第六章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
2.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若=λ,则λ=( )
A. B.2 C. D.
3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )
A. B.2
C.5 D.50
4.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为( )
A.λ+μ=2 B.λμ=1
C.λμ=-1 D.λ-μ=1
5.[2023重庆高一单元检测]已知向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2)且c=pa+qb,则( )
A.p=4,q=1 B.p=1,q=0
C.p=0,q=1 D.p=1,q=4
6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为( )
A.3 B.-3
C.0 D.2
7.[2023河南洛阳高一]如图所示,在△ABC中,=3=2,若=a,=b,则=( )
A.a-b B.a-b
C.a-b D.a-b
8.
如图所示,设P为△ABC所在平面内的一点,并且,则△BPC与△ABC的面积之比等于( )
A.2∶5 B.3∶5
C.3∶4 D.1∶4
二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.下列说法错误的是( )
A.单位向量都相等
B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量
C.|a+b|=|a-b|,则a⊥b
D.若a与b是单位向量,则|a|=|b|
10.[2023吉林白城高一]下列各式结果为零向量的是 ( )
A. B.
C. D.
11.[2023广东广州高二]向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是( )
A.a∥b B.向量a,b方向相反
C.|a|=3|b| D.b=-3a
12.
[2023江苏镇江高三期末]如图,B是AC的中点,=2,P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,且=x+y(x,y∈R),则下列结论正确的有( )
A.当x=0时,y∈[2,3]
B.当P是线段CE的中点时,x=-,y=
C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段
D.x-y的最大值为-1
三、填空题
13.[2023陕西西安交大附中模拟]已知向量a=(2λ-3,3),b=(3,λ-5),若a∥b,则λ= .
14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ= ,此时a,b方向 .(填“相同”或“相反”)
15.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是 .
16.如图,在长方形ABCD中,M,N分别为线段BC,CD的中点,若=λ+μ,λ,μ∈R,则λ+μ= .
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知向量a=(1,2),b=(-3,1).
(1)求与2a+b同向的单位向量e;
(2)若向量c=,请用向量a,b表示向量c.
18.已知e1,e2是平面内两个不共线向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标.
19.[2023北京昌平高一]如图,在△ABC中,.设=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)若P为△ABC内部一点,且a+b,求证:M,P,N三点共线.
20.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(2)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d的坐标.
21.如图,设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC,BD的中点.
(1)试用向量的方法证明:PQ∥AB;
(2)若||=3||,求的值.
22.在△ABC中,.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比;
(2)若N为AB的中点,AM与CN交于点P,且=x+y(x,y∈R),求x+y的值.
参考答案
第六章综合训练
1.D 为使物体平衡,即合力为零,即4个向量相加等于零向量,∴F4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,2).
2.B 在平行四边形ABCD中,=2,所以λ=2.故选B.
3.A 由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=.故选A.
4.B 若A,B,C三点共线,则向量,即存在实数k,使得=k,∵=λa+b,=a+μb,∴λa+b=k(a+μb),可得消去k得λμ=1,即A,B,C三点共线的充要条件为λμ=1.故选B.
5.D 因为pa+qb=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),c=pa+qb=(3,-2),
所以解得
故选D.
6.A 由原式可得解得
∴x-y=3.
7.B 因为=3=2,
所以)==)=a-b.故选B.
8.D 延长AP交BC于点D(图略),因为A,P,D三点共线,所以=m+n(m+n=1).
设=k,k∈R,代入可得=m+nk,即=-m+nk() =(1-m-nk)+nk.
又因为,所以nk=,1-m-nk=,且m+n=1,解得m=,n=,
所以,所以=3,可得=4.
因为△BPC与△ABC有相同的底边BC,所以面积之比就等于||与||之比,所以△BPC与△ABC的面积之比为1∶4.故选D.
9.AB 单位向量仅仅长度相等,方向可能不同,A错误;当b=0时,a与c可以为任意不共线的向量,B错误;设=a,=b,=a+b,由|a+b|=|a-b|,可得 OACB的对角线相等,此时四边形OACB为矩形,邻边垂直,则C正确;单位向量的长度必相等,D正确.
10.BD 对于A,,故A不正确;
对于B,=0,故B正确;
对于C,,故C不正确;
对于D,=()-()==0,故D正确.
故选BD.
11.ABD 因为a=2e,b=-6e,
所以b=-3a,故D正确;
由共线向量基本定理知A正确;
-3<0,a与b方向相反,故B正确;
由上可知|b|=3|a|,故C错误.
故选ABD.
12.BCD 当x=0时,=y,则点P在线段BE上,故1≤y≤3,故A错误;
当P是线段CE的中点时,=3)=3(-2)=-,故B正确;
当x+y为定值1时,A,B,P三点共线,又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,所以点P的轨迹是线段,故C正确;
如图,过点P作PM∥AO,交OE于点M,作PN∥OE,交AO的延长线于点N,则,
又=x+y,所以x≤0,y≥1,
由图形看出,当点P与点B重合时,=0·+1·,
此时x取最大值0,y取最小值1,所以x-y的最大值为-1,故D正确.
故选BCD.
13.或6 由题意得(2λ-3)(λ-5)-9=0,即2λ2-13λ+6=0,所以λ=或λ=6.
14.- 相反 因为a,b共线,
所以由共线向量基本定理知,存在实数k,使得a=kb,
即e1+λe2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.
又因为e1,e2不共线,所以解得
因为k<0,所以a,b方向相反.
15.k≠1 若点A,B,C能构成三角形,则向量不共线.因为=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.
16. 在长方形ABCD中,向量不共线,M,N分别为线段BC,CD的中点,
则有=-=-.
因为=λ+μ,
所以-=λ+μ-=λ-μ+λ+μ,
于是得解得所以λ+μ=.
17.解(1)∵2a+b=(2,4)+(-3,1)=(-1,5),
∴|2a+b|=,∴与2a+b同向的单位向量e=(2a+b)=.
(2)设c=λa+μb(λ,μ∈R),则=λ(1,2)+μ(-3,1)=(λ-3μ,2λ+μ),
∴解得∴c=-2a+b.
18.解(1)=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.
因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得=k,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.因为e1,e2是平面内两个不共线向量,所以解得
(2)=-e1-e2-2e1+e2=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
19.(1)解=b-a,
(b-a)+a=b+a.
(2)证明a+b-(b-a)=a+b.又a+b,所以,故M,P,N三点共线.
20.解(1)因为a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),
所以a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).
因为(a+kc)∥(2b-a),所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-.
(2)设d=(x,y),
则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).
因为(d-c)∥(a+b),|d-c|=,
所以
解得
所以d=(3,-1)或d=(5,3).
21.(1)证明∵P,Q分别为AC,BD的中点,
∴),,
∴)=).
∵AB∥CD,∴可设=λ(λ<0),∴.
又||≠||,∴λ≠-1,∴PQ∥AB.
(2)解∵||=3||,∴=-3.
由(1)知=λ(λ<0),,
∴λ=-,则,∴.
22.解(1)在△ABC中,,
即4=3,3()=,
即3,即点M是线段BC靠近点B的四等分点.故△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.
(2)因为,
=x+y(x,y∈R),所以x=3y.
因为N为AB的中点,所以=x+y=x-+y=x+y=x+(y-1).
因为,所以可设=λ(λ<0),得即2x+y=1.
又x=3y,所以x=,y=,所以x+y=.(共36张PPT)
第六章 综合训练
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一、单项选择题
1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
D
解析 为使物体平衡,即合力为零,即4个向量相加等于零向量,
∴F4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,2).
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3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )
A. B.2
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4.已知a,b是不共线的向量, =λa+b, =a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为( )
A.λ+μ=2 B.λμ=1
C.λμ=-1 D.λ-μ=1
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5.[2023重庆高一单元检测]已知向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2)且c=pa+qb,则( )
A.p=4,q=1 B.p=1,q=0
C.p=0,q=1 D.p=1,q=4
D
解析 因为pa+qb=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),c=pa+qb=(3,-2),
故选D.
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6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为
( )
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8.如图所示,设P为△ABC所在平面内的一点,并且 ,则△BPC与△ABC的面积之比等于( )
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二、多项选择题
9.下列说法错误的是( )
A.单位向量都相等
B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量
C.|a+b|=|a-b|,则a⊥b
D.若a与b是单位向量,则|a|=|b|
AB
解析 单位向量仅仅长度相等,方向可能不同,A错误;当b=0时,a与c可以为任意不共线的向量,B错误;设 =a+b,由|a+b|=|a-b|,可得 OACB的对角线相等,此时四边形OACB为矩形,邻边垂直,则C正确;单位向量的长度必相等,D正确.
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11.[2023广东广州高二]向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是( )
A.a∥b B.向量a,b方向相反
C.|a|=3|b| D.b=-3a
ABD
解析 因为a=2e,b=-6e,
所以b=-3a,故D正确;
由共线向量基本定理知A正确;
-3<0,a与b方向相反,故B正确;
由上可知|b|=3|a|,故C错误.
故选ABD.
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A.当x=0时,y∈[2,3]
B.当P是线段CE的中点时,
C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段
D.x-y的最大值为-1
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三、填空题
13.[2023陕西西安交大附中模拟]已知向量a=(2λ-3,3),b=(3,λ-5),若a∥b,则λ= .
解析 由题意得(2λ-3)(λ-5)-9=0,即2λ2-13λ+6=0,所以λ= 或λ=6.
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14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ= ,此时a,b方向 .(填“相同”或“相反”)
相反
解析 因为a,b共线,所以由共线向量基本定理知,存在实数k,使得a=kb,
即e1+λe2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.
因为k<0,所以a,b方向相反.
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k≠1
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四、解答题
17.已知向量a=(1,2),b=(-3,1).
(1)求与2a+b同向的单位向量e;
(2)若向量 ,请用向量a,b表示向量c.
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18.已知e1,e2是平面内两个不共线向量,
且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求 的坐标.
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20.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(2)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= ,求d的坐标.
解 (1)因为a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),
所以a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).
因为(a+kc)∥(2b-a),所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k= .
(2)设d=(x,y),
则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).
因为(d-c)∥(a+b),|d-c|= ,
所以d=(3,-1)或d=(5,3).
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21.如图,设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC,BD的中点.
(1)试用向量的方法证明:PQ∥AB;
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(1)求△ABM与△ABC的面积之比;
(2)若N为AB的中点,AM与CN交于点P,且 (x,y∈R),求x+y的值.
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