解析 因为f(x)=x5-a,且f(-1)=0,所以-1-a=0,故a=-1,所以f(x)=x5+1.令x5+1=1,所以x=0,所以f-1(1)=0.
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3.[探究点二]已知a>0且a≠1,f(x)=ax,g(x)=logax,若f(1)·g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
C
解析 由f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即loga2<0,∴0∴f(x)是减函数,且g(x)是减函数.故选C.
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4.[探究点二]设a>0且a≠1,若函数y=ax的反函数的图象过点(2,-1),则a= .
解析 ∵函数y=ax的反函数的图象过点(2,-1),
∴(-1,2)在函数y=ax的图象上,∴2=a-1,即a= .
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5.[探究点一]已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,则f(3)= .
log23
解析 ∵函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,
∴函数f(x)与函数g(x)=2x互为反函数,
∴f(x)=log2x,∴f(3)=log23.
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6.[探究点二]函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,
f(x)=x2-2x+2(x≤0),则g(5)= .
-1
解析 因为y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,所以y=f(x)与y=g(x)互为反函数.
令x2-2x+2=5(x≤0),解得x=-1或x=3(舍去),即g(5)=-1.
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B 级 关键能力提升练
7.函数f(x)=log2(3x+1)的反函数的定义域为( )
A.(1,+∞) B.[0,+∞)
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
C
解析 ∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,
∴函数f(x)=log2(3x+1)的值域为(0,+∞),
∴函数f(x)=log2(3x+1)的反函数的定义域为(0,+∞).
故选C.
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8.(多选题)[2023辽宁辽阳高一]已知函数f(x)在其定义域内单调递增,且f(1)=-1,若f(x)的反函数为g(x),则( )
A.g(-1)=1
B.g(x)在定义域内单调递增
C.g(1)=1
D.g(x)在定义域内单调递减
AB
解析 由反函数的性质可知,g(-1)=1,且g(x)在定义域内单调递增.
故选AB.
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9.若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是 .
(-∞,0)
解析 因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以y=f(x)=log5x为增函数.
又y=x2-2x=(x-1)2-1,在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
又y=x2-2x>0,所以x∈(-∞,0)∪(2,+∞).
综上,y=f(x2-2x)的单调递减区间为(-∞,0).
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10.若函数 的图象关于直线y=x对称,则a的值是 .
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11.已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),且f(x)=2x.
(1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求实数x的值;
(2)若关于x的方程f(x)+f(1-x)=m在区间[0,1]内有解,求实数m的取值范围.
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C 级 学科素养拔高练
12.已知 (a∈R),f(0)=0.
(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的反函数;
(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式
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第四章
4.6 函数的应用(二)
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点二]某种动物繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只 C.500只 D.600只
A
解析 当x=1时,y=100,得a=100,
故当x=7时,y=100log28=300.
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2.[探究点四]今有一组数据如下表所示:
t 1.993 3.002 4.001 5.032 6.121
s 1.501 4.413 7.498 12.04 17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是( )
C
解析 画出数据点如图所示.
由上图可知该函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项A;此函数的图象不是直线,排除选项D;此函数的图象不符合对数函数的图象,排除选项B;经验证,C项符合规律.
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3.[探究点一](多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少 ,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,
lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
BC
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4.[探究点二·2023陕西汉中高一]声强级L(单位:dB)与声强I的函数关系式为 .若普通列车的声强级是95 dB,高速列车的声强级为45 dB,则普通列车的声强是高速列车声强的( )
A.106倍 B.105倍 C.104倍 D.103倍
B
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5.[探究点三]如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形的面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大致为( )
C
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6.[探究点三]某工厂一年中12月份的产量是1月份的a倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是 .
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解析 设提升前最大信息传递率为C1,提升后最大信息传递率为C2,则由题意可知,C1=Wlog2(1+11)=Wlog212,
C2=Wlog2(1+499)=Wlog2500,
所以最大信息传递率C会提升到原来的2.5倍.
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8.[探究点一]某企业于2021年在其基地投入200万元研发资金,用于养殖业发展,并计划今后7年内,在此基础上每年投入的资金比上一年增长15%.
(1)写出第x年(2022年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)该企业从第几年开始(2022年为第一年),每年投入的资金数将超过400万元 (参考数据:lg 0.15≈-0.824,lg 1.5≈0.176,lg 0.115≈-0.939,lg 1.15≈0.061,
lg 2≈ 0.301)
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解 (1)第一年投入的资金数为200(1+15%)万元,
第二年投入的资金数为200(1+15%)+200(1+15%)15%=200(1+15%)2万元.
第x年(2022年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式为y=200(1+15%)x,其定义域为{x∈N*|1≤x≤7}.
(2)由(1)得200(1+15%)x>400,∴1.15x>2,
即该企业从第5年,就是从2026年开始,每年投入的资金数将超过400万元.
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B 级 关键能力提升练
9.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为T0,则经过一定时间t(单位:min)后的温度T(单位:℃)满足
h称为半衰期,其中Ta是环境温度.若Ta=25 ℃,现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1 min,那么水温从75 ℃降至45 ℃,大约还需要(参考数据:lg 2≈0.30,lg 11≈1.04)( )
A.9 min B.10 min
C.11 min D.12 min
B
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10.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为
( )
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
A
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11.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0且a≠1).有以下叙述:
①第4个月时,剩留量会低于 ;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为 所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中正确的是 .(填序号)
①③
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(1)根据图象求k,b的值;
(2)若市场需求量为Q,它近似满足 ,当P=Q时的市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.
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13.某项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明,注意力指数p与听课时间t(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的连续不间断曲线.当t∈(0,12]时,曲线是函数 的图象的一部分,当t∈(12,18]时,曲线是一次函数图象的一部分,当t∈(18,40]时,曲线是函数y=loga(t-9)+86 (a>0且a≠1)图象的一部分,当t=18时,y=84.根据专家研究,当注意力指数不小于83时,听课效果最佳.
(1)试求p=f(t)的函数关系式;
(2)一道数学难题,讲解需要25分钟,老师能否经过合理安排使得学生在听课效果最佳时完成 如果可以,上课多长时间开始讲解合适(取整数分钟) 如果不可以,说明理由.
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因为取整数分钟,综上,效果最佳的听课时间为t∈[10,36],而36-10=26>25,所以老师能经过合理安排使得学生在听课效果最佳时完成,在上课10分钟开始讲解合适.
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14.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人,甲城市人口的年自然增长率为1.2%,乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题:
(1)分别求出两城市的人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;
(2)计算10年、20年、30年后两城市分别有多少人口总数(精确到0.1万人);
(3)对两城市人口增长情况作出分析.
参考数据:(1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)20≈1.269,(1+1.2%)30≈1.430.
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解 (1)1年后甲城市人口总数为100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后甲城市人口总数为100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;
3年后甲城市人口总数为100×(1+1.2%)3;
……
x年后甲城市人口总数为y1=100×(1+1.2%)x.
x年后乙城市人口总数为y2=100+1.3x.
(2)10年、20年、30年后,甲、乙两城市人口总数(单位:万人)如表所示.
城市 10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113.0 126.0 139.0
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(3)甲、乙两城市人口都逐年增长,而甲城市人口增长的速度快些,呈指数增长型,乙城市人口增长缓慢,呈线性增长.从中可以体会到,不同的函数增长模型,增长变化存在很大差异.
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C 级 学科素养拔高练
15.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中每升血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为 (a为常数),如图所示.
(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)
与时间t(单位:小时)之间的解析式.
(2)根据麻醉师的统计,当人体内每升血液中的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么从实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒
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解 (1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y是关于时间t的一个分段函数:
当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),设(0.1,1)为点A,又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.
所以有0.1-a=0,解得a=0.1.
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15(共25张PPT)
第四章
4.5 增长速度的比较
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]若函数f(x)= 从1到a的平均变化率为 ,则实数a的值为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
B
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2.[探究点二](多选题)某公司的盈利y(单位:元)和时间x(单位:天)的函数关系是y=f(x),假设 >0(x1>x0≥0)恒成立,且 =10,
=1,则下列关于第10~20天与第0~10天相比较的说法,其中错误的是( )
A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加,增加的幅度变大
C.公司在亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利在增加,增加的幅度变小
ABC
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解析 平均变化率为正说明盈利是增加的,平均变化率变小说明增加的幅度变小了,但还是增加的,故D正确.故选ABC.
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3.[探究点二]某婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示,则该婴儿体重在第 年内增长较快.
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解析 设婴儿在前12个月的体重变化为ΔW1,在第12~24个月体重变化为ΔW2.
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4.[探究点三]函数f(x)=x2与g(x)=ln x在区间(1,+∞)上增长较快的是 .
f(x)=x2
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5.[探究点二]求y=3x+1在区间[a,a+1]与区间[a+1,a+2]上的平均变化率,并比较它们的大小.
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6.[探究点一、二]已知函数f(x)=-x2-3x.
(1)求f(x)在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率;
(2)记A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),判断直线AB与直线BC斜率的相对大小.
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B 级 关键能力提升练
7.[2023江西南昌高一]集合{x|2x=x100,x∈R}的真子集的个数为( )
A.2 B.4 C.6 D.7
D
解析 分析指数函数y=2x与幂函数y=x100图象的增长趋势,当x<0时,显然有一个交点.
若x=1,21>1100;若x=2,22<2100.
故当x∈(1,2)时,有一个交点.
分析数据发现,当x较小时,y=x100比y=2x增长得快;当x较大时,y=2x比y=x100增长得快,所以还有一个交点.
故y=2x与y=x100的图象有三个交点,即集合{x|2x=x100,x∈R}中有3个元素,所以真子集个数为23-1=7.
故选D.
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8.(多选题)甲、乙、丙、丁四人同时从同一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3, f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),则下列结论正确的是( )
A.当x>1时,甲走在最前面
B.当x>1时,乙走在最前面
C.当01时,丁走在最后面
D.丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面
CD
解析 路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型.对于A,当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=8,∴该结论不正确;对于B,∵指数型函数的增长速度大于幂函数的增长速度,∴当x>1时,甲总会超过乙的,∴该结论不正确;对于C,根据四种函数的变化特点,结合四个图象的变化情况可知,当01时,丁走在最后面,∴该结论正确;对于D,结合对数型和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,∴该结论正确.
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9.(多选题)如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象,假设其函数关系为指数函数,现给出下列说法,其中正确的说法有( )
A.野生水葫芦的面积每月增长率为1
B.野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2历时超过1.5个月
C.设野生水葫芦蔓延到10 m2,20 m2,30 m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t3<2t2
D.野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
ABC
解析 由题意得,所求函数为指数函数且过点(1,2),可得函数y=f(x)=2x.
对于A,设第n个月的野生水葫芦面积为f(n),则第n+1个月的野生水葫芦面积为f(n+1),
∴野生水葫芦的面积每月增长率 =1,故A正确;
对于B,设野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2历时x个月,
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对于C,野生水葫芦蔓延到10 m2,20 m2,30 m2所需的时间分别为t1,t1,t3,
∴t1+t3=log210+log230=log2300,2t2=2log220=log2400,∴t1+t3<2t2,故C正确;
对于D,野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为 =3,野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为 =6,故D错误.故选ABC.
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10.[2023陕西榆林高一]下列说法错误的有 .(填序号)
①幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快;
②对任意的x>0,都有xa>logax;
③对任意的x>0,都有ax>logax.
①②③
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解析 对于①,如函数 和y=2x+1,其图象如图,
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由图象知幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快,故①错误;
对于②,当 的图象如图,
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由图象知对任意的x>0,xa>logax不一定正确,故②错误;
由图象知对任意的x>0,ax>logax不一定正确,故③错误.
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11.求出函数f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,若Δx都为 ,则f(x)在哪一点附近的平均变化率最大
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C 级 学科素养拔高练
12.某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制订一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x ,其中哪个模型符合该校的要求
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解 作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(如图所示).观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在直线y=3和直线y=0.2x的下方,且y=log5x在x∈[5,60]时,恒在直线y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合该校的要求.(共17张PPT)
第四章
4.2.2 对数运算法则
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点二]若ln 2=a,ln 3=b,则log818=( )
B
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2.[探究点一](多选题)[2023江苏连云港高一]若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒成立的是( )
BCD
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3.[探究点一、二](多选题)如下四个关于对数的运算,其中正确的是( )
A.ln e2=2 B.lg 125=3-3lg 2
C.log34×log32=log38 D.log23×log34×log42=1
ABD
解析 由对数运算规律可知,ln e2=2,故A正确;
lg 125=lg 53=3lg 5=3-3lg 2,故B正确;
log34+log32=log38,故C错误;
故选ABD.
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4.[探究点一]计算:2log93+log315-log35= .
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6.[探究点一、二]计算:
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B 级 关键能力提升练
7.已知lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实数根,则
A.2 B.4 C.6 D.8
B
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8.已知log47=a,4b=6,则log4228=( )
D
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9.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则下列结论正确的是( )
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
AD
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10.[2023江西南昌校考]化简:(2log43+log83)·(log32+log92)= .
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11.[北师大版教材习题]已知a,b是方程2(ln x)2-3ln x+1=0的两个实数根,求下列各式的值:
(2)logab+logba.
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C 级 学科素养拔高练
4 011
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12第四章4.5 增长速度的比较
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]若函数f(x)=从1到a的平均变化率为,则实数a的值为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
2.[探究点二](多选题)某公司的盈利y(单位:元)和时间x(单位:天)的函数关系是y=f(x),假设>0(x1>x0≥0)恒成立,且=10,=1,则下列关于第10~20天与第0~10天相比较的说法,其中错误的是 ( )
A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加,增加的幅度变大
C.公司在亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利在增加,增加的幅度变小
3.[探究点二]某婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示,则该婴儿体重在第 年内增长较快.
4.[探究点三]函数f(x)=x2与g(x)=ln x在区间(1,+∞)上增长较快的是 .
5.[探究点二]求y=3x+1在区间[a,a+1]与区间[a+1,a+2]上的平均变化率,并比较它们的大小.
6.[探究点一、二]已知函数f(x)=-x2-3x.
(1)求f(x)在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率;
(2)记A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),判断直线AB与直线BC斜率的相对大小.
B级 关键能力提升练
7.[2023江西南昌高一]集合{x|2x=x100,x∈R}的真子集的个数为( )
A.2 B.4 C.6 D.7
8.(多选题)甲、乙、丙、丁四人同时从同一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),则下列结论正确的是 ( )
A.当x>1时,甲走在最前面
B.当x>1时,乙走在最前面
C.当01时,丁走在最后面
D.丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面
9.(多选题)如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象,假设其函数关系为指数函数,现给出下列说法,其中正确的说法有( )
A.野生水葫芦的面积每月增长率为1
B.野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2历时超过1.5个月
C.设野生水葫芦蔓延到10 m2,20 m2,30 m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t3<2t2
D.野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
10.[2023陕西榆林高一]下列说法错误的有 .(填序号)
①幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快;
②对任意的x>0,都有xa>logax;
③对任意的x>0,都有ax>logax.
11.求出函数f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,若Δx都为,则f(x)在哪一点附近的平均变化率最大
C级 学科素养创新练
12.某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制订一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x ,其中哪个模型符合该校的要求
参考答案
4.5 增长速度的比较
1.B f(x)=从1到a的平均变化率为,解得a=9.
2.ABC 平均变化率为正说明盈利是增加的,平均变化率变小说明增加的幅度变小了,但还是增加的,故D正确.故选ABC.
3.1 设婴儿在前12个月的体重变化为ΔW1,在第12~24个月体重变化为ΔW2.
∵=0.625,
=0.25,∴,
故第1年内婴儿体重的平均变化率大,婴儿体重增长较快.
4.f(x)=x2 在(1,+∞)上取(a,a+1),则=2a+1,
=ln1+.
因为a≥1,所以2a+1≥3,ln1+≤ln1+=ln2<1,所以,故在区间(1,+∞)上增长较快的为f(x)=x2.
5.解在区间[a,a+1]上,=2×3a.
在[a+1,a+2]上,=2×3a+1=6×3a.
因为=3>1,所以y=3x+1在区间[a+1,a+2]上的平均变化率大于在区间[a,a+1]上的平均变化率.
6.解(1)f(x)=-x2-3x在区间[1,2]上的平均变化率为=(-22-3×2)-(-12-3×1)=-10+4=-6.
f(x)在区间[2,3]上的平均变化率为=(-32-3×3)-(-22-3×2)=-18+10=-8.
(2)∵kAB==-6,kBC==-8,
∴kAB>kBC.
7.D 分析指数函数y=2x与幂函数y=x100图象的增长趋势,当x<0时,显然有一个交点.
若x=1,21>1100;若x=2,22<2100.
故当x∈(1,2)时,有一个交点.
分析数据发现,当x较小时,y=x100比y=2x增长得快;当x较大时,y=2x比y=x100增长得快,所以还有一个交点.
故y=2x与y=x100的图象有三个交点,即集合{x|2x=x100,x∈R}中有3个元素,所以真子集个数为23-1=7.
故选D.
8.CD 路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型.对于A,当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=8,∴该结论不正确;对于B,∵指数型函数的增长速度大于幂函数的增长速度,∴当x>1时,甲总会超过乙的,∴该结论不正确;对于C,根据四种函数的变化特点,结合四个图象的变化情况可知,当01时,丁走在最后面,∴该结论正确;对于D,结合对数型和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,∴该结论正确.
9.ABC 由题意得,所求函数为指数函数且过点(1,2),可得函数y=f(x)=2x.
对于A,设第n个月的野生水葫芦面积为f(n),则第n+1个月的野生水葫芦面积为f(n+1),∴野生水葫芦的面积每月增长率=1,故A正确;
对于B,设野生水葫芦从4m2蔓延到12m2历时x个月,=4,x1=2,=12,x2=log212,x=x2-x1=log212-log24=log23,解得x=log23>log22=1.5,故B正确;
对于C,野生水葫芦蔓延到10m2,20m2,30m2所需的时间分别为t1,t1,t3,∴t1+t3=log210+log230=log2300,2t2=2log220=log2400,∴t1+t3<2t2,故C正确;
对于D,野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为=3,野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为=6,故D错误.故选ABC.
10.①②③ 对于①,如函数y=和y=2x+1,其图象如图,
由图象知幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快,故①错误;
对于②,当a=时,y=,y=lox的图象如图,
由图象知对任意的x>0,xa>logax不一定正确,故②错误;
对于③,当a=时,y=x,y=lox的图象如图,
由图象知对任意的x>0,ax>logax不一定正确,故③错误.
11.解f(x)=x2在x=1附近的平均变化率k1==2+Δx,在x=2附近的平均变化率k2==4+Δx,在x=3附近的平均变化率k3==6+Δx.
若Δx=,则k1=2+,k2=4+,k3=6+.
∵k1∴f(x)在x=3附近的平均变化率最大.
12.解作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(如图所示).观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在直线y=3和直线y=0.2x的下方,且y=log5x在x∈[5,60]时,恒在直线y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合该校的要求.第四章4.2.2 对数运算法则
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]若ln 2=a,ln 3=b,则log818=( )
A. B. C. D.
2.[探究点一](多选题)[2023江苏连云港高一]若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒成立的是( )
A.lg x+lg y=lg(x+y) B.lg=lg x-lg y
C.loym=logxy D.lg
3.[探究点一、二](多选题)如下四个关于对数的运算,其中正确的是( )
A.ln e2=2 B.lg 125=3-3lg 2
C.log34×log32=log38 D.log23×log34×log42=1
4.[探究点一]计算:2log93+log315-log35= .
5.[探究点二]化简:-log25·log58= .
6.[探究点一、二]计算:
(1);
(2)log28+lg+ln+(lg 5)2+lg 2·lg 50.
B级 关键能力提升练
7.已知lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实数根,则lg(ab)·=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.已知log47=a,4b=6,则log4228=( )
A. B. C. D.
9.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则下列结论正确的是( )
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C. D.
10.[2023江西南昌校考]化简:(2log43+log83)·(log32+log92)= .
11.[北师大版教材习题]已知a,b是方程2(ln x)2-3ln x+1=0的两个实数根,求下列各式的值:
(1);
(2)logab+logba.
C级 学科素养创新练
12.考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的含量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·(N0表示碳14原有的含量),则经过5 730年后碳14的含量变为原来的 ;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的含量是原来的,据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5 730年之间.(参考数据:log23≈1.6,log25≈2.3)
参考答案
4.2.2 对数运算法则
1.B log818=.故选B.
2.BCD 因为x>0,y>0,n≠0,m∈R,
对于A,lgx+lgy=lg(xy),故A错误;
对于B,lg=lgx-lgy,故B正确;
对于C,loym=logxy,故C正确;
对于D,lg,故D正确.
故选BCD.
3.ABD 由对数运算规律可知,lne2=2,故A正确;
lg125=lg53=3lg5=3-3lg2,故B正确;
log34+log32=log38,故C错误;
log23×log34×log42==1,故D正确.
故选ABD.
4.2 2log93+log315-log35=2×+log3=1+1=2.
5.-1 原式=(2-3=2-3=-1.
6.解(1)原式==1.
(2)原式=3-3++2÷+(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)=+lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=.
7.B 由题得lga+lgb=2,即lg(ab)=2.
又lga·lgb=,所以lg(ab)·=2(lga-lgb)2=2[(lga+lgb)2-4lga·lgb]=2×22-4×=2×2=4.
故选B.
8.D 由4b=6,得log46=b.
因为log47=a,所以log4228=.
故选D.
9.AD 由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),
则a=log4k,b=log6k,c=log9k,
对于选项A,由ab+bc=2ac,可得=2,因为=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;
对于选项C,=2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,故,即C错误;
对于选项D,=2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,即D正确.
10.2 原式=2×log23+log23log32+log32=log23×log32=2.
11.解由题意得lna+lnb=,lna·lnb=.
(1)=3.
(2)logab+logba=.
12. 4 011 当t=5730时,N=N0·2-1=N0,所以经过5730年后,碳14的含量变为原来的.令N=N0,则,所以-=log2=log23-log25≈-0.7,所以t≈0.7×5730=4011,所以良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.第四章4.4 幂函数
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是( )
A.cC.b2.[探究点三·2023北京海淀人大附中]下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=x2 B.y=x C.y= D.y=
3.[探究点三](多选题)下列说法错误的是( )
A.幂函数的图象不经过第四象限
B.y=x0的图象是一条直线
C.若函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为
D.若函数y=x2的值域为{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}
4.[探究点一]已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(x)= .
5.[探究点一·2023河南洛阳高一]已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm在(0,+∞)上是减函数,则m= .
6.[探究点一、二]若幂函数f(x)的图象过点(2,8),则满足不等式f(a-3)+f(a-1)≤0的实数a的取值范围是 .
7.[探究点一、二·2023湖南邵阳高一]若幂函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1在其定义域上是增函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2-a)B级 关键能力提升练
8.(多选题)已知函数f(x)=则下列结论错误的是( )
A.f(x)的值域为(0,+∞)
B.f(x)的图象与直线y=2有两个交点
C.f(x)是单调函数
D.f(x)是偶函数
9.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列说法正确的有( )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若010.已知α∈,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,则α= .
11.已知幂函数y=(m∈N)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则满足(a+1<(3-2a的a的取值范围为 .
C级 学科素养创新练
12.已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求m的值;
(2)当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设p:n∈A,q:n∈B,若p是q成立的必要条件,求实数k的取值范围.
参考答案
4.4 幂函数
1.C 因为y=x0.5在区间(0,+∞)上是增函数,且0.5>0.3,所以0.50.5>0.30.5,即a>b.c=log0.30.2>log0.30.3=1,而1=0.50>0.50.5,所以b2.D 函数y=x是定义在R上的奇函数,函数y=是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,故B,C不符合;函数y=x2是R上的偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故A不符合;函数y=是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,故D符合.故选D.
3.BCD 对于A,幂函数的图象不经过第四象限,故A正确;对于B,因为当x=0时,x0无意义,即y=x0在x=0上无定义,故B错误;对于C,若函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为,故C错误;对于D,定义域不一定是{x|-2≤x≤2},如{x|0≤x≤2},故D错误.故选BCD.
4.x-2 设幂函数f(x)=xα,
由幂函数y=f(x)的图象过点得2α=,
即α=-2,所以f(x)=x-2.
5.-2 由幂函数的定义可知,m2+m-1=1,解得m=-2或m=1.
又f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则m<0,所以m=-2.
6.(-∞,2] 由题意,不妨设f(x)=xα,
因为幂函数f(x)的图象过点(2,8),所以f(2)=2α=8,解得α=3,故f(x)=x3为定义在R上的奇函数,且f(x)为增函数.
因为f(a-3)+f(a-1)≤0,所以f(a-3)≤-f(a-1)=f(1-a),故a-3≤1-a,解得a≤2,
从而实数a的取值范围是(-∞,2].
7.解(1)因为f(x)=(2m2+m-2)x2m+1是幂函数,所以2m2+m-2=1,解得m=-或m=1.
又f(x)在其定义域上是增函数,所以2m+1>0,即m>-,所以m=1,则f(x)=x3.
(2)因为f(x)在其定义域上为增函数,所以由f(2-a)2或a<-3.
故a的取值范围是{a|a<-3或a>2}.
8.ACD 函数f(x)的图象如图所示,由图可知f(x)的值域为[0,+∞),故A错误;C,D显然错误;f(x)的图象与直线y=2有两个交点,故B正确.
故选ACD.
9.ACD 将点(4,2)代入函数f(x)=xα,得2=4α,则α=.所以f(x)=,显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确.f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确.当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确.
当0分析易知10.-1
11.(-∞,-1)∪ 幂函数y=(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,故m2-2m-3<0,解得-1m∈N,故m=0,1,2.
当m=0时,y=x-3的图象不关于y轴对称,舍去;
当m=1时,y=x-4的图象关于y轴对称,满足;
当m=2时,y=x-3的图象不关于y轴对称,舍去.
故m=1,(a+1<(3-2a,函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a,解得a<-1或12.解(1)依题意得(m-1)2=1,解得m=0或m=2,当m=2时,f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,当m=0时,f(x)=x2,满足题意.故m=0.
(2)由(1)得f(x)=x2,当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4),当x∈[1,2)时,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k),若p是q成立的必要条件,则B A,
则解得0≤k≤1.
即k的取值范围是[0,1].(共17张PPT)
第四章
4.2.1 对数运算
1
2
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A 级 必备知识基础练
A
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2.[探究点三]若 =c(a>0且a≠1,b>0),则有( )
A.b=a7c B.b7=ac C.b=7ac D.b=c7a
A
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3.[探究点三]有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是( )
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
A
解析 由对数定义可知,lg(lg 10)=lg 1=0,①正确;ln(ln e)=ln 1=0,②正确; 10=lg x x=1010,③错误;e=ln x x=ee,④错误.故选A.
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4.[探究点一·2023四川广安高一校考]方程log2(5-x)=2,则x= .
1
解析 由题得,5-x=22=4,∴x=1.
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5.[探究点一·2023上海浦东新区高一校考]已知a=log23,则4a= .
9
解析 由a=log23,得2a=3,所以4a=22a= =32=9.
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7.[探究点三]求下列各式的值:
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(3)lg 1+lg 10+10lg 5;
(4)ln e+1+eln 3.
解 lg 1+lg 10+10lg 5=0+1+5=6.
解 ln e+1+eln 3=1+1+3=5.
1
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8.若loga3=m,loga5=n,a>0且a=1,则a2m+n的值是( )
A.15 B.75 C.45 D.225
C
解析 ∵loga3=m,loga5=n,∴am=3,an=5,
∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45.
故选C.
1
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9.[2023上海高一专题练习]已知log3(log2x)=0,那么x=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解析 因为log3(log2x)=0,所以log2x=1,则x=2.故选B.
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10.若log(1+k)(1-k)有意义,则实数k的取值范围是 .
(-1,0)∪(0,1)
1
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14
B 级 关键能力提升练
11.方程9x-3x+2+8=0的实数解为 .
0或log38
解析 因为9x-3x+2+8=(3x)2-9×3x+8=0,令3x=t,则t2-9t+8=0,解得t=1或t=8,
所以3x=1或3x=8,解得x=0或x=log38.
所以方程9x-3x+2+8=0的实数解为0或log38.
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C 级 学科素养拔高练
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14(共16张PPT)
第四章
4.1.2 指数函数的性质与图象
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点三]已知函数f(x)=4ax+1的图象恒过定点P,则点P的坐标是( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(-1,4) D.(1,4)
C
解析 令x+1=0,则x=-1,此时f(-1)=4,所以函数的图象恒过(-1,4),即点P的坐标是(-1,4).故选C.
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2.[探究点一·2023河南周口高一校考]若函数y=(m2-m-1)·mx是指数函数,则m=( )
A.-1或2 B.-1 C.2 D.
C
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3.[探究点三·2023云南玉溪高一校考]如图所示,函数y=|2x-2|的图象是
( )
B
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4.[探究点二]若0.3x>0.3y>1,则( )
A.x>y>0 B.y>x>0
C.xC
解析 令f(t)=0.3t,∵0<0.3<1,∴f(t)为R上的减函数,由已知得f(x)>f(y)>1=f(0),∴x1
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5.[探究点三]已知0 象限.
三
解析 01
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6.[探究点三]已知函数f(x)=ax-2(x≥0)的图象经过点 ,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
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6.[探究点三]已知函数f(x)=ax-2(x≥0)的图象经过点 ,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
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B 级 关键能力提升练
7.(多选题)在下列四个图象中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=( )x的图象可能是( )
ABD
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8.[2023浙江高一开学考试]已知函数 则不等式f(x)≤1的解集为 .
(-∞,0]
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9.设函数 若函数y=f(x)-k存在两个零点,则实数k的取值范围是 .
(0,1]
解析 ∵函数y=f(x)-k存在两个零点,∴函数y=f(x)与y=k的图象有两个公共点.在同一个坐标系中作出它们的图象(如图),由图象可知,实数k的取值范围是(0,1].
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C 级 学科素养拔高练
10.设a是实数,
(1)试证明对于任意实数a,f(x)为增函数;
(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.
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