第四章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若函数f(x)的图象与函数g(x)=10x的图象关于直线y=x对称,则f(100)=( )
A.10 B.-1
C.2 D.-2
2.若xlog23=1,则3x+3-x=( )
A. B.
C. D.
3.若函数y=f(x)的定义域为(0,2),则函数y=f(3-3x)的定义域为( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,3) D.(-6,2)
4.若函数y=ax+m-1(a>0)的图象经过第一、三、四象限,则( )
A.a>1且m>0
B.0
0
C.a>1且m<0
D.05.[2023北京门头沟高一]三个数a=log30.3,b=30.3,c=0.30.3的大小顺序是( )
A.aC.a6.[2023河南安阳高一]设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,设a=30.3,b=-0.4,c=log40.3,则( )
A.f(c)>f(a)>f(b)
B.f(a)>f(c)>f(b)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(a)>f(b)>f(c)
7.在同一平面直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0且a≠1)的图象可能是( )
8.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m恰有两个零点,则实数m不可能是 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.若a>b>0,0A.logcacb
C.ac>bc D.logc(a+b)>0
10.下列结论正确的是( )
A.函数y=2x-1是指数函数
B.函数y=ax2+1(a>1)的值域是[1,+∞)
C.若am>an(a>0,a≠1),则m>n
D.函数f(x)=ax-2-3(a>0,a≠1)的图象必过定点(2,-2)
11.已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是( )
A.a>b>0 B.aC.012.[2023湖南益阳高一]对于函数f(x)=logax(a>1),下列说法正确的有( )
A. x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)f(x2)=f(x1+x2)
B.函数|f(x)|-1有两个零点,且互为倒数
C. x0∈(0,+∞),使得(x0-1)f(x0)<0
D. x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有三、填空题
13.+log525= .
14.已知函数f(x)=则 f(f(4))= .
15.函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为 ;若f-<,则实数a的取值范围是 .
16.若max{a,b}=则函数M(x)=max{log2x,3-x}的最小值为 .
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.计算下列各式的值.
(1)+(1-)0+;
(2).
18.比较函数f(x)=2x与g(x)=x-1在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率的大小.
19.已知f(x)=其中a>0且a≠1.
(1)若f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;
(2)当a=2时,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上只有一个零点,求实数b的取值范围.
20.已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f=2,求使f(x)>0成立的x的集合.
21.某科研团队于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
22.设函数f(x)=k·2x-2-x是定义在R上的奇函数.
(1)求k的值;
(2)若不等式f(x)>a·2x-1有解,求实数a的取值范围;
(3)设g(x)=4x+4-x-4f(x),求g(x)在区间[1,+∞)上的最小值,并指出取得最小值时x的值.
参考答案
第四章综合训练
1.C ∵f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,∴f(x)为g(x)的反函数,
∴f(x)=lgx,则有f(100)=lg100=2.
故选C.
2.A 由题得x==log32,
所以3x+3-x==2+.故选A.
3.A 由题意,需0<3-3x<2,即1<3x<3,所以04.C 由题意可知,a>1且m-1<-1,所以a>1且m<0.
5.C ∵log30.330=1,0<0.30.3<0.30=1,∴a6.A ∵|c|=|log40.3|==log4∈(0,1),a=30.3>1,b=30.4>30.3>1,∴b>a>1>|c|>0.
∵函数f(x)是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,
则f(|c|)>f(a)>f(b),即f(c)>f(a)>f(b).故选A.
7.D 当01时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+的图象过定点,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.
8.D 画出函数f(x)的大致图象如图所示,函数g(x)=f(x)-m有两个零点,即函数y=f(x)与函数y=m的图象有两个交点,由函数图象可得m≤0或m=1.故选D.
9.AC 因为0b>0得logcab>0,得cab>0,01,所以ac>bc,故C正确;取c=,a+b=2,则logc(a+b)=2=-1<0,故D错误.
10.BD 选项A,根据指数函数的定义,可得y=2x-1不是指数函数,故A不正确.
选项B,当a>1时,y=ax2+1≥1,故B正确.
选项C,当0an,则m选项D,由f(2)=22-2-3=-2,可得f(x)的图象恒过点(2,-2),故D正确.
故选BD.
11.ABD 画出函数y=和y=的图象,借助图象分析a,b满足等式时的a,b大小关系,如图所示.
若a,b均为正数,则a>b>0;若a,b为负数,则a12.BD 对于A,f(x1)f(x2)=(logax1)·(logax2),f(x1+x2)=loga(x1+x2),由对数运算法则知,A错误;
对于B,logax=±1,即x=a或x=,互为倒数,故B正确;
对于C,由f(x)的图象特征知,当x0>1时,x0-1>0,f(x0)>0,则(x0-1)f(x0)>0,同理可证当x0∈(0,1)时,(x0-1)f(x0)>0,当x0=1时,(x0-1)f(x0)=0,故C错误;
对于D,如图,为点B对应的纵坐标,f为点A对应的纵坐标,故13.6 +log525=1+log552=4+2=6.
14.-1 ∵f(x)=
∴f(4)=log24-1=1,则f(f(4))=f(1)=1-2=-1.
15.(-1,1) 0,∪(1,+∞) ∵函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,
令x+2=1,得x=-1,f(-1)=1,可得它的图象经过定点(-1,1).
当0若f-<,则1+loga-+2<,
即loga,即,求得0当a>1时,函数f(x)为增函数,
若f-<,则1+loga-+2<,
即loga,即,求得a>,
又a>1,∴a>1.
综上,实数a的取值范围为0,∪(1,+∞).
16.1 函数y=log2x,y=3-x的图象如图所示,且log22=3-2=1,所以M(x)在x=2时有最小值,即M(2)=1.
17.解(1)+(1-)0++1++1+.
(2)=1.
18.解f(x)=2x在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率为=2a-2a-1=2a-1.
g(x)=x-1在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率为.
∵a<0,∴a-1<-1.
∴2a-1<2-1=,
∴f(x)=2x在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率比g(x)=x-1在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率小.
19.解(1)由题易知f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,
又f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,
∴当x≥0时,f(x)也单调递增,∴a>1.
且f(0)=1+b≥-1,得b≥-2.
综上,a,b的取值范围分别是(1,+∞),[-2,+∞).
(2)∵当x<0时,f(x)<-1,
∴f(x)在区间(-∞,0)上无零点,
∴当x≥0时,f(x)=2x+b只有一个零点,
∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(x)∈[1+b,+∞),∴f(0)=1+b≤0,∴b≤-1.
∴实数b的取值范围是(-∞,-1].
20.解(1)要使函数f(x)有意义,则解得-1(2)f(x)是奇函数.理由如下:
由(1)知f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(3)若f=2,
则loga-loga=loga4=2,解得a=2,
∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).
若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),
∴解得0故所求x的集合为{x|021.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加得越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加得越来越慢.
因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,
所以函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.
由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,
所以解得
所以该函数模型的解析式是y=×x(x∈N*).
(2)当x=0时,y=×0=,
所以元旦放入凤眼莲的面积是m2.
由×x>10×,得x>10,
所以x>lo10=.
因为≈5.7,所以x≥6,
所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.
22.解(1)因为f(x)=k·2x-2-x是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以k-1=0,解得k=1,
所以f(x)=2x-2-x,验证:
当k=1时,f(-x)=2-x-2x=-f(x),
所以f(x)为奇函数,故k=1.
(2)f(x)>a·2x-1有解,所以a<-+1有解,所以只需a<,
因为-+1=-(当x=1时,等号成立),所以a<.
即a的取值范围是.
(3)因为g(x)=4x+4-x-4f(x),
所以g(x)=4x+4-x-4(2x-2-x).
可令t=2x-2-x,可得函数t在[1,+∞)上单调递增,即t≥,则t2=4x+4-x-2,可得函数g(x)=h(t)=t2-4t+2,t≥,由h(t)为开口向上,对称轴为直线t=2>的抛物线,
所以当t=2时,h(t)取得最小值-2,
此时2=2x-2-x,解得x=log2(1+),
所以g(x)在区间[1,+∞)上的最小值为-2,此时x=log2(1+).(共35张PPT)
第四章 综合训练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
一、单项选择题
18
19
20
21
22
1.若函数f(x)的图象与函数g(x)=10x的图象关于直线y=x对称,则f(100)=( )
A.10 B.-1 C.2 D.-2
C
解析 ∵f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,∴f(x)为g(x)的反函数,
∴f(x)=lg x,则有f(100)=lg 100=2.
故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2.若xlog23=1,则3x+3-x=( )
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
3.若函数y=f(x)的定义域为(0,2),则函数y=f(3-3x)的定义域为( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,3) D.(-6,2)
A
解析 由题意,需0<3-3x<2,即1<3x<3,所以01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
4.若函数y=ax+m-1(a>0)的图象经过第一、三、四象限,则( )
A.a>1且m>0
B.00
C.a>1且m<0
D.0C
解析 由题意可知,a>1且m-1<-1,所以a>1且m<0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
5.[2023北京门头沟高一]三个数a=log30.3,b=30.3,c=0.30.3的大小顺序是
( )
A.aC.aC
解析 ∵log30.330=1,0<0.30.3<0.30=1,∴a1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
6.[2023河南安阳高一]设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,设a=30.3,b=( )-0.4,c=log40.3,则( )
A.f(c)>f(a)>f(b) B.f(a)>f(c)>f(b)
C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(a)>f(b)>f(c)
A
∴b>a>1>|c|>0.
∵函数f(x)是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,
则f(|c|)>f(a)>f(b),即f(c)>f(a)>f(b).故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
7.在同一平面直角坐标系中,函数 (a>0且a≠1)的图象可能是( )
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
8.已知函数 若函数g(x)=f(x)-m恰有两个零点,
则实数m不可能是( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
D
解析 画出函数f(x)的大致图象如图所示,函数g(x)=f(x)-m有两个零点,即函数y=f(x)与函数y=m的图象有两个交点,由函数图象可得m≤0或m=1.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
二、多项选择题
9.若a>b>0,0A.logcacb
C.ac>bc D.logc(a+b)>0
AC
解析 因为0b>0得logcab>0,得ca1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
10.下列结论正确的是( )
A.函数y=2x-1是指数函数
B.函数y=ax2+1(a>1)的值域是[1,+∞)
C.若am>an(a>0,a≠1),则m>n
D.函数f(x)=ax-2-3(a>0,a≠1)的图象必过定点(2,-2)
BD
解析 选项A,根据指数函数的定义,可得y=2x-1不是指数函数,故A不正确.
选项B,当a>1时,y=ax2+1≥1,故B正确.
选项C,当0an,则m选项D,由f(2)=22-2-3=-2,可得f(x)的图象恒过点(2,-2),故D正确.
故选BD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
11.已知实数a,b满足等式 ,则下列关系式可能成立的是( )
A.a>b>0 B.aC.0ABD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
12.[2023湖南益阳高一]对于函数f(x)=logax(a>1),下列说法正确的有( )
A. x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)f(x2)=f(x1+x2)
B.函数|f(x)|-1有两个零点,且互为倒数
C. x0∈(0,+∞),使得(x0-1)f(x0)<0
BD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解析 对于A,f(x1)f(x2)=(logax1)·(logax2),f(x1+x2)=loga(x1+x2),由对数运算法则知,A错误;
对于B,logax=±1,即x=a或x= ,互为倒数,故B正确;
对于C,由f(x)的图象特征知,当x0>1时,x0-1>0,f(x0)>0,则(x0-1)f(x0)>0,同理可证当x0∈(0,1)时,(x0-1)f(x0)>0,当x0=1时,(x0-1)f(x0)=0,故C错误;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
三、填空题
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
14.已知函数 则 f(f(4))= .
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
15.函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为 ;若 则实数a的取值范围是 .
(-1,1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
16.若max{a,b}= 则函数M(x)=max{log2x,3-x}的最小值为 .
1
解析 函数y=log2x,y=3-x的图象如图所示,且log22=3-2=1,所以M(x)在x=2时有最小值,即M(2)=1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
四、解答题
17.计算下列各式的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
18.比较函数f(x)=2x与g(x)= x-1在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率的大小.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
(1)若f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;
(2)当a=2时,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上只有一个零点,求实数b的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解 (1)由题易知f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,
又f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,
∴当x≥0时,f(x)也单调递增,∴a>1.
且f(0)=1+b≥-1,得b≥-2.
综上,a,b的取值范围分别是(1,+∞),[-2,+∞).
(2)∵当x<0时,f(x)<-1,
∴f(x)在区间(-∞,0)上无零点,
∴当x≥0时,f(x)=2x+b只有一个零点,
∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(x)∈[1+b,+∞),∴f(0)=1+b≤0,∴b≤-1.
∴实数b的取值范围是(-∞,-1].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
20.已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若 ,求使f(x)>0成立的x的集合.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解 (1)要使函数f(x)有意义,则 解得-1(2)f(x)是奇函数.理由如下:
由(1)知f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),∴f(x)是奇函数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
21.某科研团队于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y= +q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解 (1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y= +q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加得越来越快,而函数y= +q(p>0)的值增加得越来越慢.
因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,
所以函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.
由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,
所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
22.设函数f(x)=k·2x-2-x是定义在R上的奇函数.
(1)求k的值;
(2)若不等式f(x)>a·2x-1有解,求实数a的取值范围;
(3)设g(x)=4x+4-x-4f(x),求g(x)在区间[1,+∞)上的最小值,并指出取得最小值时x的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解 (1)因为f(x)=k·2x-2-x是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以k-1=0,解得k=1,
所以f(x)=2x-2-x,验证:
当k=1时,f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,故k=1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
(3)因为g(x)=4x+4-x-4f(x),
所以g(x)=4x+4-x-4(2x-2-x).