第五章5.1 统计
5.1.1 数据的收集
A级 必备知识基础练
1.[探究点三·2023安徽宿州二中高二校考期末]某校共有学生3 000人,为了解学生的身高情况,用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为100的样本,其中高一抽取40人,高二抽取30人,则该校高三学生人数为 ( )
A.600 B.800 C.900 D.1 200
2.[探究点二]为了检验某厂生产的取暖器是否合格,先从500台取暖器中取50台进行检验,用随机数表抽取样本,将500台取暖器编号为001,002,…,500.下面提供了随机数表第7行至第9行的数据:
82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据,则抽出第4台的编号为( )
A.217 B.206 C.245 D.301
3.[探究点三]某学院对该院200名男女学员的学习状况进行调查,现采用按性别分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本,已知样本中男学员比女学员少6人,则该院女学员的人数为 .
4.[探究点一]从20架钢琴中抽取5架进行质量检查,请用抽签法确定这5架钢琴.
B级 关键能力提升练
5.(多选题)对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是( )
①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验;
②在一次诗词朗读比赛中,有10人的成绩在91~100分,40人的成绩在81~90分,10人的成绩低于80分,现在从中抽取12人的成绩了解有关情况;
③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道.
A.①②适宜采用分层随机抽样
B.②③适宜采用分层随机抽样
C.②适宜采用分层随机抽样
D.③适宜采用简单随机抽样
6.某校走读学生中有高一学生105人,高二学生126人,高三学生42人,现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查,设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种,且每人都做了一种选择,下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息,估计所有走读学生中“同意”的人数为 ,“不同意”的人数为 .
年级 同意 不同意 合计
高一 2
高二 4
高三 1
C级 学科素养创新练
7.某中学举行了为期3天的运动会,为了了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中进行问卷调查,如果要在所有问卷中抽出120份用于评估.
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论
(2)要从3 000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本,若采用简单随机抽样,则应如何操作
参考答案
5.1 统计
5.1.1 数据的收集
1.C 设该校高三人数为x.
由已知可得,抽样比为,从高三抽取的人数为100-40-30=30.
根据分层抽样可知,,所以x=900.故选C.
2.B 由题意,根据简单随机抽样的方法,利用随机数表从第7行第4列开始向右读取,符合要求的编号依次为217,157,245,206,301,所以第4台取暖器的编号为206,故选B.
3.120 设样本中女生人数为m,则有m+(m-6)=30,解得m=18.
设该院女学员的人数为x,由分层抽样的特性知,,解得x=120.
所以该院女学员的人数为120.
4.解第一步,将20架钢琴编号,号码是01,02,…,20.
第二步,将号码分别写在相同的纸条上,揉成团,制成号签.
第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀.
第四步,从袋子中逐个不放回地抽取5个号签,并记录上面的编号,与所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象.
5.CD ①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验,总体没有明显差异,不适宜采用分层随机抽样的方法;
②总体由差异明显且互不重叠的几部分组成,若要从中抽取12人的成绩了解有关情况,适合采用分层随机抽样的方法;
③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道,具有随机性,适合用简单随机抽样.故选CD.
6.126 147 一共105+126+42=273(人),抽样比,高一学生105×=5(人),高二学生126×=6(人),高三学生42×=2(人),
年级 同意 不同意 合计
高一 3 2 5
高二 2 4 6
高三 1 1 2
由表可知,同意的共有6人,
所以所有走读学生中同意的共有273×=126(人).
不同意的共有273-126=147(人).
7.解(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同,所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.
因为样本容量为120,总体容量为500+3000+4000=7500,则抽样比为,
所以500×=8,3000×=48,4000×=64,
所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数量分别是8,48,64.
分层抽样的步骤:
①分层:分为教职员工、初中生、高中生,共三层;
②根据抽样比确定每层抽取问卷的数目,在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8,48,64;
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本;
④综合每层抽样,组成样本.
这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论.
(2)如果用抽签法,要做3000个号签,费时费力,因此采用随机数表法抽取样本,步骤是:
①编号:将3000份答卷都编上号码:0001,0002,0003,…,3000;
②在随机数表上随机选取一个起始位置;
③规定读数方向:向右连续读取数字,以4个数为一组,若读取的4位数大于3000,则去掉,若遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满48个号码为止;
④找出抽取号码对应的问卷组成样本.(共13张PPT)
第五章
5.3.1 样本空间与事件
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组,小明要随机选报其中的2个,则该试验中样本点的个数为( )
A.3 B.5 C.6 D.9
C
解析 由题意,得样本点为(数学,计算机),(数学,航空模型),(数学,绘画),(计算机,航空模型),(计算机,绘画),(航空模型,绘画),共6个,故选C.
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2.[探究点三](多选题)下列说法不正确的是( )
A.一事件发生的概率为十万分之一,说明此事件不可能发生
B.一事件不是不可能事件,说明此事件是必然事件
C.对于任一事件A,0≤P(A)≤1
D.一事件发生的概率为99.999%,说明此事件必然发生
ABD
解析 A.一事件发生的概率为十万分之一,不能说明此事件不可能发生,只能说明此事件发生的可能性比较小;B.如果一事件不是不可能事件,说明此事件是必然事件或随机事件;D.一事件发生的概率为99.999%,不能说明此事件必然发生,因为它不是必然事件.故选ABD.
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3.[探究点三]质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数,掷两次骰子,得到向上一面的两个点数,则下列事件中,发生可能性最大的是( )
A.点数都是偶数 B.点数的和是奇数
C.点数的和小于13 D.点数的和小于2
C
解析 由已知,投掷两次骰子共有36种不同的结果,点数都是偶数包含的样本点有(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共9个,其概率为
点数的和是奇数包含的样本点有(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共18个,其概率为 ;点数的和小于13是必然事件,其概率为1;点数的和小于2是不可能事件,其概率为0.
故选C.
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4.[探究点二]下列事件:
①物体在重力作用下会自由下落;②方程x2-2x+3=0有两个不相等的实数根;③下周三会下雨;④某寻呼台每天某一时段内收到传呼的次数少于10次.
其中随机事件的个数为 .
2
解析 ①是必然事件,②是不可能事件,③④是随机事件.
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5.[探究点三]一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球,其中3个白球,2个黑球,从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.
解 (1)分别记白球为1,2,3,黑球为4,5,则这个试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.
(2)“2个球都是白球”这一事件就是子集{(1,2),(1,3),(2,3)}.
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B 级 关键能力提升练
6.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
C
解析 “点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0,A中有9个非零数,故选C.
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7.在10名学生中,男生有x名,现从10名学生中任选6人去参加某项活动:①至少有1名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x可能的值为 .
3或4
解析 依题意知,10名同学中,男生人数少于5人,但不少于3人,故x=3或4.
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8.用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色,每个小球只涂一种颜色.记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”,则事件A的样本点的个数为 .
6
解析 3种不同颜色分别用a,b,c表示,“甲、乙两个小球所涂颜色不同”包含的样本点有(a,b),(a,c),(b,c),(b,a),(c,a),(c,b),共6个.
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9.随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班,每人值班一天.
(1)这3人的值班顺序共有多少种 写出样本空间Ω.
(2)写出事件A:“甲在乙之前值班”的集合表示.
解 (1)这3人的值班顺序共有6种,样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)}.
(2)A={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(丙,甲,乙)}.
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C 级 学科素养拔高练
10.已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4}.试验:分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出事件“函数y=f(x)有零点”包含的样本点的个数;
(3)写出事件“函数y=f(x)在区间[1,+∞)内是增函数”所包含的样本点.
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解 (1)这个试验的样本空间为Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
(2)函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个样本点.
(3)由题意知a>0,函数y=f(x)图象的对称轴为直线x= ,在区间[1,+∞)上是增函数,所以有 ≤1,满足条件的样本点为(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4).(共14张PPT)
第五章
5.1.1 数据的收集
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点三·2023安徽宿州二中高二校考期末]某校共有学生3 000人,为了解学生的身高情况,用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为100的样本,其中高一抽取40人,高二抽取30人,则该校高三学生人数为( )
A.600 B.800 C.900 D.1 200
C
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2.[探究点二]为了检验某厂生产的取暖器是否合格,先从500台取暖器中取50台进行检验,用随机数表抽取样本,将500台取暖器编号为001,002,…,500.下面提供了随机数表第7行至第9行的数据:
82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据,则抽出第4台的编号为
( )
A.217 B.206 C.245 D.301
B
解析 由题意,根据简单随机抽样的方法,利用随机数表从第7行第4列开始向右读取,符合要求的编号依次为217,157,245,206,301,所以第4台取暖器的编号为206,故选B.
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3.[探究点三]某学院对该院200名男女学员的学习状况进行调查,现采用按性别分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本,已知样本中男学员比女学员少6人,则该院女学员的人数为 .
120
解析 设样本中女生人数为m,则有m+(m-6)=30,解得m=18.
设该院女学员的人数为x,由分层抽样的特性知, ,解得x=120.
所以该院女学员的人数为120.
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4.[探究点一]从20架钢琴中抽取5架进行质量检查,请用抽签法确定这5架钢琴.
解 第一步,将20架钢琴编号,号码是01,02,…,20.
第二步,将号码分别写在相同的纸条上,揉成团,制成号签.
第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀.
第四步,从袋子中逐个不放回地抽取5个号签,并记录上面的编号,与所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象.
1
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B 级 关键能力提升练
5.(多选题)对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是( )
①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验;
②在一次诗词朗读比赛中,有10人的成绩在91~100分,40人的成绩在81~90分,10人的成绩低于80分,现在从中抽取12人的成绩了解有关情况;
③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道.
A.①②适宜采用分层随机抽样
B.②③适宜采用分层随机抽样
C.②适宜采用分层随机抽样
D.③适宜采用简单随机抽样
CD
解析 ①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验,总体没有明显差异,不适宜采用分层随机抽样的方法;
②总体由差异明显且互不重叠的几部分组成,若要从中抽取12人的成绩了解有关情况,适合采用分层随机抽样的方法;
③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道,具有随机性,适合用简单随机抽样.故选CD.
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6.某校走读学生中有高一学生105人,高二学生126人,高三学生42人,现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查,设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种,且每人都做了一种选择,下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息,估计所有走读学生中“同意”的人数为 ,“不同意”的人数为 .
年级 同意 不同意 合计
高一 2
高二 4
高三 1
126
147
年级 同意 不同意 合计
高一 3 2 5
高二 2 4 6
高三 1 1 2
由表可知,同意的共有6人,
所以所有走读学生中同意的共有273× =126(人).
不同意的共有273-126=147(人).
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C 级 学科素养拔高练
7.某中学举行了为期3天的运动会,为了了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中进行问卷调查,如果要在所有问卷中抽出120份用于评估.
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论
(2)要从3 000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本,若采用简单随机抽样,则应如何操作
1
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解 (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同,所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.
因为样本容量为120,总体容量为500+3 000+4 000=7 500,则抽样比为
所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数量分别是8,48,64.
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分层抽样的步骤:
①分层:分为教职员工、初中生、高中生,共三层;
②根据抽样比确定每层抽取问卷的数目,在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8,48,64;
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本;
④综合每层抽样,组成样本.
这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论.
1
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(2)如果用抽签法,要做3 000个号签,费时费力,因此采用随机数表法抽取样本,步骤是:
①编号:将3 000份答卷都编上号码:0001,0002,0003,…,3000;
②在随机数表上随机选取一个起始位置;
③规定读数方向:向右连续读取数字,以4个数为一组,若读取的4位数大于3 000,则去掉,若遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满48个号码为止;
④找出抽取号码对应的问卷组成样本.第五章5.3.3 古典概型
A级 必备知识基础练
1.[探究点三]一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
2.[探究点一]下列试验中是古典概型的是( )
A.种下一粒花生,观察它是否发芽
B.向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合
C.从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率
D.在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率
3.[探究点二·2023广西钦州统考模拟预测]现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩,则蓝、白口罩同时被选中的概率为 .
4.[探究点二]连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是 ;“至少有2枚反面朝上”的概率是 .
5.[探究点三]口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲胜,否则算乙胜.
(1)求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率.
(2)这种游戏规则公平吗 试说明理由.
B级 关键能力提升练
6.(多选题)[2023湖北咸宁高二校考阶段练习]随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,则( )
A.可以排成9个不同的三位数
B.所得的三位数是奇数的概率为
C.所得的三位数是偶数的概率为
D.所得的三位数大于400的概率为
7.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是 ( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为
8.(多选题)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动,该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,则下列结论正确的是( )
A.应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人
B.第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C.第5组志愿者被抽中的概率为
D.第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为
9.在抛掷一颗骰子(一种正方体玩具,六个面分别标有1,2,3,4,5,6字样)的试验中,事件A表示“不大于3的奇数点出现”,事件B表示“小于4的点数出现”,则事件A+的概率为 .
10.[2023湖北宜昌高二校联考]一个盒子中装有四张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片,每张卡片被抽到的概率相等.
(1)若一次抽取三张卡片,求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率;
(2)若第一次抽一张卡片,放回后搅匀再抽取一张卡片,求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率.
C级 学科素养创新练
11.[北师大版教材习题改编]某次茶话会上,共安排4个节目,其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目,按任意次序排出一个节目单,试求下列事件的概率:
(1)舞蹈在最前或最后;
(2)舞蹈和小品1个在最前、1个在最后;
(3)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后;
(4)两个歌唱节目相邻;
(5)舞蹈排在小品之前.
参考答案
5.3.3 古典概型
1.B 设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A,则样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),…,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,其中事件A={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)},包含6个样本点,所以P(A)=.故选B.
2.C A选项中试验不具备等可能性;B,D选项中试验不具备有限性,故选C.
3.0.3 从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩,则样本点有(蓝,白,红),(蓝,白,黑),(蓝,白,绿),(蓝,红,黑),(蓝,红,绿),(蓝,黑,绿),(白,红,黑),(白,红,绿),(白,黑,绿),(红,黑,绿),共有10个.其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有(蓝,白,红),(蓝,白,黑),(蓝,白,绿),共3个,所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为0.3.
4. 样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1=,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率P2=.
5.解(1)设“甲胜且编号的和为6”为事件A.
甲编号为x,乙编号为y,(x,y)表示一个样本点,则两人摸球结果的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),…,(5,4),(5,5)},共25个样本点,A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5个样本点.
所以P(A)=.
所以甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为.
(2)这种游戏不公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.记D为“两个编号的和为偶数”.
D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)},共包含13个样本点.
所以甲胜的概率为P(B)=P(D)=,乙胜的概率为P(C)=1-.
因为P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.
6.BD 随机地排列数字1,5,6可以得到的三位数有156,165,516,561,615,651,共6个,故A不正确;
其中奇数有165,561,651,615,共4个,所以所得的三位数是奇数的概率为,故B正确;
其中偶数有156,516,共2个,所以所得的三位数是偶数的概率为,故C不正确;
其中大于400的有516,561,615,651,共4个,所以所得的三位数大于400的概率为,故D正确.
故选BD.
7.ABC 对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)},共3个样本点,记A:甲被选中,则A={(甲,乙),(甲,丙)},共2个样本点,故甲被选中的概率为P=,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共包含4个样本点,而能构成三角形的样本点为(3,5,7),所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,则蚂蚁能获得食物的概率为,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中元素的概率为,故D错误.
8.ABC 第3组抽取的人数为×6=3,
第4组抽取的人数为×6=2,
第5组抽取的人数为×6=1,故A正确;
设第3组的人分别为a,b,c,第4组的人分别为d,e,第5组的人为f,
则6人中随机抽取2人的样本点为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15个,
其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8个样本点,
则其概率为,故B正确;
第5组志愿者被抽中有5个样本点,
其概率为,故C正确;
第3组志愿者至少有一人被抽中有12个样本点,
其概率为,故D错误.
故选ABC.
9. 依题意,抛掷一颗骰子的试验,其样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},共包含6个样本点,它们等可能,其中事件A有2个样本点,事件有3个样本点.
于是有P(A)=,P()=,而事件A和是互斥的,则P(A+)=P(A)+P()=,
所以事件A+的概率为.
10.解(1)设A表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于8”,
∵从四张卡片中任取三张卡片的样本点是(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4个.
其中数字之和大于8的是(2,3,4),
∴P(A)=.
(2)设B表示事件“至少有一次抽到写有数字2的卡片”,
每次抽1张,有放回地连续抽取两张的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.
事件B包含的样本点有(1,2),(2,2),(2,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),共7个.
∴P(B)=.
11.解将2个歌唱节目分别记为1,2,将舞蹈、小品节目分别记为3,4,按任意次序排出一个节目单,依题意可知,其样本空间中包含的所有样本点:(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),共24个.
(1)设“舞蹈在最前或最后”为事件A,则满足A的样本点有12个,所以P(A)=.
(2)设“舞蹈和小品1个在最前、1个在最后”为事件B,则满足B的样本点有4个,所以P(B)=.
(3)设“舞蹈和小品至少有1个在最前或最后”为事件C,则满足C的样本点有20个,所以P(C)=.
(4)设“两个歌唱节目相邻”为事件D,则满足D的样本点有12个,所以P(D)=.
(5)设“舞蹈排在小品之前”为事件E,则满足E的样本点有12个,所以P(E)=.(共28张PPT)
第五章
5.3.5 随机事件的独立性
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023广东揭阳高一期末]若随机事件A,B满足
则事件A与B的关系是( )
A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.互斥且独立
B
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2.[探究点三]现有航天员甲、乙、丙三个人,进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务,工作时间不超过10分钟,如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务,10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人,每个人只派出一次.已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为
每个人能否完成任务相互独立,该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出,则试验任务成功的概率为( )
D
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解析 试验任务成功的事件M是甲成功的事件M1,甲不成功乙成功的事件M2,甲乙都不成功丙成功的事件M3的和,
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3.[探究点一](多选题)对于事件A,B,下列说法正确的是( )
BCD
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4.[探究点二]从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为 ,身体关节构造合格的概率为 .从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
B
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5.[探究点二]有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是 ,乙能解决的概率是 ,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率
为 .
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6.[探究点二]射击队某选手命中环数的概率如下表所示:
命中环数 10 9 8 7 <7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12 0.1
该选手射击两次,两次命中环数相互独立,则他至少命中一次9环或10环的概率为 .
0.84
解析 该选手射击一次,命中的环数低于9环的概率为1-0.32-0.28=0.4,该选手射击两次,两次命中的环数都低于9环的概率为0.4×0.4=0.16,所以他至少命中一次9环或10环的概率为1-0.16=0.84.
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7.[探究点二·北师大版教材习题]在某项1 500 m体能测试中,甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是 ,且甲、乙两人是否通过体能测试互相独立.求:
(1)两人都通过体能测试的概率;
(2)恰有一人通过体能测试的概率;
(3)至少有一人通过体能测试的概率.
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8.[探究点二·2023江西丰城期末]甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,甲、乙都中靶的概率为0.72,甲、乙是否中靶相互独立.求下列事件的概率.
(1)乙中靶;
(2)恰有一人中靶;
(3)至少有一人中靶.
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解 (1)设甲中靶为事件A,乙中靶为事件B,则事件A与事件B相互独立,
∵P(A)=0.8,P(AB)=0.72,
故乙中靶的概率为0.9.
(2)设恰有一人中靶为事件C,则P(C)=P(A )+P( B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,
故恰有一人中靶的概率为0.26.
(3)设至少有一人中靶为事件D,
则P(D)=1-P( )=1-0.2×0.1=0.98,
故至少有一人中靶的概率为0.98.
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B 级 关键能力提升练
9.端午节放假,甲回老家过节的概率为 ,乙、丙回老家过节的概率分别为
假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )
C
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10.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为p,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=( )
A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2
A
解析 由题意可得p+p(1-p)+p(1-p)2=0.784,
整理可得p(2-p+1-2p+p2)=p(p2-3p+3)=0.784,将各选项中的数分别代入方程可知A项正确.
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11.(多选题)[2023浙江杭州余杭高二]分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6),设事件M=“第一枚骰子的点数为奇数”,事件N=“第二枚骰子的点数为偶数”,则( )
A.M与N互斥 B.M与N不对立
C.M与N相互独立 D.P(M∪N)=
BCD
解析 事件M与N是可能同时发生的,故M与N不互斥,故A不正确;
事件M与N不互斥,不是对立事件,故B正确;
事件M发生与否对事件N发生的概率没有影响,M与N相互独立,故C正确;
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(1)求乙答对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人答对这道题的概率.
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解 (1)记甲、乙、丙答对这道题分别为事件A,B,C,
设乙答对这道题的概率P(B)=x,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A,B,C是相互独立事件.
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(2)设“甲、乙、丙三人中至少有一人答对这道题”为事件M,丙答对这道题的概率P(C)=y.
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14.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值,假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率.
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解 (1)由题表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+800+510=2 000,获得好评的第四类电影部数为200×0.25=50,所以所求概率为 =0.025.
(2)记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事件A,“从第五类电影中随机选取的1部获得好评”为事件B,则事件“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”可表示为
由题表知,P(A)=0.25,P(B)=0.2,
因为所有电影是否获得好评相互独立,所以P( )=1-P(A)=0.75,P( )=1-P(B)=0.8,
=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35,
从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率为0.35.
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C 级 学科素养拔高练
15.[2023河北石家庄高二]甲、乙两位队员进行对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜,通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的概率为 ,乙发球甲赢的概率为 ,不同球的结果互不影响,已知某局甲先
发球.
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率.
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解 (1)设甲发球甲赢为事件A,乙发球甲赢为事件B,该局打4个球甲赢为事件C,
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(2)设该局打5个球结束时甲赢为事件D,乙赢为事件E,打5个球结束为事件F,易知事件D,E为互斥事件,第五章5.3.4 频率与概率
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023重庆高一单元测试]某商场举行购物抽奖活动,规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会,中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是( )
A.某人抽奖100次,一定能中奖10次
B.某人消费1 000元,至少能中奖1次
C.某人抽奖1次,一定不能中奖
D.某人抽奖10次,可能1次也没中奖
2.[探究点二]某人将一枚硬币连抛20次,正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面朝上”,则A的 ( )
A.频率为 B.概率为
C.频率为 D.概率接近
3.[探究点二·2023湖南高一课时练习]某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗,根据概率的统计定义,这种鱼卵的孵化概率( )
A.约为0.851 3
B.必为0.851 3
C.再孵一次仍为0.851 3
D.不确定
4.[探究点一](多选题)下列说法中错误的是( )
A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品
B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
5.[探究点二]为了估计今年来昆明的红嘴鸥数量,云南大学科研人员随机对500只红嘴鸥做上记号后放回,一段时间后随机查看了500只红嘴鸥,发现有2只标有记号,今年来昆明的红嘴鸥总数最可能为 .
6.[探究点三]商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双,商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况,以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本,分为5组,已知第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9,若第5组表示的是尺码为40—42的皮鞋,则售出的这300双皮鞋中尺码为40—42的皮鞋约为 双.
7.[探究点二]某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况,随机抽取了一些客户进行回访,调查结果如下表:
汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
回访客户/人 250 100 200 700 350
满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2
其中,满意率是指某种型号汽车的回访客户中,满意人数与总人数的比值.
(1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人,求这个客户不满意的概率;
(2)从所有客户中随机选取1人,估计这个客户满意的概率.
B级 关键能力提升练
8.(多选题)[2023河北邯郸高一]某学校组织了一次劳动技能大赛,共有100名学生参赛,经过评判,这100名参赛者的得分都在[40,90]内,得分60分以下为不及格,其得分的频率分布直方图如图所示.按得分分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]这五组,则下列结论正确的是( )
A.a=0.005
B.此次比赛得分不及格的共有40人
C.以频率为概率,从这100名参赛者中随机选取1人,其得分在[60,80)的概率为0.5
D.这100名参赛者得分的中位数为65
9.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个,从中任取一球,取了10次有7次是白球,估计袋中数量较多的是 球.
10.某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这1 000名购物者某年网上购物金额(单位:万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为[0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如下:
电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:元)与购物金额关系如下:
购物金 额分组 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9]
发放 金额/元 50 100 150 200
(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数;
(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.
C级 学科素养创新练
11.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下所示的统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
顾客人数 商品
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大
参考答案
5.3.4 频率与概率
1.D 中奖的概率为10%,与抽的次数无关,不能保证一定中奖,也不能保证一定不中奖,只是有10%中奖的可能性,故D选项正确.
故选D.
2.A 依题意可知,事件A的频率为,概率为.
所以A选项正确,B,C,D选项错误.
故选A.
3.A 利用频率估计概率,这种鱼卵的孵化频率为=0.8513.
它近似为孵化的概率.故选A.
4.ABC A错,次品率是指出现次品的可能性,从中任取200件,可能有10件次品,也可能没有.B,C混淆了频率与概率的区别.D正确.
5.125 000 设今年来昆明的红嘴鸥总数为n,
则,解得n=125000.
6.60 因为第1,2,4组的频数分别为6,7,9,
所以第1,2,4组的频率分别为=0.15,=0.175,=0.225.
又因为第3组的频率为0.25,所以第5组的频率为1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2,
所以售出的这300双皮鞋中尺码为40—42的皮鞋约为300×0.2=60双.
7.解(1)由表中数据知,Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6,则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人,这个客户不满意的概率为1-0.6=0.4.
(2)由题意知,回访客户的总人数是250+100+200+700+350=1600,
回访客户中满意的客户人数是250×0.5+100×0.3+200×0.6+700×0.3+350×0.2=125+30+120+210+70=555,
所以回访客户中客户的满意率为,
即从所有客户中随机选取1人,估计这个客户满意的概率约为.
8.ABC 因为(a+0.01+0.02+0.03+0.035)×10=1,所以a=0.005,故A正确;
由题图可知,不及格的人数为100×(0.005+0.035)×10=40,故B正确;
因为得分在[60,80)的频率为(0.03+0.02)×10=0.5,所以从这100名参赛者中随机选取1人,其得分在[60,80)的概率为0.5,故C正确;
这100名参赛者得分的中位数为60+≠65,故D错误.
故选ABC.
9.白 取出白球的频率是0.7,估计其概率是0.7,那么取出黄球的概率约是0.3,取出白球的概率大于取出黄球的概率,所以估计袋中数量较多的是白球.
10.解(1)1000名购物者某年网上消费金额位于区间[0.3,0.5)的频率为(1.5+2.5)×0.1=0.4,有400人;位于区间[0.5,0.6)的频率为3.0×0.1=0.3,有300人;位于区间[0.6,0.8)的频率为(2.0+0.8)×0.1=0.28,有280人;位于区间[0.8,0.9]的频率为0.2×0.1=0.02,有20人,购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表:
购物金额x/万元 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9]
优惠券金额y/元 50 100 150 200
频率 0.4 0.3 0.28 0.02
这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为×(50×400+100×300+150×280+200×20)=96.
(2)由题意知,网上消费金额位于[0.6,0.8)和[0.8,0.9]购物者获得优惠券金额不少于150元,所以购物者获得优惠券金额不少于150元的概率为0.28+0.02=0.3.
11.解(1)从统计表中可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2.
(2)从统计表中可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,
所以估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3.
(3)估计顾客同时购买甲和乙的概率为=0.2,
估计顾客同时购买甲和丙的概率为=0.6,
估计顾客同时购买甲和丁的概率为=0.1.
所以如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.第五章5.3.2 事件之间的关系与运算
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是( )
A.至少一次中靶 B.至多一次中靶
C.至多两次中靶 D.两次都中靶
2.[探究点二](多选题)[2023山东淄博高一校考期末]对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=“两次都击中飞机”,B=“两次都没击中飞机”,C=“恰有一枚炮弹击中飞机”,D=“至少有一枚炮弹击中飞机”,下列关系正确的是( )
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
3.[探究点三]若同时抛掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为,则5点或6点至少出现一个的概率是 .
4.[探究点三]玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率;
(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.
B级 关键能力提升练
5.从一批羽毛球中任取一个,如果其质量小于4.8 g的概率是0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )
A.0.62 B.0.38 C.0.7 D.0.68
6.若某群体中的成员只用非现金支付的概率为0.4,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则只用现金支付的概率为( )
A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55
7.已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()= .
8.甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2,已知是方程x2-5x+6=0的实数根,且P1满足方程x2-x+=0.则甲射击一次,不中靶的概率为 ;乙射击一次,不中靶的概率为 .
9.某医院一天要派出医生下乡义诊,派出的医生人数及其概率如下表所示:
人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率;
(2)求派出医生至少2人的概率.
10.据统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.3,1位车主只购买一种保险.
(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
C级 学科素养创新练
11.某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少
参考答案
5.3.2 事件之间的关系与运算
1.D 设“只有一次中靶”为事件A,
设“至少一次中靶”为事件B,则事件B包含“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况,显然P(A∩B)≠ ,不互斥,A选项错误;
设“至多一次中靶”为事件C,则事件C包含事件:“有一次中靶”和“有零次中靶”,显然P(A∩C)≠ ,不互斥,B选项错误;
设“至多两次中靶”为事件D,则事件D包含事件:“有两次中靶”“有一次中靶”和“有零次中靶”,显然P(A∩D)≠ ,不互斥,C选项错误;
设“两次都中靶”为事件E,则P(A∩E)= ,P(A∪E)≠1,满足互斥而不对立所需要的条件,选项D正确.
故选D.
2.ABC “恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中,第二枚没中或第一枚没中,第二枚击中,“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况:恰有一枚炮弹击中,两枚炮弹都击中.
故A D,A∪C=D.故A,C正确.
因为事件B,D为互斥事件,所以B∩D= .故B正确.
A∪B=“两个飞机都击中或者都没击中”,B∪D为必然事件,这两者不相等.故D错误.
故选ABC.
3. 因为同时抛掷两枚骰子,“既不出现5点也不出现6点”和“5点或6点至少出现一个”是对立事件,所以5点或6点至少出现一个的概率是P=1-.
4.解(方法一)(1)因为事件A,B,C,D彼此为互斥事件,
所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=.
(方法二)(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”,即A+B的对立事件为C+D,所以P(A+B)=1-P(C+D)=1-P(C)-P(D)=1-,即“取出1个球为红球或黑球”的概率为.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即A+B+C的对立事件为D,
所以P(A+B+C)=1-P(D)=1-,
即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为.
5.B 记“羽毛球质量小于4.8g”为事件A,“羽毛球质量不小于4.85g”为事件B,“羽毛球质量不小于4.8g,小于4.85g”为事件C,易知三个事件彼此互斥,且三个事件的和事件为必然事件,所以P(C)=1-0.3-0.32=0.38.故选B.
6.C 设事件A:只用现金支付;事件B:既用现金支付也用非现金支付;事件C:只用非现金支付,则P(A)+P(B)+P(C)=1.
又由条件有P(C)=0.4,P(B)=0.15,所以P(A)=1-P(C)-P(B)=1-0.4-0.15=0.45.故选C.
7. ∵事件A,B互斥,且P(A)=2P(B),它们都不发生的概率为,
∴1-P(A)-P(B)=1-2P(B)-P(B)=,
∴P(B)=,
∴P(A)=2P(B)=,
∴P()=1-P(A)=1-.
8. 由P1满足方程x2-x+=0,
解得P1=.
因为是方程x2-5x+6=0的根,
所以=6,所以P2=,
因此甲射击一次,不中靶的概率为1-,
乙射击一次,不中靶的概率为1-.
9.解设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)(方法一)“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
(方法二)“派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
10.解(1)记A表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”;
B表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”;
C表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”;
则P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A∪B,
所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8.
(2)设D表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”,则D=,故P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.
11.解(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N+),
那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A.
根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为.
根据对立事件的概率公式,得P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.(共28张PPT)
第五章
5.1.3 数据的直观表示
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]小李于2016年底贷款购置了一套房子,将通过10年期每月
向银行还数额相同的房贷,且截止
2021年底,他没有再购买第二套房子,下图是2017年和2021年小李的家庭收入用于各项支出的比例分配图,根据以上信息,判断下列结论中正确的是( )
A.小李一家2021年用于饮食的支出费用与2017年相同
B.小李一家2021年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍
C.小李一家2021年的家庭收入比2017年增加了1倍
D.小李一家2021年用于房贷的支出费用比2017年减少了
B
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解析 由于小李每月向银行还数额相同的房贷,故可知2021年用于房贷方面的支出费用跟2017年相同,故D选项错误;
设一年房贷支出费用为n,则可知2017年小李的家庭收入为 .2021年小李的家庭收入为 ,所以小李一家2021年的家庭收入比2017年增加了50%.故C选项错误;
2017年,2021年用于饮食的支出费用分别为
故A选项错误;
2017年,2021年用于其他方面的支出费用分别为
故B选项正确.故选B.
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2.[探究点一·2023四川成都高一校考期末]“社保”已经走入了我们的生活,它包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险、生育保险,全年支出最重要的三项分别为养老保险、失业保险、工伤保险,下图是近五年三项社会保险基金的收支情况,下列说法中错误的是( )
近五年三项社会保险基金收支情况
A.三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增
B.三项社会保险基金在2020年以前支出为逐年递增
C.三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”(收入低于支出)
D.2020年三项社会保险基金支出合计57 580亿元,比上年增加3 088亿元,约增长6.7%
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答案 D
解析 由条形图可知,三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增的,故A正确;
三项社会保险基金在2020年以前支出为逐年递增的,故B正确;
三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”,故C正确;
2020年三项社会保险基金支出合计57 580亿元,比上年增加3 088亿元,约增长5.7%,故D错误.故选D.
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3.[探究点一]如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图,设小王与小张成绩的样本平均数分别为 ,方差分别为 ,则( )
C
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解析 观察题图可知,实线中的数据都大于或等于虚线中的数据,所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数,即 ;显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动,所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差,即 .故选C.
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4.[探究点二]一名篮球运动员在最近8场比赛中所得分数的茎叶图如图所示,则该运动员这8场比赛得分的平均数和中位数分别为( )
A.18.5,19
B.19,19
C.19,18.5
D.18,18.5
C
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5.[探究点三]从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a= .若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 .
0.030
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解析 因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.
由频率分布直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60(人),其中身高在[140,150]内的学生人数为10,所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为 ×18=3.
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6.[探究点二]在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的75%分位数分别是 , .
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解析 甲组数据为28,31,39,42,45,55,57,58,66,共9个,9×75%=6.75,所以甲组数据的 75%分位数是 57,乙组数据为29,34,35,42,46,48,53,55,67,共9个,9×75%=6.75,乙组数据的75%分位数是53.
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7.[探究点三]为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少 样本容量是多少
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,则抽取学生的达标率是多少
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解 (1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的,
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8.某市将试行“3+1+2”的普通高考新模式,即除语文、数学、外语3门必选科目外,考生再从物理、历史中选1门,从化学、生物学、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科,某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制,绘制成雷达图.甲同学的成绩
雷达图如图所示,下面叙述一定不正确的是( )
A.甲的化学成绩领先年级平均分最多
B.甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C.甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理
D.对甲而言,物理、化学、地理是比较理想
的一种选科结果
B 级 关键能力提升练
A
解析 根据雷达图,可知物理成绩领先年级平均分最多,A不正确;
甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分,B正确;
甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理,C正确;
对甲而言,物理成绩比年级平均分高,历史成绩比年级平均分低,而化学、生物学、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理,故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果,D正确.故选A.
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9.(多选题)某企业退休职工黄师傅退休前后每月各类支出占比情况如下,已知退休前工资收入为6 000元/月,退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多450元,则下面结论中正确的是( )
A.黄师傅退休后储蓄支出900元/月
B.黄师傅退休工资收入为5 000元/月
C.黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前相比未发生变化
D.黄师傅退休后的其他支出比退休前的其他支出多50元/月
BD
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解析 根据条形图,黄师傅退休前储蓄支出:6 000×0.3=1 800元,衣食住支出:6 000×0.45=2 700元,旅行支出:6 000×0.05=300元,其他支出:
6 000×0.2=1 200元.
退休后,旅行支出为300+450=750元,退休后收入为 =5 000元,
储蓄支出:5 000×0.15=750元,衣食住支出:5 000×0.45=2 250元,其他支出:5 000×0.25=1 250元.
对照各选项,B,D正确,A,C错误.
故选BD.
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10.为了增强中学生诈骗预防意识,某中学随机抽取30名学生参加相关知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为m,众数为n,平均数为 ,则m,n, 的大小关系为 .(用“<”连接)
解析 将分数从小到大排列,中间两个数为5,6,
∴中位数为m=5.5.
由图可知众数n=5.
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11.已知样本容量为200,在样本的频率分布直方图中,共有n个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小矩形面积和的 ,则该组的频数为 .
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12.某学校组织“数学文化”知识竞赛,分为初赛和决赛,有400名学生参加知识竞赛的初赛,满分为150分,根据初赛成绩依次分为[80,90),[90,100),
[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]这六组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求本次初赛成绩的平均数;
(2)若计划决赛人数为80,估计
参加决赛的最低分数线.
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解 (1)由题意有(0.005+0.010+0.020+m+0.020+0.015)×10=1,解得m=0.030.
本次初赛成绩的平均数为85×0.05+95×0.1+105×0.2+115×0.3+125×0.2+135×0.15=114.5.
(2)因为1- =0.8,所以决赛成绩的最低分为80%分位数.
前四个矩形的面积之和为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65,前五个矩形的面积之和为0.05+0.1+0.2+0.3+0.2=0.85.
设80%分位数为x(120因此,若计划决赛人数为80,则估计参加决赛的最低分数线为127.5.
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C 级 学科素养拔高练
13.[2023四川眉山高二]某校高二(2)班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.
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(1)求全班人数及全班分数的中位数;
(2)补全频率分布直方图;
(3)根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
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解 (1)由频率分布直方图得,[50,60)之间的频率为0.006×10=0.06.
由茎叶图知,[50,60)之间有3人,所以全班人数为3÷0.06=50.
又[60,70)有11人,[70,80)有16人,[90,100)有8人,则[80,90)有50-11-16-8-3
=12人,
显然3+11<25<3+11+16,故中位数在[70,80)之间,故中位数为 =76.5.
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(2)
(3)由频率分布直方图知,该班本次测试的平均成绩为0.06×55+0.22×65+0.32×75+0.24×85+0.16×95=77.2.第五章5.3.5 随机事件的独立性
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023广东揭阳高一期末]若随机事件A,B满足P(AB)=,P(A)=,P(B)=,则事件A与B的关系是( )
A.互斥 B.相互独立
C.互为对立 D.互斥且独立
2.[探究点三]现有航天员甲、乙、丙三个人,进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务,工作时间不超过10分钟,如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务,10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人,每个人只派出一次.已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为,每个人能否完成任务相互独立,该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出,则试验任务成功的概率为( )
A. B. C. D.
3.[探究点一](多选题)对于事件A,B,下列说法正确的是( )
A.如果A,B互斥,那么也互斥
B.如果A,B对立,那么也对立
C.如果A,B独立,那么也独立
D.如果A,B不独立,那么也不独立
4.[探究点二]从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A. B.
C. D.
5.[探究点二]有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为 .
6.[探究点二]射击队某选手命中环数的概率如下表所示:
命中环数 10 9 8 7 <7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12 0.1
该选手射击两次,两次命中环数相互独立,则他至少命中一次9环或10环的概率为 .
7.[探究点二·北师大版教材习题]在某项1 500 m体能测试中,甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是,且甲、乙两人是否通过体能测试互相独立.求:
(1)两人都通过体能测试的概率;
(2)恰有一人通过体能测试的概率;
(3)至少有一人通过体能测试的概率.
8.[探究点二·2023江西丰城期末]甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,甲、乙都中靶的概率为0.72,甲、乙是否中靶相互独立.求下列事件的概率.
(1)乙中靶;
(2)恰有一人中靶;
(3)至少有一人中靶.
B级 关键能力提升练
9.端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为 ( )
A. B. C. D.
10.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为p,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=( )
A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2
11.(多选题)[2023浙江杭州余杭高二]分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6),设事件M=“第一枚骰子的点数为奇数”,事件N=“第二枚骰子的点数为偶数”,则( )
A.M与N互斥 B.M与N不对立
C.M与N相互独立 D.P(M∪N)=
12.某班甲、乙、丙、丁四名同学竞选班委,每个人是否当选相互独立,如果甲、乙两名同学都不当选的概率为,乙、丙两名同学都不当选的概率为,甲、丙两名同学都不当选的概率为,丁当选的概率为,则甲、乙、丙、丁四名同学中恰好有一人当选班委的概率是 .
13.在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的.
(1)求乙答对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人答对这道题的概率.
14.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影 类型 第一 类 第二 类 第三 类 第四 类 第五 类 第六 类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值,假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率.
C级 学科素养创新练
15.[2023河北石家庄高二]甲、乙两位队员进行对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜,通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的概率为,乙发球甲赢的概率为,不同球的结果互不影响,已知某局甲先发球.
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率.
参考答案
5.3.5 随机事件的独立性
1.B 因为P(A)=,P(B)=,
P(AB)=≠0,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立,不互斥也不对立.
故选B.
2.D 试验任务成功的事件M是甲成功的事件M1,甲不成功乙成功的事件M2,甲乙都不成功丙成功的事件M3的和,
事件M1,M2,M3互斥,P(M1)=,P(M2)=1-×,P(M3)=1-×1-×,
所以试验任务成功的概率P(M)=P(M1+M2+M3)=.
故选D.
3.BCD 如果A,B互斥,由互斥事件的定义得不一定互斥,故A错误;
如果A,B对立,由对立事件的定义得也对立,故B正确;
如果A,B独立,由相互独立事件的定义得也独立,故C正确;
如果A,B不独立,由相互独立事件的定义得也不独立,故D正确.故选BCD.
4.B 设事件A:“从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格”,则其对立事件B:“从中任挑一儿童,这两项都不合格”,由题可知,儿童体型不合格的概率为,身体关节构造不合格的概率为,所以P(B)=,故P(A)=1-P(B)=1-.
5. 甲、乙两人都未能解决的概率为1-×1-=.
6.0.84 该选手射击一次,命中的环数低于9环的概率为1-0.32-0.28=0.4,该选手射击两次,两次命中的环数都低于9环的概率为0.4×0.4=0.16,所以他至少命中一次9环或10环的概率为1-0.16=0.84.
7.解记“甲通过体能测试”为事件A,“乙通过体能测试”为事件B,则事件A与事件B相互独立,且P(A)=,P(B)=.
(1)两人都通过体能测试的概率为P(AB)=P(A)P(B)=.
(2)恰有一人通过体能测试的概率为P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=.
(3)因为两人都未通过体能测试的概率为P()=P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)]=,
所以至少有一人通过体能测试的概率P=1-P()=.
8.解(1)设甲中靶为事件A,乙中靶为事件B,
则事件A与事件B相互独立,
∵P(A)=0.8,P(AB)=0.72,
∴P(B)==0.9,
故乙中靶的概率为0.9.
(2)设恰有一人中靶为事件C,则P(C)=P(A)+P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,
故恰有一人中靶的概率为0.26.
(3)设至少有一人中靶为事件D,
则P(D)=1-P()=1-0.2×0.1=0.98,
故至少有一人中靶的概率为0.98.
9.C 设甲、乙、丙回家过节分别为事件A,B,C,至少1人回老家过节为事件D,则P(D)=1-P()=1-P()P()P()=1-.故选C.
10.A 由题意可得p+p(1-p)+p(1-p)2=0.784,
整理可得p(2-p+1-2p+p2)=p(p2-3p+3)=0.784,将各选项中的数分别代入方程可知A项正确.
11.BCD 事件M与N是可能同时发生的,故M与N不互斥,故A不正确;
事件M与N不互斥,不是对立事件,故B正确;
事件M发生与否对事件N发生的概率没有影响,M与N相互独立,故C正确;
事件M发生的概率为P(M)=,事件N发生的概率为P(N)=,P(M∪N)=1-P()P()=1-,故D正确.
故选BCD.
12. 设甲、乙、丙、丁当选的事件分别为A,B,C,D,
则P(D)=
解得
因为事件A,B,C,D相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(A)+P()+P()+P(D)=P(A)P()P()P()+P()P(B)P()P()+P()P()·P(C)P()+P()P()P()P(D)=.
13.解(1)记甲、乙、丙答对这道题分别为事件A,B,C,
设乙答对这道题的概率P(B)=x,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A,B,C是相互独立事件.
由题意,得P()=P()P()=×(1-x)=,解得x=,即乙答对这道题的概率为.
(2)设“甲、乙、丙三人中至少有一人答对这道题”为事件M,丙答对这道题的概率P(C)=y.
由题意得P(BC)=P(B)P(C)=×y=,
解得y=.
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P()=P()P()P()=.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对立事件,所以所求事件概率为P(M)=1-.
14.解(1)由题表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000,获得好评的第四类电影部数为200×0.25=50,所以所求概率为=0.025.
(2)记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事件A,“从第五类电影中随机选取的1部获得好评”为事件B,则事件“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”可表示为AB,
由题表知,P(A)=0.25,P(B)=0.2,
因为所有电影是否获得好评相互独立,所以P()=1-P(A)=0.75,P()=1-P(B)=0.8,
所以P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35,
从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率为0.35.
15.解(1)设甲发球甲赢为事件A,乙发球甲赢为事件B,该局打4个球甲赢为事件C,
由题知,P(A)=,P(B)=,且C=AAB,
∴P(C)=P(AAB)=P(A)P()P(A)P(B)=,
∴该局打4个球甲赢的概率为.
(2)设该局打5个球结束时甲赢为事件D,乙赢为事件E,打5个球结束为事件F,易知事件D,E为互斥事件,
D=BA,E=A,F=D∪E,
∴P(D)=P(BA)=P()P(B)P()P(B)P(A)=1-××1-×,
P(E)=P(A)=P(A)P()P(A)P()P()=×1-××1-×1-=,
∴P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=,
∴该局打5个球结束的概率为.第五章5.3 概率
5.3.1 样本空间与事件
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组,小明要随机选报其中的2个,则该试验中样本点的个数为( )
A.3 B.5 C.6 D.9
2.[探究点三](多选题)下列说法不正确的是( )
A.一事件发生的概率为十万分之一,说明此事件不可能发生
B.一事件不是不可能事件,说明此事件是必然事件
C.对于任一事件A,0≤P(A)≤1
D.一事件发生的概率为99.999%,说明此事件必然发生
3.[探究点三]质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数,掷两次骰子,得到向上一面的两个点数,则下列事件中,发生可能性最大的是( )
A.点数都是偶数 B.点数的和是奇数
C.点数的和小于13 D.点数的和小于2
4.[探究点二]下列事件:
①物体在重力作用下会自由下落;②方程x2-2x+3=0有两个不相等的实数根;③下周三会下雨;④某寻呼台每天某一时段内收到传呼的次数少于10次.
其中随机事件的个数为 .
5.[探究点三]一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球,其中3个白球,2个黑球,从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.
B级 关键能力提升练
6.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
7.在10名学生中,男生有x名,现从10名学生中任选6人去参加某项活动:①至少有1名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x可能的值为 .
8.用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色,每个小球只涂一种颜色.记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”,则事件A的样本点的个数为 .
9.随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班,每人值班一天.
(1)这3人的值班顺序共有多少种 写出样本空间Ω.
(2)写出事件A:“甲在乙之前值班”的集合表示.
C级 学科素养创新练
10.已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4}.试验:分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出事件“函数y=f(x)有零点”包含的样本点的个数;
(3)写出事件“函数y=f(x)在区间[1,+∞)内是增函数”所包含的样本点.
参考答案
5.3 概率
5.3.1 样本空间与事件
1.C 由题意,得样本点为(数学,计算机),(数学,航空模型),(数学,绘画),(计算机,航空模型),(计算机,绘画),(航空模型,绘画),共6个,故选C.
2.ABD A.一事件发生的概率为十万分之一,不能说明此事件不可能发生,只能说明此事件发生的可能性比较小;B.如果一事件不是不可能事件,说明此事件是必然事件或随机事件;D.一事件发生的概率为99.999%,不能说明此事件必然发生,因为它不是必然事件.故选ABD.
3.C 由已知,投掷两次骰子共有36种不同的结果,点数都是偶数包含的样本点有(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共9个,其概率为;点数的和是奇数包含的样本点有(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共18个,其概率为;点数的和小于13是必然事件,其概率为1;点数的和小于2是不可能事件,其概率为0.
故选C.
4.2 ①是必然事件,②是不可能事件,③④是随机事件.
5.解(1)分别记白球为1,2,3,黑球为4,5,则这个试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.
(2)“2个球都是白球”这一事件就是子集{(1,2),(1,3),(2,3)}.
6.C “点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0,A中有9个非零数,故选C.
7.3或4 依题意知,10名同学中,男生人数少于5人,但不少于3人,故x=3或4.
8.6 3种不同颜色分别用a,b,c表示,“甲、乙两个小球所涂颜色不同”包含的样本点有(a,b),(a,c),(b,c),(b,a),(c,a),(c,b),共6个.
9.解(1)这3人的值班顺序共有6种,样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)}.
(2)A={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(丙,甲,乙)}.
10.解(1)这个试验的样本空间为Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
(2)函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个样本点.
(3)由题意知a>0,函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=,在区间[1,+∞)上是增函数,所以有≤1,满足条件的样本点为(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4).第五章5.1.3 数据的直观表示
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]小李于2016年底贷款购置了一套房子,将通过10年期每月向银行还数额相同的房贷,且截止2021年底,他没有再购买第二套房子,下图是2017年和2021年小李的家庭收入用于各项支出的比例分配图,根据以上信息,判断下列结论中正确的是( )
A.小李一家2021年用于饮食的支出费用与2017年相同
B.小李一家2021年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍
C.小李一家2021年的家庭收入比2017年增加了1倍
D.小李一家2021年用于房贷的支出费用比2017年减少了
2.[探究点一·2023四川成都高一校考期末]“社保”已经走入了我们的生活,它包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险、生育保险,全年支出最重要的三项分别为养老保险、失业保险、工伤保险,下图是近五年三项社会保险基金的收支情况,下列说法中错误的是( )
近五年三项社会保险基金收支情况
A.三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增
B.三项社会保险基金在2020年以前支出为逐年递增
C.三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”(收入低于支出)
D.2020年三项社会保险基金支出合计57 580亿元,比上年增加3 088亿元,约增长6.7%
3.[探究点一]如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图,设小王与小张成绩的样本平均数分别为,方差分别为,则 ( )
A. B.
C. D.
4.[探究点二]一名篮球运动员在最近8场比赛中所得分数的茎叶图如图所示,则该运动员这8场比赛得分的平均数和中位数分别为( )
A.18.5,19 B.19,19
C.19,18.5 D.18,18.5
5.[探究点三]从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a= .若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 .
6.[探究点二]在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的75%分位数分别是 , .
7.[探究点三]为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少 样本容量是多少
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,则抽取学生的达标率是多少
B级 关键能力提升练
8.某市将试行“3+1+2”的普通高考新模式,即除语文、数学、外语3门必选科目外,考生再从物理、历史中选1门,从化学、生物学、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科,某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制,绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示,下面叙述一定不正确的是( )
A.甲的化学成绩领先年级平均分最多
B.甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C.甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理
D.对甲而言,物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
9.(多选题)某企业退休职工黄师傅退休前后每月各类支出占比情况如下,已知退休前工资收入为6 000元/月,退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多450元,则下面结论中正确的是( )
A.黄师傅退休后储蓄支出900元/月
B.黄师傅退休工资收入为5 000元/月
C.黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前相比未发生变化
D.黄师傅退休后的其他支出比退休前的其他支出多50元/月
10.为了增强中学生诈骗预防意识,某中学随机抽取30名学生参加相关知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为m,众数为n,平均数为,则m,n,的大小关系为 .(用“<”连接)
11.已知样本容量为200,在样本的频率分布直方图中,共有n个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小矩形面积和的,则该组的频数为 .
12.某学校组织“数学文化”知识竞赛,分为初赛和决赛,有400名学生参加知识竞赛的初赛,满分为150分,根据初赛成绩依次分为[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]这六组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求本次初赛成绩的平均数;
(2)若计划决赛人数为80,估计参加决赛的最低分数线.
C级 学科素养创新练
13.[2023四川眉山高二]某校高二(2)班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.
(1)求全班人数及全班分数的中位数;
(2)补全频率分布直方图;
(3)根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
参考答案
5.1.3 数据的直观表示
1.B 由于小李每月向银行还数额相同的房贷,故可知2021年用于房贷方面的支出费用跟2017年相同,故D选项错误;
设一年房贷支出费用为n,则可知2017年小李的家庭收入为.2021年小李的家庭收入为×150%=,所以小李一家2021年的家庭收入比2017年增加了50%.故C选项错误;
2017年,2021年用于饮食的支出费用分别为×25%=×25%=.故A选项错误;
2017年,2021年用于其他方面的支出费用分别为×6%=×12%=,故B选项正确.故选B.
2.D 由条形图可知,三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增的,故A正确;
三项社会保险基金在2020年以前支出为逐年递增的,故B正确;
三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”,故C正确;
2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元,比上年增加3088亿元,约增长5.7%,故D错误.故选D.
3.C 观察题图可知,实线中的数据都大于或等于虚线中的数据,所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数,即;显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动,所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差,即.故选C.
4.C 该运动员这8场比赛得分的平均数为=19,中位数为=18.5.故选C.
5.0.030 3 因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.
由频率分布直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60(人),其中身高在[140,150]内的学生人数为10,所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为 ×18=3.
6.57 53 甲组数据为28,31,39,42,45,55,57,58,66,共9个,9×75%=6.75,所以甲组数据的 75%分位数是 57,乙组数据为29,34,35,42,46,48,53,55,67,共9个,9×75%=6.75,乙组数据的75%分位数是53.
7.解(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的,
因此第二小组的频率为=0.08.
因为第二小组的频率=,
所以样本容量==150.
(2)抽取学生的达标率为×100%=88%.
8.A 根据雷达图,可知物理成绩领先年级平均分最多,A不正确;
甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分,B正确;
甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理,C正确;
对甲而言,物理成绩比年级平均分高,历史成绩比年级平均分低,而化学、生物学、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理,故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果,D正确.故选A.
9.BD 根据条形图,黄师傅退休前储蓄支出:6000×0.3=1800元,衣食住支出:6000×0.45=2700元,旅行支出:6000×0.05=300元,其他支出:6000×0.2=1200元.
退休后,旅行支出为300+450=750元,退休后收入为=5000元,
储蓄支出:5000×0.15=750元,衣食住支出:5000×0.45=2250元,其他支出:5000×0.25=1250元.
对照各选项,B,D正确,A,C错误.
故选BD.
10.n∴中位数为m=5.5.
由图可知众数n=5.
平均数=≈5.97,
∴n11.50 设除中间一个小矩形外的(n-1)个小矩形面积的和为p,则中间一个小矩形面积为p,p+p=1,p=,则中间一个小矩形的面积等于p=,200×=50,即该组的频数为50.
12.解(1)由题意有(0.005+0.010+0.020+m+0.020+0.015)×10=1,解得m=0.030.
本次初赛成绩的平均数为85×0.05+95×0.1+105×0.2+115×0.3+125×0.2+135×0.15=114.5.
(2)因为1-=0.8,所以决赛成绩的最低分为80%分位数.
前四个矩形的面积之和为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65,前五个矩形的面积之和为0.05+0.1+0.2+0.3+0.2=0.85.
设80%分位数为x(120因此,若计划决赛人数为80,则估计参加决赛的最低分数线为127.5.
13.解(1)由频率分布直方图得,[50,60)之间的频率为0.006×10=0.06.
由茎叶图知,[50,60)之间有3人,所以全班人数为3÷0.06=50.
又[60,70)有11人,[70,80)有16人,[90,100)有8人,则[80,90)有50-11-16-8-3=12人,
显然3+11<25<3+11+16,故中位数在[70,80)之间,故中位数为=76.5.
(2)
(3)由频率分布直方图知,该班本次测试的平均成绩为0.06×55+0.22×65+0.32×75+0.24×85+0.16×95=77.2.(共19张PPT)
第五章
5.3.2 事件之间的关系与运算
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是( )
A.至少一次中靶
B.至多一次中靶
C.至多两次中靶
D.两次都中靶
D
解析 设“只有一次中靶”为事件A,
设“至少一次中靶”为事件B,则事件B包含“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况,显然P(A∩B)≠ ,不互斥,A选项错误;
设“至多一次中靶”为事件C,则事件C包含事件:“有一次中靶”和“有零次中靶”,显然P(A∩C)≠ ,不互斥,B选项错误;
设“至多两次中靶”为事件D,则事件D包含事件:“有两次中靶”“有一次中靶”和“有零次中靶”,显然P(A∩D)≠ ,不互斥,C选项错误;
设“两次都中靶”为事件E,则P(A∩E)= ,P(A∪E)≠1,满足互斥而不对立所需要的条件,选项D正确.
故选D.
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2.[探究点二](多选题)[2023山东淄博高一校考期末]对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=“两次都击中飞机”,B=“两次都没击中飞机”,C=“恰有一枚炮弹击中飞机”,D=“至少有一枚炮弹击中飞机”,下列关系正确的是( )
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
ABC
解析 “恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中,第二枚没中或第一枚没中,第二枚击中,“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况:恰有一枚炮弹击中,两枚炮弹都击中.
故A D,A∪C=D.故A,C正确.
因为事件B,D为互斥事件,所以B∩D= .故B正确.
A∪B=“两个飞机都击中或者都没击中”,B∪D为必然事件,这两者不相等.故D错误.
故选ABC.
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3.[探究点三]若同时抛掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为 ,则5点或6点至少出现一个的概率是 .
解析 因为同时抛掷两枚骰子,“既不出现5点也不出现6点”和“5点或6点至少出现一个”是对立事件,所以5点或6点至少出现一个的概率是
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4.[探究点三]玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知
(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率;
(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.
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解 (方法一)(1)因为事件A,B,C,D彼此为互斥事件,
所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为
(方法二)(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”,即A+B的对立事件为C+D,所以P(A+B)=1-P(C+D)=1-P(C)-P(D)
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(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即A+B+C的对立事件为D,
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B 级 关键能力提升练
5.从一批羽毛球中任取一个,如果其质量小于4.8 g的概率是0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )
A.0.62 B.0.38 C.0.7 D.0.68
B
解析 记“羽毛球质量小于4.8 g”为事件A,“羽毛球质量不小于4.85 g”为事件B,“羽毛球质量不小于4.8 g,小于4.85 g”为事件C,易知三个事件彼此互斥,且三个事件的和事件为必然事件,所以P(C)=1-0.3-0.32=0.38.故选B.
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6.若某群体中的成员只用非现金支付的概率为0.4,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则只用现金支付的概率为( )
A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55
C
解析 设事件A:只用现金支付;事件B:既用现金支付也用非现金支付;事件C:只用非现金支付,则P(A)+P(B)+P(C)=1.
又由条件有P(C)=0.4,P(B)=0.15,所以P(A)=1-P(C)-P(B)=1-0.4-0.15=0.45.故选C.
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8.甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2,已知 是方程x2-5x+6=0的实数根,且P1满足方程x2-x+ =0.则甲射击一次,不中靶的
概率为 ;乙射击一次,不中靶的概率为 .
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9.某医院一天要派出医生下乡义诊,派出的医生人数及其概率如下表所示:
人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率;
(2)求派出医生至少2人的概率.
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解 设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)(方法一)“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
(方法二)“派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
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10.据统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.3,1位车主只购买一种保险.
(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
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解 (1)记A表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”;
B表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”;
C表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”;
则P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A∪B,
所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8.
(2)设D表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”,则D= ,
故P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.
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C 级 学科素养拔高练
11.某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少
解 (1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N+),
那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A.
根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35
=0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为 .
根据对立事件的概率公式,得P( )=1-P(A)=1-0.95=0.05.
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11(共29张PPT)
第五章
5.1.2 数据的数字特征——分层作业
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点三]某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试,成绩分别记为x1,x2,x3,…,x10,为研究该生成绩的起伏变化程度,选用以下哪个数字特征最为合适( )
A.x1,x2,x3,…,x10的平均值
B.x1,x2,x3,…,x10的标准差
C.x1,x2,x3,…,x10的中位数
D.x1,x2,x3,…,x10的众数
B
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2.[探究点一、二、三](多选题)一组数据6,7,8,a,12的平均数为8,则此组数据的( )
A.众数为8 B.极差为6 C.中位数为8 D.方差为
BD
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3.[探究点一、二]10名工人生产某一零件,生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
D
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4.[探究点一、二、三]在某次测量中得到的A样本数据如下: 52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数 B.平均数
C.中位数 D.标准差
D
解析 A样本的每个数据都加上6后形成B样本,样本的稳定性不变,因此两个样本的标准差相等.故选D.
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5.[探究点一、二、三](多选题)[2023重庆八中高二校考期末]有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据3x1,3x2,…,3xn,则( )
A.新样本数据的极差是原样本数据极差的3倍
B.新样本数据的方差是原样本数据方差的3倍
C.新样本数据的中位数是原样本数据中位数的3倍
D.新样本数据的平均数是原样本数据平均数的3倍
ACD
解析 设样本数据x1,x2,…,xn的最大值为xmax,最小值为xmin,平均数为 ,中位数为x,方差为s2,则极差为xmax-xmin.
新样本数据3x1,3x2,…,3xn的最大值为3xmax,最小值为3xmin,平均数为3 ,中位数为3x,方差为32s2=9s2,则极差为3xmax-3xmin=3(xmax-xmin),
即新样本数据的极差是原样本数据极差的3倍,新样本数据的方差是原样本数据方差的9倍,
新样本数据的中位数是原样本数据中位数的3倍,新样本数据的平均数是原样本数据平均数的3倍.
故选ACD.
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6.[探究点一、二]某地区某村的前三年的经济收入分别为100,200,300万元,其统计数据的中位数为x,平均数为y;经过今年政府新农村建设后,该村经济收入在上年基础上翻番,则在这四年的收入的统计数据中,下列说法正确的是( )
A.中位数为x,平均数为1.5y
B.中位数为1.25x,平均数为y
C.中位数为1.25x,平均数为1.5y
D.中位数为1.5x,平均数为2y
C
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7.[探究点一、三]有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:
甲:7 8 10 9 8 8 6
乙:9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是( )
A.甲射击的平均成绩比乙好
B.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C.乙射击的平均成绩比甲好
D.甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
D
解析 甲命中的环数的平均数为 ×(7+8+10+9+8+8+6)=8,
乙命中的环数的平均数为 ×(9+10+7+8+7+7+8)=8,
所以甲、乙射击的平均成绩相等,故A,C均错误;
甲射击的成绩的众数是8,乙射击的成绩的众数是7,
所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数,故B错误;
甲射击的成绩的极差为10-6=4,乙射击的成绩的极差为10-7=3,
所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差,故选D.
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8.[探究点二·2023贵州黔南高二校考开学考试]一组数据12,34,15,24,39,25,31,48,32,36,36,37,42,50的25%分位数,75%分位数分别是 、 .
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解析 把数据从小到大排序为12,15,24,25,31,32,34,36,36,37,39,42,48,50,共14个数,
则14×25%=3.5,14×75%=10.5,所以25%分位数,75%分位数分别是第4,11项数据,即为25,39.
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9.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为 .
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解析 由题意可得x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8.
设x=10+t,y=10-t,则2t2=8,解得t=±2,
所以|x-y|=2|t|=4.
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10.[探究点一、三·2023宁夏石嘴山高二]甲、乙两人在相同条件下各射击10次,每次命中的环数如下:
甲: 8 6 7 8 6 5 9 10 4 7
乙: 6 7 7 8 6 7 8 7 9 5
(1)分别计算两组数据的平均数;
(2)分别计算两组数据的方差;
(3)根据计算结果,对甲、乙两人的射击成绩作出评价.
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B 级 关键能力提升练
11.(多选题)下列说法正确的是( )
A.数据的极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据的平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据的标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据的方差越小,样本数据分布越集中、稳定
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12.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩:
56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,则这15人成绩的70%分位数是
( )
A.86 B.87 C.88 D.89
C
解析 因为15×0.7=10.5,所以这15人的70%分位数为第11位数88.故选C.
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13.一组5个数据中,前4个数据的平均数是20,全部5个数据的平均数是19,则第5个数据是 .
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14.某篮球运动员在12场比赛中的得分情况如下:
15,12,20,31,25,36,31,36,44,39,37,49.
求该运动员得分的25%分位数,75%分位数和90%分位数.
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15.某公司随机邀请8名员工代表对集团内甲、乙两个项目进行民主测评(满意度最高分120,最低分0,分数越高说明员工满意度越高,分数越低说明员工满意度越低).测评的数据如下:
甲项目:96,112,97,108,100,103,86,98;
乙项目:108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两个项目满意度测评数据的平均数、中位数;
(2)分别计算甲、乙两个项目满意度测评数据的方差;
(3)根据以上数据你认为这两个项目哪个项目员工满意度比较高
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(3)由(1)(2)知甲、乙两个项目满意度测评数据的平均数相同、中位数相同,而乙项目满意度测评数据的方差小于甲项目满意度测评数据的方差,所以乙项目满意度比较高.
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16.某校为了解各班学生的数学、物理学习情况,利用随机数表法从全年级600名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析.已知学生考号的后三位分别为000,001,002,…,599.
(1)若从随机数表的第5行第7列的数开始向右读,请依次写出抽取的前5人的后三位考号;
(2)如果题(1)中随机抽取到的5名同学的数学、物理成绩(单位:分)对应如下表:
数学成绩 87 91 90 89 93
物理成绩 89 90 91 88 92
求这两科成绩的平均数和方差,并且分析哪科成绩更稳定.
附:(下面是摘自随机数表的第4行到第6行)
……
16 27 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 04 03 72 93 15 31 02 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
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解 (1)抽取的前5人的后三位考号分别为310,403,315,210,142.
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C 级 学科素养拔高练
17.在一次高一年级统一考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高一学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.
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05269 37060 22358 51513 92035 15977 59567 80683 52910 57074
07971 08823 09984 29964 61716 29915 06512 91693 58057 70951
51268 78585 54876 64754 73320 81112 44959 26316 29562 42948
26996 16553 58377 88070 42105 06742 32175 58574 94446 71694
14655 26875 87593 62241 26786 30655 13082 70150 15293 93943
(2)若采用分层抽样,按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层,且样本中A题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4;样本中B题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.
(1)若采用随机数表法抽样,并按照以下随机数表,以方框内的数字5为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的75%分位数.
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解 (1)根据题意读出的编号依次是:
512,916(超界),935(超界),805,770,951(超界),512(重复),687,858,554, 876,647,547,332,将有效编号从小到大排列,得332,512,547,554,647,687,770,805,858,876,
因为10×75%=7.5,所以样本编号的 75%分位数为805.
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17(共19张PPT)
第五章
5.3.4 频率与概率
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023重庆高一单元测试]某商场举行购物抽奖活动,规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会,中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是( )
A.某人抽奖100次,一定能中奖10次 B.某人消费1 000元,至少能中奖1次
C.某人抽奖1次,一定不能中奖 D.某人抽奖10次,可能1次也没中奖
D
解析 中奖的概率为10%,与抽的次数无关,不能保证一定中奖,也不能保证一定不中奖,只是有10%中奖的可能性,故D选项正确.
故选D.
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2.[探究点二]某人将一枚硬币连抛20次,正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面朝上”,则A的( )
A
所以A选项正确,B,C,D选项错误.
故选A.
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3.[探究点二·2023湖南高一课时练习]某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗,根据概率的统计定义,这种鱼卵的孵化概率( )
A.约为0.851 3 B.必为0.851 3
C.再孵一次仍为0.851 3 D.不确定
A
解析 利用频率估计概率,这种鱼卵的孵化频率为 =0.851 3.
它近似为孵化的概率.故选A.
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4.[探究点一](多选题)下列说法中错误的是( )
A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品
B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
ABC
解析 A错,次品率是指出现次品的可能性,从中任取200件,可能有10件次品,也可能没有.B,C混淆了频率与概率的区别.D正确.
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5.[探究点二]为了估计今年来昆明的红嘴鸥数量,云南大学科研人员随机对500只红嘴鸥做上记号后放回,一段时间后随机查看了500只红嘴鸥,发现有2只标有记号,今年来昆明的红嘴鸥总数最可能为 .
125 000
解析 设今年来昆明的红嘴鸥总数为n,
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6.[探究点三]商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双,商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况,以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本,分为5组,已知第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9,若第5组表示的是尺码为40—42的皮鞋,则售出的这300双皮鞋中尺码为40—42的皮鞋约为 双.
60
解析 因为第1,2,4组的频数分别为6,7,9,
所以第1,2,4组的频率分别为
又因为第3组的频率为0.25,所以第5组的频率为1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2,
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7.[探究点二]某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况,随机抽取了一些客户进行回访,调查结果如下表:
汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
回访客户/人 250 100 200 700 350
满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2
其中,满意率是指某种型号汽车的回访客户中,满意人数与总人数的比值.
(1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人,求这个客户不满意的概率;
(2)从所有客户中随机选取1人,估计这个客户满意的概率.
解 (1)由表中数据知,Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6,则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人,这个客户不满意的概率为1-0.6=0.4.
(2)由题意知,回访客户的总人数是250+100+200+700+350=1 600,
回访客户中满意的客户人数是250×0.5+100×0.3+200×0.6+700×0.3+350×0.2=125+30+120+210+70=555,
所以回访客户中客户的满意率为
即从所有客户中随机选取1人,估计这个客户满意的概率约为
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B 级 关键能力提升练
8.(多选题)[2023河北邯郸高一]某学校组织了一次劳动技能大赛,共有100名学生参赛,经过评判,这100名参赛者的得分都在[40,90]内,得分60分以下为不及格,其得分的频率分布直方图如图所示.按得分分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]这五组,则下列结论正确的是( )
A.a=0.005
B.此次比赛得分不及格的共有40人
C.以频率为概率,从这100名参赛者中随机
选取1人,其得分在[60,80)的概率为0.5
D.这100名参赛者得分的中位数为65
ABC
解析 因为(a+0.01+0.02+0.03+0.035)×10=1,所以a=0.005,故A正确;
由题图可知,不及格的人数为100×(0.005+0.035)×10=40,故B正确;
因为得分在[60,80)的频率为(0.03+0.02)×10=0.5,所以从这100名参赛者中随机选取1人,其得分在[60,80)的概率为0.5,故C正确;
这100名参赛者得分的中位数为60+ ≠65,故D错误.
故选ABC.
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9.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)
若干个,从中任取一球,取了10次有7次是白球,估计袋中数量较多的是
球.
白
解析 取出白球的频率是0.7,估计其概率是0.7,那么取出黄球的概率约是0.3,取出白球的概率大于取出黄球的概率,所以估计袋中数量较多的是白球.
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10.某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这1 000名购物者某年网上购物金额(单位:万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为[0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如下:
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电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:元)与购物金额关系如下:
购物金额分组 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9]
发放金额/元 50 100 150 200
(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数;
(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.
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解 (1)1 000名购物者某年网上消费金额位于区间[0.3,0.5)的频率为(1.5+2.5)×0.1=0.4,有400人;位于区间[0.5,0.6)的频率为3.0×0.1=0.3,有300人;位于区间[0.6,0.8)的频率为(2.0+0.8)×0.1=0.28,有280人;位于区间[0.8,0.9]的频率为0.2×0.1=0.02,有20人,购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表:
购物金额x/万元 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9]
优惠券金额y/元 50 100 150 200
频率 0.4 0.3 0.28 0.02
这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为
×(50×400+100×300+150×280+200×20)=96.
(2)由题意知,网上消费金额位于[0.6,0.8)和[0.8,0.9]购物者获得优惠券金额不少于150元,所以购物者获得优惠券金额不少于150元的概率为0.28+0.02=0.3.
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C 级 学科素养拔高练
11.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下所示的统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大
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解 (1)从统计表中可以看出,在这1 000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为 =0.2.
(2)从统计表中可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种
商品,
所以估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为 =0.3.
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11第五章5.1.2 数据的数字特征
A级 必备知识基础练
1.[探究点三]某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试,成绩分别记为x1,x2,x3,…,x10,为研究该生成绩的起伏变化程度,选用以下哪个数字特征最为合适 ( )
A.x1,x2,x3,…,x10的平均值
B.x1,x2,x3,…,x10的标准差
C.x1,x2,x3,…,x10的中位数
D.x1,x2,x3,…,x10的众数
2.[探究点一、二、三](多选题)一组数据6,7,8,a,12的平均数为8,则此组数据的( )
A.众数为8 B.极差为6
C.中位数为8 D.方差为
3.[探究点一、二]10名工人生产某一零件,生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
4.[探究点一、二、三]在某次测量中得到的A样本数据如下:52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数 B.平均数
C.中位数 D.标准差
5.[探究点一、二、三](多选题)[2023重庆八中高二校考期末]有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据3x1,3x2,…,3xn,则( )
A.新样本数据的极差是原样本数据极差的3倍
B.新样本数据的方差是原样本数据方差的3倍
C.新样本数据的中位数是原样本数据中位数的3倍
D.新样本数据的平均数是原样本数据平均数的3倍
6.[探究点一、二]某地区某村的前三年的经济收入分别为100,200,300万元,其统计数据的中位数为x,平均数为y;经过今年政府新农村建设后,该村经济收入在上年基础上翻番,则在这四年的收入的统计数据中,下列说法正确的是( )
A.中位数为x,平均数为1.5y
B.中位数为1.25x,平均数为y
C.中位数为1.25x,平均数为1.5y
D.中位数为1.5x,平均数为2y
7.[探究点一、三]有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:
甲:7 8 10 9 8 8 6
乙:9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是( )
A.甲射击的平均成绩比乙好
B.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C.乙射击的平均成绩比甲好
D.甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
8.[探究点二·2023贵州黔南高二校考开学考试]一组数据12,34,15,24,39,25,31,48,32,36,36,37,42,50的25%分位数,75%分位数分别是 、 .
9.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为 .
10.[探究点一、三·2023宁夏石嘴山高二]甲、乙两人在相同条件下各射击10次,每次命中的环数如下:
甲:8 6 7 8 6 5 9 10 4 7
乙: 6 7 7 8 6 7 8 7 9 5
(1)分别计算两组数据的平均数;
(2)分别计算两组数据的方差;
(3)根据计算结果,对甲、乙两人的射击成绩作出评价.
B级 关键能力提升练
11.(多选题)下列说法正确的是( )
A.数据的极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据的平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据的标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据的方差越小,样本数据分布越集中、稳定
12.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩:56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,则这15人成绩的70%分位数是( )
A.86 B.87 C.88 D.89
13.一组5个数据中,前4个数据的平均数是20,全部5个数据的平均数是19,则第5个数据是 .
14.某篮球运动员在12场比赛中的得分情况如下:
15,12,20,31,25,36,31,36,44,39,37,49.
求该运动员得分的25%分位数,75%分位数和90%分位数.
15.某公司随机邀请8名员工代表对集团内甲、乙两个项目进行民主测评(满意度最高分120,最低分0,分数越高说明员工满意度越高,分数越低说明员工满意度越低).测评的数据如下:
甲项目:96,112,97,108,100,103,86,98;
乙项目:108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两个项目满意度测评数据的平均数、中位数;
(2)分别计算甲、乙两个项目满意度测评数据的方差;
(3)根据以上数据你认为这两个项目哪个项目员工满意度比较高
16.某校为了解各班学生的数学、物理学习情况,利用随机数表法从全年级600名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析.已知学生考号的后三位分别为000,001,002,…,599.
(1)若从随机数表的第5行第7列的数开始向右读,请依次写出抽取的前5人的后三位考号;
(2)如果题(1)中随机抽取到的5名同学的数学、物理成绩(单位:分)对应如下表:
数学成绩 87 91 90 89 93
物理成绩 89 90 91 88 92
求这两科成绩的平均数和方差,并且分析哪科成绩更稳定.
附:(下面是摘自随机数表的第4行到第6行)
……
16 27 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 04 03 72 93 15 31 02 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
……
C级 学科素养创新练
17.在一次高一年级统一考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高一学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.
(1)若采用随机数表法抽样,并按照以下随机数表,以方框内的数字5为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的75%分位数.
05269 37060 22358 51513 92035 15977 59567 80683 52910 57074
07971 08823 09984 29964 61716 29915 06512 91693 58057 70951
51268 78585 54876 64754 73320 81112 44959 26316 29562 42948
26996 16553 58377 88070 42105 06742 32175 58574 94446 71694
14655 26875 87593 62241 26786 30655 13082 70150 15293 93943
(2)若采用分层抽样,按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层,且样本中A题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4;样本中B题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.
参考答案
5.1.2 数据的数字特征
1.B
2.BD 由题可得=8,
∴a=7.
∴此组数据众数为7,极差为12-6=6,中位数为7,
方差为.
故选BD.
3.D 依题意,
a==14.7,中位数b=15,众数c=17,故c>b>a,故选D.
4.D A样本的每个数据都加上6后形成B样本,样本的稳定性不变,因此两个样本的标准差相等.故选D.
5.ACD 设样本数据x1,x2,…,xn的最大值为xmax,最小值为xmin,平均数为,中位数为x,方差为s2,则极差为xmax-xmin.
新样本数据3x1,3x2,…,3xn的最大值为3xmax,最小值为3xmin,平均数为3,中位数为3x,方差为32s2=9s2,则极差为3xmax-3xmin=3(xmax-xmin),
即新样本数据的极差是原样本数据极差的3倍,新样本数据的方差是原样本数据方差的9倍,
新样本数据的中位数是原样本数据中位数的3倍,新样本数据的平均数是原样本数据平均数的3倍.
故选ACD.
6.C 依题意,x=200,y==200,第四年收入为600万元,故在这四年的收入中,中位数为=250=1.25x,平均数为=300=1.5y,故选C.
7.D 甲命中的环数的平均数为×(7+8+10+9+8+8+6)=8,
乙命中的环数的平均数为×(9+10+7+8+7+7+8)=8,
所以甲、乙射击的平均成绩相等,故A,C均错误;
甲射击的成绩的众数是8,乙射击的成绩的众数是7,
所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数,故B错误;
甲射击的成绩的极差为10-6=4,乙射击的成绩的极差为10-7=3,
所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差,故选D.
8.25 39 把数据从小到大排序为12,15,24,25,31,32,34,36,36,37,39,42,48,50,共14个数,
则14×25%=3.5,14×75%=10.5,所以25%分位数,75%分位数分别是第4,11项数据,即为25,39.
9.4 由题意可得x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8.
设x=10+t,y=10-t,则2t2=8,解得t=±2,
所以|x-y|=2|t|=4.
10.解(1)甲的平均数
=7,
乙的平均数=7.
(2)甲的方差为(xi-)2==3,
乙的方差为(xi-)2==1.2.
(3)由(1)(2)知,,
所以甲、乙平均成绩一样,但乙的成绩比甲稳定.
11.ACD
12.C 因为15×0.7=10.5,所以这15人的70%分位数为第11位数88.故选C.
13.15 设5个数据为a,b,c,d,e,因为前4个数据的平均数是20,
所以=20,则a+b+c+d=80.①
全部5个数据的平均数是19,
所以=19,所以a+b+c+d+e=95.②
②-①,得e=15.
14.解将该组数据按从小到大的顺序排列12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49.
因为12×25%=3,12×75%=9,12×90%=10.8,所以该运动员得分的25%分位数为=22.5,
该运动员得分的75%分位数为=38,
该运动员得分的90%分位数为x11=44.
15.解(1)甲项目满意度测评数据的平均数为
=100,
甲项目满意度测评数据的中位数为=99;
乙项目满意度测评数据的平均数为
=100,
乙项目满意度测评数据的中位数为=99.
(2)甲项目满意度测评数据的方差
=55.25;
乙项目满意度测评数据的方差
=29.5.
(3)由(1)(2)知甲、乙两个项目满意度测评数据的平均数相同、中位数相同,而乙项目满意度测评数据的方差小于甲项目满意度测评数据的方差,所以乙项目满意度比较高.
16.解(1)抽取的前5人的后三位考号分别为310,403,315,210,142.
(2)由题中数据可得=90,
=90,
∴×[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,
×[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,
由,可知物理成绩更稳定.
17.解(1)根据题意读出的编号依次是:
512,916(超界),935(超界),805,770,951(超界),512(重复),687,858,554,876,647,547,332,将有效编号从小到大排列,得332,512,547,554,647,687,770,805,858,876,
因为10×75%=7.5,所以样本编号的 75%分位数为805.
(2)记样本中8个A题目成绩分别为x1,x2,…,x8,2个B题目成绩分别为y1,y2,
由题意知xi=8×7=56,
(xi-7)2=8×4=32,
yi=16,(yi-8)2=2×1=2,
所以样本平均数为=7.2,
样本方差为
=
=(x1-7)2-0.4(xi-7)+8×0.22+(yi-0.8)2+1.6(yi-8)+2×0.82]
=
=3.56,
所以用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数为 7.2,方差为 3.56.第五章5.1.4 用样本估计总体
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]某校学生的男女人数之比为2∶3,按照男女比例通过分层抽样的方法抽到一个样本,样本中男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟.结合此数据,估计该校全体学生每天运动时间的平均值为 ( )
A.98分钟 B.88分钟
C.90分钟 D.85分钟
2.[探究点一·2023上海闵行高一月考]甲、乙两工厂生产某种产品,抽取连续5个月的产品生产产量(单位:件)情况如下.甲:80,70,100,50,90;乙:60,70,80,55,95,则下列说法中正确的是( )
A.甲平均产量高,甲产量稳定
B.甲平均产量高,乙产量稳定
C.乙平均产量高,甲产量稳定
D.乙平均产量高,乙产量稳定
3.[探究点三·2023浙江绍兴高一期末]如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图.根据频率分布直方图,则自学时间的中位数和众数的估计值分别是( )(精确到0.01)
A.2.20,2.25 B.2.29,2.20
C.2.29,2.25 D.2.25,2.25
4.[探究点三]某中学为了解学生数学课程的学习情况,在2 200名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测这2 200名学生在该次数学考试中成绩不小于80分的学生有 人.
5.[探究点一]为了调查甲、乙两个交通站的车流量,随机选取了14天,统计每天上午8:00~12:00各自的车流量(单位:百辆),得如图所示的茎叶图,试求:
(1)甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少
(2)甲交通站的车流量在[10,40]间的频率是多少
(3)甲、乙两个交通站哪个站更繁忙 并说明理由.
6.[探究点二]某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位:h),甲同学抽取了一个容量为10的样本,并算得样本的平均数为5,方差为9;乙同学抽取了一个容量为8的样本,并算得样本的平均数为6,方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本,求合在一起后的样本均值与样本方差.
B级 关键能力提升练
7.为了解我校高一年级2 300名学生对A、B、C这三部电影的观影情况,随机调查了100名在校学生,其中看过A或B的学生共有80名,看过B的学生共有60名,看过B且看过A的学生共有50名,则该校高一年级看过A的学生人数的估计值为( )
A.1 150 B.1 380
C.1 610 D.1 860
8.为了解户籍和性别对生育多胎(二胎或三胎)选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了样本容量为100的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各50人,男性60人,女性40人.绘制不同群体中倾向选择生育多胎与倾向选择不生育多胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育多胎的对应比例,则下列叙述中正确的是( )
A.是否倾向选择生育多胎与户籍无关
B.是否倾向选择生育多胎与性别有关
C.倾向选择生育多胎的人员中,男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数
9.(多选题)某校对200名考生的数学竞赛成绩进行统计,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示频率直方图,则根据频率直方图,下列说法正确的是( )
A.a=0.01
B.估计该校学生数学竞赛成绩的平均数在[70,80)内
C.该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80
D.该校学生数学竞赛成绩不低于80分的有90人
10.[2023湖北襄阳高一]抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况,情况如下饼图,则估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师百分比为 .
11.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)已知样本中分数在[40,50)的学生有5人,试估计总体中分数小于40的人数;
(2)试估计测评成绩的75%分位数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.
C级 学科素养创新练
12.某学校举办了一场党史竞赛活动,共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数,满分为100分)进行统计,所有学生的得分都不低于60分,将这50名学生的得分进行分组,第一组[60,70),第二组[70,80),第三组[80,90),第四组[90,100](单位:分),得到如下的频率分布直方图.
(1)求图中m的值,估计此次竞赛活动学生得分的中位数;
(2)根据频率分布直方图,估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励,估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖(同一组数据用该区间的中点值作代表).
参考答案
5.1.4 用样本估计总体
1.B 由题设,若该校男生人数为2n,则女生人数为3n,
∴该校全体学生每天运动时间的平均值为=88分钟.故选B.
2.B 由题可得,=78,
方差×[(80-78)2+(70-78)2+(100-78)2+(50-78)2+(90-78)2]=296.
=72,方差=206.
∵78>72,296>206,
∴甲平均产量高,乙产量稳定.
故选B.
3.C 由频率分布直方图得,自学时间在[0.5,2)的频率为(0.16+0.2+0.34)×0.5=0.35,
自学时间在[2,2.5)的频率为0.52×0.5=0.26,
所以自学时间的中位数为2+×0.5≈2.29,众数为=2.25.
故选C.
4.616 2200×[(0.020+0.008)×10]=2200×0.28=616.
5.解(1)甲交通站的车流量的极差为73-8=65,乙交通站的车流量的极差为71-5=66.
(2)甲交通站的车流量在[10,40]间的频率为.
(3)甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方,而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方,从数据的分布情况来看,甲交通站更繁忙.
6.解 由题意知,甲同学抽取的样本容量m=10,样本平均数为=5,样本方差为s2=9;
乙同学抽取的样本容量n=8,样本平均数为=6,样本方差t2=16.
故合在一起后的样本均值为≈5.44.
样本方差为×(10×9+8×16)+×(5-6)2=×218+≈12.36.
7.C 依题意,接受调查的100名学生中有70名看过A,故全校学生中看过A这部影片的人数约为2300×0.7=1610.
8.D 城镇户籍倾向选择生育多胎的比例为40%,农村户籍倾向选择生育多胎的比例为80%,
∴是否倾向选择生育多胎与户籍有关,故A错误;
男性倾向选择生育多胎的比例为60%,女性倾向选择生育多胎的比例为60%,
∴是否倾向选择生育多胎与性别无关,故B错误;
男性倾向选择生育多胎的比例为60%,人数为60×60%=36,
女性倾向选择生育多胎的比例为60%,人数为40×60%=24,
∴倾向选择生育多胎的人员中,男性人数比女性人数多,故C错误;
倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数为50×(1-80%)=10人,
城镇户籍人数为50×(1-40%)=30人,
∴倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,故D正确.
故选D.
9.AB 频率和10×(2a+0.02+0.025+0.035)=1,得a=0.01,故A正确;
平均数等于55×10×0.01+65×10×0.02+75×10×0.035+85×10×0.025+95×10×0.01=75.5,故B正确;
设中位数为x,则10×0.01+10×0.02+(x-70)×0.035=0.5,解得x≈75.7,故C错误;
数学竞赛成绩大于80分的频率为(0.025+0.01)×10=0.35,200×0.35=70 人,故D错误.
故选AB.
10.25% 由题可知,35岁以下教师总人数为50÷62.5%=80,∴35岁以下具有研究生学历的教师人数为80-50=30,故估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师的百分比为×100%=25%.
11.解(1)由频率分布直方图知,分数在[50,90]的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,在样本中分数在[50,90]的人数为100×0.9=90,在样本中分数在[40,90]的人数为95人,所以分数在[40,90]的频率为0.95.所以总体中分数在[40,90]的人数约为400×0.95=380,总体中分数小于40的人数约为20.
(2)测试成绩从低到高排序,占人数75%的人分数在[70,80)之间,所以估计测评成绩的75%分位数为70+10×=70+8.75=78.75.
(3)由频率分布直方图知,样本中分数不小于70分的人数共有60人,由已知男女各占30人,从而样本中男生有60人,女生有40人,故总体中男生与女生的比例为.
12.解(1)由频率分布直方图知(0.01+m+0.04+0.02)×10=1,解得m=0.03,
设此次竞赛活动学生得分的中位数为x0,因数据落在[60,80)内的频率为0.4,落在[60,90)内的频率为0.8,从而可得80(2)由频率分布直方图及(1)知,数据落在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2.
=65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82,
此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为0.2+×0.4=0.52,则500×0.52=260,
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82,在参赛的500名学生中估计有260名学生获奖.(共22张PPT)
第五章
5.1.4 用样本估计总体
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点二]某校学生的男女人数之比为2∶3,按照男女比例通过分层抽样的方法抽到一个样本,样本中男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟.结合此数据,估计该校全体学生每天运动时间的平均值为
( )
A.98分钟 B.88分钟 C.90分钟 D.85分钟
B
解析 由题设,若该校男生人数为2n,则女生人数为3n,
∴该校全体学生每天运动时间的平均值为 =88分钟.故选B.
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2.[探究点一·2023上海闵行高一月考]甲、乙两工厂生产某种产品,抽取连续5个月的产品生产产量(单位:件)情况如下.甲:80,70,100,50,90;乙:60,70,80,55,95,则下列说法中正确的是( )
A.甲平均产量高,甲产量稳定
B.甲平均产量高,乙产量稳定
C.乙平均产量高,甲产量稳定
D.乙平均产量高,乙产量稳定
B
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3.[探究点三·2023浙江绍兴高一期末]如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图.根据频率分布直方图,则自学时间的中位数和众数的估计值分别是( )
(精确到0.01)
A.2.20,2.25
B.2.29,2.20
C.2.29,2.25
D.2.25,2.25
C
解析 由频率分布直方图得,自学时间在[0.5,2)的频率为(0.16+0.2+0.34)×0.5=0.35,
自学时间在[2,2.5)的频率为0.52×0.5=0.26,
所以自学时间的中位数为
故选C.
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4.[探究点三]某中学为了解学生数学课程的学习情况,在2 200名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测这2 200名学生在该次数学考试中成绩不小于80分的学生有 人.
616
解析 2 200×[(0.020+0.008)×10]=2 200×0.28=616.
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5.[探究点一]为了调查甲、乙两个交通站的车流量,随机选取了14天,统计每天上午8:00~12:00各自的车流量(单位:百辆),得如图所示的茎叶图,试求:
(1)甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是
多少
(2)甲交通站的车流量在[10,40]间的频率是多少
(3)甲、乙两个交通站哪个站更繁忙 并说明理由.
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解 (1)甲交通站的车流量的极差为73-8=65,乙交通站的车流量的极差为71-5=66.
(2)甲交通站的车流量在[10,40]间的频率为
(3)甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方,而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方,从数据的分布情况来看,甲交通站更繁忙.
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6.[探究点二]某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位:h),甲同学抽取了一个容量为10的样本,并算得样本的平均数为5,方差为9;乙同学抽取了一个容量为8的样本,并算得样本的平均数为6,方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本,求合在一起后的样本均值与样本方差.
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解 由题意知,甲同学抽取的样本容量m=10,样本平均数为 =5,样本方差为s2=9;
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B 级 关键能力提升练
7.为了解我校高一年级2 300名学生对A、B、C这三部电影的观影情况,随机调查了100名在校学生,其中看过A或B的学生共有80名,看过B的学生共有60名,看过B且看过A的学生共有50名,则该校高一年级看过A的学生人数的估计值为( )
A.1 150 B.1 380
C.1 610 D.1 860
C
解析 依题意,接受调查的100名学生中有70名看过A,故全校学生中看过A这部影片的人数约为2 300×0.7=1 610.
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8.为了解户籍和性别对生育多胎(二胎或三胎)选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了样本容量为100的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各50人,男性60人,女性40人.绘制不同群体中倾向选择生育多胎与倾向选择不生育多胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育多胎的对应比例,则下列叙述中正确的是( )
A.是否倾向选择生育多胎与户籍无关
B.是否倾向选择生育多胎与性别有关
C.倾向选择生育多胎的人员中,男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数
D
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解析 城镇户籍倾向选择生育多胎的比例为40%,农村户籍倾向选择生育多胎的比例为80%,
∴是否倾向选择生育多胎与户籍有关,故A错误;
男性倾向选择生育多胎的比例为60%,女性倾向选择生育多胎的比例为60%,
∴是否倾向选择生育多胎与性别无关,故B错误;
男性倾向选择生育多胎的比例为60%,人数为60×60%=36,
女性倾向选择生育多胎的比例为60%,人数为40×60%=24,
∴倾向选择生育多胎的人员中,男性人数比女性人数多,故C错误;
倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数为50×(1-80%)=10人,
城镇户籍人数为50×(1-40%)=30人,
∴倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,故D正确.
故选D.
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9.(多选题)某校对200名考生的数学竞赛成绩进行统计,分成[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示频率直方图,则根据频率直方图,下列说法正确的是( )
A.a=0.01
B.估计该校学生数学竞赛成绩的平均数在[70,80)内
C.该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80
D.该校学生数学竞赛成绩不低于80分的有90人
AB
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解析 频率和10×(2a+0.02+0.025+0.035)=1,得a=0.01,故A正确;
平均数等于55×10×0.01+65×10×0.02+75×10×0.035+85×10×0.025+95×10×0.01
=75.5,故B正确;
设中位数为x,则10×0.01+10×0.02+(x-70)×0.035=0.5,解得x≈75.7,故C错误;
数学竞赛成绩大于80分的频率为(0.025+0.01)×10=0.35,200×0.35=70 人,故D错误.
故选AB.
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10.[2023湖北襄阳高一]抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况,情况如下饼图,则估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师百分比为
.
25%
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解析 由题可知,35岁以下教师总人数为50÷62.5%=80,∴35岁以下具有研究生学历的教师人数为80-50=30,故估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师的百分比为 ×100%=25%.
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C 级 学科素养拔高练
11.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)已知样本中分数在[40,50)的学生有5人,试估计总体中分数小于40的人数;
(2)试估计测评成绩的75%分位数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.
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解 (1)由频率分布直方图知,分数在[50,90]的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,在样本中分数在[50,90]的人数为100×0.9=90,在样本中分数在[40,90]的人数为95人,所以分数在[40,90]的频率为0.95.所以总体中分数在[40,90]的人数约为400×0.95=380,总体中分数小于40的人数约为20.
(2)测试成绩从低到高排序,占人数75%的人分数在[70,80)之间,所以估计测评成绩的75%分位数为70+10× =70+8.75=78.75.
(3)由频率分布直方图知,样本中分数不小于70分的人数共有60人,由已知男女各占30人,从而样本中男生有60人,女生有40人,故总体中男生与女生的比例为
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12.某学校举办了一场党史竞赛活动,共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数,满分为100分)进行统计,所有学生的得分都不低于60分,将这50名学生的得分进行分组,第一组[60,70),第二组[70,80),第三组[80,90),第四组[90,100](单位:分),得到如下的频率分布直方图.
(1)求图中m的值,估计此次竞赛活动学生得分的中位数;
(2)根据频率分布直方图,估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励,估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖(同一组数据用该区间的中点值作代表).
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解 (1)由频率分布直方图知(0.01+m+0.04+0.02)×10=1,解得m=0.03,
设此次竞赛活动学生得分的中位数为x0,因数据落在[60,80)内的频率为0.4,落在[60,90)内的频率为0.8,从而可得80(2)由频率分布直方图及(1)知,数据落在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2.
=65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82,
此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为0.2+ ×0.4=0.52,则500×0.52=260,
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82,在参赛的500名学生中估计有260名学生获奖.(共21张PPT)
第五章
5.4 统计与概率的应用
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点二·2023陕西榆林高二校考阶段练习]某抽奖活动中奖的概率为 ,这是指( )
A.买10 000张彩票一定能中奖
B.买10 000张彩票只能中奖1次
C.若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张必中奖
D.买一张彩票中奖的可能性是
D
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2.[探究点二]某学生学习游泳,他每次游泳测试达标的概率都为60%,现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次达标的概率:先由计算器产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示未达标,5,6,7,8,9,0表示达标;再以每三个随机数为一组,代表三次测试的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
917 966 891 925 271 932 872 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 507 989
据此估计,该同学三次测试恰有两次达标的概率为( )
A.0.50 B.0.40 C.0.43 D.0.48
A
解析 因为这20个数据中符合条件的有917,891,925,872,458,683,257,027,488,730,共10个,所以所求事件的概率为
=0.50,故选A.
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3.[探究点二]在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的身份证号码的尾数是奇数吗 ”敏感的问题是:“你服用过兴奋剂吗 ”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为( )
A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44%
B
解析 在调查了300名运动员后,我们期望有150人回答了第一个问题,而这150人中又大约一半的人,即75人回答了“是”,其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂,由此估计这群人中服用过兴奋剂的大约占 ≈3.33%,故选B.
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4.[探究点一]下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良.某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市,并停留2天(包括到达当天).此人停留期间只有1天空气质量优良的概率为( )
D
解析 3月1日至3月14日中,若停留2天有(1,2),(2,3),…,(13,14),共有13种可能,停留期间只有1天空气质量优良的有(3,4),(6,7),(7,8),(11,12)共4种可能.所以对应概率为P= .
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5.[探究点三·2023山东烟台高一]博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则P1+P2= .
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6.[探究点一]流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定,当空气相对湿度大于65%或小于40%时,病毒繁殖滋生较快,当空气相对湿度在45%~55%时,病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度,共300个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便,将空气相对湿度在a%~b%时记为区间[a,b).
编号 1 2 3 4
分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55)
频数 2 3 15 30
编号 5 6 7 8
分组 [55,65) [65,75) [75,85) [85,95]
频数 50 75 120 5
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(1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率;
(2)从区间[15,35)的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于[25,35)内的概率;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组.
解 (1)由已知,当空气相对湿度在45%~55%时,病毒死亡较快.
而样本在[45,55)上的频数为30,所以所求频率为
(2)设事件A为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据,恰有一个数据位于[25,35)内”,设区间[15,25)中的两个数据为a1,a2,区间[25,35)中的三个数据为b1,b2,b3,因此,从区间[15,35)的数据中任取两个数据,包含(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10个样本点,而事件A包含(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共6个样本点,所以
(3)样本的平均数为
≈68.43,故样本的平均数在第6组.
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B 级 关键能力提升练
7.某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则:
规则一:投掷一枚质地均匀的硬币,出现正面向上,甲发球,否则乙发球;
规则二:从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;
规则三:从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.
其中对甲、乙公平的规则是( )
A.规则一和规则二 B.规则一和规则三
C.规则二和规则三 D.规则二
B
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解析 对于规则一,每人发球的概率都是 ,是公平的;
对于规则二,记2个红球分别为红1、红2,2个黑球分别为黑1、黑2,则随机取出2个球的所有样本点为(红1,红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,黑1),
(红2,黑2),(黑1,黑2),共包含6个样本点,其中同色的情况有2种,所以甲发球的可能性为 ,不公平;
对于规则三,记3个红球分别为红1、红2、红3,则随机取出2个球所有样本点为(红1,红2),(红1,红3),(红1,黑),(红2,红3),(红2,黑),(红3,黑),共包含6个样本点,其中同色的情况有3种,所以两人发球的可能性均为 ,是公平的.因此,对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.故选B.
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C 级 学科素养拔高练
8.某大学就业部从该大学2021年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查,其中有一项是他们的月薪情况,经调查统计发现,他们的月薪在3 000元到10 000元之间,根据统计数据得到如下所示的频率分布直方图:
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若月薪落在区间( -2s, +2s)的左侧,则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生,学校将联系本人,咨询月薪过低的原因,从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见.其中 ,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得s≈1 500元(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
(1)现该校2021年大学本科毕业生张茗的月薪为3 600元,试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生;
(2)为感谢同学们对这项调查工作的支持,该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽取6人,各赠送一份礼品,并从这6人中再随机抽取2人,各赠送某款智能手机1部,求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5 000元的概率;
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(3)位于某省的一高校2021年某专业本科毕业生共200人,现他们决定举办一次同学联谊会,并收取一定的活动费用.假定这200人与某大学就业部所抽取的样本的月薪分布情况相同,并用样本频率估计总体频率,现有两种收费方案:
方案一:按每人一个月薪水的10%收取;
方案二:月薪高于样本平均数的每人收取800元,月薪不低于4 000元但低于样本平均数的每人收取400元,月薪低于4 000元的不收取任何费用.
问:哪一种收费方案最终总费用较少
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解 (1) =3 500×1 000×0.000 05+4 500×1 000×0.000 10+5 500×1 000 ×0.000 15+6 500×1 000×0.000 30+7 500×1 000×0.000 20+8 500×1 000 ×0.000 15 +9 500×1 000×0.000 05= 6 650,
-2s=6 650-3 000=3 650>3 600,所以张茗属于“就业不理想”的学生.
(2)第一组有1 000×0.000 05×100=5(人),第二组有1 000×0.000 10×100 =10(人),第三组有1 000×0.000 15×100=15(人),所以按照分层抽样抽6人时,第一组抽1人,记为A;第二组抽2人,记为B,C;第三组抽3人,记为D,E,F.
样本空间Ω={(A,B),(A,C),( A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E ),(B,F),(C,D),(C,E), (C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含15个样本点.记M:恰有一人月薪不超过5 000元,则M={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共包含9个样本点.
根据古典概型的概率公式可得
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(3)方案一:月薪在3 000~4 000元的共收取1 000×0.000 05×200×3 500×0.1
=3 500(元);
月薪在4 000~5 000 元的共收取 1 000×0.000 10×200×4 500×0.1=9 000(元);
月薪在5 000~6 000元的共收取 1 000×0.000 15×200×5 500×0.1=16 500(元);
月薪在 6 000~7 000 元的共收取 1 000×0.000 30×200×6 500×0.1
=39 000(元);
月薪在7 000~8 000 元的共收取 1 000×0.000 20×200×7 500×0.1=30 000(元);
月薪在8 000~9 000 元的共收取 1 000×0.000 15×200×8 500×0.1=25 500(元);
月薪在9 000~10 000 元的共收取 1 000×0.000 05×200×9 500×0.1 =9 500(元).
故按方案一收费的最终总费用为133 000 元.
方案二:月薪高于6 650元的共收取
800×200×[(7 000-6 650)×0.000 30 +1 000×( 0.000 20+0.000 15+0.000 05 )]
= 80 800(元);
月薪不低于4 000元但低于 6 650元的共收取
400×200×[(6 650 -6 000)×0.000 30+1 000×(0.000 10+0.000 15)]
=35 600(元).
故按方案二收费的最终总费用为116 400元.
因为 116 400<133 000,所以方案二的最终总费用较少.
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8第五章5.4 统计与概率的应用
A级 必备知识基础练
1.[探究点二·2023陕西榆林高二校考阶段练习]某抽奖活动中奖的概率为,这是指( )
A.买10 000张彩票一定能中奖
B.买10 000张彩票只能中奖1次
C.若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张必中奖
D.买一张彩票中奖的可能性是
2.[探究点二]某学生学习游泳,他每次游泳测试达标的概率都为60%,现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次达标的概率:先由计算器产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示未达标,5,6,7,8,9,0表示达标;再以每三个随机数为一组,代表三次测试的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
917 966 891 925 271 932 872 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 507 989
据此估计,该同学三次测试恰有两次达标的概率为 ( )
A.0.50 B.0.40 C.0.43 D.0.48
3.[探究点二]在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的身份证号码的尾数是奇数吗 ”敏感的问题是:“你服用过兴奋剂吗 ”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为( )
A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44%
4.[探究点一]下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良.某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市,并停留2天(包括到达当天).此人停留期间只有1天空气质量优良的概率为( )
A. B. C. D.
5.[探究点三·2023山东烟台高一]博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则P1+P2= .
6.[探究点一]流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定,当空气相对湿度大于65%或小于40%时,病毒繁殖滋生较快,当空气相对湿度在45%~55%时,病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度,共300个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便,将空气相对湿度在a%~b%时记为区间[a,b).
编号 1 2 3 4
分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55)
频数 2 3 15 30
编号 5 6 7 8
分组 [55,65) [65,75) [75,85) [85,95]
频数 50 75 120 5
(1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率;
(2)从区间[15,35)的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于[25,35)内的概率;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组.
B级 关键能力提升练
7.某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则:
规则一:投掷一枚质地均匀的硬币,出现正面向上,甲发球,否则乙发球;
规则二:从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;
规则三:从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.
其中对甲、乙公平的规则是( )
A.规则一和规则二
B.规则一和规则三
C.规则二和规则三
D.规则二
C级 学科素养创新练
8.某大学就业部从该大学2021年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查,其中有一项是他们的月薪情况,经调查统计发现,他们的月薪在3 000元到10 000元之间,根据统计数据得到如下所示的频率分布直方图:
若月薪落在区间(-2s,+2s)的左侧,则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生,学校将联系本人,咨询月薪过低的原因,从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见.其中,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得s≈1 500元(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
(1)现该校2021年大学本科毕业生张茗的月薪为3 600元,试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生;
(2)为感谢同学们对这项调查工作的支持,该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽取6人,各赠送一份礼品,并从这6人中再随机抽取2人,各赠送某款智能手机1部,求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5 000元的概率;
(3)位于某省的一高校2021年某专业本科毕业生共200人,现他们决定举办一次同学联谊会,并收取一定的活动费用.假定这200人与某大学就业部所抽取的样本的月薪分布情况相同,并用样本频率估计总体频率,现有两种收费方案:
方案一:按每人一个月薪水的10%收取;
方案二:月薪高于样本平均数的每人收取800元,月薪不低于4 000元但低于样本平均数的每人收取400元,月薪低于4 000元的不收取任何费用.
问:哪一种收费方案最终总费用较少
参考答案
5.4 统计与概率的应用
1.D
2.A 因为这20个数据中符合条件的有917,891,925,872,458,683,257,027,488,730,共10个,所以所求事件的概率为=0.50,故选A.
3.B 在调查了300名运动员后,我们期望有150人回答了第一个问题,而这150人中又大约一半的人,即75人回答了“是”,其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂,由此估计这群人中服用过兴奋剂的大约占≈3.33%,故选B.
4.D 3月1日至3月14日中,若停留2天有(1,2),(2,3),…,(13,14),共有13种可能,停留期间只有1天空气质量优良的有(3,4),(6,7),(7,8),(11,12)共4种可能.所以对应概率为P=.
5. 三辆车的出车顺序可能为123,132,213,231,312,321,共6种情况.
方案一坐车可能:132,213,231,所以P1=;
方案二坐车可能:312,321,所以P2=.
故P1+P2=.
6.解(1)由已知,当空气相对湿度在45%~55%时,病毒死亡较快.
而样本在[45,55)上的频数为30,所以所求频率为.
(2)设事件A为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据,恰有一个数据位于[25,35)内”,设区间[15,25)中的两个数据为a1,a2,区间[25,35)中的三个数据为b1,b2,b3,因此,从区间[15,35)的数据中任取两个数据,包含(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10个样本点,而事件A包含(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共6个样本点,所以P(A)=.
(3)样本的平均数为=
≈68.43,故样本的平均数在第6组.
7.B 对于规则一,每人发球的概率都是,是公平的;
对于规则二,记2个红球分别为红1、红2,2个黑球分别为黑1、黑2,则随机取出2个球的所有样本点为(红1,红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,黑1),(红2,黑2),(黑1,黑2),共包含6个样本点,其中同色的情况有2种,所以甲发球的可能性为,不公平;
对于规则三,记3个红球分别为红1、红2、红3,则随机取出2个球所有样本点为(红1,红2),(红1,红3),(红1,黑),(红2,红3),(红2,黑),(红3,黑),共包含6个样本点,其中同色的情况有3种,所以两人发球的可能性均为,是公平的.因此,对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.故选B.
8.解(1)=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650,
-2s=6650-3000=3650>3600,所以张茗属于“就业不理想”的学生.
(2)第一组有1000×0.00005×100=5(人),第二组有1000×0.00010×100=10(人),第三组有1000×0.00015×100=15(人),所以按照分层抽样抽6人时,第一组抽1人,记为A;第二组抽2人,记为B,C;第三组抽3人,记为D,E,F.
样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含15个样本点.记M:恰有一人月薪不超过5000元,则M={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共包含9个样本点.
根据古典概型的概率公式可得P(M)=.
(3)方案一:月薪在3000~4000元的共收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500(元);
月薪在4000~5000 元的共收取 1000×0.00010×200×4500×0.1=9000(元);
月薪在5000~6000元的共收取 1000×0.00015×200×5500×0.1=16500(元);
月薪在 6000~7000 元的共收取 1000×0.00030×200×6500×0.1=39000(元);
月薪在7000~8000 元的共收取 1000×0.00020×200×7500×0.1=30000(元);
月薪在8000~9000 元的共收取 1000×0.00015×200×8500×0.1=25500(元);
月薪在9000~10000 元的共收取 1000×0.00005×200×9500×0.1=9500(元).
故按方案一收费的最终总费用为133000 元.
方案二:月薪高于6650元的共收取800×200×[(7000-6650)×0.00030+1000×(0.00020+0.00015+0.00005)]=80800(元);
月薪不低于4000元但低于 6650元的共收取400×200×[(6650-6000)×0.00030+1000×(0.00010+0.00015)]=35600(元).
故按方案二收费的最终总费用为116400元.
因为 116400<133000,所以方案二的最终总费用较少.(共22张PPT)
第五章
5.3.3 古典概型
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点三]一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为( )
B
解析 设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A,则样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),…,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,其中事件A={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)},包含6个样本点,所以
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2.[探究点一]下列试验中是古典概型的是( )
A.种下一粒花生,观察它是否发芽
B.向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合
C.从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率
D.在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率
C
解析 A选项中试验不具备等可能性;B,D选项中试验不具备有限性,故选C.
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3.[探究点二·2023广西钦州统考模拟预测]现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩,则蓝、白口罩同时被选中的概率为 .
0.3
解析 从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩,则样本点有(蓝,白,红),(蓝,白,黑),(蓝,白,绿),(蓝,红,黑),(蓝,红,绿),(蓝,黑,绿),(白,红,黑),(白,红,绿),(白,黑,绿),(红,黑,绿),共有10个.其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有(蓝,白,红),(蓝,白,黑),(蓝,白,绿),共3个,所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为0.3.
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4.[探究点二]连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是 ;“至少有2枚反面朝上”的概率是 .
解析 样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1= ,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率
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5.[探究点三]口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲胜,否则算乙胜.
(1)求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率.
(2)这种游戏规则公平吗 试说明理由.
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解 (1)设“甲胜且编号的和为6”为事件A.
甲编号为x,乙编号为y,(x,y)表示一个样本点,则两人摸球结果的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),…,(5,4),(5,5)},共25个样本点,A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5个样本点.
所以甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为 .
(2)这种游戏不公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.记D为“两个编号的和为偶数”.
D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)},共包含13个样本点.
因为P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.
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B 级 关键能力提升练
6.(多选题)[2023湖北咸宁高二校考阶段练习]随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,则( )
A.可以排成9个不同的三位数
B.所得的三位数是奇数的概率为
C.所得的三位数是偶数的概率为
D.所得的三位数大于400的概率为
BD
解析 随机地排列数字1,5,6可以得到的三位数有156,165,516,561,615,651,共6个,故A不正确;
其中奇数有165,561,651,615,共4个,所以所得的三位数是奇数的概率为
,故B正确;
其中偶数有156,516,共2个,所以所得的三位数是偶数的概率为 ,故C不正确;
其中大于400的有516,561,615,651,共4个,所以所得的三位数大于400的概率为 ,故D正确.
故选BD.
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7.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁
在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得
食物的概率为
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中
任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为
ABC
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解析 对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)},共3个样本点,记A:甲被选中,则A={(甲,乙),(甲,丙)},共2个样本点,故甲被选中的概率为P= ,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共包含4个样本点,而能构成三角形的样本点为(3,5,7),所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=
故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,则蚂蚁能获得食物的概率为 ,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中元素的概率为 ,故D错误.
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8.(多选题)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动,该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,
则下列结论正确的是( )
A.应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人
B.第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C.第5组志愿者被抽中的概率为
D.第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为
ABC
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设第3组的人分别为a,b,c,第4组的人分别为d,e,第5组的人为f,
则6人中随机抽取2人的样本点为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15个,
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9.在抛掷一颗骰子(一种正方体玩具,六个面分别标有1,2,3,4,5,6字样)的试验中,事件A表示“不大于3的奇数点出现”,事件B表示“小于4的点数出现”,
则事件A+ 的概率为 .
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10.[2023湖北宜昌高二校联考]一个盒子中装有四张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片,每张卡片被抽到的概率相等.
(1)若一次抽取三张卡片,求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率;
(2)若第一次抽一张卡片,放回后搅匀再抽取一张卡片,求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率.
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解 (1)设A表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于8”,
∵从四张卡片中任取三张卡片的样本点是(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4个.
其中数字之和大于8的是(2,3,4),
∴P(A)= .
(2)设B表示事件“至少有一次抽到写有数字2的卡片”,
每次抽1张,有放回地连续抽取两张的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.
事件B包含的样本点有(1,2),(2,2),(2,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),共7个.
∴P(B)= .
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C 级 学科素养拔高练
11.[北师大版教材习题改编]某次茶话会上,共安排4个节目,其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目,按任意次序排出一个节目单,试求下列事件的概率:
(1)舞蹈在最前或最后;
(2)舞蹈和小品1个在最前、1个在最后;
(3)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后;
(4)两个歌唱节目相邻;
(5)舞蹈排在小品之前.
解 将2个歌唱节目分别记为1,2,将舞蹈、小品节目分别记为3,4,按任意次序排出一个节目单,依题意可知,其样本空间中包含的所有样本点:(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,1,4,3),
(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),共24个.
(1)设“舞蹈在最前或最后”为事件A,则满足A的样本点有12个,所以
(2)设“舞蹈和小品1个在最前、1个在最后”为事件B,则满足B的样本点有4个,所以
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(3)设“舞蹈和小品至少有1个在最前或最后”为事件C,则满足C的样本点有20个,所以
(4)设“两个歌唱节目相邻”为事件D,则满足D的样本点有12个,所以
(5)设“舞蹈排在小品之前”为事件E,则满足E的样本点有12个,所以
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