(共33张PPT)
第六章
6.1.1 向量的概念
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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课程标准 1.理解向量的有关概念及向量的表示方法.
2.理解共线向量、相等向量的概念.
3.正确区分向量平行与直线平行.
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知识点1 向量的概念及表示
1.向量
概念 既有 又有 的量称为向量(也称为矢量)
表示 用 来直观地表示向量,其中有向线段的 表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的 .有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为 ,此时向量的大小用 表示
代数 表示 在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如a,b,c等来表示向量;在书写
时,用带箭头的小写字母如 等来表示向量
大小
方向
有向线段
长度
终点
2.标量
只有 的量称为标量,长度、面积等都是标量.
名师点睛
1.向量与标量的区别:向量有方向,而标量没有方向;标量与标量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.
2.我们学的向量是自由向量,是可以自由平移的,始点的位置可以改变,只考虑向量的大小和方向.
大小
过关自诊
1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不是向量的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 ②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;①⑥⑦只有大小,没有方向,不是向量.
2.[北师大版教材习题]在平面直角坐标系xOy中有三点A(1,0),B(-1,2),
C(-2,2).请用有向线段分别表示从A到B,从B到C,从C到A的位移.
解 如图,
知识点2 与向量有关的概念
名称 定义 记法
向量的模 (或长度) 向量的 称为向量的模(或长度) |a|
零向量 和 相同的向量称为零向量 0
注意书写时不要漏掉“→”
单位向量 的向量称为单位向量 —
大小
始点
终点
模等于1
名称 定义 记法
相等向量 的向量称为相等的向量 a=b
向量共线 或平行 如果两个非零向量的方向 ,则称这两个向量平行,两个向量平行也称两个向量共线 规定:零向量与任意向量 a∥b
0∥a
大小相等、方向相同
相同或者相反
平行
名师点睛
1.对0、单位向量的理解
(1)若用有向线段表示零向量,则其终点与始点重合,其本质是一个点.零向量的方向不确定,不能说零向量没有方向.
(2)要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|=0;书写时
表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.
(3)单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
2.对向量平行的理解
(1)向量平行(共线)时,表示向量的有向线段所在的直线平行或重合.
(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义.共线向量有四种情况:方向相同模相等;方向相同模不等;方向相反模相等;方向相反模不等.
(3)任一向量a都与它本身平行.
过关自诊
1.若a=b,则两向量在大小与方向上有何关系
提示 若a=b,意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.
2.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同.( )
(2)任意两个单位向量都相等.( )
(3)若 ,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.( )
×
×
×
3.设O是正方形ABCD的中心,则向量 是( )
A.相等的向量 B.平行的向量
C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
D
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探究点一 向量的有关概念
【例1】 有下列说法:
①若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;②若向量 满足
;③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.
其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析 对于①,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向一定不相同,故①正确;对于②,因为向量不能比较大小,故②错误;对于③,由|a|=|b|,只能说明a,b的长度相等,确定不了它们的方向,故③错误;对于④,因为零向量与任一向量平行,故④错误.
规律方法 1.判断两个向量相等应从两个方面入手
(1)是否大小相等;
(2)是否方向相同.
2.零向量和单位向量
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)两个单位向量不一定相等,因为它们的方向不一定相同.
变式训练1给出下列说法:
①两个向量,当且仅当它们的起点相同、终点也相同时才相等;
②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上;
③在菱形ABCD中,一定有
④若a=b,b=c,则a=c.
其中所有正确说法的序号为 .
②③④
解析 两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故①不正确.
单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故②正确.
③④显然正确.故所有正确说法的序号为②③④.
探究点二 向量的表示及应用
【例2】 (1)[人教A版教材习题]指出图中各向量的长度.(规定小方格的边长为0.5)
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列
向量:
解 ①由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又 ,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量
如图所示.
②由于点B在点A正东方向,且 =4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量 如图所示.
规律方法 向量的两种表示方法
(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.
(2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点的字母表示向量,如
变式训练2一架飞机从点A向西北方向飞行200 km 到达点B,再从点B向正东方向飞行100 km到达点C,再从点C向正东方向飞行100 km到达点D,求飞机从点D飞回点A的位移.
探究点三 相等向量与共线向量
【例3】 如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,四边形BCGF是平行四边形,试分别写出与 共线及相等的非零向量.
规律方法 1.寻找相等向量要把握住向量的两要素:大小和方向,相等向量必须二者都相同才成立.同时,向量是可以平移的,相等向量的起点并不一定要相同.
2.对于非零向量,共线向量只需把握向量的方向要素,与向量的模大小无关,故寻找非零共线向量时,只需判断两向量所在的直线是否平行或重合.
变式训练3设点O为正八边形ABCDEFGH的中心,
如图,以图中字母为始点或终点,分别写出:
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1
2
3
4
1.下列说法正确的是( )
A.若|a|=|b|,则a=b
B.零向量的长度是0
C.长度相等的向量叫相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
B
解析 |a|=|b|仅表示a与b的大小相等,但是方向不确定,故a=b未必成立,所以A错误;根据零向量的定义可判断B正确;长度相等的向量方向不一定相同,故C错误;共线向量不一定在同一条直线上,故D错误.故选B.
1
2
3
4
2.下列结论正确的是( )
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
C
1
2
3
4
3.某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进100 米,则此人位移的方向是( )
A.南偏东60°B.南偏东45° C.南偏东30°D.南偏东15°
C
1
2
3
4
4.如图,四边形ABCD是菱形,则在向量 中,相等的向量有 对.
2(共34张PPT)
第六章
6.3 平面向量线性运算的应用
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课程标准 1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.
2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.
3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.
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知识点1 向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算解决平面几何中的平行、长度等问题.
(1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量基本定理:
.
(2)求线段的长度或说明线段相等,可以用向量的模:若a=(x,y),则
(3)对于有些平面几何(如长方形、正方形、直角三角形等)问题,常用向量的坐标法,建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示出来,通过代数运算来解决.
如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa
名师点睛
向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量利用已知模的两个向量),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算规律及相关结论探求几何关系;
(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现几何关系的向量化、坐标化,从而将几何问题代数化.
一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
过关自诊
在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD的形状一定是( )
A.矩形 B.邻边不相等的平行四边形
C.菱形 D.梯形
D
知识点2 向量在物理中的应用
利用向量可以描述物理学中的 、 、 、加速度等,因此,在涉及这些量的运算时,可以借助向量来完成.
(1)力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学中各物理量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型回答相关物理现象.
②表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点;力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
位移
力
速度
(2)速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加、减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.
名师点睛
数学中的两类物理背景问题
(1)力
力是具有大小和方向的量,在不计作用点的情况下,是数学中的向量,可用向量求和的平行四边形法则求两个力的合力.
(2)速度
速度是具有大小和方向的量,因而可用向量求和的平行四边形法则或三角形法则求两个速度的合速度.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若a表示向东走1 km,b表示向南走1 km,则a+b表示向东南走 km.( )
(2)一条河宽为8 000 m,一艘船从河岸A出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速大小为20 km/h,水速大小为12 km/h,则船到达B处所需时间为30分钟.
( )
√
√
2.[北师大版教材习题]如图,两条绳提一个物体,每条绳的拉力大小均为5 N,这时两条绳的夹角为60°,求物重G的大小.
解 依题意知|G|=2×5cos 30°=5 (N),即物重G的大小为5 N.
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探究点一 向量在平面几何中的应用
角度1 向量基底法在平面几何中的应用
规律方法 利用向量线性运算解决几何问题的步骤
变式训练1[人教A版教材习题]如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值.
角度2 向量坐标法在平面几何中的应用
【例2】 如图,已知在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三点共线.
证明 以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴,
建立平面直角坐标系,如图.
∵CE⊥AB,AD=DC,
∴四边形AECD为正方形.
∴可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
规律方法 平面向量在坐标表示下的应用
利用平面向量的坐标表示,可以将平面几何中长度、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题,运用此种方法必须建立适当的坐标系.
变式训练2已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,∠ADC=90°.若点M在线段AC上,则 的取值范围为 .
探究点二 向量在物理中的应用
【例3】 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,风的速度大小为20 km/h,此时水的流向是正东,速度大小为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度.
解 建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度的大小为|v1|=20 km/h,水流的方向为正东,速度的大小为|v2|=20 km/h,设帆船行驶的速度为v,则v=v1+v2.
由题意,可得向量v1=(20cos 60°,20sin 60°) =(10,10 ),向量v2=(20,0),
规律方法 用向量方法解决物理问题的步骤
(1)把物理问题中的相关量用向量表示;
(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
(3)结果还原为物理问题.
变式训练3如图,物体W的质量为50 kg,用绳子将物体W悬挂在两面墙之间,已知两面墙之间的距离AB=10 m(AB为水平线),AC=6 m,BC=8 m,求AC,BC上所受的力的大小(g取9.8 m/s2).
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1
2
3
4
D
解析 因为F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),
所以|F1+F2|=5.
1
2
3
4
2.某人顺风匀速行走的速度为a,方向与风速相同,此时风速为v,此人实际感到的风速为( )
A.v-a B.a-v
C.v+a D.v
A
解析 设此人实际感到的风速为v',由已知条件可得a+v'=v,故v'=v-a.故选A.
1
2
3
4
3.设O是三角形ABC所在平面内一点,若 ,则O是三角形ABC的 心.
外
1
2
3
4
4.[人教A版教材例题]如图,DE是△ABC的中位线,用向量方法证明: DE∥BC,DE= BC.
1
2
3
4(共34张PPT)
第六章
6.2.1 向量基本定理
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课程标准 1.掌握共线向量基本定理,并会简单应用.
2.理解平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.
3.能够灵活应用向量基本定理解决平面几何问题.
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知识点1 共线向量基本定理
1.共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a,则存在 的实数λ,使得 .
在共线向量基本定理中:
(1)b=λa时,通常称为b能用a表示.
(2)其中的“唯一”指的是,如果还有b=μa,则有λ=μ.这是因为:由λa=μa可知
(λ-μ)a=0,如果λ-μ≠0,则a=0,与已知矛盾,所以λ-μ=0,即λ=μ.
唯一
b=λa
名师点睛
对共线向量基本定理的理解
(1)共线向量基本定理中条件“a≠0”必不可少,这是因为如果a=0,则一定有b与a共线(零向量与任意向量共线),此时b有两种情况:①b=0;②b≠0.若b=0,此时b=λa中的λ有无数个;若b≠0,此时不存在λ使得b=λa成立.这两种情况违背λ“存在且唯一”的特点.
(2)由共线向量基本定理还能得到一个重要的结论:若两个向量a,b不共线,而λa=μb,则说明λ=μ=0.
2.三点共线的充要条件
如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa.( )
(2)若b=λa,则a与b共线(其中λ为实数).( )
2.若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a= b.
×
√
3.[人教A版教材习题]判断下列各小题中的向量a与b是否共线:
(1)a=-2e,b=2e;
(2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2.
解 (1)因为a=-b,所以a与b共线.
(2)因为b=-2a,所以a与b共线.
知识点2 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b ,则对该平面内任意一个向量c,存在
的实数对(x,y),使得c=xa+yb.
不共线
唯一
名师点睛
对平面向量基本定理的理解
(1)由共线向量基本定理可知,任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,平面向量基本定理是共线向量基本定理从一维到二维的推广.
(2)平面向量基本定理包括两个方面的内容,一是存在性,二是唯一性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v.
2.基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组基底,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式.
名师点睛
对基底的理解
(1)由平面向量基本定理知,平面内的任一向量都可用基底表示出来.因而可以“统一”各向量,便于研究向量问题.
(2)基底不唯一,同一平面可以有不同的基底,且组成基底的向量不能共线(零向量不可以作为基底中的向量).同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
过关自诊
1.若{e1,e2}是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.{e1-e2,e2-e1}
C.{2e2-3e1,6e1-4e2}
D.{e1+e2,e1-e2}
D
解析 e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底.
2.[北师大版教材习题]已知基底{a,b},实数x,y满足:3xa+(10-y)b =(4y+4)a+2xb,求x,y的值.
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探究点一 向量共线问题
【例1】 已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2和 e1+ke2共线,试确定实数k的值.
规律方法 利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.
变式训练1[2023广西高一]已知非零向量e1和e2不共线.欲使向量ke1+e2与e1+ke2平行,试确定实数k的值.
解 因为ke1+e2与e1+ke2平行,且两向量都为非零向量,所以存在实数λ使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立,即(k-λ)e1=(kλ-1)e2.
探究点二 用基底表示向量
规律方法 用基底来表示向量主要有以下两种类型:
(1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解.
(2)若直接利用基底表示比较困难,可采用方程思想求解.
探究点三 平面向量基本定理的应用
【例3】 如图所示,在平行四边形ABCD中,F是CD的中点,AF与BD交于点E.求证:E为线段BD的一个三等分点.
规律方法 用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底;
(2)将相关的向量用基底表示,将几何问题转化为向量问题;
(3)利用向量知识进行向量运算,得到向量问题的解;
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
变式训练3设平面内不在同一条直线上的三个点为O,A,B,求证:当p,q满足
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1
2
3
4
C
1
2
3
4
2.(多选题)如图所示,已知P,Q,R分别是△ABC三边AB,BC,CA的四等分点,如果 ,以下向量表示正确的是( )
BC
1
2
3
4
1
2
3
4
3.在△ABC中,E为AB边的中点,F为AC边的中点,BF交CE于点G.若 ,则xy= .
1
2
3
4
1
2
3
4
4.D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且 ,给出下列结论:
其中正确的结论的序号为 .
①②③
1
2
3
4(共36张PPT)
第六章
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
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课程标准 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.
3.了解用坐标表示平面向量共线条件的推导过程,会用坐标表示的平面向量的共线条件,能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题.
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知识点1 平面向量的坐标
1.向量垂直:平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的 ,我们就称向量a与b垂直,记作 .规定零向量与任意向量都垂直.
2.正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中, ,就称这组基底为 ;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.
3.向量的坐标
一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).
由平面向量基本定理可知,向量的坐标是唯一的
直线互相垂直
a⊥b
e1⊥e2
正交基底
名师点睛
向量的坐标的注意点
(1)向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.如果向量是以坐标原点为始点的,则向量的坐标就与其终点的坐标相同;如果向量不以坐标原点为始点,则向量的坐标就与其终点的坐标不同.
(2)向量a的坐标(x,y)既能刻画向量a的模,同时也能刻画向量a的方向.
(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形.
过关自诊
(多选题)[2023山东烟台高一]如图,已知{i,j}是一组正交基底.对于向量a,下列说法正确的是( )
A.a可以表示为4i+3j
B.a可以表示为3i+4j
C.a的坐标为(4,3)
D.a的坐标为(4i,3j)
AC
解析 由题意知,a=(5,4)-(1,1)=(4,3)=4i+3j,a可以表示为4i+3j,故A正确;a的坐标为(4,3),故C正确.故选AC.
知识点2 平面上向量的运算与坐标的关系
1.向量加法与减法运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),u,v是两个实数,则
(1)ua+vb= ;
(2)ua-vb= .
2.向量的模:设a=(x,y),则|a|= .
(ux1+vx2,uy1+vy2)
(ux1-vx2,uy1-vy2)
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则
(1)两点间的距离公式:AB= = ;
(2)中点坐标公式:AB的中点坐标为 .
4.向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 .
a∥b x2y1=x1y2
名师点睛
描述两向量共线的方法
(1)几何表示法:如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.它体现了向量a与b的大小及方向之间的关系.
(2)代数表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时,x2y1=x1y2.用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数λ,从而减少了未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( )
(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向.( )
×
×
2.已知向量a= ,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x的值为( )
A.4 B.8 C.0 D.2
3.[北师大版教材习题]已知a=(2,4),b=(-1,1),求2a-3b,4a+2b的坐标.
A
解 2a-3b=(4,8)-(-3,3)=(7,5);
4a+2b=(8,16)+(-2,2)=(6,18).
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求平面向量的坐标
【例1】 [人教A版教材例题]如图,分别用基底{i,j}表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
所以a=(2,3).
同理,b=-2i+3j=(-2,3),
c=-2i-3j=(-2,-3),
d=2i-3j=(2,-3).
规律方法 求向量坐标的步骤
探究点二 平面向量的坐标运算
规律方法 平面上向量的线性运算与坐标的关系
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
变式训练2(1)[2023江苏盐城高一]已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且 ,则点P的坐标为 .
(1,-1)
探究点三 向量平行的坐标表示
【例3】 (1)(多选题)[2023广东清远高一]已知向量a=(1,-2),b=(-1,2),则下列结论正确的是( )
A.a∥b B.a与b可以作为一组基底
C.a+b=0 D.b-a与a方向相反
ACD
解析 由题意,向量a=(1,-2),b=(-1,2),可得1×2-(-2)×(-1)=0,所以a∥b,故A正确,B不正确;a+b=(1-1,-2+2)=(0,0),故C正确;因为b-a=(-2,4)=-2a,所以b-a与a方向相反,故D正确.故选ACD.
(2)[2023山西高一阶段练习]已知a=(1,0),b=(2,1).当k为何值时,ka+b与a+2b共线
解 ka+b=(k+2,1),a+2b=(5,2).
∵ka+b与a+2b平行,
∴(k+2)×2-1×5=0,解得k= .
规律方法 由向量共线求参数的方法
变式训练3(1)已知向量 =(5-x,3).若A,B,C三点共线,则x的值为 .
x=-19
(2)[人教A版教材习题]已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐标.
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1
2
3
4
C
1
2
3
4
2.设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|等于( )
A.4 B.5
D
解析 由a∥b,得y=-4,b=(-2,-4),
∴2a-b=(4,8),
∴|2a-b|=4 .故选D.
1
2
3
4
3.已知向量a=(1,k),b=(k+1,2),若a与b共线,则实数k= .
1或-2
解析 因为a与b共线,所以k(k+1)-2=0,解得k=1或k=-2.
1
2
3
4
4.已知点A(1,-2),B(-2,-1),若向量 =(0,3),则向量 = .
(3,2) (共21张PPT)
第六章
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
基础落实·必备知识全过关
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课程标准 1.理解直线上向量的坐标的概念.
2.掌握直线上向量的坐标运算及数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式.
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知识点1 直线上向量的坐标
给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得 ,此时,x称为向量a的坐标.
过关自诊
已知e为直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,且a=3e,
b=-2e,则a,b的坐标分别为( )
A.3,-2 B.3,2
C.-3,2 D.-3,-2
a=xe
A
知识点2 直线上向量的运算与坐标的关系
1.假设直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,且u,v是两个实数,则
(1)a+b的坐标为 ;
(2)ua+vb的坐标为 ;
(3)ua-vb的坐标为ux1-vx2.
2.数轴上两点之间的距离公式
设A(x1),B(x2)是数轴上两点,则AB= = .
3.数轴上的中点坐标公式
设A(x1),B(x2)是数轴上两点,假设M(x)是线段AB的中点,则 .
x1+x2
ux1+vx2
|x2-x1|
名师点睛
因为数轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去向量始点的坐标,所以对于任意两个相等向量,它们的方向相同且长度相等,因此终点坐标与始点坐标的差也一定相同,故它们的坐标相同.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)数轴上点A的坐标为-3,O为坐标原点,则向量 的坐标为3.( )
(2)数轴上点A的坐标为-3,O为坐标原点,则向量 =3.( )
(3)直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.( )
×
√
√
2.已知数轴上两点A,B的坐标分别为4,-4,求:
(1)向量 的坐标,A,B之间的距离;
(2)线段AB的中点坐标.
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探究点一 直线上向量的坐标运算
【例1】 已知直线上向量a,b的坐标分别为3,-4,求下列向量的坐标.
(1)2a+b;(2)5a- b.
解 (1)2a+b的坐标为2×3+(-4)=2.
(2)5a- b的坐标为5×3- ×(-4)=17.
规律方法 直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题,解题时要特别注意符号,以防出错.
变式训练1已知a,b是直线l上的向量,向量a-3(b+a),b-a的坐标分别为-16,2,求|a-3b|的值.
解 设a,b的坐标分别是x,y.
因为向量a-3(b+a),b-a的坐标分别为-16,2,
所以|a-3b|=10.
探究点二 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式
【例2】 已知A,B是数轴上的点,B(-2),且 的坐标为4.求:
(1)点A的坐标;
(2)线段AB的中点C的坐标.
规律方法 要熟记数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式,并清楚它们之间的区别.
变式训练2已知数轴上两点A,B的坐标分别为x1,x2,根据下列条件,分别求点A的坐标x1.
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1
2
3
4
1.已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(-1),则向量 的坐标为( )
A.4 B.-4 C.±4 D.2
B
1
2
3
4
2.已知直线上向量a,b的坐标分别为-1,3,则下列向量与a同向的是( )
A.a+b B.a-b C.a+2b D.3b
B
解析 由题意,a+b的坐标为2,a+2b的坐标为5,3b的坐标为9,都与a反向,a-b的坐标为-4,与a同向.
1
2
3
4
3.已知数轴上的点A(-3),B(5),C(x),
1
2
3
4
4.设数轴上A,B的坐标分别是2,6,则AB的中点C的坐标是 .
4
解析 因为xA=2,xB=6,
所以AB的中点C的坐标为(共36张PPT)
第六章
6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算
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课程标准 1.了解数乘向量的概念并理解其几何意义.
2.理解并掌握数乘向量的运算律.
3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.
4.会利用向量的加法、减法与数乘向量进行线性运算.
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知识点1 数乘向量
1.数乘向量的定义
一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,记作λa,其中:
(1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下:
①当λ>0时,与a的方向 ;
②当λ<0时,与a的方向 .
(2)当λ=0或a=0时,λa= .
上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
相同
相反
0
2.数乘向量的定义说明,如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.若 ,则A,B,C三点共线.
3.数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
名师点睛
对数乘向量的理解
(1)实数与向量可以求乘积,但不能将实数和向量进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义.
(2)若λa=0,则λ=0或a=0.
(3)对于非零向量a, 表示a方向上的单位向量.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)对于任意的向量a,总有0a=0.( )
(2)当λ>0时,|λa|=λa.( )
(3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.( )
×
×
×
2.已知向量a=-2e,b= (e为单位向量),则向量a与向量b( )
A.不共线 B.方向相反
C.方向相同 D.|a|>|b|
B
知识点2 向量的运算律
1.λ(μa)= .
2.λa+μa= .
3.λ(a+b)= .(其中λ,μ∈R)
名师点睛
向量的运算律的理解
要清楚数乘向量与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.
(λμ)a
(λ+μ)a
λa+λb
过关自诊
(多选题)[2023贵州黔西高一]已知实数m,n和向量a,b,下列结论正确的是
( )
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na(a≠0),则m=n
ABD
解析 易知A,B正确;对于C,若ma=mb,则m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C错误;对于D,若ma=na(a≠0),则(m-n)a=0,所以m-n=0,即m=n,故D正确.故选ABD.
知识点3 向量的线性运算
向量的 以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.
名师点睛
对向量的线性运算的理解
(1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题
过程.
(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方法通常为代入消元法、加减消元法.
加法、减法、数乘向量
过关自诊
1.化简 (2a+8b)-(4a-2b)]的结果是( )
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
2.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x= .
B
解析 原式= [(1-4)a+(4+2)b]=-a+2b.故选B.
4b-3a
解析 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
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探究点一 数乘向量的概念
【例1】 (1)已知非零向量a,b满足a=4b,则( )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a与b的方向相同
D.a与b的方向相反
C
解析 ∵a=4b,4>0,
∴|a|=4|b|.
∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同.
C
(3)若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则实数x的取值范围为 .
解析 由定义可知2x-1>0,即x> .
规律方法 经过数乘向量运算得到的向量与原来的向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小.
变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 ;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
解 (1)正确.∵2>0,
∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.
(2)正确.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.
∵-2<0,∴-2a与a反向,且|-2a|=2|a|.
∴-2a与5a反向,且|-2a|= |5a|.
(3)正确.-2a+2a=0.
(4)错误.-(b-a)=-b+a=a-b.
(5)错误.0a=0,0与任意向量共线.
探究点二 向量的线性运算
【例2】 化简下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
解 (1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
(2)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b.
规律方法 数乘向量运算的方法总结
(1)数乘向量运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,
-4x+3y=b,求向量x,y.
由①×3+②×2得,x=3a+2b,代入①得3×(3a+2b)-2y=a,解得,y=4a+3b.
所以x=3a+2b,y=4a+3b.
探究点三 用已知向量表示未知向量
D
变式探究
本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,其余条件不变,试用a,b表示
规律方法 用已知向量表示未知向量的策略
用图形中的已知向量表示未知向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形间的关系,将未知向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用.
探究点四 三点共线问题
规律方法 用向量共线的条件证明三点共线的方法
证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
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1
2
3
A
1
2
3
CD
1
2
3
3.若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,m,n是未知向量,则
m= ,n= .
解析∵3m+2n=a,①
m-3n=b,②
3×②得3m-9n=3b,③(共29张PPT)
第六章
6.1.3 向量的减法
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课程标准 1.理解相反向量的含义,能用相反向量说出向量相减的意义.
2.掌握向量减法的运算及其几何意义,能熟练地进行向量的加减运算.
3.能够作出两个向量的差向量.
4.通过向量加减法的运算及简单应用,提高数学运算能力.
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知识点 向量的减法及相反向量
1.向量的减法
(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,并记作 .
x=a-b
2.相反向量
(1)定义:给定一个向量,我们把与这个向量 的向量称为它的相反向量,向量a的相反向量记作 .
(2)性质:
①对于相反向量有:a+(-a)=0.
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0.
③零向量的相反向量仍是 .
方向相反、大小相等
-a
零向量
名师点睛
对向量减法的理解
(1)在用三角形法则作两个向量的差向量时,只要记住“连接两向量终点,箭头指向被减向量”即可.
(2)向量的减法也可以看成向量加法的逆运算,即a-b=a+(-b).
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若a+b=0,则a,b互为相反向量,反之也成立.( )
(2)若a-b=a,则b=0.( )
(3)若a-b=-b,则a=0.( )
(4)若a=b,则a-b=0.( )
(5)当向量a,b起点重合时,向量a-b可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量.( )
(6)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.( )
√
√
√
×
√
×
2.[人教A版教材习题]填空:
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探究点一 向量的减法运算
【例1】 [2023广东肇庆月考]化简:
0
规律方法 向量减法运算的常用方法
变式训练1化简下列各式:
探究点二 向量减法的几何意义及简单应用
【例2】 (1)如图所示,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
(2)[北师大版教材例题]如图,点O是 ABCD外一点,试用
规律方法 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
变式训练2(1)如图,在四边形ABCD中, = .
(用a,b,c表示)
a+b-c
(2)如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.
探究点三 求模的范围
变式探究2本例条件不变,求 的取值范围.
规律方法 向量a,b的模与a-b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,应用此结论时要注意等号成立的条件.
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1
2
3
4
ABC
1
2
3
4
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四边形
D
1
2
3
4
1
2
3
4
2(共38张PPT)
第六章
6.1.2 向量的加法
基础落实·必备知识全过关
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课程标准 1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的几何意义及其运算律.
2.掌握向量加法运算法则,能熟练地进行加法运算.
3.了解有关向量模的不等式.
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知识点1 向量加法的定义及求和法则
1.定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作
=a, =b,作出向量 ,则向量 称为向量 (也称
为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作 .
特别地,对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a.
a与b的和
a+b
2.向量求和的法则
名师点睛
1.对向量加法的两种法则的理解
(1)当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.但当两个向量共线时,平行四边形法则便不再适用.
(2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
(3)向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
2.解决向量模的问题的两种方法
(1)依据图形特点,适当运用三角形法则或平行四边形法则进行转化,要注意相关知识间的联系.
(2)利用向量形式的不等式“||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|”求解时,一定要注意等号成立的条件.
过关自诊
1.[2023福建高一阶段练习]a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( )
A.a∥b,且a与b方向相同 B.a,b是共线向量且方向相反
C.a=b D.a,b无论什么关系均可
A
解析 当两个非零向量a,b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且|a+b|<|a|+|b|;当两个非零向量a,b同向时,a+b的方向与a,b的方向都相同,且|a+b|=|a|+|b|;当两个非零向量a,b反向且|a|<|b|时,a+b的方向与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|,所以对于非零向量a,b,且|a+b|=|a|+|b|,有a∥b,且a与b方向相同.故选A.
0
3.如图,在平行四边形ABCD中, = .
知识点2 向量加法的运算律
1.交换律:a+b= .
2.结合律:(a+b)+c= .
名师点睛
对向量加法的运算律的理解
(1)向量的加法与实数加法类似,都满足交换律和结合律,当向量a,b中至少有一个为零向量时,交换律和结合律依然成立.
(2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行.例如:(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c), a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
b+a
a+(b+c)
过关自诊
下列各式不一定成立的是( )
A.a+b=b+a
B.0+a=a
D.|a+b|=|a|+|b|
D
知识点3 多个向量相加
已知n个向量,依次把这n个向量首尾相接,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量称为这n个向量的和.
名师点睛
对多个向量相加的理解
(1)多个向量相加是向量加法的三角形法则的推广,是由求两个向量的和推广到求多个向量的和,强调的也是“首尾相连”.
(2)当首尾依次相接的向量构成封闭的向量链时,
各向量的和为0.
过关自诊
[人教A版教材习题]如图,四边形ABCD是平行四边形,点P在CD上,判断下列各式是否正确(正确的在括号内打“√”,错误的打“×”).
×
√
×
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探究点一 向量加法运算法则的应用
【例1】 (1)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
解析 如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知
(2)①如图甲所示,求作向量a+b;
②如图乙所示,求作向量a+b+c.
(方法二)平行四边形法则:如图所示,
变式探究1在例1(1)条件下,求
变式探究2在例1(1)图形中求作向量
规律方法 利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“始点指向终点”的向量;利用平行四边形法则要注意两向量“共始点”,其和向量为共始点的“对角线”向量.
探究点二 向量加法运算律的应用
【例2】 化简下列各式:
规律方法 解决向量加法运算问题时的两个关键点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点字母、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
变式训练如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列式子:
探究点三 求与向量的模有关的问题
【例3】 已知|a|=3,|b|=5,则向量a+b模长的最大值是 .
8
解析 ∵|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8,当且仅当a与b同向时取得最大值,
∴|a+b|的最大值为8.
变式探究本例中a+b模长的最小值是 .
2
解析 ∵|a+b|≥||a|-|b||=5-3=2,当且仅当a与b反向时取得最小值,
∴|a+b|的最小值为2.
规律方法 模的最值问题的解法
运用不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|进行求解.
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1
2
3
4
A
1
2
3
4
2.[2023山东高一专题练习]某人先向东走3 km,位移记为a,接着再向北走3 km,位移记为b,则a+b表示( )
B
解析 由题意和向量的加法,得a+b表示先向东走3 km,再向北走3 km,即向东北走3 km.故选B.
1
2
3
4
1
2
3
4
4
