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第四章
本章总结提升
网络构建·归纳整合
专题突破·素养提升
目录索引
网络构建·归纳整合
专题突破·素养提升
专题一 指数、对数的运算
1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化,对数、指数的运算法则以及换底公式等.
2.掌握基本运算法则,重点提升数学运算素养.
解 (方法一)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
规律方法 指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的运算法则并结合换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
变式训练1(1)[2023江西南昌高一]已知lg 5=m,lg 3=n,用m,n表示log308.
解 因为lg 5=m,lg 3=n,
所以lg 2=1-lg 5=1-m,
专题二 指数函数、对数函数的图象与性质
1.指对函数的图象主要应用于已知函数解析式会作图象和借助图象确定交点个数等方面,作图过程中常常需要进行图象变换.
2.掌握指对函数的图象和性质,主要提升逻辑推理及直观想象素养.
1.指数函数、对数函数图象关系的应用
【例2】 (多选题)[2023广东广州高一期末]已知函数
若x1
A.x1+x2=-1 B.x3x4=1
C.1BCD
解析 f(x)的大致图象如下:
规律方法 1.解决函数图象的判断问题的关键是要熟悉常见函数的图象与性质,如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等函数的图象与性质,并熟练掌握图象平移变换、对称变换的规则.
2.对于给定的函数图象,要能从图象的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质.注意图象与函数解析式中参数的关系,并能够通过图象变换画出函数的图象.
变式训练2(1)[2023天津高一联考期末]函数f(x)=(ex+e-x)log2|x|的图象大致是( )
C
解析 f(-x)=(e-x+ex)log2|-x|=(e-x+ex)log2|x|=f(x),f(x)为偶函数,排除A,D;又当0(2)(多选题)[2023河南开封高一]已知函数 关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根,则实数a的取值可以是( )
A.-1 B.0 C.2 D.3
CD
解析方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根,等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知,当a≤1时有两个交点,当a>1时有且只有一个交点.故选CD.
(3)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )
A
解析 由图象知函数f(x)单调递增,分析易知a>1.
又-12.函数的综合应用
【例3】 设 ,a为常数.若f(3)=-2.
(1)求使f(x)≥0的x的取值范围;
(2)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,不等式 恒成立,求实数m的取值范围.
规律方法 函数综合应用的求解策略
指数函数、对数函数、幂函数是考查频率非常高的基本初等函数,它们经过加、减、乘、除、复合、分段,构成我们以后研究的函数,求解时通过换元、图象变换等手段转化为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究.
变式训练3已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.
解得-3(2)f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4].
∵-3∵0∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4.第四章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=的图象大致是( )
2.已知f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则实数a的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(0,1)
3.若函数f(x)=1+3-x的反函数为g(x),则g(10)=( )
A.2 B.-2 C.3 D.-1
4.函数f(x)=lo(2x-x2)的单调递减区间为( )
A.(0,2) B.(-∞,1]
C.[1,2) D.(0,1]
5.函数f(x)=ax-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P又在幂函数g(x)的图象上,则g(3)的值为( )
A.4 B.8 C.9 D.16
6.2021年10月16日,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心成功发射升空,载人飞船精准进入预定轨道,顺利将3名宇航员送入太空,发射取得圆满成功.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0·ln计算火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v0(单位:m/s)是喷流相对速度大小,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”.若某型火箭的喷流相对速度大小为1 000 m/s,当总质比为625时,该型火箭的最大速度约为( )(附:lg e≈0.434,lg 2≈0.301)
A.5 790 m/s B.6 219 m/s
C.6 442 m/s D.6 689 m/s
7.设a=log32,b=ln 2,c=,则( )
A.aC.c8.若对于任意x∈(-∞,-1],都有(3m-1)2x<1成立,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知a>0,b>0,2a+b=1,则( )
A.log0.5a+log0.5b的最大值为3
B.4a+2b的最小值为2
C.a∈
D.a2+b2的最小值为
10.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则下列结论正确的是( )
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C.4b·9b=4a·9c D.
11.已知函数f(x)=则关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解可以为( )
A.-4 B.0 C.-2 D.log26
12.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有 ( )
A.f(x)在区间(1,2)内单调递增
B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称
C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4
D.f(x)有且仅有两个零点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.方程log3(3x-1)=log3(x-1)+log3(3+x)的解为x= .
14.函数y=x,-3≤x≤1的值域是 .
15.若loga<1,则实数a的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=且函数g(x)=f(x)-m恰有两个不同的零点,则实数m的取值范围是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)计算题:
(1)-(-9.6)0+.
(2)lg 4+2lg 5+log45·log5.
18.(12分)已知函数f(x)=log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求实数a的值;
(2)若函数f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.
19.(12分)已知函数f(x)=lg(10x-1).
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设函数g(x)=f(x)-lg(10x+1),若关于x的不等式g(x)20.(12分)在刚刷完漆的室内放置空气净化器,净化过程中有害气体含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系为:P=P0e-kt,其中P0,k是正常数,如果在前5 h消除了10%的有害气体,那么
(1)10 h后还剩百分之几的有害气体
(2)有害气体减少50%需要花多少时间 (精确到1 h)(参考数据:ln 2≈0.693 1,ln 0.9≈-0.105 4)
21.(12分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga.
(1)求f(x)的定义域及其零点;
(2)设g(x)=mx2-2mx+3,当a>1时,若对任意x1∈(-∞,-1],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≤g(x2),求实数m的取值范围.
22.(12分)给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数f(x)的解析式确定.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且 .
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈,2f(log3x)+m≤0恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
第四章测评
1.B 函数y=的定义域为R,且此函数在定义域上是增函数,故排除选项A,C;当02.D
3.B 令y=1+3-x,得x=-log3(y-1),
∴g(x)=-log3(x-1)(x>1),
∴g(10)=-2.
4.D 记u(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,u(x)的图象为抛物线,对称轴为x=1,且开口向下,令u(x)>0,解得x∈(0,2),①当x∈(0,1]时,u(x)单调递增,f(x)=lou(x)单调递减,即原函数的单调递减区间为(0,1];②当x∈[1,2)时,u(x)单调递减,f(x)=lou(x)单调递增,即原函数的单调递增区间为[1,2).故选D.
5.C ∵f(x)=ax-2+3,令x-2=0,得x=2,∴f(2)=a0+3=4,∴f(x)的图象恒过点(2,4).设g(x)=xa,把P(2,4)代入得2a=4,∴a=2,∴g(x)=x2,∴g(3)=32=9.故选C.
6.C 由题得v=v0·ln=1000×ln625=1000×=1000×≈6442m/s.故选C.
7.C a=log32=,b=ln2=,而log23>log2e>1,所以a2=log24>log23,所以c8.C ∵2x>0,∴不等式(3m-1)2x<1(x∈(-∞,-1])恒成立等价于3m-1<对于任意x∈(-∞,-1]恒成立.∵x≤-1,∴=2,∴3m-1<2,解得m<1.∴实数m的取值范围是(-∞,1).故选C.
9.BC a>0,b>0,2a+b=1 ab≤,则log0.5a+log0.5b=log0.5ab≥3,当且仅当a=,b=时,等号成立,故A错误;4a+2b=22a+2b≥2,当且仅当a=,b=时,等号成立,故B正确;a>0,b>0,2a+b=1 b=1-2a>0 010.ACD 设4a=6b=9c=t,t>1,则a=log4t,b=log6t,c=log9t,所以=2,即=2,所以,所以,故D正确;由=2,所以ab+bc=2ac,故A正确,B错误;因为4a·9c=4a·4a=(4a)2,4b·9b=(4×9)b=(62)b=(6b)2.又4a=6b=9c,所以(4a)2=(6b)2,即4b·9b=4a·9c,故C正确.故选ACD.
11.AD [f(x)]2-3f(x)+2=0,[f(x)-1][f(x)-2]=0,得f(x)=1或f(x)=2,当x≥0时,2x-4=1或2x-4=2,解得x=log25或x=log26;当x<0时,-x2-4x+1=1或-x2-4x+1=2,解得x=-4或x=-2±.故在选项中方程的解可以为AD.故选AD.
12.ABD 根据图象变换作出函数f(x)的大致图象,如图,
由图象知f(x)在区间(1,2)内单调递增,故A正确;函数图象关于直线x=2对称,故B正确;令f(x1)=f(x2)=k,则直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如图.如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2,则x1+x2=4不成立,故C错误;f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D正确.故选ABD.
13.2
14. 因为指数函数y=x在区间[-3,1]上单调递减,所以当x=-3时,函数有最大值为-3=8;当x=1时,函数有最小值为.所以函数y的值域为.
15.0,∪(1,+∞) 当a>1时,不等式为loga,即a>1;当016.(1,2] 由g(x)=0,得f(x)=m,即函数g(x)的零点是直线y=m与函数y=f(x)图象交点的横坐标.当x≤0时,f(x)=ex+1单调递增,其值域为(1,2];当x>0时,f(x)=lnx单调递增,其值域为R.
在坐标平面内作出函数y=f(x)的大致图象,如图.
由图可知,当117.解(1)原式=+1-1+e-=e.
(2)原式=lg4+lg25+log45·(-log54)=lg4×25-=lg102-1=2-1=1.
18.解(1)若函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,即log2=0,解得a=0.当a=0时,f(x)=-x=-f(-x),在R上为奇函数,所以a=0为所求.
(2)若函数f(x)的定义域是R,则+a>0恒成立,即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0),故只要a≥0即可,即实数a的取值范围为[0,+∞).
(3)由题意,知函数f(x)在[0,1]上单调递减,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2.由题意,得log2(1+a)-log2≥2,所以解得-故实数a的取值范围为.
19.解(1)∵10x-1>0,∴10x>100,则x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).又10x-1>0,∴f(x)的值域为R.
(2)g(x)=f(x)-lg(10x+1)=lg(10x-1)-lg(10x+1)=lg=lg.∵10x>0,∴10x+1>1,∴0<<2,∴-2<-<0,∴-1<1-<1.又1->0,∴0<1-<1.∴lg<0,∴g(x)的值域为(-∞,0).∵关于x的不等式g(x)20.解(1)根据题意得P=P0e-5k=P0(1-10%),则e-5k=90%,故当t=10时,P=P0e-10k=P0(e-5k)2=P0(90%)2=P081%,故10个小时后还剩81%的有害气体.
(2)根据题意得P0e-kt=P050%,即(e-5k,即=0.5,故t=5log0.90.5=5≈33,故有害气体减少50%需要花33小时.
21.解(1)由题意知,>0,1-x>0,解得x<1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,1).令f(x)=0,得=1,解得x=-1,故函数f(x)的零点为-1.
(2)若对于任意x1∈(-∞,-1],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≤g(x2)成立,只需f(x)max≤g(x)max,当a>1时,f(x)在(-∞,1]上单调递增,则f(x)max=f(-1)=0,当m=0时,g(x)=3,f(x1)≤g(x2)成立,当m>0时,g(x)在[3,4]上单调递增,g(x)max=g(4)=8m+3,由8m+3≥0,解得m≥-,∴m>0;当m<0时,g(x)在[3,4]上单调递减,g(x)max=g(3)=3m+3,由3m+3≥0,解得m≥-1,∴-1≤m<0.综上,满足条件的m的取值范围是m≥-1.即m∈[-1,+∞).
22.解(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b=2x-1,所以解得所以f(x)=x2-2x+c.选①,因为函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点,所以f(1)=1-2+c=-1,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x.选②,设x1,x2是函数f(x)的两个零点,则|x1-x2|=2,且Δ=4-4c>0,可得c<1.由题可知x1+x2=2,x1x2=c,所以|x1-x2|==2,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(sx)=x2-2x.
(2)由2f(log3x)+m≤0,得m≤-2f(log3x).当x∈,27时,log3x∈[-2,3].令h=log3x,则h∈[-2,3],所以对任意x∈,2f(log3x)+m≤0恒成立,等价于m≤-2f(h)在h∈[-2,3]上恒成立,所以m≤[-2f(h)]min.当h=-2时,取最小值,则-2f(-2)=-16,所以实数m的取值范围为(-∞,-16].