第六章6.3 平面向量线性运算的应用
A级 必备知识基础练
1.[探究点一](多选题)若O是△ABC所在平面内一点,且满足||=|-2|,则△ABC的形状不可能是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
2.[探究点二·2023陕西榆林高一]某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为500 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为( )(参考数据:重力加速度大小g取10 m/s2,≈1.732)
A.81 B.87 C.89 D.91
3.[探究点一]△ABC所在平面内一点P满足=m(m>0,m为常数),若△ABP的面积为6,则△ABC的面积为 .
4.[探究点二]在静水中划船速度的大小是每分钟40 m,水流速度的大小是每分钟20 m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,那么小船的行进方向应指向哪里
B级 关键能力提升练
5.已知O是平面内的一定点,A,B,C是平面内不共线的三个动点,若动点P满足+λ(),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
6.P是△ABC所在平面内一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
7.(多选题)在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论正确的是 ( )
A.
B.)
C.=0
D.=0
8.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ,则λ= ,μ=.
9.在△ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且,AD与BE交于点R,证明:.
C级 学科素养创新练
10.设O为△ABC内一点,且满足关系式+2+3=3+2,则S△BOC∶S△AOB∶S△COA= .
11.如图所示,O,A,B三点不共线,=2=3,BC,AD交于点E,设=a,=b.
(1)试用a,b表示向量;
(2)设线段AB,OE,CD的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N三点共线.
12.如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.
(1)用 和 表示;
(2)设=λ+μ,求λ,μ的取值范围.
参考答案
6.3 平面向量线性运算的应用
1.AD 设点M为BC边的中点,由题意可得
||=||,
|-2|=|2-2|=2||,
据此结合题意可知CB=2AM,
由三角形的性质可知,△ABC的形状是直角三角形.
故选AD.
2.B 设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,则|F1|=|F2|=500,
=60°,
∴|F1+F2|==500≈866,
∴10m=866,
解得m=86.6≈87.
∴学生的体重约为87kg.故选B.
3.12 取AC的中点O,
∵=m(m>0,m为常数),
∴m=2,
∴点C到直线AB的距离等于点P到直线AB的距离的2倍,
∴S△ABC=2S△ABP=12.
4.
解如图所示,设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,连接OC.
依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,
∴∠BOC=30°.
故小船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.
5.C 由题意,得=λ(),即=λ(),根据平行四边形法则,知是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.
6.B 由||=|-2|,可得||=||,即||=||,
所以四边形ABCD为矩形,因此,△ABC是直角三角形.故选B.
7.CD ,故A错误;
)=,故B错误;
)=0,故C正确;
=-)+)+)=-)=0,故D正确.
故选CD.
8. 以D为原点,DC边所在直线为x轴,DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
不妨设AB=1,则D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴=(-2,2),=(-2,1),=(1,2).
∵=λ+μ,
∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),
∴解得
9.证明由A,D,R三点共线,可得=λ+(1-λ)+(1-λ).
由B,E,R三点共线,可得=μ+(1-μ)=μ(1-μ).∴
∴,
∴-==.
10.3∶2∶1 ∵+2+3=3+2=3()+2()+(),
∴3+2=0,
∴+2+2=0.
分别取AB,AC的中点为D,E,则=2,点O为线段DE的三等分点(靠近点E).
延长AO交BC于点F,∴S△AOB=S△ABF=S△ABC=S△ABC,
S△AOC=S△ACF=S△ABC=S△ABC,
S△BOC=S△ABC.
∴S△BOC∶S△AOB∶S△COA=S△ABC∶S△ABC∶S△ABC=3∶2∶1.
11.(1)解∵B,E,C三点共线,
∴令=x+(1-x)=2xa+(1-x)b, ①
同理,∵A,E,D三点共线,
令=y+(1-y)可得=ya+3(1-y)b, ②
由①②,得解得
∴a+b.
(2)证明∵)=,
∴,
∴=6.
又交于点M,∴L,M,N三点共线.
12.解(1)因为M为AB上靠近B的三等分点,所以).
又CB∥OA,且CB=OA,所以.
则)=)==.即.
(2)根据题意,因为OA⊥OC,故以O为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系:
设OA=2,则A(2,0),C(0,1),B(1,1),O(0,0),
因为点P在线段BC上运动,故可设其坐标为(m,1),0≤m≤1,
则=(1,1),=(2,-1),=(m,1).
由=λ+μ可得1=2λ+μm,1=-λ+μ,
则μ=,λ=μ-1.
因为m∈[0,1],则m+2∈[2,3],故μ∈,λ∈.第六章6.1.3 向量的减法
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]在平行四边形ABCD中,对角线AC交BD于点O,且||=||,则必有( )
A.=0
B.=0或=0
C.四边形ABCD为菱形
D.四边形ABCD为正方形
2.[探究点一](多选题)已知O是平行四边形ABCD对角线的交点,则( )
A. B.
C. D.
3.
[探究点二·2023河南南阳高一]在五边形ABCDE中(如图),下列运算结果为的是( )
A.
B.
C.
D.
4.[探究点三]已知||=10,||=7,则||的取值范围为 .
5.[探究点一]在矩形ABCD中,||=2,||=4,则||= .
6.
[探究点二]如图,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示下列向量.
(1);
(2);
(3).
B级 关键能力提升练
7.在平面上有A,B,C三点,设m=,n=,若m与n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D.△ABC必为等腰直角三角形
8.(多选题)已知a,b为非零向量,则下列命题是真命题的是( )
A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b模相等
D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
9.(多选题)[2023江苏淮安高一]对于菱形ABCD,给出下列各式,其中结论正确的为( )
A.
B.||=||
C.||=||
D.||=||
10.已知三角形ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,有下列结论:
①||=||;②||=||;③||=||;④||2=||2+||2.
其中正确结论的序号为 .
C级 学科素养创新练
11.已知||=2,||=1,求||的最大值和最小值.
参考答案
6.1.3 向量的减法
1.C 因为||=||,所以||=||,
所以平行四边形ABCD为菱形.故选C.
2.AB 因为O是平行四边形ABCD对角线的交点,对于选项A,结合相等向量的概念可得,,故A正确;对于选项B,由平行四边形法则可得,故B正确;对于选项C,由向量的减法可得,故C错误;对于选项D,由向量的加法运算可得,故D错误.
3.A ,故A正确;
,故B不正确;
,故C不正确;
,故D不正确.
故选A.
4.[3,17] 因为,所以||=||.
又|||-|||≤||≤||+||,
所以3≤||≤17,即3≤||≤17.
5.4 在矩形ABCD中,,||=2||=4.
6.解(1)=d-b.
(2)=b-a+f-c.
(3)=f-d.
7.C 如图,作平行四边形ABCD,
则m=,n=.
因为m,n的长度相等,
所以||=||,
即||=||.
所以四边形ABCD是矩形,故△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°.
8.ABD 如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当a,b不共线时,有||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.
当a,b同向时有|a+b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a-b|.
当a,b反向时有|a+b|=||a|-|b||,|a|+|b|=|a-b|.
9.BCD 菱形中向量的方向是不同的,但它们的模是相等的,故B正确,A错误;
因为||=||=2||,||=2||,且||=||,
所以||=||,故C正确;
||=||=||,||=||=||,故D正确.故选BCD.
10.①②③④ 以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则它是正方形.
∵||=||,||=||,||=||,
∴①正确.
∵||=||,||=||,||=||,
∴②正确.
∵||=||=||,||=||=||,||=||,∴③正确.
||2=||2,||2+||2=||2+||2=||2+||2=||2,
∴④正确.
11.解因为||=2,||=1,
所以||=|+()|≤||+||=3,当且仅当,即的方向相同时,等号成立.
||=|+()|≥||-||=1,当且仅当,即的方向相反时,等号成立.
所以||的最大值是3,最小值是1.第六章6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算
A级 必备知识基础练
1.[探究点四]已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
2.[探究点三](多选题)在△ABC中,,记=a,=b,则下列结论正确的是( )
A.(-a-b) B.=-b
C.(b-a) D.=a+b
3.[探究点一](多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使成立的条件是( )
A.2a=b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
4.[探究点二·2023河南高一]化简:(2a-b)-3a+b+2(a-2b)= .
5.[探究点一]在四边形ABCD中,=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为 .
6.[探究点三]已知点P在线段AB上,且||=4||,设=λ,则实数λ= .
7.[探究点二]已知3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),求x(用a,b,c表示).
B级 关键能力提升练
8.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是( )
A.a=5e1,b=7e1
B.a=e1-e2,b=3e1-2e2
C.a=e1+e2,b=3e1-3e2
D.a=e1-e2,b=3e1-e2
9.(多选题)[2023吉林高一校考期末]已知A,B,C是三个不同的点,=a-b,=2a-3b,=3a-5b,则下列结论正确的是( )
A.=2 B.
C.=3 D.A,B,C三点共线
10.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一句话:三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:①=2;②=0;③=2;④S△ABG=S△BCG=S△ACG,其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.用向量运算刻画三角形的重心.
(1)已知△ABC,求一点G满足=0.
(2)求证:满足条件=0的点G是△ABC的重心.
12.如图,在四边形ABCD中,=2.
(1)用表示;
(2)若=2,用表示.
C级 学科素养创新练
13.已知O,A,M,B为平面上四点,且向量=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
参考答案
6.1.4 数乘向量
6.1.5 向量的线性运算
1.A =-2a+8b+3(a-b)=a+5b=,所以A,B,D三点共线.
2.AC 因为=a,=b,
所以=-b-a,=-b,
所以(-a-b),b-(a+b)=(b-a).
故选AC.
3.AC 分别表示与a,b同向的单位向量.
对于A,当2a=b时,;
对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时;
对于C,当a=2b时,;
对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时.
结合选项,使成立的条件是a=2b,2a=b.
4.2a-b (2a-b)-3a+b+2(a-2b)=a-b-a-3b+2a-4b=2a-b.
5.等腰梯形 由已知可得=-,所以,且||≠||.又||=||,
所以四边形ABCD为等腰梯形.
6. 因为||=4||,所以P是线段AB的四等分点且靠近点A,因此.
7.解因为3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),
所以6a-3b+3c+x=-2a+6b,
即x=-8a+9b-3c.
8.ABD 对于A,a与b显然共线;对于B,因为b=3e1-2e2=6=6a,故a与b共线;对于C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得无解,故a与b不共线;对于D,b=3=3a,所以a与b共线.
9.ABD 由题可得=a-2b,=2a-4b,=a-2b,
∴=2,故A正确;,故B正确;=2,故C错误;
由=2可得∥,故A,B,C三点共线,故D正确.
故选ABD.
10.D 在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示:
对于②,根据三角形的重心性质得=0,②正确;
对于①③,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,
∴=2,
∴=2=2,①③正确;
对于④,过点G作GE⊥BC,垂足为E,则,
∴△BGC的面积为S△BGC=BC·GE=BC××AN=S△ABC.同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,④正确.故选D.
11.(1)解设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD,AF交于点G,则G为△ABC的重心,
延长CD到点E,使得DE=GD,连接AE,BE,BG,如图,
由向量加法的平行四边形法则,得=2.
因为G为△ABC的重心,所以||=2||,
故=2,所以=2=0,
所以△ABC的重心G满足题意.
(2)证明因为=0,所以=-,
以GA,GB为邻边作 GAEB,连接GE,由向量加法的平行四边形法则,得,所以.
设AB与GE交于点D,由平行四边形的性质可知D为AB和GE的中点,所以=2,即G在中线CD上,且CG=2GD.
同理可证G也在其他两边的中线上,即G是三角形三条中线的交点,所以G为△ABC的重心.
12.解(1)因为,
所以.
(2)因为),所以.
13.(1)证明因为=λ+(1-λ),
所以=λ-λ=λ-λ,即=λ.又λ∈R,λ≠1,λ≠0且有公共点A,所以A,B,M三点共线.
(2)解由(1)知=λ,若点B在线段AM上,则同向,且||>||(如图所示).
所以λ>1.即实数λ的取值范围是(1,+∞).(共24张PPT)
第六章
6.3 平面向量线性运算的应用
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A 级 必备知识基础练
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
AD
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解析 设点M为BC边的中点,由题意可得
据此结合题意可知CB=2AM,
由三角形的性质可知,△ABC的形状是直角三角形.
故选AD.
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2.[探究点二·2023陕西榆林高一]某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为500 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为( )
(参考数据:重力加速度大小g取10 m/s2, ≈1.732)
A.81
B.87
C.89
D.91
B
解析 设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,则|F1|=|F2|=500,=60°,
∴10m=866,
解得m=86.6≈87.
∴学生的体重约为87 kg.故选B.
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3.[探究点一]△ABC所在平面内一点P满足 (m>0,m为常数),若△ABP的面积为6,则△ABC的面积为 .
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解析 取AC的中点O,
∴点C到直线AB的距离等于点P到直线AB的距离的2倍,
∴S△ABC=2S△ABP=12.
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4.[探究点二]在静水中划船速度的大小是每分钟40 m,水流速度的大小是每分钟20 m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,那么小船的行进方向应指向哪里
解 如图所示,设向量 的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量
的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,连接OC.
依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,
∴∠BOC=30°.
故小船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.
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5.已知O是平面内的一定点,A,B,C是平面内不共线的三个动点,若动点P满足 ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
B 级 关键能力提升练
C
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6.P是△ABC所在平面内一点,满足 ,则△ABC的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
B
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7.(多选题)在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论正确的是( )
CD
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8.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若 ,则λ= ,μ= .
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解析 以D为原点,DC边所在直线为x轴,DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
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10.设O为△ABC内一点,且满足关系式 ,则S△BOC∶S△AOB∶S△COA= .
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(1)试用a,b表示向量
(2)设线段AB,OE,CD的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N三点共线.
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12.如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.
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(2)根据题意,因为OA⊥OC,故以O为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系:
设OA=2,则A(2,0),C(0,1),B(1,1),O(0,0),
因为点P在线段BC上运动,故可设其坐标为(m,1),0≤m≤1,第六章6.1.2 向量的加法
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,等于( )
A. B. C. D.0
2.[探究点一]若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示( )
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+)km
3.[探究点一](多选题)已知D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,则下列等式成立的是( )
A. B.=0
C. D.
4.[探究点二]化简:(1)()+= ;(2)= .
5.[探究点三]若|a|=|b|=2,则|a+b|的取值范围为 ;当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向 .
6.[探究点一]如图,已知下列各组向量a,b,求作a+b.
B级 关键能力提升练
7.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
8.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足,则下列结论正确的是( )
A.点P在△ABC的内部
B.点P在△ABC的边AB上
C.点P在AB边所在的直线上
D.点P在△ABC的外部
9.设a=()+(),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为( )
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;
A.①③ B.②③ C.③④ D.①④
10.[2023甘肃天水高一阶段练习]在矩形ABCD中,||=2,||=4,则向量的长度为 ( )
A.2 B.4 C.12 D.6
11.在平行四边形ABCD中,若||=||,则四边形ABCD是 .
12.在水流速度为10 km/h的河中,如果要使船以10 km/h的速度与河岸成直角横渡,求船的航行速度的大小与方向.
C级 学科素养创新练
13.正六边形ABCDEF的边长为a,有五个力作用于同一点A,则这五个力的合力的大小为 .
参考答案
6.1.2 向量的加法
1.A .
故选A.
2.B 如图,易知tanα=,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°,又|a+b|=2km,故选B.
3.ACD 由向量加法的三角形法则可得,=0,由三角形的中位线性质得,四边形ADEF是平行四边形,.故B错误,ACD成立.
4.(1) (2)0 (1)()+.
(2)=0.
5.[0,4] 相同 由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知0≤|a+b|≤4.
当|a+b|=|a|+|b|时,两向量方向相同.
6.解(1)将b的起点移至a的终点,即可得a+b,如下图:
(2)将b的起点移至a的终点,即可得a+b,如下图:
(3)以a,b的起点为顶点作平行四边形,应用平行四边形法则可得a+b,如下图:
(4)将a的起点移至b的终点,应用三角形法则可得a+b,如下图:
7.D 因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以||2=||2+||2,所以△ABC为等腰直角三角形.
8.D ,根据向量加法的平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外.故选D.
9.A 因为a=()+()==0,所以①③正确.
10.B 因为,
所以的长度为的模的2倍.
又||==2,
所以向量的长度为4.
故选B.
11.矩形 由图知||=||.又||=||=||,所以||=||.又四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为矩形.
12.解如图所示.
设=10km/h,=10km/h.
在Rt△ABC中,||==20(km/h).
又cos∠ABC=,所以∠ABC=60°.
所以,船的航行速度大小为20km/h,与水流的方向成120°角.
13.6a 如图,FB,CE分别交AD于点M,N,
则△FAB为等腰三角形,∠FAM=∠BAM=60°,
△EAC为等边三角形且AN为∠EAC的平分线.
故M为FB的中点,N为EC的中点,且||=,||=×||=|=a,
所以||=a+a=2a.
又=2=2,
所以=2+2.
而共线同向,
故||=2||+2||+||=2×+2×a+2a=6a.(共26张PPT)
第六章
6.2.1 向量基本定理
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以组成基底的是
( )
A.a=0,b=e1+e2
B.a=3e1+3e2,b=e1+e2
C.a=e1-2e2,b=e1+e2
D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2
C
解析 对于A,零向量与任意向量均共线,所以此两个向量不可以组成基底;对于B,因为a=3e1+3e2,b=e1+e2,所以a=3b,所以此两个向量不可以组成基底;对于C,设a=λb,即e1-2e2=λ(e1+e2),则 无解,所以此两个向量不共线,可以组成一组基底;对于D,因为a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a= b,所以此两个向量不可以组成基底.故选C.
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A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
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4.[探究点二]如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,F为DE的中点.若
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B 级 关键能力提升练
8.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=( )
C
解析 ∵向量8a-kb与-ka+b共线,∴存在实数λ,使得8a-kb=λ(-ka+b),即8
a-kb=-kλa+λb.又a,b为非零不共线向量, 解得k=±2 .故选C.
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10.(多选题)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是( )
ABD
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C 级 学科素养创新练
13.如图所示,在 ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与AC分别交于点R,T.求证:AR=RT=TC.
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13第六章6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]如图所示,向量的坐标分别是 ( )
A.-3,2 B.-3,4 C.2,-2 D.2,2
2.[探究点一、二](多选题)若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a=-e,b=e,则下列说法正确的是( )
A.a=-b B.b=-a
C.a+b的坐标为0 D.|a||b|=1
3.[探究点一]在数轴上,已知=-3e(e为x轴上的单位向量,O为原点),且点B的坐标为3,则向量的坐标为 .
4.[探究点二]已知数轴上的点A(-3),B(5),C(x),=-3,则线段AB中点的坐标为 ,||= .
5.[探究点一]已知a的坐标为-1,b的坐标为5,求下列向量的坐标:
(1)a-b;(2)b+a;(3)-2a+3b;(4)3a-2b.
6.[探究点一、二]已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d.
(1)若=5,求c的值;
(2)若||=6,求d的值;
(3)若=-3,求证:3=-4.
B级 关键能力提升练
7.三个不相等的实数a,b,c在数轴上分别对应点A,B,C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么点B 在点 ( )
A.A,C的右边 B.A,C的左边
C.A,C之间 D.A或C上
8.(多选题)在数轴上点A,B,C的坐标分别为-1,1,5,则下列结论正确的是( )
A.的坐标是2 B.=-3
C.的坐标是4 D.=2
9.设数轴上三点A,B,C,点B在点A,C之间,则下列等式不成立的有 .(填序号)
①||=||-||;
②||=||+||;
③||=||+||;
④||=||.
10.已知e是直线l上一个单位向量,a与b都是直线l上的向量,且a=3e,b=-2e,求|a|,|b|,|a-b|,|a+2b|,|4a-3b|.
C级 学科素养创新练
11.已知a,b,c是直线l上的向量,向量4a-3b,3a+c的坐标分别为1,-3,且|a+c|=1,求a,b,c的坐标.
参考答案
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
1.C
2.BD 因为a=-e,b=e,所以|a|=,|b|=,|a||b|=1,b=-=-a,a+b=e=-e,a+b的坐标为-.
3.6 由点B坐标为3,得=3e,则=3e-(-3e)=6e,即的坐标为6.
4.1 已知点A(-3),B(5),所以线段AB中点的坐标为=1.
又||=8,=-3,所以B,C在A的两侧,且||=,所以||=8+.
5.解(1)根据数轴上向量的坐标运算,可得a-b的坐标为-1-5=-6.
(2)根据数轴上向量的坐标运算,可得b+a的坐标为×5-1=.
(3)根据数轴上向量的坐标运算,可得-2a+3b的坐标为-2×(-1)+3×5=17.
(4)根据数轴上向量的坐标运算,可得3a-2b的坐标为3×(-1)-2×5=-13.
6.(1)解因为=5,所以c-(-4)=5,解得c=1.
(2)解因为||=6,所以|d-(-2)|=6,即d+2=6或d+2=-6,解得d=4或d=-8.
(3)证明因为=c+4,=d+4,=-3,
所以c+4=-3(d+4),
即c=-3d-16,
所以3=3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48,
-4=-4[c-(-4)]=-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48,
所以3=-4.
7.C ①若点B在点A,C右边,则b>a,b>c,则有|a-b|+|b-c|=b-a+b-c=2b-(a+c),不一定等于|a-c|;②若点B在点A,C左边,则b8.ABD 的坐标为1-(-1)=2,的坐标为-1-5=-6,的坐标为1-5=-4,的坐标为5-1=4,故=2=-3.
9.①②④
10.解|a|=3,|b|=2.
|a-b|=|3e-(-2e)|=|5e|=5.
|a+2b|=|3e+2(-2e)|=|-e|=1.
|4a-3b|=|12e-3(-2e)|=|18e|=18.
11.解设a,b,c的坐标分别是x,y,z.
因为向量4a-3b,3a+c的坐标分别为1,-3,且|a+c|=1,
所以
解得
所以a,b,c的坐标分别是-2,-3,3或-1,-,0.(共22张PPT)
第六章
6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算
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A 级 必备知识基础练
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
A
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3.[探究点一](多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使 成立的条件是( )
A.2a=b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
AC
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4.[探究点二·2023河南高一]化简: (2a-b)-3( a+b)+2(a-2b)= .
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等腰梯形
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7.[探究点二]已知3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),求x(用a,b,c表示).
解 因为3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),
所以6a-3b+3c+x=-2a+6b,
即x=-8a+9b-3c.
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8.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是
( )
A.a=5e1,b=7e1 B.a= e1- e2,b=3e1-2e2
C.a=e1+e2,b=3e1-3e2 D.a=e1- e2,b=3e1-e2
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10.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一句话:三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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解析 在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示:
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11.用向量运算刻画三角形的重心.
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(1)解设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD,AF交于点G,则G为△ABC的
重心,
延长CD到点E,使得DE=GD,连接AE,BE,BG,如图,
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C 级 学科素养创新练
13.已知O,A,M,B为平面上四点,且向量 (λ∈R,λ≠0,且λ≠1).
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
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所以λ>1.即实数λ的取值范围是(1,+∞).(共14张PPT)
第六章
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]如图所示,向量 的坐标分别是( )
A.-3,2 B.-3,4 C.2,-2 D.2,2
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2.[探究点一、二](多选题)若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a=- e,b= e,则下列说法正确的是( )
A.a=-b B.b=- a
C.a+b的坐标为0 D.|a||b|=1
BD
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3.[探究点一]在数轴上,已知 =-3e(e为x轴上的单位向量,O为原点),且点B的坐标为3,则向量 的坐标为 .
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4.[探究点二]已知数轴上的点A(-3),B(5),C(x), ,则线段AB中点的坐标为 , = .
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5.[探究点一]已知a的坐标为-1,b的坐标为5,求下列向量的坐标:
(1)a-b;(2) b+a;(3)-2a+3b;(4)3a-2b.
解 (1)根据数轴上向量的坐标运算,可得a-b的坐标为-1-5=-6.
(2)根据数轴上向量的坐标运算,可得 b+a的坐标为 ×5-1= .
(3)根据数轴上向量的坐标运算,可得-2a+3b的坐标为-2×(-1)+3×5=17.
(4)根据数轴上向量的坐标运算,可得3a-2b的坐标为3×(-1)-2×5=-13.
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6.[探究点一、二]已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d.
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B 级 关键能力提升练
7.三个不相等的实数a,b,c在数轴上分别对应点A,B,C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么点B 在点( )
A.A,C的右边 B.A,C的左边 C.A,C之间 D.A或C上
C
解析 ①若点B在点A,C右边,则b>a,b>c,则有|a-b|+|b-c|=b-a+b-c=2b-(a+c),不一定等于|a-c|;②若点B在点A,C左边,则b1
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8.(多选题)在数轴上点A,B,C的坐标分别为-1,1,5,则下列结论正确的是
( )
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9.设数轴上三点A,B,C,点B在点A,C之间,则下列等式不成立的有 .(填序号)
①②④
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10.已知e是直线l上一个单位向量,a与b都是直线l上的向量,且a=3e,b=-2e,求|a|,|b|,|a-b|,|a+2b|,|4a-3b|.
解 |a|=3,|b|=2.
|a-b|=|3e-(-2e)|=|5e|=5.
|a+2b|=|3e+2(-2e)|=|-e|=1.
|4a-3b|=|12e-3(-2e)|=|18e|=18.
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C 级 学科素养创新练
11.已知a,b,c是直线l上的向量,向量4a-3b,3a+c的坐标分别为1,-3,且|a+c|=1,求a,b,c的坐标.
解 设a,b,c的坐标分别是x,y,z.
因为向量4a-3b,3a+c的坐标分别为1,-3,且|a+c|=1,
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第六章
6.1.3 向量的减法
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A 级 必备知识基础练
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2.[探究点一](多选题)已知O是平行四边形ABCD对角线的交点,则( )
AB
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[3,17]
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B 级 关键能力提升练
7.在平面上有A,B,C三点,设 ,若m与n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D.△ABC必为等腰直角三角形
C
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8.(多选题)已知a,b为非零向量,则下列命题是真命题的是( )
A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b模相等
D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
ABD
解析 如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当a,b不共线时,有||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.
当a,b同向时有|a+b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a-b|.
当a,b反向时有|a+b|=||a|-|b||,|a|+|b|=|a-b|.
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9.(多选题)[2023江苏淮安高一]对于菱形ABCD,给出下列各式,其中结论正确的为( )
BCD
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10.已知三角形ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,有下列结论:
其中正确结论的序号为 .
①②③④
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C 级 学科素养创新练(共26张PPT)
第六章
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点二]已知点A(1,0),B(3,2),则 =( )
A.(0,-1) B.(1,-1)
C.(2,2) D.(-1,0)
C
解析 因为A(1,0),B(3,2),所以 =(2,2).故选C.
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2.[探究点三·2023山西运城高二期末]已知向量a=(3,-4),b=(λ,8),且a∥b,则|a-b|=( )
A.15 B. C.16 D.225
A
解析 因为a∥b,所以3×8-λ(-4)=0,解得λ=-6,
所以a-b=(3,-4)-(-6,8)=(9,-12),
故选A.
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5.[探究点二]已知点M(4,-1),N(1,3),则 = ,与 同方向的单位向量为 .
(-3,4)
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6.[探究点三]若A(1,2),B(a,-2),C(3,1-a)三个不同的点共线,则a= .
-3
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7.[探究点二]已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为 .
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8.[探究点一·北师大版教材习题]在平面内以点O的正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动,分别求下列位移向量的坐标:
(1)向量a表示沿北偏东60°移动了3个单位长度;
(2)向量b表示沿西北方向移动了4个单位长度;
(3)向量c表示沿南偏西30°移动了3个单位长度;
(4)向量d表示沿东南方向移动了4个单位长度.
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9.[探究点二、三]设向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(4,-5).
(1)求|a+2b|;
(2)若c=λa+μb,λ,μ∈R,求λ+μ的值;
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B 级 关键能力提升练
10.[2023重庆开州高一]已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=( )
A.(-4,-8) B.(-8,-16)
C.(4,8) D.(8,16)
A
解析 ∵a∥b,∴1×m=2×(-2),∴m=-4,∴b=(-2,-4),
∴2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).故选A.
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11.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )
A.k=1,且c与d同向
B.k=1,且c与d反向
C.k=-1,且c与d同向
D.k=-1,且c与d反向
D
解析 c=ka+b=(k,1),d=a-b=(1,-1),
∵c∥d,∴k=-1,c=(-1,1).
∴c与d反向.故选D.
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12.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是( )
A.(1,5) B.(5,-5) C.(-3,-5) D.(5,5)
ABC
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13.已知a=(1,2m-1),b=(2-m,-2),若向量a,b不共线,则实数m的取值范围为 .
解析 ∵向量a,b不共线,∴1×(-2)≠(2m-1)(2-m),解得m≠0,且m≠ .
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14.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为 .
-2
解析 ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
∵向量ma+4b与a-2b共线,
∴-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.
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16.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:
(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.
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解 (1)∵(a+kc)∥(2b-a),
又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k= .
(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
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17.已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R.
(1)求|a+tb|的最小值;
(2)若a-tb与c共线,求t的值.
解 (1)∵a=(-3,2),b=(2,1),∴a+tb=(2t-3,t+2),
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19.已知点O(0,0),A(1,2),B(3,4),
(1)若点P在第二象限,求实数t的取值范围;
(2)四边形OABP能否成为平行四边形 若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
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第六章
6.1.1 向量的概念
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023陕西西安高一阶段练习]下列说法错误的是( )
B.长度相等的向量称为相等向量
C.向量的模可以比较大小
D.任一非零向量都可以平行移动
B
解析 易知A,C正确;长度相等且方向相同的向量称为相等向量,故B错误;向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零向量都可以平行移动,故D正确.故选B.
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2.[探究点三]在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD的形状一定是( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
C
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3.[探究点一]若向量a与任意向量b都平行,则a= ;若|a|=1,则向量a是 .
0
单位向量
解析 由于只有零向量与任意向量平行,故a=0;由于|a|=1,即向量a的长度为1,所以向量a是单位向量.
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4.[探究点一]若a为任一非零向量,b为单位向量,下列各式:
①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1;⑤若a0是与a同向的单位向量,则a0=b.
其中正确的是 .(填序号)
③
解析 由题意知,|a|≠0,|b|=1,
对①,当|a|= 时,|a|<|b|,不一定有|a|>|b|,故①错误;
对②,a与b方向不一定相同或相反,所以a与b不一定平行,故②错误;
对③,非零向量的模必大于0,即|a|>0,故③正确;
对④,向量的模非负,故④错误;
对⑤,a与b方向不一定相同,所以a0与b方向不一定相同,故⑤错误.
综上可知③正确.
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5.[探究点二]已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则
= .
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6.[探究点三·2023江苏高一专题练习]在右图田字格中,以图中的结点为向量的起点或终点.
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B 级 关键能力提升练
7.(多选题)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中( )
BC
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8.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,若 =3,则向量 的模为 .
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C 级 学科素养创新练
10.如图,A1,A2,…,A8是圆O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量里,模等于圆半径的向量有多少个 模等于圆半径 倍的向量有多少个 第六章6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023陕西西安高一阶段练习]下列说法错误的是( )
A.向量与向量长度相等
B.长度相等的向量称为相等向量
C.向量的模可以比较大小
D.任一非零向量都可以平行移动
2.[探究点三]在四边形ABCD中,||=||,且,则四边形ABCD的形状一定是( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
3.[探究点一]若向量a与任意向量b都平行,则a= ;若|a|=1,则向量a是 .
4.[探究点一]若a为任一非零向量,b为单位向量,下列各式:
①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1;⑤若a0是与a同向的单位向量,则a0=b.
其中正确的是 .(填序号)
5.[探究点二]已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||= .
6.
[探究点三·2023江苏高一专题练习]在右图田字格中,以图中的结点为向量的起点或终点.
(1)写出与相等的向量;
(2)写出与平行的非零向量.
B级 关键能力提升练
7.(多选题)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中( )
A.向量的模相等
B.||=
C.向量共线
D.||+||=10
8.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,若||=3,则向量的模为 .
9.
如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的处相交的两个全等的三角形,设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为的若干个向量,则:
(1)与相等的向量有 ;
(2)与共线,且模相等的向量有 .
C级 学科素养创新练
10.
如图,A1,A2,…,A8是圆O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量里,模等于圆半径的向量有多少个 模等于圆半径倍的向量有多少个
参考答案
第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
1.B 易知A,C正确;长度相等且方向相同的向量称为相等向量,故B错误;向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零向量都可以平行移动,故D正确.故选B.
2.C 因为,所以BA∥CD,BA=CD,
所以四边形ABCD是平行四边形.
又||=||,所以AB=AD,
所以四边形ABCD是菱形.故选C.
3.0 单位向量 由于只有零向量与任意向量平行,故a=0;由于|a|=1,即向量a的长度为1,所以向量a是单位向量.
4.③ 由题意知,|a|≠0,|b|=1,
对①,当|a|=时,|a|<|b|,不一定有|a|>|b|,故①错误;
对②,a与b方向不一定相同或相反,所以a与b不一定平行,故②错误;
对③,非零向量的模必大于0,即|a|>0,故③正确;
对④,向量的模非负,故④错误;
对⑤,a与b方向不一定相同,所以a0与b方向不一定相同,故⑤错误.
综上可知③正确.
5.2 易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在Rt△ABO中,易得BO=,则BD=2BO=2,即||=2.
6.解(1)与相等的向量有.
(2)与平行的非零向量有.
7.BC 对于A,因为||=,||==2,所以||≠||,所以A错误;
对于B,因为||=,所以B正确;
对于C,因为∠CDG=∠CFH=45°,所以DG∥HF,所以向量共线,所以C正确;
对于D,因为||+||==5≠10,所以D错误.
故选BC.
8.6 在 ABCD和 ABDE中,易知,∴,∴E,D,C三点共线.
∴||=||+||=2||=6.
9.(1) (2) (1)由题图可知,图中列出的与相等的向量有.
(2)由题图可知,图中列出的与共线,且模相等的向量有.
10.解由题图可知,模等于圆半径的向量为(i=1,2,…,8),共16个;
图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆半径 倍的向量,故共16个模等于圆半径 倍的向量.第六章6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以组成基底的是( )
A.a=0,b=e1+e2
B.a=3e1+3e2,b=e1+e2
C.a=e1-2e2,b=e1+e2
D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2
2.[探究点二]在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
3.[探究点二](多选题)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且=3,F为AE的中点,则( )
A.=-
B.
C.=-
D.
4.
[探究点二]如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,F为DE的中点.若=m+n,则= .
5.[探究点三]如图,在△ABC中,,P是线段BD上一点.若=m,则实数m的值为 .
6.[探究点二]设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1= ,λ2= .
7.
[探究点一、二、三]已知在△OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设=a,=b.
(1)用a,b表示向量;
(2)若向量+k共线,求实数k的值.
B级 关键能力提升练
8.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=( )
A.2 B.-2
C.±2 D.8
9.[2023广东韶关高一]在△ABC中,,P是BN上一点,若=t,则实数t的值为 ( )
A. B. C. D.
10.(多选题)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图,A,B,C,D为平面内的四个点,,E为线段BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= .
12.[2023湖北襄阳高一]如图所示,在△ABC中,F为BC边上一点,2=a,=b.
(1)用向量a,b表示;
(2)若3,连接DF并延长,交AC于点E,=λ,=μ,求λ和μ的值.
C级 学科素养创新练
13.如图所示,在 ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与AC分别交于点R,T.求证:AR=RT=TC.
参考答案
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
1.C 对于A,零向量与任意向量均共线,所以此两个向量不可以组成基底;对于B,因为a=3e1+3e2,b=e1+e2,所以a=3b,所以此两个向量不可以组成基底;对于C,设a=λb,即e1-2e2=λ(e1+e2),则无解,所以此两个向量不共线,可以组成一组基底;对于D,因为a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a=b,所以此两个向量不可以组成基底.故选C.
2.B 因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,即=2(),
所以=3-2=3n-2m=-2m+3n.故选B.
3.ABC ∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,
∴=-=-,A正确;
∵=3,∴=-,
∴,又F为AE的中点,∴,B正确;
=-=-,C正确;
=-=-,D错误.
4.)=.
∵=m+n,∴m=,n=,∴.
5. 设=λ(λ∈R),∵,∴,
∴+λ+λ()=(1-λ).
∵=m,∴解得
6.- 由题意知,D为AB的中点,,
∴),∴,
∴=-,∴λ1=-,λ2=.
7.解(1)∵A为BC的中点,∴),
∴=2=2a-b,
∴=2a-b.
(2)由(1)得+k=(2k+1)a-kb.
∵+k共线,设=λ(+k),λ∈R,
即2a-b=λ(2k+1)a+b,
根据平面向量基本定理,得
解得k=.
8.C ∵向量8a-kb与-ka+b共线,∴存在实数λ,使得8a-kb=λ(-ka+b),即8a-kb=-kλa+λb.又a,b为非零不共线向量,∴解得k=±2.故选C.
9.D ,又因为,
所以,即,
所以=t=t.
因为P,B,N三点共线,所以t+=1,
解得t=.
故选D.
10.ABD ,故A正确;
)+,故B正确;
=-,故C错误;
=-,故D正确.
故选ABD.
11. 因为,即,所以2.
又E为线段BC的中点,所以)=,所以λ=,μ=,则λ+μ=.
12.解(1)因为2,
所以2()=,即3=2,
所以a+b.
(2)若=λ,=μ,则=μ=λ,
所以=λ(),
=(1-λ)+λ=4(1-λ)+λμ=4(1-λ)a+λμb.
由于a+b,
所以4(1-λ)=,λμ=,解得λ=,μ=.
13.证明设=a,=b,=r,=t,则=a+b.因为共线,所以存在实数n,使得r=n(a+b).
因为共线,所以存在实数m,使得=m.
而=a-b,则=m.
因为,
所以n(a+b)=b+m,
即(n-m)a+b=0.
因为向量a,b不共线,于是有
解得m=n=,所以.
同理.
所以,故AR=RT=TC.第六章6.2.3 平面向量的坐标及其运算
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]已知点A(1,0),B(3,2),则=( )
A.(0,-1) B.(1,-1)
C.(2,2) D.(-1,0)
2.[探究点三·2023山西运城高二期末]已知向量a=(3,-4),b=(λ,8),且a∥b,则|a-b|=( )
A.15 B. C.16 D.225
3.[探究点二、三](多选题)[2023江西上饶高二]已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么 ( )
A.=(λ-1,1-μ)
B.若,则λ=2,μ=
C.若A是BD中点,则B,C两点重合
D.若点B,C,D共线,则μ=1
4.[探究点三]已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y为正数,则的最小值是( )
A. B. C.16 D.8
5.[探究点二]已知点M(4,-1),N(1,3),则= ,与同方向的单位向量为 .
6.[探究点三]若A(1,2),B(a,-2),C(3,1-a)三个不同的点共线,则a= .
7.[探究点二]已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为 .
8.[探究点一·北师大版教材习题]在平面内以点O的正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动,分别求下列位移向量的坐标:
(1)向量a表示沿北偏东60°移动了3个单位长度;
(2)向量b表示沿西北方向移动了4个单位长度;
(3)向量c表示沿南偏西30°移动了3个单位长度;
(4)向量d表示沿东南方向移动了4个单位长度.
9.[探究点二、三]设向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(4,-5).
(1)求|a+2b|;
(2)若c=λa+μb,λ,μ∈R,求λ+μ的值;
(3)若=a+b,=a-2b,=4a-2b,求证:A,C,D三点共线.
B级 关键能力提升练
10.[2023重庆开州高一]已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=( )
A.(-4,-8) B.(-8,-16)
C.(4,8) D.(8,16)
11.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )
A.k=1,且c与d同向
B.k=1,且c与d反向
C.k=-1,且c与d同向
D.k=-1,且c与d反向
12.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是 ( )
A.(1,5) B.(5,-5)
C.(-3,-5) D.(5,5)
13.已知a=(1,2m-1),b=(2-m,-2),若向量a,b不共线,则实数m的取值范围为 .
14.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为 .
15.已知=(1,1),=(3,-1),=(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;
(2)若=2,求点C的坐标.
16.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:
(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.
17.已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R.
(1)求|a+tb|的最小值;
(2)若a-tb与c共线,求t的值.
C级 学科素养创新练
18.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y应满足的条件;
(2)若=2,求x,y的值.
19.已知点O(0,0),A(1,2),B(3,4),+t.
(1)若点P在第二象限,求实数t的取值范围;
(2)四边形OABP能否成为平行四边形 若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
参考答案
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
1.C 因为A(1,0),B(3,2),所以=(2,2).故选C.
2.A 因为a∥b,所以3×8-λ(-4)=0,解得λ=-6,
所以a-b=(3,-4)-(-6,8)=(9,-12),
则|a-b|==15.
故选A.
3.AC =(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),故A正确;若,则λ·μ=1,故可取λ=3,μ=,故B错误;若A是BD的中点,则=-,即(λ,1)=(-1,-μ) λ=μ=-1,所以=(-1,1),所以B,C两点重合,故C正确;因为B,C,D三点共线,所以=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=(1-λ,μ-1),则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ) λ=-1或μ=1,故D错误.故选AC.
4.D 因为a∥b,所以3(y-1)=-2x,即2x+3y=3,那么(2x+3y)=12+≥12+2=8,当且仅当时,等号成立,又x,y为正数,所以解得所以原式的最小值为8.故选D.
5.(-3,4) =(1-4,3+1)=(-3,4),所以与同方向的单位向量为(-3,4)=.
6.-3 依题意,得=(a-1,-4),=(2,-1-a).由,得(a-1)(-1-a)=(-4)×2,所以a2=9,解得a=±3,经检验知a=-3满足题意.
7.2 因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1).因为|a-b|=|a+b|,所以有,解得x=2.
8.
解如图,a=,
b=(-2,2),
c=,
d=(2,-2).
9.(1)解a+2b=(-1,2)+(2,-2)=(1,0),|a+2b|==1.
(2)解(4,-5)=λ(-1,2)+μ(1,-1),所以解得所以λ+μ=2.
(3)证明因为=a+b+a-2b=2a-b,所以=4a-2b=2,所以A,C,D三点共线.
10.A ∵a∥b,∴1×m=2×(-2),∴m=-4,∴b=(-2,-4),
∴2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).故选A.
11.D c=ka+b=(k,1),d=a-b=(1,-1),
∵c∥d,∴k=-1,c=(-1,1).
∴c与d反向.故选D.
12.ABC 设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,①若这个平行四边形为 ABCD,则,∴D(-3,-5);②若这个平行四边形为 ACDB,则,∴D(5,-5);③若这个平行四边形为 ACBD,则,∴D(1,5).综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).
13.(-∞,0)∪ ∵向量a,b不共线,∴1×(-2)≠(2m-1)(2-m),解得m≠0,且m≠.
14.-2 ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
∵向量ma+4b与a-2b共线,
∴-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.
15.解由题意知,=(2,-2),=(a-1,b-1).
(1)∵A,B,C三点共线,∴,
∴2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,∴a+b=2.
(2)∵=2,∴(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4),
∴解得∴点C的坐标为(5,-3).
16.解(1)∵(a+kc)∥(2b-a),
又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-.
(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
∴
解得
∴d=或d=.
17.解(1)∵a=(-3,2),b=(2,1),
∴a+tb=(2t-3,t+2),
∴|a+tb|=(t∈R),∴当t=时,|a+tb|的最小值为.
(2)∵a-tb=(-3-2t,2-t),c=(3,-1),a-tb与c共线,∴(-3-2t)×(-1)=3(2-t),∴t=.
18.解因为=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y),
所以=(5-x,-3-y)-(3,-4)=(2-x,1-y),
=(5-x,-3-y)-(6,-3)=(-1-x,-y).
(1)因为点A,B,C不能构成三角形,
所以共线,
所以(2-x)(-y)=(1-y)(-1-x),
即x-3y+1=0,
所以x,y应满足的条件为x-3y+1=0.
(2)因为=2,
所以解得
19.解(1)+t=(1,2)+t(2,2)=(2t+1,2t+2),由题意,得解得-1即t的取值范围是.
(2)四边形OABP不能成为平行四边形.
理由:若四边形OABP是平行四边形,则,而=(2,2),=(2t+1,2t+2),因此需要但此方程组无实数解,所以四边形OABP不可能是平行四边形.(共20张PPT)
第六章
6.1.2 向量的加法
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A 级 必备知识基础练
A
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13
2.[探究点一]若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示( )
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+ )km
B
解析 如图,易知tan α= ,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°,又|a+b|=2 km,故选B.
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3.[探究点一](多选题)已知D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,则下列等式成立的是( )
ACD
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5.[探究点三]若|a|=|b|=2,则|a+b|的取值范围为 ;当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向 .
[0,4]
相同
解析 由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知0≤|a+b|≤4.
当|a+b|=|a|+|b|时,两向量方向相同.
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6.[探究点一]如图,已知下列各组向量a,b,求作a+b.
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解 (1)将b的起点移至a的终点,即可得a+b,如下图:
(2)将b的起点移至a的终点,即可得a+b,如下图:
(3)以a,b的起点为顶点作平行四边形,应用平行四边形法则可得a+b,如下图:
(4)将a的起点移至b的终点,应用三角形法则可得a+b,如下图:
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A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
B 级 关键能力提升练
D
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8.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足 ,则下列结论正确的是( )
A.点P在△ABC的内部 B.点P在△ABC的边AB上
C.点P在AB边所在的直线上 D.点P在△ABC的外部
D
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9.设 ,b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为( )
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;
A.①③ B.②③ C.③④ D.①④
A
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B
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11.在平行四边形ABCD中,若 ,则四边形ABCD是 .
矩形
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12.在水流速度为10 km/h的河中,如果要使船以10 km/h的速度与河岸成直角横渡,求船的航行速度的大小与方向.
解 如图所示.
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C 级 学科素养创新练
13.正六边形ABCDEF的边长为a,有五个力 作用于同一点A,则这五个力的合力的大小为 .
6a
解析 如图,FB,CE分别交AD于点M,N,
则△FAB为等腰三角形,∠FAM=∠BAM=60°,
△EAC为等边三角形且AN为∠EAC的平分线.
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