(共35张PPT)
第五章
5.3.1 样本空间与事件
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念.
2.理解随机事件的概念,在实际问题中,能正确求出事件包含的样本点的个数,并会写出相应的样本空间.
3.明确随机事件发生的概率,并能直观判断两个事件概率的大小.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 现象的相关概念
1.随机现象(或偶然现象):一定条件下,发生的结果 的现象.
2.必然现象(或确定性现象):一定条件下,发生的结果 的现象.
事先不能确定
事先能够确定
过关自诊
[2023江苏高一专题练习]以下现象是随机现象的是( )
A.标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾
B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b
C.走到十字路口,遇到红灯
D.三角形内角和为180°
C
解析 对于A,标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾,是必然现象;对于B,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b,是必然现象;对于C,走到十字路口,遇到红灯,是随机现象;对于D,三角形内角和为180°,是必然现象.故选C.
知识点2 样本点和样本空间
1.随机试验(试验):在相同条件下,对 所进行的
称为随机试验(简称为试验).
2.样本点:随机试验中每一种可能出现的 ,都称为样本点.
3.样本空间:由 组成的 称为样本空间.
随机现象
观察或实验
结果
所有样本点
集合
名师点睛
1.随机试验的三个特点
(1)可重复性:试验在相同条件下可重复进行;
(2)可知性:每次试验的可能结果不止一个,并且事先能明确试验所有可能的结果;
(3)不确定性:进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现,但必然会出现结果中的一个.
2.随机现象与随机试验的区别与联系
区别:随机现象与随机试验是两个不同的概念,随机现象发生的结果事先不能确定,而随机试验是对随机现象进行的观察或实验.
过关自诊
[北师大版教材例题改编]写出下列试验的样本空间:
(1)射击一个目标1次,观察是否命中;
(2)连续射击一个目标10次,观察命中的次数.
解 (1)Ω={是,否}.
(2)Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
知识点3 随机事件
1.不可能事件、必然事件、随机事件
随机 事件 如果随机试验的样本空间为Ω,则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且:若试验的结果是A中的元素,则称A发生(或出现等);否则,称A不发生(或不出现等)
必然 事件 每次试验中Ω ,从而称Ω为
不可能 事件 空集 不包含任何样本点,因此可以认为每次试验中 一定不发生,从而称 为
一定发生
必然事件
不可能事件
2.事件:一般地, 都可简称为事件,通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件.特别地,只含有 样本点的事件称为基本事件.
名师点睛
对基本事件的理解
(1)基本事件具有如下性质:①不能再分解的最简单的随机事件;②不同的基本事件不可能同时发生.
(2)事件与基本事件的区别:基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件,而事件可以由若干个基本事件组成.
不可能事件、随机事件、必然事件
一个
过关自诊
1.下列事件中,是随机事件的为( )
①射击运动员某次比赛第一枪击中9环;②投掷2颗质地均匀的骰子,点数之和为14;③13个人中至少有2个人的生日在同一个月;④抛掷一枚质地均匀的硬币,字朝上.
A.①③ B.③④ C.①④ D.②③
C
解析 根据题意,①④为随机事件,②为不可能事件,③为必然事件.
所以是随机事件的为①④.
2.随机试验“连续射击一个目标10次”,表示事件A“至少击中6次”.
解 A={6,7,8,9,10}.
知识点4 随机事件发生的概率
事件A发生的概率通常用P(A)表示.
我们将不可能事件 发生的概率规定为0,将必然事件Ω发生的概率规定为1,即P( )= ,P(Ω)= .
对于任意事件A来说,显然应该有P( )≤P(A)≤P(Ω),即 ≤P(A)≤ .
0
1
0
1
名师点睛
事件发生的可能性越大,它的概率越接近1;反之,事件发生的可能性越小,它的概率越接近0,如图所示.
过关自诊
下列说法正确的是( )
A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为0.6,则比赛5场,甲一定胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
C.小概率事件不可能发生,大概率事件必然要发生
D.气象台预报明天降水概率为90%,是指明天降水的可能性是90%
D
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探究点一 样本点与样本空间
【例1】 (1)一个家庭有两个小孩,则样本空间Ω是( )
A.{(男,女),(男,男),(女,女)}
B.{(男,女),(女,男)}
C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
D.{(男,男),(女,女)}
C
(2)同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,结果记为(x,y).
①写出这个试验的样本空间;
②求这个试验的样本点的总数;
③“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点 “x<3,且y>1”呢
④“xy=4”这一事件包含哪几个样本点 “x=y”呢
解 ①Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
②样本点的总数为16.
③“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
“x<3,且y>1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
④“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1).
“x=y”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
变式探究(1)将例1(2)中条件不变,改为求“x+y是偶数”这一事件包含哪些样本点
(2)在例1(2)的条件下,“xy是偶数”这一事件是必然事件吗
解 (1)“x+y是偶数”包括两种情况,①x,y都是奇数;②x,y都是偶数,故“x+y是偶数”这一事件包含以下8个样本点:(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4).
(2)当x,y均是奇数时,xy是奇数;当x,y中至少有一个是偶数时,xy是偶数,故“xy是偶数”这一事件是随机事件,而不是必然事件.
规律方法 随机事件的结果是相对于条件而言的,要确定样本空间:(1)必须明确事件发生的条件;(2)根据题意,按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
探究点二 事件类型的判断
【例2】 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)“在地球上抛一石块,下落”;
(2)“在标准大气压下,温度低于0 ℃时,冰融化”;
(3)“某人射击一次,中靶”;
(4)“如果a>b,那么a-b>0”;
(5)“掷一枚硬币,出现正面”;
(6)x∈R,则|x|的值不小于0;
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;
(9)“没有水分,种子能发芽”.
解 事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)是不可能事件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件.
规律方法 事件类型的判断方法
要判定某事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生,是不一定发生,还是一定不发生.一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
变式训练1[2023安徽高一单元测试]下列事件中,是随机事件的为 .(填所有正确的序号)
①实数a,b都不为0,则a2+b2=0;
②任取一个正方体的4个顶点,这4个顶点不共面;
③汽车排放尾气会污染环境;
④明天早晨不会有雾.
②④
解析 ①实数a,b都不为0,则a2+b2=0是不可能事件;②任取一个正方体的4个顶点,这4个顶点不共面是随机事件;③汽车排放尾气会污染环境是必然事件;④明天早晨不会有雾是随机事件.综上可得,随机事件有②④.
探究点三 随机事件的概率
【例3】 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.
(1)写出该试验的样本空间;
(2)用集合表示事件A:恰好摸出1个黑球和1个红球;事件B:至少摸出1个
黑球;
(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小.
解 (1)该试验的样本空间为Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)}.
(2)A={(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)};
B={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)}.
(3)因为A事件发生时,B事件一定发生,也就是说B事件发生的可能性不会比A事件发生的可能性小,因此直观上可知P(A)≤P(B).
规律方法 概率意义的理解
概率是事件固有的属性,可以通过大量重复的试验得到其近似值.但在一次试验中事件发生与否都是有可能的.
变式训练2[北师大版教材习题改编]在试验E5“连续抛掷一枚骰子2次,观察每次掷出的点数”中,设事件A表示随机事件“第一次掷出的点数1”,事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,试用样本点表示事件A和事件B.并从直观上判断P(A)和P(B)的大小.
解 A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)},
B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
P(A)>P(B).
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2
3
4
1.下列现象是必然现象的是( )
A.某路口单位时间内通过的车辆数
B.n(n≥3)边形的内角和为(n-2)·180°
C.某同学在期末考试中数学成绩高于60分
D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数
B
1
2
3
4
2.先后抛掷2枚质地均匀的面值分别为五角、一元的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列试验包含3个样本点的是( )
A.“至少一枚硬币正面向上”
B.“只有一枚硬币正面向上”
C.“两枚硬币都是正面向上”
D.“两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上”
A
解析 “至少一枚硬币正面向上”包括(五角正面向上,一元正面向上),(五角正面向上,一元正面向下),(五角正面向下,一元正面向上),共3个样本点.
1
2
3
4
3.[2023天津高一课时练习]试验“连续抛掷硬币3次,记录朝上的面出现正面、反面的情况”的样本点共有 个.
8
解析 样本点有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共8个.
1
2
3
4
4.将2个1和1个0随机排成一排,则这个试验的样本空间Ω= .
{110,101,011}
解析 将2个1和1个0随机排成一排,这个试验的样本空间Ω={110,101,011}.(共39张PPT)
第五章
5.1.4 用样本估计总体
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课程标准 1.会用样本的数字特征估计总体的数字特征.
2.能用样本的分布来估计总体的分布.
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知识点1 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.前提
样本的容量恰当,抽样方法合理.
2.必要性
(1)在容许一定误差存在的前提下,可以用样本的数字特征估计总体的数字特征,这样能节省人力和物力.
(2)有时候总体的数字特征不可能获得,只能用样本的数字特征估计总体的数字特征.
3.误差
估计一般是有误差的.但是,大数定律可以保证,当样本的容量越来越大时,估计的误差很小的可能性将越来越大.
名师点睛
用样本估计总体出现误差的原因
样本抽取的方法不合适,导致代表性差;样本容量偏少等.
4.一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出 对应的数字特征即可.
5.如果样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总体的数字特征.以分两层抽样的情况为例.
条件 假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为 ,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为 ,方差为t2
结论
如果记样本均值为 ,样本方差为b2,则 = ,
样本
名师点睛
1.用样本估计总体的简单理解就是以样本的平均数、方差等数字特征来估计总体的平均数、方差等数字特征,即用样本来代替总体进行研究(以小窥大).
2.样本的数字特征:最值、中位数、百分位数、平均数、方差、标准差等.最值是极端值,中位数对极端值不敏感,而平均数又受极端值左右,因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性.
3.在刻画样本数据的离散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.极差反映了一组数据的变化幅度,方差或标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小,描述了数据的离散程度.
4.用样本平均数和样本方差估计总体的平均数和方差可能出现误差,但大数定律可以保证,当样本容量越大时误差越小.大数定律(大数法则):大量的,在一定条件下重复的“随机现象”将呈现一定的规律和稳定性,这种稳定性即频率的稳定性和平均数的稳定性.
过关自诊
某校从400名教师中抽取20名调查其一个月使用多媒体教学的情况,这20名教师一个月使用多媒体教学的次数用茎叶图表示(如图),据此可估计该校400名教师中,一个月使用多媒体教学次数在[16,30)内的人数约为( )
A.100
B.160
C.200
D.280
B
解析 由茎叶图知,样本中多媒体教学次数在[16,30)内的人数为8,频率为
=0.4,所以估计该校400名教师中,一个月使用多媒体教学次数在[16,30)内的人数约为400×0.4=160.故选B.
知识点2 用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为π1,π2,…,πn,样本在每一组对应的频率记为p1,p2,…,pn,一般来说, (πi-pi)2不等于零.当样本的容量越来越大时,该式很小的可能性将越来越大.
名师点睛
1.如果样本的容量恰当,抽样方法又合理的话,样本的分布与总体分布会差不多.特别地,每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大.
2.如果容许有一定误差,则可以用样本的分布去估计总体的分布.而且,在总体的分布不可能获得时,只能用样本的分布去估计总体的分布.
过关自诊
[2023安徽高一]一般情况下,用样本估计总体,下列说法正确的是( )
A.样本的结果就是总体的结果
B.样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态
C.数据的方差越大,说明数据越稳定
D.样本容量越大,估计就越精确
D
解析 对于选项A,样本的结果只能估计总体的结果,故A错误;对于选项B,标准差反映的是总体的波动大小,不能反映总体的平均状态,故B错误;对于选项C,方差越大,数据越分散,越不稳定,故C错误;对于选项D,样本估计总体分布的过程中,估计的是否准确只与样本容量在总体中所占的比例有关,样本容量越大,在总体中所占比例就越大,估计的就越精确,故D正确.故选D.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【例1】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克).
甲:203 204 202 196 199 201 205 197 202 199
乙:201 200 208 206 210 209 200 193 194 194
(1)分别计算两个样本的平均数与方差.
(2)从计算结果看,哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近200克 哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定
规律方法 研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题,先求平均数,比较一下哪一个更接近标准.若平均数相等,则再通过比较两个样本方差的大小来作出判断.在计算过程中,要仔细观察所给样本数据的特征,选择恰当的公式来计算平均数和方差,这样可避免计算的烦琐,降低错误率.
变式训练1甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据如下(单位:cm).
甲:99 100 98 100 100 103
乙:99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量比较稳定.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又 ,故乙机床加工零件的质量比较稳定.
探究点二 分层抽样背景下的样本数字特征估计
【例2】 工厂为了解每个工人对某零件的日加工量,统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本.抽到甲的一个样本容量为10,样本平均数为5,方差为1;乙的一个样本容量为12,样本平均数为6,方差为2.现将这两组样本合在一起,求合在一起后的样本的均值与方差.
规律方法 样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总体的数字特征.以分两层抽样的情况为例.
探究点三 用样本的分布估计总体的分布
【例3】 [2023上海高一专题练习]为了提高思想认识,某校开展了“学史明鉴、牢记使命”知识竞赛活动,从950名参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)现将全体参赛学生成绩编号为001~950,使用附图提供的“随机数表”从第二行的第三列开始从左往右抽,请写出前3个被抽到的样本编号;
(2)试估计该校参赛学生在85分以上的人数;
(3)求频率分布直方图中a的值,并估计该校此次参赛学生成绩的平均分
(同一组数据用该组区间的中点值代表).
附图:
59226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92580956 43890890 46482834 59743458 29778149 64608925
91685307 17337298 29849526 37515923 03886191 14679054
49040040 36160806 55336993 30357068 45717397 18435701
……
解 (1)从给到的“随机数表”中从第二行第三列开始从左往右抽,依次是580,956,438,908,其中956不在给到的成绩编号001~950的范围内,故去掉,因此,前3个被抽到样本编号为580,438,908.
(2)由频率分布直方图知样本中85分以上的频率为0.1,所以估计该校参赛学生在85分以上的人数为950×0.1=95.
(3)由题意可知,10×(0.005+0.025+a+0.025+0.010)=1,解得a=0.035.
因为 =50×0.05+60×0.25+70×0.35+80×0.25+90×0.1=71,
故该校此次参赛学生成绩估计的平均分为71分.
变式探究若本例条件不变,估计所有参赛学生的众数和中位数.
解 众数为70.
由频率分布直方图知,中位数落在65~75之间,设为x,则
0.05+0.25+(x-65)×0.035=0.5,
解得x≈71.
规律方法 1.利用频率分布直方图估计数字特征:
(1)众数是最高的矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数左右两侧直方图面积相等.
(3) (其中pi为xi出现的频率).
2.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,与实际数据可能不一致.
变式训练2已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量,养殖人员从池塘中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1 000条,给每条鱼做上不影响其存活的记号,然后放回池塘,经过一定时间,再每次从池塘中随机捕出1 000条鱼,分类记录下其中有记号的鱼的数目,随即将它们放回池塘中.这样的记录作了10次,将记录获取的数据绘制成如下所示的茎叶图.
根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数,并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量.
解 由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20,故认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同,设池塘中两种鱼的总数是x,则有 ,即x= =50 000,所以,可估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均约为25 000条.
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1.依据相关法律可知,车辆驾驶员血液中所含的酒精浓度在80 mg/100 mL (含80)以上时,属醉酒驾车.某地对涉嫌酒后驾车的28 800 人抽取1 000人的样本进行血液检测,根据检测结果绘制的频率分布直方图如图所示,估计这28 800人中属于醉酒驾车的人数约为( )
A.8 640
B.5 760
C.4 320
D.2 880
C
1
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3
解析 由图可知,血液中酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上的频率为0.15.
则醉酒驾车的人数约为28 800×0.15=4 320.
1
2
3
2.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为 ;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、
1 030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 小时.
50
1 015
解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%=50;该产品的平均使用寿命为
1 020×0.5+980×0.2+1 030×0.3=1 015(小时).
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3.[2023云南曲靖高一月考]为普及航天知识,某校开展了“航天知识竞赛”活动,现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名,统计他们的成绩(满分100分),其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”,将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)若该中学参加这次竞赛的共有2 000名学生,试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数.
(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数.
(3)若在抽取的60名学生中,利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人,则从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的学生中分别抽取了多
少人
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解 (1)由频率分布直方图可知,成绩在[80,100]内的频率为0.020×10+0.010×10=0.3,
则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为2 000×0.3=600.
(2)由频率分布直方图可知,
成绩在[40,50)内的频率为0.005×10=0.05,
成绩在[50,60)内的频率为0.015×10=0.15,
成绩在[60,70)内的频率为0.020×10=0.2,
成绩在[70,80)内的频率为0.030×10=0.3,
成绩在[80,90)内的频率为0.020×10=0.2,
1
2
3
所以成绩在80分以下的学生所占的比例为70%,成绩在90分以下的学生所占的比例为90%,
所以成绩的80%分位数一定在[80,90)内,而80+10× =80+5=85,
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数约为85.
所以从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的学生中分别抽取了3人,2人,1人.(共35张PPT)
第五章
5.3.3 古典概型
基础落实·必备知识全过关
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目录索引
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课程标准 1.理解古典概型及其概率计算公式.
2.会计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率.
3.通过古典概型概率的计算提升数学运算与数学建模的素养.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 古典概型
古典概型的定义:一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是
(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的 (简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.
名师点睛
古典概型的判断标准
一个试验是否能归结为古典概型,在于这个试验是否具备古典概型的两个特征:有限性和等可能性,并不是所有试验都能归结为古典概型.
有限的
可能性大小都相等
过关自诊
下列对古典概型的说法,正确的是( )
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件发生的可能性相等;③每个基本事件发生的可能性相等;④求用抽签法从含有3件次品7件正品的10件产品中任取一件为正品的概率为古典概型问题.
A.②④ B.①③④
C.①④ D.③④
B
解析 根据古典概型的特点,即有限性与等可能性逐个分析即可.
知识点2 古典概型的概率公式
古典概型中,事件发生的概率可以通过下述方式得到:假设样本空间含有n个样本点,由古典概型的定义可知,每个基本事件发生的可能性大小都相等,又因为必然事件发生的概率为1,所以由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为 .此时,如果事件C包含有m个样本点,则再由
互斥事件的概率加法公式可知P(C)= .
名师点睛
古典概型的概率求解步骤
过关自诊
[北师大版教材习题]从一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)中随机选取1张,试求下列事件的概率:
(1)这张牌是A;
(2)这张牌是红色A;
(3)这张牌是K,Q或J;
(4)这张牌是草花.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 古典概型的判断
【例1】 某同学随机地向一靶子进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环……命中5环和不中靶.你认为这是古典概型吗 为什么
解 不是古典概型,因为虽然试验的所有可能结果只有7个,但命中10环、命中9环……命中5环和不中靶的出现没有规定是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件.
规律方法 只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型,这两个条件只要有一个不满足就不是古典概型.
变式训练1从所有整数中任取一个数的试验是古典概型吗
解 不是,因为有无数个样本点.
探究点二 古典概型的概率计算
【例2】 [人教A版教材例题]抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;
(2)求下列事件的概率:
A=“两个点数之和是5”;
B=“两个点数相等”;
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解 (1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果,Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对,组成掷两枚骰子试验的一个结果.
用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数,数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数,则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点.
因此该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36个样本点.
因为骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.
规律方法 求古典概型的概率,关键是正确列出样本点,常见方法有列举法、列表法和树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择,在列出样本点后最好检验一下各样本点出现的概率是否相同.根据事件C包含的样本点个数m及试验的样本点总个数n,利用公式P(C) = 求出事件C发生的概率.
【例3】 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2;现从袋中任取两张卡片.
(1)若把所取卡片的所有不同情况作为样本点,则共有多少个样本点 是古典概型吗
(2)若把所取出卡片的标号之和作为样本点,则共有多少个样本点 是古典概型吗
(3)求所取卡片标号之和小于4的概率.
解 (1)样本空间为Ω1={(红1,红2),(红1,红3),(红1,蓝1),(红1,蓝2),(红2,红3), (红2,蓝1),(红2,蓝2),(红3,蓝1),(红3,蓝2),(蓝1,蓝2)},共10个样本点,因为样本点个数有限,且每个基本事件发生的可能性相等,所以是古典概型.
(2)由(1)知,样本空间Ω2={2,3,4,5},且每个基本事件发生的可能性不同,不是古典概型.
(3)设A表示所取两张卡片标号之和小于4,由(1)知,A={(红1,红2),(红1,蓝1), (红1,蓝2),(红2,蓝1),(蓝1,蓝2)},共包含5个样本点,由古典概型概率公式得,
规律方法 解决古典概型综合问题的两个关键点
(1)审读题干:对于实际问题要认真读题,深入理解题意,计算样本点总数要做到不重不漏,这是解决古典概型问题的关键.
(2)编号:分析实际问题时,往往对要研究的对象进行编号或者用字母代替,使复杂的实际意义变为简单的数字和字母,方便寻找对象间的关系,这是解决古典概型的问题时主要的解题技巧.
变式训练2有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率;
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.
解 将A,B,C,D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来:
如图所示,样本空间包含的样本点共有24个,
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件A只包含1个样本点,所以P(A)= .
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”,则事件B包含9个样本点,所以
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”,则事件C包含8个样本点,所以
探究点三 有放回抽取和无放回抽取的概率
【例4】 [人教A版教材例题]从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解 设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点.
(1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1), (G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}.
不放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2), (G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)} .
按性别等比例分层抽样,先从男生中抽一人, 再从女生中抽一人,其样本空间Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}.
(2)设事件A =“抽到两名男生”,则对于有放回简单随机抽样,A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}.
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型.
因此P(A)= =0.25.
对于不放回简单随机抽样,A={(B1,B2),(B2,B1)}.
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型.
因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A= ,因此P(A)=0.
规律方法 “放回”与“不放回”问题的区别
对于某一次试验,若采用“放回”抽样,则同一个个体可以被重复抽取,而采用“不放回”抽样,则同一个个体不可能被重复抽取.
变式训练3口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球,求:
(1)从中任意摸出两个小球,摸出的是红球和白球的概率;
(2)从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,两次摸出的球是一红一白的概率.
解 (1)任意摸出两个小球的样本空间为{(红,白),(红,黄),(白,黄)},共包含3个样本点,所以摸出的是红球和白球的概率为 .
(2)样本空间为{(红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,黄),(黄,白)},共包含9个样本点.记A为“摸出的球是一红一白”,A={(红,白), 白,红)},包含2个样本点,所以所求概率为 .
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
1.抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”,事件B为“向上一面点数为6的约数”,则P(A+B)为( )
D
解析 由题意得,抛掷结果有6种可能的结果,则A={2,4,6},B={1,2,3,6},A+B={1,2,3,4,6},故P(A+B)= .故选D.
1
2
3
4
2.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从
5类元素中任选2类元素,则2类元素相生的概率为( )
A
解析 样本空间可记为Ω={(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火), (木,土),(水,火),(水,土),(火,土)},共10个样本点,记A:2类元素相生,则A={(木,火),(火,土),(木,水),(金,水),(金,土)},共5个样本点,所以2类元素相生的概率为 ,故选A.
1
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4
1
2
3
4
3.甲、乙两校共有5名教师报名支援边远地区教育,其中甲校3名教师,乙校2名教师,现选出2名教师去支援边远地区教育,则选出的2名教师来自同一
学校的概率为 .
解析 来自甲校的教师设为a,b,c,来自乙校的教师设为1,2,则样本空间为Ω={(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,c),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)},共有10个样本点,用A表示“选出的2名教师来自同一学校”,则A={(a,b),(a,c),(b,c),(1,2)},共包含4个样本点,故选出的2名教师来自同一学校的概率为
1
2
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4.鞋柜内散放着两双不同的鞋,按先后顺序任意取出两只,每次取出后不放回,恰是同一双的概率是 .
解析 设其中一双鞋分别为a,a',另一双鞋分别为b,b'.
画树形图如下.
由图可知样本空间包含12个样本点,其中事件“能配成一双”包含4个样本点,所以取出的两只鞋恰是同一双鞋的概率为(共41张PPT)
第五章
5.3.2 事件之间的关系与运算
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
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课程标准 1.理解事件之间的关系与运算.
2.了解互斥事件的概率加法公式.
3.会用对立事件的特征求概率.
4.利用事件的关系将复杂事件转化为简单事件,提升转化与化归能力,培养逻辑推理、数学运算和数据分析的能力.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 事件之间的关系
事件之 间的关系 定义 表示法 图示
包含关系 一般地,如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”) (或 )
相等关系 如果事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等”
A B
B A
A=B
名师点睛
1.对包含关系的理解
(1)事件A也包含于事件A,即A A.
(2)A B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充分条件,B 发生是A发生的必要条件.如果A B,则P(A)≤P(B).
2.对相等关系的理解
(1)两个相等事件总是同时发生或同时不发生.
(2)A=B A B且B A.A=B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充要条件.如果A=B,则P(A)=P(B).
过关自诊
掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判断A,B,C之间的包含关系.
解 当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此A C,B C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.
综上所述,事件A,B,C之间的包含关系为A C,B C.
知识点2 事件的运算
1.和事件与积事件
事件 定义 表示法 图示
事件的和(并) 给定事件A,B,由__________ 组成的事件称为A与B的和(或并) (或 )
事件的积(交) 给定事件A,B,_____________ 组成的事件称为A与B的积(或交) (或 )
所有A中的
样本点与B中的样本点
A+B
A∪B
由A与B中的
公共样本点
AB
A∩B
名师点睛
1.对事件的和(并)的理解
(1)按照定义可知,事件A+B发生时,当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生.
(2)不难看出,A (A+B)且B (A+B),因此P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B),而且,直观上可知P(A+B)与P(A)+P(B)的大小关系为P(A+B)≤P(A)+P(B).
2.对事件的积(交)的理解
(1)按照定义可知,事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生.
(2)P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).
2.互斥事件与对立事件
互斥 事件 定义 给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥
符号 AB= (或A∩B= )
图示
对立 事件 定义 给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件
表示法 A的对立事件一般记作
符号 B= ,A∩B= ,且A∪B=Ω
图示
3.互斥事件的概率加法公式
当A与B互斥(即AB= 时),有P(A+B)=P(A)+P(B).
推广:一般地,如果A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
4.对立事件公式
P(A)+P( )=1.
名师点睛
1.对互斥事件的理解
(1)任意两个基本事件都是互斥的, 与任意事件互斥.
(2)事件A与事件B互斥包含三种情况:①事件A发生,B不发生;②事件A不发生,B发生;③事件A不发生,B也不发生.注意与事件A+B进行区别.
2.对对立事件的理解
在一次试验中,事件A和它的对立事件只能发生一个,并且必然发生一个,不可能两个都不发生或两个都发生.
3.互斥事件与对立事件的联系
(1)如果A与B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.
(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是对立事件,则A+B是必然事件.
过关自诊
1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙均属于次品,生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01.若从中抽查一件,则恰好得正品的概率为
( )
A.0.09 B.0.96 C.0.97 D.0.98
B
解析 记事件A={甲级品},B={乙级品},C={丙级品},则A与B+C是对立事件,所以P(A)=1-P(B+C)=1-0.03-0.01=0.96.故选B.
2.[人教A版教材习题]抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:
Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;
D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”;
E=“点数为奇数”,F=“点数为偶数”.
判断下列结论是否正确.
(1)C1与C2互斥;(2)C2,C3为对立事件;
(3)C3 D2;(4)D3 D2;
(5)D1∪D2=Ω,D1D2= ;
(6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5;
(8)E,F为对立事件,(9)D2∪D3=D2;
(10)D2∩D3=D3.
解 该试验的样本空间可表示为Ω={1,2,3,4,5,6},由题意知Ci={i},D1={1,2},D2={3,4,5,6},D3={5,6},E={1,3,5},F={2,4,6}.
(1)C1={1},C2={2},满足C1∩C2= ,所以C1与C2互斥,故正确;
(2)C2={2},C3={3},满足C2∩C3= 但不满足C2∪C3=Ω,所以C2,C3为互斥事件,但不是对立事件,故错误;
(3)C3={3},D2={3,4,5,6},C3 D2,故正确;
(4)正确;(5)正确;
(6)C5={5},C6={6},所以C5∪C6={5,6}=D3,故正确;
(7)正确;
(8)因为E∩F= ,E∪F=Ω,所以E,F为对立事件,故正确;
(9)正确;(10)正确.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 互斥事件与对立事件的判定
【例1】 已知某医院的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加培训.判断下列各对事件是不是互斥事件,是不是对立事件.并说明理由.
(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;
(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;
(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;
(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.
解 (1)是互斥事件,但不是对立事件.
理由:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”,它与“恰有2名男医生”不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有2名女医生”,因此二者不对立.
(2)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(3)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(4)是互斥事件,也是对立事件.
理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们是互斥事件,“任选2名医生”包含“至少有1名男医生”“全是女医生”,故它们也是对立事件.
规律方法 互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
①若事件A与B互斥,则集合A∩B= ;
②若事件A与B对立,则集合A∩B= 且A∪B=Ω.
可见两事件互斥是它们对立的必要条件.
变式训练1(多选题)[2023河北石家庄高一期末]一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件 “2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A.2个小球不全为红球
B.2个小球恰有1个红球
C.2个小球至少有1个红球
D.2个小球都为绿球
BD
解析 从口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,这两个球可能为2个红球、2个绿球、2个蓝球、1个红球1个蓝球、1个红球1个绿球、1个蓝球1个绿球共6种情况.对于A,事件“2个小球不全为红球”与事件“2个小球都为红球”是对立事件,故A错误;对于B,事件“2个小球恰有1个红球”与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立事件,故B正确;对于C,事件“2个小球至少有1个红球”与事件“2个小球都为红球”能同时发生,不是互斥事件,故C错误;对于D,事件“2个小球都为绿球”与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立事件,故D正确.故选BD.
探究点二 事件的关系及运算
【例2】 [北师大版教材习题]在试验“甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况”中,事件A表示随机事件“甲中靶”,事件B表示随机事件“乙中靶”,事件C表示随机事件“丙中靶”,试用A,B,C的运算表示下列随机事件:
(1)甲未中靶;
(2)甲中靶而乙未中靶;
(3)三人中只有丙未中靶;
(4)三人中至少有一人中靶;
(5)三人中恰有两人中靶.
(4)三人中至少有一人中靶:A∪B∪C.
规律方法 事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用维恩图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
变式训练2[北师大版教材习题]设某人向一个目标连续射击3次,用事件Ai表示随机事件“第i次射击命中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义:
解 (1)A1∩A2表示第1次射击与第2次射击都击中目标.
探究点三 互斥事件、对立事件的概率
角度1 互斥事件的概率
【例3】 在数学考试中,小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率和小明考试及格(60分及60分以上)的概率.
解 分别记小明的考试成绩在90分以上(含90分),在80~89分,在70~79分,在60~69分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.
根据互斥事件的概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上(含80分)的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.
小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
变式探究请求出小明在数学考试中取得70分以下(不含70分)成绩的概率.
解 小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率P=1-P(B)-P(C)-P(D)
=1-0.18-0.51-0.15=0.16.
规律方法 1.当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率加法公式计算.
2.使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判定A,B是互斥事件.
角度2 对立事件的概率
【例4】 [2023江苏高一专题练习]甲、乙两人对局,甲获胜的概率为0.30,成平局的概率为0.25,求:
(1)甲不输的概率;
(2)乙不输的概率.
解 (1)甲不输即为甲胜或成平局,记甲胜为事件A,平局为事件B.
因为A∩B= ,所以A与B互斥,
则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.30+0.25=0.55,
故甲不输的概率为0.55.
(2)因为甲胜即乙输,
所以甲获胜与乙不输互为对立事件,
则乙不输的概率P=1-P(A)=1-0.3=0.7.
规律方法 求对立事件概率的关注点
当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求对立面,然后转化为所求问题.
变式训练3从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为 ,那么所选3人中都是男生的概率为 .
解析 记事件A:3人中至少有1名女生,事件B:3人都为男生,则A,B为对立事件,所以P(B)=1-P(A)= .
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
1.已知P(A)=0.3,P(B)=0.1,若B A,则P(AB)=( )
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
A
解析 由于B A,所以P(AB)=P(B)=0.1.故选A.
1
2
3
4
2.(多选题)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,则
( )
CD
1
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4
1
2
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4
3.从1,2,3,…,9中任取两数,给出下列各组事件:
①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”;
②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”;
③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”;
④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.
其中是对立事件的是 .(填序号)
③
解析 从1,2,3,…,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.
1
2
3
4
4.在不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率为0.42,摸出黄球的概率为0.18,则摸出的球是白球的概率为 ,摸出的球不是黄球的概率为 ,摸出的球是黄球或黑球的概率为 .
0.4
0.82
0.6
解析 摸出白球的概率为1-0.42-0.18=0.4;摸出的球不是黄球的概率为
1-0.18=0.82;摸出的球是黄球或黑球的概率为0.18+0.42=0.6.(共42张PPT)
第五章
5.1.2 数据的数字特征
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.会求样本的最值、平均数、中位数、百分位数及众数.
2.会求样本的极差、方差与标准差.
3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数学建模能力.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 最值
一组数据的最值指的是其中的 ,最值反映的是这组数最极端的情况.一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.
最大值与最小值
过关自诊
某个比赛的计分规则为:当评委亮分后,其成绩先去掉一个最高分,再去掉一个最低分,然后计算剩下分数的平均值.这是为了( )
A.减少计算量 B.避免故障
C.剔除异常值 D.活跃赛场气氛
C
解析 因为在该比赛的评分中使用的是平均分,记分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.
知识点2 平均数
1.如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为 .
这一公式可以简记为
2.求和符号∑具有如下性质:
3.如果x1,x2,…,xn的平均数为 ,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为 .
名师点睛
平均数的特征
平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,尤其是一组数据中的最大值和最小值.
过关自诊
一组数据x1,x2,…,xn的平均数为3,则2x1,2x2,…,2xn的平均数为( )
A.3 B.6 C.5 D.2
B
知识点3 中位数、百分位数
1.中位数:一般地,有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置.如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n+1,则称 为这组数的中位数;如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为
x1,x2,…,x2n,则称 为这组数的中位数.
2.百分位数:一般地,当数据个数较多时,可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点.一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值.直观来说,一组数的p%分位数指的是,将这组数按照从小到大的顺序排列后,处于p%位置的数.
xn+1
名师点睛
1.中位数就是一个50%分位数.
2.按照定义可知,p%分位数可能不唯一.
3.实际应用中,除了中位数外,经常使用的是25%分位数(简称为第一四分位数)与75%分位数(简称为第三四分位数).
过关自诊
1.[2023辽宁大连高一]某读书会有5名成员,寒假期间他们每个人阅读的本数分别如下:3,5,4,2,1,则这组数据的60%分位数为( )
A.3 B.3.5
C.4 D.4.5
B
解析 由题意,这组数从小到大排列顺序为1,2,3,4,5,且5×60%=3,可得这组数据的60%分位数为从小到大排列的第3个数和第4个数的平均数,为
=3.5.故选B.
2.某班8名学生的体重(单位:kg)分别是:42,48,40,47,43,58,47,45,则这组数据的最大值是 ,中位数是 ,25%分位数是 .
58
46
42.5
解析 将所给数据按从小到大的顺序排列是40,42,43,45,47,47,48,58.这组数据的最大值是58.
因为这组数据共8个,处于中间位置的是第4个数和第5个数,故这组数据的中位数是
因为8×25%=2,所以这组数据的25%分位数是
知识点4 众数
一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,
称为这组数据的众数.
过关自诊
一组数据8,-1,0,4, ,4,3的众数是 .
出现次数最多的数据
4
知识点5 极差、方差与标准差
1.极差:一组数的极差指的是这组数的 所得的差.
2.方差:如果x1,x2,x3,…,xn的平均数为 ,则方差可用求和符号表示为
s2= .
3.标准差:方差的算术平方根称为标准差.
4.方差的性质:已知x1,x2,x3,…,xn的方差为s2,如果a,b是常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为 .
最大值减去最小值
a2s2
名师点睛
应用标准差及方差的注意点
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围为[0,+∞). 标准差、方差为0时,样本各数据都相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.
(3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般采用标准差.
过关自诊
某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则:(1)命中环数的平均数为 ;
(2)命中环数的标准差为 .
7
2
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求最值、平均数、众数
【例1】 某公司员工的月工资情况如表所示:
月工资/元 10 000 8 000 6 000 5 000
员工/人 1 2 5 8
月工资/元 4 000 3 000 1 500
员工/人 20 12 2
(1)该公司员工月工资的最值、平均数和众数分别是多少
(2)你认为用员工月工资的最值、平均数和众数中的哪个数来代表该公司员工的月工资更合理
解 (1)该公司员工月工资的最大值为10 000元,最小值为1 500元,众数为
4 000元.平均数为 ×(10 000×1+8 000×2+6 000×5+5 000×8+
4 000×20+3 000×12+1 500×2)=4 300(元),
(2)用众数,因为最大值为10 000元有且只有一个,最小值1 500元有且只有两个,无法代表该公司员工的月工资,平均数受到最大值的影响,也无法代表该公司员工的月工资,每月拿4 000元的员工最多,众数代表该公司员工的月工资最合理.
规律方法 1.最值和众数的求法
在样本数据中出现次数最多的数据即众数,最大的数是最大值,最小的数是最小值.
2.求平均数的步骤
(1)求和:数据x1,x2,…,xn的和为x1+x2+…+xn.
(2)求平均数:和除以数据的个数n,即x1,x2,…,xn的平均数为 (x1+x2+…+xn).
变式训练1某校在一次考试中,甲、乙两班学生的数学成绩(均为整数)统计如下:
数学成绩/分 50 60 70 80 90 100
人数 甲班 1 6 12 11 15 5
乙班 3 5 15 3 13 11
请用平均数与众数评估这两个班的数学成绩.
解 甲班数学成绩的平均数为
×(50×1+60×6+70×12+80×11+90×15+100×5)=79.6(分),
乙班数学成绩的平均数为
×(50×3+60×5+70×15+80×3+90×13+100×11)=80.2(分),从平均数看成绩较好的是乙班;
甲班众数为90分,乙班众数为70分,从众数看成绩较好的是甲班.
探究点二 求中位数、百分位数
【例2】 (1)[2023北京顺义高一]以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩:
78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,
则这15人成绩的80%分位数是( )
A.90 B.90. 5 C.91 D.91.5
B
解析 把成绩按从小到大的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%=12,所以这15人成绩的80%分位数是 =90.5.故选B.
(2)已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5,则该组数据的中位数是 .
7.5
解析已知数据从小到大排列为4,5,6,6,7,8,8,9,10,11,共10个数,所以中位数是
变式探究在本例(1)中,求90%分位数.
解 把成绩按从小到大的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,
因为15×90%=14.5,所以这15人成绩的90%分位数是98.
规律方法 1.求中位数的一般步骤
(1)把数据按从小到大的顺序排列.
(2)找出排列后位于中间位置的数据,即中位数.若中间位置有两个数据,则求出这两个数据的平均数作为中位数.
2.求百分位数的一般步骤
(1)排序:按照从小到大的顺序排列:x1,x2,…,xn.
(2)计算:求i=np%的值.
(3)求值:
分类 p%分位数
i不是整数
i是整数
探究点三 极差、方差与标准差的计算和应用
【例3】 (1)若数据a1,a2,a3,a4的方差为3,则数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1的方差是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
D
解析 因为数据a1,a2,a3,a4的方差s2=3,所以数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1的方差是22·s2=22×3=12.
(2)[2023上海高一专题练习]已知某样本容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为 ,方差为s2,则( )
A
(3)甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位:吨/公顷)如下:
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
则甲、乙两种水稻产量的极差分别为 、 .
0.4
1.4
解析 甲种水稻产量的极差为10.2-9.8=0.4.
乙种水稻产量的极差为10.8-9.4=1.4.
【例4】 某厂准备在甲、乙两位工人中选派一名工人参加省活动技能大赛,为此安排甲、乙两位工人在厂实习基地现场进行加工直径为30 mm的零件测试,两人各加工10个零件,甲、乙两人加工这10个零件的数据
(单位:mm)如下表所示:
编号 1 2 3 4 5
甲 30.0 30.0 30.0 29.9 30.0
乙 30.2 29.8 30.2 30.2 29.8
编号 6 7 8 9 10
甲 30.0 29.9 29.9 30.1 30.2
乙 29.8 30.1 29.9 30.0 30.0
(1)若只考虑平均数与完全符合要求的个数,你认为谁的成绩更好
(2)计算甲、乙两个人的方差,结合平均数与方差,你认为谁的成绩更好
规律方法 标准差(方差)的两个作用
(1)判断数据的离散程度.标准差(方差)较大,说明数据的离散程度较大;标准差(方差)较小,说明数据的离散程度较小.
(2)在实际应用中,常常把平均数与方差或标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差来确定稳定性.
变式训练2[2023河北衡水高一期末]有两名射击运动员在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:
甲 6 9 7 8 8 5 6
乙 a 3 9 8 9 6 4
经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的.
(1)求实数a的值.
(2)请通过计算,判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定
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1
2
3
4
1.有一批种子,对于一粒种子来说,它发芽的天数是不确定的.从中抽取98粒种子,下表是不同发芽天数的种子数的记录:
发芽天数 1 2 3 4 5 6 7
种子数 8 26 22 24 12 4 2
统计每粒种子发芽天数得到一组数据,估计这批种子发芽天数的中位数是
( )
A.2 B.3 C.3.5 D.4
B
1
2
3
4
B
1
2
3
4
3.(多选题)[2023云南昆明高一期末]从小到大排列的一组样本数据x1,x2,…,xn-1,xn,将第1个数据减3,最后1个数据加3,其余数据不变,得到另一组数据x1-3,x2,x3,…,xn-1,xn+3,则( )
A.两组数据的极差相同 B.两组数据的中位数相同
C.两组数据的平均数相同 D.两组数据的方差相同
BC
解析 由数据从小到大排序,第1个数据减3,最后1个数据加3,其余数据不变,所以极差比原数据极差大6,平均数、中位数不变,故A错误,B,C正确;由于第一个和最后一个数发生变化, 变大,而数据个数n不变,故方差变大,故D错误.故选BC.
1
2
3
4
4.设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为 .
1(共36张PPT)
第五章
5.1.3 数据的直观表示
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课程标准 1.会形象化地表示有关数据的柱形图、折线图及扇形图,并会简单应用.
2.会列频率分布表,画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图,并会灵活应用.
3.能够利用相应的图形解决实际问题来培养逻辑推理及直观想象能力.
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知识点1 柱形图、折线图与扇形图
类别 柱形图(条形图) 折线图 扇形图
特点 一般地,柱形图中,一条轴上显示的是所关注的数据类型,另一条轴上对应的是数量、个数或者比例,柱形图中每一矩形都是等宽的 用一个单位长度表示一定的数量,用折线的起伏表示数量的增减变化 用整个圆表示总体,扇形图中,每一个扇形的圆心角以及弧长,都与这一部分表示的数据大小成正比
类别 柱形图(条形图) 折线图 扇形图
作用 及选 用情 形 能清楚地表示每个项目的具体数量,便于相互比较大小 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据,当然,也可以用在其他合适的情形中 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况
过关自诊 某市某中学开展了爱党宣传教育活动.为了了解这次宣传活动的效果,学校从全校3 000名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试,并将测试成绩分为A,B,C,D,E五个等级,绘制成了两幅不完整的统计图.
所抽取的学生测试等级人数的条形图
所抽取的学生测试等级人数的扇形图
(1)求本次被调查的学生人数,并补全条形图.
(2)求扇形统计图中“B”所对应的扇形圆心角的度数.
(3)如果测试成绩为A,B等级的均为优秀,请估计全校学生中成绩为优秀的人数.
解 (1)本次被调查的学生人数是39÷26%=150(人).D等级的人数有150-24-51-39-6=30(人),补全条形图如下.
所抽取的学生测试等级人数的条形图
知识点2 茎叶图、频数分布直方图与频率分布直方图
1.茎叶图:一般地,对于两位数茎叶图,中间的数字表示十位数,两边的数字表示个位数.
2.作频数分布直方图和频率分布直方图的步骤
(1)找出最值,计算 .
(2)合理分组,确定区间.
(3)整理数据.
逐个检查原始数据,统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数),并求出频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率).
极差
(4)作出有关图示.
根据整理后的数据,可以作出频数分布直方图与频率分布直方图.频数分布直方图的纵坐标是 ,每一组数对应的矩形高度与频数成正比;
频率分布直方图的纵坐标是 ,每一组数对应的矩形高度与频率成
正比,而且每个矩形的 等于这一组数对应的频率,从而可知频率分布直方图中,所有矩形的面积之和为 .
频数
面积
1
名师点睛
茎叶图的理解应用
(1)对于样本数据较少,但较为集中的一组数据:若数据是两位整数,则将十位数字作茎,个位数字作叶;若数据是三位整数,则将百位、十位数字作茎,个位数字作叶;若样本数据是小数,则将整数部分作茎,小数部分作叶.
(2)关键是找到两组数据共有的茎.
过关自诊
1.如图所示是某公司(共有员工300人)某年员工年薪情况的频率分布直方图,由此可知,员工中年薪(单位:万元)在14~16之间的共有 人.
72
解析 由所给图形可知员工中年薪在14~16万元之间的频率为
1-(0.02+0.08+0.08+0.10+0.10)×2=0.24,所以员工中年薪在14~16万元之间的共有300×0.24=72(人).
2.青年歌手大奖赛共有10名选手参赛,并请了7名评委.如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙选手剩余数据的平均成绩分别为 、 .
84.2分
85分
解析 去掉一个最高分和一个最低分后,
甲:78,84,85,86,88,平均分为84.2分.
乙:84,84,84,86,87,平均分为85分.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 条形图、折线图、扇形图的应用
【例1】 某市为了了解学生的视力变化情况,从全市九年级随机抽取了1 500名学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图,并对视力下降的主要因素进行调查,制成扇形统计图.
解答下列问题:
(1)图中D所在扇形的圆心角度数为 .
(2)若2022年全市共有30 000名九年级学生,请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名
(3)根据扇形统计图信息,你觉得中学生应该如何保护视力
解 (1)根据题意得,360°×(1-40%-25%-20%)=54°.
(2)根据题意得,30 000× =16 000(名),则估计视力在4.9以下的学生约有16 000名.
(3)建议中学生应少看电视,少玩游戏,少看手机,才能保护视力.
规律方法 1.扇形统计图的特点
(1)用扇形的圆心角以及弧长都可以表示部分在总体中所占的百分比.
(2)易于显示每组数据相对于总数的大小.
2.条形统计图的特点
(1)条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目.
(2)易于比较数据之间的差别.
3.折线统计图的特点
(1)能清楚地反映事物的变化情况.
(2)显示数据变化趋势.
变式训练1(多选题)[2023黑龙江哈尔滨高一]新中国成立以来,我国共进行了7次人口普查,这7次人口普查的城乡人口数据如图所示.根据该图数据判断,下列选项中正确的是( )
A.乡村人口数均高于城镇人口数
B.城镇人口比重的极差是50.63%
C.城镇人口数达到最高峰是第7次
D.城镇人口比重增量最大的是第6次
BC
解析 对于A,2020年,城镇人口数高于乡村人口数,故A错误;对于B,城镇人口比重的极差为63.89%-13.26%=50.63%,故B正确;对于C,城镇人口数最高峰为2020年,即第7次,故C正确;对于D,和前一次相比,第6次普查,城镇人口比重增量为49.68%-36.22%=13.46%;第7次普查,城镇人口比重增量为63.89%-49.68%=14.21%.则城镇人口比重增量最大的是第7次,故D错误.故选BC.
探究点二 茎叶图及其应用
【例2】 某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下:
甲的得分:95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107;
乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
解 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是98分;甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是88分,但分数分布相对于乙来说,趋向于低分段.因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好.
规律方法 茎叶图的画法
在本例中,画茎叶图时,用中间的数表示数据的十位和百位数,两边的数分别表示两组数据的个位数.
要先确定中间的数取数据的哪几位,填写数据时边读边填.比较数据时从数据分布的对称性、稳定性等几方面来比较.
变式训练2
在如图所示的茎叶图中,若甲组数据的众数为11,乙组数据的中位数为9,则x+y=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
D
解析 由甲组数据的众数为11,得到x=1,
乙组数据中间的两个数分别为6和10+y,
所以中位数是
解得y=2,所以x+y=3.
探究点三 频率分布直方图的应用
【例3】 [2023福建龙岩高一]某次数学竞赛后,将20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下:
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)求20名同学成绩的平均分(同组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)估计数据的第一四分位数和80%分位数(精确到0.1).
解 (1)由题图可得(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,
解得a=0.005.
(2)根据题意得, (55×2a+65×3a+75×7a+85×6a+95×2a)×10=(55×0.01+65×0.015+75×0.035+85×0.03+95×0.01)×10=76.5.
(3)由图可知,[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]对应的频率分别为0.1,0.15,0.35,0.3,0.1,前两组频率之和恰为0.25,故第一四分位数为70.0.
前三组频率之和为0.6,前四组频率之和为0.9,所以80%分位数在第四组.
设80%分位数为x,则0.6+(x-80)×0.03=0.8,解得x≈86.7.
规律方法 频率分布直方图的性质
(1)因为小矩形的面积=组距× =频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率
分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1.
变式训练3如图所示是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8.
(1)求样本在[15,18)内的频率;
(2)求样本容量;
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数.
解 由样本频率分布直方图可知组距为3.
(3)因为在[12,15)内的小矩形面积为0.06,所以样本在[12,15)内的频率为0.06,故样本在[15,33)内的频数为50×(1-0.06)=47.又在[15,18)内频数为8,故在[18,33)内的频数为47-8=39.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
1.某人根据2021年1月至2021年11月期间每月跑步的里程(单位:十千米)的数据绘制了下面的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是( )
A.月跑步里程逐月增加
B.月跑步里程最大值出现在10月
C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数
D.6月至11月的月跑步里程相对于1月至5月波动性更小,变化比较平稳
C
1
2
3
4
2.某公司2021年在各个项目中总投资500万元,如图是几类项目的投资占比情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占 ,那么不少于3万元的项目投资共有( )
A.56万元
B.65万元
C.91万元
D.147万元
B
1
2
3
4
1
2
3
4
3.如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x= ,y= .
5
8
解析 由于甲组数据的中位数为15=10+x,所以x=5.因为乙组数据的平均数为 =16.8,所以y=8.
1
2
3
4
4.以下是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请根据图1、图2解答下列问题:
某手机店今年1~4月音乐手机的销售额占该手机店当月手机销售额的百分比统计图
某手机店今年1~4月各
月手机的销售额统计图
图1
图2
1
2
3
4
(1)来自该店财务部的数据报告表明,该手机店1~4月的手机销售总额一共是290万元,请将图1中的统计图补充完整.
(2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元
(3)小刚观察图2后,认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了,你同意他的看法吗 请说明理由.
1
2
3
4
解 (1)290-(85+80+65)=60(万元),补图如图.
某手机店今年1~4月各月手机的销售额统计图
(2)85×23%=19.55(万元),所以该店1月份音乐手机的销售额为19.55万元.
(3)不同意.理由如下:3月份音乐手机的销售额是60×18%=10.8(万元),4月份音乐手机的销售额是65×17%=11.05(万元),而10.8<11.05,因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了.(共32张PPT)
第五章
5.3.4 频率与概率
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
2.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际
问题.
3.理解概率的意义以及频率与概率的区别.
4.通过该内容的学习,培养逻辑推理、数学运算和直观想象的能力.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 随机事件的概率
一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为 ,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为 .其中 .
名师点睛
随机事件发生的概率的求法
(1)利用随机事件概率的定义,进行大量重复试验,寻找这个事件发生的频率的可能值.
(2)一般是先求出频率,再根据频率的摆动情况估算出其概率.
0≤P(A)≤1
过关自诊
[北师大版教材习题]问题辨析:
(1)天气预报:“明天降雨的概率是80%”,明天出门是否一定遇上雨
(2)彩票中奖率为1%,你买100张彩票是否一定中奖
(3)抛掷一枚均匀的硬币,出现正面的概率为0.5,那么连续抛掷这枚硬币2次,一定是一次出现正面、一次出现反面吗
解 (1)不一定,“明天降雨的概率是80%”是指“明天降雨”这一事件发生的可能性是80%,还有20%的可能性“明天不降雨”,故不一定遇上雨.
(2)不一定,中奖率1%表示中奖的可能性大小为1%,并不是说买100张彩票就一定有一张中奖.
(3)不一定,出现正面的概率为0.5表示抛掷硬币一次,出现正面的可能性为0.5,连续抛掷这枚硬币2次,可能都出现正面,也可能都出现反面,也可能是一正一反.
知识点2 频率与概率之间的关系
大数定律能够保证,在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的 ,而且,试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.
概率
名师点睛
频率与概率的区别与联系
名称 区别 联系
频率 本身是随机的,在试验之前无法确定,随着试验次数的改变而改变,即使做同样次数的重复试验,得到的频率也可能会不同 在多次重复试验中,同一事件发生的频率在某一个常数附近摆动,频率会越来越接近概率,在大量重复试验的前提下,可将频率近似地作为这个事件的概率,在实际问题中,通常事件的概率是未知的,常用频率估计概率
概率 是区间[0,1]中的一个常数,不随试验结果的改变而改变,它是频率的科学抽象 过关自诊
1.[北师大版教材习题]我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石(市制容量单位,10斗为1石),验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 365石
B
解析 由题意,得这批米内夹谷约为1 534× ≈169(石),故选B.
2.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是 .
0.03
解析 这一年内汽车挡风玻璃破碎的频率为 =0.03,此频率值为概率的近似值.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 概率概念的理解
【例1】 下列说法正确的是( )
A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两小孩,则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
D
解析 一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确.
规律方法 对概率的深入理解
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件的本质属性,随机事件发生的概率是大量重复试验中事件发生的频率的近似值.
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
(3)正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
变式训练1(多选题)[2023湖北咸宁高二校考阶段练习]下列说法不正确的是( )
A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为 ,则比赛5场,甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.用某种药物对患有某疾病的500名病人治疗,结果有380人有明显疗效,现有患该病的病人服用此药,则估计其会有明显疗效的可能性约为76%
ABC
探究点二 概率与频率的关系及求法
【例2】 下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出 现的频率
(1)在上表中填上优等品出现的频率;
(2)结合表中数据估计该批乒乓球优等品的概率.
解 (1)
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出 现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)从表中数据估计这批乒乓球优等品的概率是0.95.
变式探究(1)例2中若抽取乒乓球的数量为1 700只,则优等品的数量大约为多少
(2)例2中若检验得到优等品数量为1 700只,则抽取数量大约为多少
解 (1)由优等品的概率的估计值为0.95,可知抽取1 700只乒乓球时,优等品数量大约为1 700×0.95=1 615.
(2)由优等品概率的估计值为0.95,可知抽取数量大约为1 700÷0.95≈1 789.
规律方法 频率与概率的认识
(1)理论依据:频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小,在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率.
(2)计算频率:频率= .
(3)得出概率:从频率估计出概率.
探究点三 频率与概率的综合问题
【例3】 某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,
估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,
试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.
解 (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5,所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20.
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为
60× =30.
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.
所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
规律方法 统计知识中频率与概率的组合是近几年高考的热点,频率分布直方图、茎叶图等知识与概率知识结合在一起,成为命题的一种趋势,可用频率知识计算各小组频数.用古典概型的知识计算概率.
变式训练2对某校高一学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
[10,15) 10 0.25
[15,20) 25 n
[20,25) m p
[25,30] 2 0.05
合计 M 1
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20的学生中任选2人,请列举出所有样本点,并求至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.
(2)因为该校高一学生有360人,分组[15,20)内的频率是 =0.625,
所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在[15,20)内的人数为360×0.625=225.
(3)由(1)知,所取样本中,参加社区服务的次数不少于20的学生共有3+2=5(人),设在区间[20,25)内的人为a1,a2,a3,在区间[25,30]内的人为b1,b2.
则任选2人,所有的样本点为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种情况,而两人都在[20,25)内共有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),共包含3个样本点, 至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为
成果验收·课堂达标检测
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2
3
4
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是
( )
A.抛掷硬币10次,事件A必发生5次
B.抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次
C.抛掷硬币1 000次,事件A发生的频率一定等于0.5
D.随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
D
1
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3
4
2.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A.0.4,0.4 B.0.5,0.5
C.0.4,0.5 D.0.5,0.4
C
解析 100次试验中有40次正面朝上,所以正面朝上的频率为 =0.4.因为硬币质地均匀,所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.故选C.
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4
3.[2023上海高三专题练习]在一次男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.羽毛球的比赛规则是3局2胜制,假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用计算机模拟试验,估计甲获得冠军的概率.为此,用计算机产生1~5之间的随机数,当出现随机数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜,其概率为0.6.由于要比赛三局,所以每3个随机数为一组.例如,产生了20组随机数:
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相当于做了20次重复试验,用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为 .
0.65
解析 由题意可知,20组随机数中甲获胜的有:423,231,423,114,323, 152,342,512,125,342,334,252,324,有13组,所以甲获胜的频率为 =0.65,所以甲获得冠军的概率的近似值为0.65.
1
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4
4.在一次试验中,一种血清被注射到500只豚鼠体内,最初,这些豚鼠中150只有圆形细胞,250只有椭圆形细胞,100只有不规则形状细胞,被注射这种血清之后,有圆形细胞的豚鼠都没有被感染,50只有椭圆形细胞的豚鼠被感染,有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染.根据试验结果,分别估计有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率.
解 记“有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A,由题意知,A为不可能事件,所以P(A)=0.
记“有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B,由题意知
记“有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C,由题意知事件C为必然事件,所以P(C)=1.(共32张PPT)
第五章
5.1.1 数据的收集
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.了解简单随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数表法的一般步骤.
2.能用简单随机抽样方法抽取样本.
3.了解分层抽样的概念与分层抽样的方法,并会应用分层抽样抽取样本.
4.通过对数据的收集的学习,培养数据分析能力和数学运算能力.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 统计的基本概念
1.总体:所考察问题涉及的 是总体.
2.个体:总体中 都是个体.
3.样本:抽取的部分对象组成总体的一个样本.
4.样本容量:一个样本中包含的 是样本容量.
5.普查:一般地,对总体中 的方法称为普查(也称为全面调查).
6.抽样调查: 的方法称为抽样调查.
对象全体
每个对象
个体数目
每个个体都进行考察
只抽取样本进行考察
名师点睛
1.统计的基本思想
统计的基本思想就是用样本估计总体,即当总体数量很大或检测过程具有一定的破坏性时,不直接去研究总体,而是通过从总体中抽取一个样本,根据样本的情况去估计总体的相应情况.
另外,从集合的角度来看,总体就是一个全集,而样本是其中的一个子集.统计的基本思想就是用子集估计全集.
2.抽样调查的必要性
普查的方法有时会因为各种原因无法实施,比如:
(1)一些总体中包含的个体数通常是大量的.
(2)在现实生活中,由于资金、时间有限,人力、物力不足,做普查是不可能的.
(3)一些考察方法具有破坏性.
过关自诊
[人教A版教材习题改编]在以下调查中,
(1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间;
(2)调查一个地区结核病的发病率;
(3)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.
适合用普查的是 ,适合用抽样调查的是 .
(1)(2)
(3)
知识点2 简单随机抽样
1.定义:一般地,简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中
等,完全随机地抽取个体.
2.常见的简单随机抽样方法有 .
不加任何分组、划类、排队
抽签法、随机数表法
名师点睛
抽签法与随机数表法的异同点
方法 抽签法 随机数表法
不同点 ①抽签法比随机数表法简单; ②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况 ①随机数表法要求编号的位数相同;
②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况
相同点 都是简单随机抽样,并且要求被抽取样本的总体的个数有限 过关自诊
实验室的笼子里共有100只小白鼠,现要从中抽取10只进行试验用.下列两种情况是否属于简单随机抽样 请说明理由.
(1)每次不经任何挑选地抓一只,抓满10只为止;
(2)将笼中的100只小白鼠按1~100编号,任意选出编号范围内的10个不重复数字,把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠.
解 (1)是;(2)是.
理由:(1)(2)都满足简单随机抽样的四个特征:①有限性;②逐个抽取;③不放回;④等可能性.
知识点3 分层抽样
一般地,如果相对于要考察的问题来说,总体可以分成 、
的几部分时,每一部分可称为层,在各层中__________________ 进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
有明显差别的
互不重叠
按层在总体中所占比例
名师点睛
1.分层抽样的特点
(1)适用于由差异明显的几部分组成的总体;
(2)分成的各层互不重叠;
(3)各层抽取的比例都等于样本容量占总体容量的比例,即 ,其中n为样本容量,N为总体容量.分层抽样使样本具有较强的代表性,在各层抽样时,又可灵活地选用不同的抽样方法;
(4)在分层抽样的过程中每个个体被抽到的可能性是相同的,与层数及分层无关.
2.两种抽样方法的联系与区别
简单随机抽样和分层抽样的联系与区别如下表:
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随 机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的机会均等 从总体中逐个抽取 — 总体中的个体数有限
分层 抽样 将总体分成几层,分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成
过关自诊
下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90~100分,12人低于90分,现从中抽取12人了解有关情况
C.从1 000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
B
解析 B中总体由差异明显的3部分组成,适合用分层抽样.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 抽签法的方案设计
【例1】 要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆汽车进行测试,请选择合适的抽样方法,并写出抽样过程.
解 应使用抽签法,步骤如下:
①将30辆汽车编号,号码是01,02,03,…,30;
②将01~30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上;
③将写好的号签放入一个不透明的容器中,并搅拌均匀;
④从容器中随机抽取3个号码;
⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象.
变式探究本例中每辆汽车被抽到的可能性相等吗 可能性为多大
解 抽签法中每个个体被抽到的可能性相等,因为样本容量为3,总体容量为30,所以总体中每一个个体被抽到的可能性为
规律方法 应用抽签法抽取样本时应注意的几个问题
(1)编号时,如果已有编号可不必重新编号;
(2)号签要求大小、形状完全相同;
(3)号签要均匀搅拌;
(4)要逐一不放回地抽取.
探究点二 随机数表法的方案设计
【例2】 现有120台机器,请用随机数表法抽取10台机器,写出抽样过程.
解 第一步,先将120台机器编号,可以编为000,001,002,…,119;
第二步,在随机数表中任选一个数作为开始,任选一个方向作为读数方向;
第三步,从选定的数开始读数,每次读取三位,凡不在000~119中的数跳过去不读,前面已经读过的数也跳过去不读,依次可得到10个编号;
第四步,以上这10个编号所对应的10台机器就是要抽取的对象.
规律方法 在利用随机数表法抽样的过程中应注意:
(1)编号要求位数相同;
(2)第一个数字的确定是随机的;
(3)读数规则是任意的,且读数过程中规则不变,读数时结合编号的位数 读取.
变式训练1纸箱中红色球的号码为01,02,03,…,33,小明利用如下表所示的随机数表选取红色球的6个号码,选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字,则第四个被选中的红色球号码为( )
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50
60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54
10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20
A.12 B.33 C.06 D.16
C
解析 第1行第9列和第10列的两个数字为63,从左到右依次选取两个数字,依次为 17,12,33,06,32,22,则第四个被选中的红色球号码为06.
探究点三 分层抽样的方案设计
【例3】 某校高一年级500名学生中,血型为O型的有200人,A型的有125人,B型的有125人,AB型的有50人.为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为40的样本,应如何抽样 写出抽取血型为AB型的学生的过程.
AB型的4人可以这样抽取:
第一步,将血型为AB型的50人随机编号,编号为01,02,…,50;
第二步,把以上50个编号分别写在50张小纸条上揉成小球,制成号签;
第三步,把得到的号签放入一个不透明的袋子中,充分搅匀;
第四步,从袋子中随机抽取4个号签,并记录上面的编号;
第五步,根据得到的编号找出对应的4人,即得到血型为AB型的样本.
规律方法 分层抽样的步骤
变式训练2(多选题)[2023辽宁沈阳高一统考]某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二,学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有( )
A.应该采用分层抽样法抽取
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.甲、乙被抽到的可能性相同
ABD
解析 由题可知,应采用分层抽样法抽取,故A正确;由题意可得,高一年级的人数为20×50=1 000,高二年级的人数为30×45=1 350,则高一年级应抽取的人数为235× =100,高二年级应抽取的人数为235-100=135,所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人,故B正确;乙被抽到的可能性与甲一样大,故C错误,D正确.故选ABD.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
1.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试,先将50个零件进行编号,编号分别为01,02,…,50,从中抽取5个样本,下面提供随机数表的第1行到第2行:
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据,则得到的第4个样本编号是
( )
A.10 B.05 C.09 D.20
C
解析 依题意,读取的第一个数为14,读取符合要求的两位数据依次为:14,05,11,09,则09刚好是第四个符合要求的编号,所以得到的第4个样本编号是09.故选C.
1
2
3
1
2
3
2.某企业有职工150人,中高级职称15人,中级职称45人,一般职员90人,现抽取30人进行分层抽样,则抽取的不同职称的人数分别为( )
A.5,10,15 B.5,9,16 C.3,10,17 D.3,9,18
D
1
2
3
3.某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 .
分层抽样(共37张PPT)
第五章
5.4 统计与概率的应用
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
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课程标准 1.通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用.
2.能用统计与概率的知识解决日常生活中的相关问题.
3.通过对实际问题的解决提升数学建模与数据分析的能力.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 统计的实际应用
1.随机抽样有简单随机抽样和分层抽样两种.其共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等,当总体的个体之间差异程度较小和总体中的个体数目较少时,常采用简单随机抽样;当已知总体由差异明显的几部分组成时,常采用分层抽样.
2.平均数、中位数、众数、百分位数与方差、标准差都是重要的数字特征,利用它们可对总体进行一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数、百分位数可描述总体的集中趋势,方差和标准差可描述波动大小.
名师点睛
在对一些数据进行统计时,要根据数据的特点和统计结果的精确度选择合适的统计图表.如果需要根据图表了解各数据在某区间所占的概率,可以使用柱形图,例如统计一批产品中的优等品所占的频率;如果要了解数据的增减情况,可以采用折线图,例如统计一个人的成绩变化情况;如果要了解数据的全部信息,可使用茎叶图,例如篮球比赛的计分.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.
( )
(2)一组数据的方差越大,说明这组数据越集中.( )
(3)频率分布直方图中,小矩形的面积越大,表示样本数据落在该区间的频率越大.( )
√
×
√
2.某地区想实行阶梯电价,经调查发现,该地区居民用电量信息如下:
分位数 50%分位数 70%分位数 80%分位数 90%分位数
用电量/(kW·h) 160 176 215 230
如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内,约20%的居民用电在第二阶梯内,可确定第二阶梯电价的用电量(单位:kW·h)范围为( )
A.(160,176] B.(176,215]
C.(176,230] D.(230,+∞)
C
解析 ∵约70%的居民用电在第一阶梯内,约20%的居民用电在第二阶梯内,∴由表中数据可得,第二阶梯电价的用电量范围为(176,230].故选C.
知识点2 概率的实际应用
1.频率是随机的,随着试验的不同而变化;概率是多次试验的频率的稳定值,是一个常数,不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.
2.概率是描述随机事件发生可能性大小的度量,它已经渗透到人们的日常生活中,成为一个常用的词汇,任何事件的概率是[0,1]内的一个数,它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生,而大概率事件(概率接近1)则经常发生.
名师点睛
1.古典概型概率的计算
关键要分清样本点的总数n与事件A包含的样本点的个数m,再利用公式P(A)= 求解.有时需要用列举法把样本点一一列举出来,在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
2.解决概率问题的注意点
(1)概率与频率的关系;
(2)互斥事件与对立事件概率公式的应用;
(3)掌握古典概型的概率公式P= (n为样本点的总数,m为所求事件包含的样本点个数);
(4)对于较复杂的古典概型的概率可借助于互斥事件或对立事件去求.
3.利用独立性解决复杂古典概型问题
对于一些较为复杂的古典概型问题,可以直接根据古典概型的概率计算公式求解,但这时样本空间中样本点较多,计算复杂.因此也可将问题转化,将事件分解为相互独立事件,然后根据相互独立事件同时发生的概率公式求解,这样可以简化计算过程.
过关自诊
1.[2023广东高一课时练习]从一群玩游戏的小孩中抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续玩游戏,一会儿后,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计小孩的人数为( )
B
2.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量/件 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.则当天商店不进货的概率为 .
解析 记“当天商品销售量为0件”为事件A,“当天商品销售量为1件”为事件 B,“当天商店不进货”为事件C,则
重难探究·能力素养全提升
探究点一 用样本的分布估计总体分布
【例1】 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度,对15~65岁的人群随机抽样调查,调查的问题是:“你会使用移动支付吗 ”其中,回答“会”的共有n人.把这n人按照年龄分成5组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65].然后绘制成如图所示的频率分布直方图.其中,第1组的频数为20.
(1)求n和x的值;
(2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人,求从第1,3,4组分别抽取的人数;
(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人,求所抽取的2人来自同一个组的概率.
解 (1)由题意可知,
由10×(0.020+0.036+x+0.010+0.004 )=1,
解得x=0.030.
(3)设第1组抽取的2人为A1,A2,第3组抽取的3人为B1,B2,B3,第4组抽取的1人为C.则从这6人中随机抽取2人的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),
(B1,B2),(B1,B3),(B1,C),(B2,B3),(B2,C),(B3,C)},共有15个样本点.
记A:“抽取的2人来自同一个组”,则A={(A1,A2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共4个样本点.
所以抽取的2人来自同一个组的概率P(A)= .
规律方法 总体分布中相应的统计图表主要包括:频率分布直方图、频率分布折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体的相关信息.
变式训练1某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:m3),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3 m3的人数,说明理由;
(3)估计居民月均用水量的中位数.
解 (1)由频率分布直方图可知,月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.
(2)由(1)知,该市100位居民中月均用水量不低于3 m3的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3 m3的人数为300 000×0.12=36 000.
(3)设中位数为x.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2≤x<2.5.
由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04.
探究点二 概率在整体估计中的应用
【例2】 某家具厂为某游泳比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所产2 500套座椅进行抽检,共抽检了100套,发现有5套次品.该厂所产2 500套座椅中大约有多少套次品
解 设有n套次品,则 ,解得n=125.
所以该厂所产2 500套座椅中大约有125套次品.
规律方法 用古典概型概率的观点求随机事件的概率时,首先对于在试验中出现的结果的可能性认为是相等的,其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率.
变式训练2某校为调查期末考试中高一学生作弊情况,随机抽取了200名高一学生进行调查,设计了两个问题,问题1:你出生月份是奇数吗 问题2:期末考试中你作弊了吗 然后让受调查的学生每人掷一次币,出现“正面朝上”则回答问题1,出现“反面朝上”则回答问题2,答案只能填“是”或“否”,不能弃权.结果统计后得到了53个“是”的答案,则估计有百分之几的学生作弊了
解 由于硬币正面朝上,反面朝上的概率一样,即有100人回答问题1,100人回答问题2.
由于问题1答案为“是”的概率为 ,有100× =50(人).
则53个“是”中应该有3个“是”回答问题2,从而作弊学生大约占3%.
探究点三 概率在决策中的应用
【例3】 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间/分钟 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间用于赶往火车站,为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解 (1)因为一共抽取了100人进行调查,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,用频率估计概率,可得所求概率为 =0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得所求各频率为
所用时间/分钟 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)记事件A1,A2分别表示甲选择路径L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
记事件B1,B2分别表示乙选择路径L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
由(2)知,P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),
∴甲应选择路径L1.
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
P(B2)>P(B1),
∴乙应选择路径L2.
规律方法
变式训练3某厂家声称自己的产品合格率为99%,市场质量管理人员抽取了这个厂家的2件产品进行检验,发现2件都不合格,厂家所声称的合格率可信吗
解 不可信.如果该厂产品的合格率为99%,则随机抽取一件产品,不合格的概率为1-99%=1%.
此时,随机抽取2件,都不合格的概率为1%×1%=0.000 1,也就是说,如果厂家所称的合格率可信,那么就发生了一件可能性只有0.01%的事.
但是一件概率只有0.01%的事是不太可能发生的,因此有理由怀疑厂家所声称的合格率是不可信的.
成果验收·课堂达标检测
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1.某养鸡厂用鸡蛋孵化小鸡,用200个鸡蛋孵化出170只小鸡,由此估计,要孵化出2 500只小鸡,大约需要鸡蛋的个数为( )
A.3 022
B.2 941
C.2 800
D.3 125
B
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2.如图所示,茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
C
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3.甲、乙两人投篮命中率分别为 ,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为 .
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4.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果.
投资成功 投资失败
192例 8例
试估计该公司一年后可获收益为 元.
4 760
解析 设可获收益为x万元,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%.
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4(共35张PPT)
第五章
5.3.5 随机事件的独立性
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目录索引
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课程标准 1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念.
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
3.综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的乘法公式解决一些问题.
4.通过实际问题的解决提高数学建模及数据处理能力.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 相互独立事件的定义和性质
1.定义:一般地,当 时,就称事件A与B相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
P(AB)=P(A)P(B)
名师点睛
互斥事件与相互独立事件
事件 相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A,B同时发生,记作AB A与B互斥记作AB= (或A∩B= )
计算 公式 P(AB)=P(A)P(B) 若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)
过关自诊
1.(1)不可能事件与任何一个事件相互独立吗
(2)必然事件与任何一个事件相互独立吗
提示 (1)相互独立.不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.
(2)相互独立.必然事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.
2.[人教A版教材习题]分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第1枚正面朝上”,事件B=“第2枚正面朝上”,事件C=“2枚硬币朝上的面相同”,A,B,C中哪两个相互独立
所以P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),
所以A与B,A与C,B与C都相互独立.
知识点2 独立事件的概率公式
1.事件“A,B相互独立”,是“P(AB)= ”的充要条件;
此时P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
2.事件“A1,A2,…,An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
P(A)P(B)
名师点睛
相互独立事件概率的求法
与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如表:
事件A,B发生的情形 概率计算公式
A,B同时发生 P(AB)=P(A)P(B)
A,B都不发生 P( )=P( )P( )=[1-P(A)][1-P(B)]
A,B中至少有一个不发生 P( + B+A )=1-P(AB)=1-P(A)P(B)
A,B中至少有一个发生 P(A + B+AB)=1-P( )=1-P( )P( )
A,B中恰好一个发生 P(A + B)=P(A )+P( B)=P(A)P( )+P( )P(B)
过关自诊
1.[2023湖北武汉高一校考阶段练习]甲、乙两个气象站同时作气象预报,如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,且互不影响,那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为( )
A.0.8 B.0.7 C.0.56 D.0.38
D
解析 因为甲、乙两个气象站同时作气象预报,甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为P=0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38.故选D.
2.甲、乙两人投篮相互独立,且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3,则甲、乙两人各投篮一次,至少有一人命中的概率为 .
0.58
解析 甲乙两人投篮相互独立,且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3,则甲乙两人各投篮一次,至少有一人命中的概率为P=1-(1-0.4)(1-0.3)=0.58.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 相互独立事件的判断
【例1】 [北师大版教材习题]袋中有白球3个,黑球2个,这5个球除颜色外完全相同,从中进行不放回摸球,每次摸球1个,事件A1表示“第一次摸得白球”,事件A2表示“第二次摸得白球”,则事件A1与事件A2是否相互独立 若改为“有放回摸球”呢
解 在“不放回摸球”的条件下,事件A2发生的概率受事件A1是否发生的影响.
若事件A1发生,则事件A2发生的概率 ;若事件A1不发生,则事件A2发生的概率P(A2)= .
故事件A1与事件A2不相互独立.
若改为“有放回摸球”,则事件A1与事件A2相互独立.
因为第二次摸球时,袋中的情况与第一次摸球时相同,不受事件A1是否发生的影响.
规律方法 判断事件是否相互独立常用的两种方法
(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
(2)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
变式训练1(1)下列各对事件中,A,B是相互独立事件的是( )
A.一枚质地均匀的硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”
B.袋中有2白、2黑的小球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚均匀的骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
A
解析 A中,把一枚质地均匀的硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A与B相互独立;
B中,是不放回地摸球,显然事件A与B不相互独立;
C中,事件A,B为互斥事件,不相互独立;
D中,事件B发生的概率受事件A是否发生的影响.故选A.
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B( )
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
A
解析向同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;向同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.故选A.
探究点二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】 甲、乙、丙3名大学生同时应聘某个用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为 ,且各自能否被选中互不影响.
(1)求3人同时被选中的概率;
(2)求3人中至少有1人被选中的概率.
规律方法 求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)首先确定各事件是相互独立的;
(2)其次确定各事件会同时发生;
(3)最后求每个事件发生的概率后再求其积.
探究点三 相互独立事件的实际应用
【例3】 a,b,c三类不同的元件连接成两个系统N1,N2,当元件a,b,c都正常工作时,系统N1正常工作;当元件a正常工作且元件b,c至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件a,b,c是否正常工作互不影响,且正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.
(1)求系统N1正常工作的概率P1;
(2)求系统N2正常工作的概率P2.
解 设事件A表示“元件a正常工作”,事件B表示“元件b正常工作”,事件C表示“元件c正常工作”.
(1)依题意知P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648.
故系统N1正常工作的概率为0.648.
(2)依题意知P2=P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P(C)+P(A)P(B)P(C)
=0.80×0.90×0.10+0.80×0.10×0.90+0.80×0.90×0.90=0.792.
故系统N2正常工作的概率为0.792.
规律方法 求复杂事件的概率一般可分三步进行
(1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们.
(2)理清各事件之间的关系,恰当地用事件间的关系运算表示所求事件,注意对立事件概率公式的应用.
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.
变式训练2在一个选拔节目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
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1.若P(A)=0.2,P(B)=0.4,且A与B相互独立,则P( )=( )
A.0.6 B.0.08
C.0.48 D.0.32
C
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B
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3.若生产某种零件需要经过两道工序,在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01,0.02,每道工序生产废品相互独立,则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 .(结果用小数表示)
0.970 2
解析 由题意知,经过两道工序后得到的零件不是废品的概率
P=(1-0.01)×(1-0.02)=0.970 2.
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4.[人教A版教材习题]天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
(2)甲、乙两地都不降雨的概率;
(3)至少一个地方降雨的概率.
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解 设事件A=“甲地降雨”,事件B=“乙地降雨”,则事件A与B相互独立.
由题意知P(A)=0.2,P(B)=0.3.
(1)P(AB)=P(A)P(B)=0.2×0.3=0.06;
