(共29张PPT)
第四章
4.3 指数函数与对数函数的关系
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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课程标准 1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,清楚它们的图象间的对称关系.
2.会求简单函数的反函数.
3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图象解决问题.
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知识点1 反函数的概念
1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中 的值,只有 与之对应,那么 ,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.而且,如果函数的自变量仍用x表示,因变量仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数的表达式,可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y得到.
2.反函数的记法
一般地,函数y=f(x)的反函数记作 .
任意一个y
唯一的x
x是y的函数
y=f-1(x)
名师点睛
1.反函数概念的理解
当一个函数的自变量和因变量一一对应时,可以把这个函数的自变量作为一个新的函数的因变量,而把这个函数的因变量作为新的函数的自变量,我们称这两个函数互为反函数.
2.反函数的性质
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
(2)若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图象上;反之,若点(b,a)在反函数的图象上,则点(a,b)必在原函数的图象上.
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.
(4)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同.
特别提醒
只有自变量和因变量一一对应的函数才有反函数,如一次函数y=kx+b(k≠0)、反比例函数y= (k≠0)、指数函数y=ax(a>0且a≠1)、对数函数y=logax(a>0且a≠1),都有反函数.像二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),在整个定义域上没有反函数,因为关于对称轴x=- 对称的两个不同的自变量对应同一个函数值,它不是自变量和因变量一一对应的函数,所以没有反函数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任意一个函数都有反函数.( )
(2)y=2x与 互为反函数.( )
(3)函数y=ex的图象与y=ln x的图象关于直线y=x对称.( )
×
×
√
2.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=logax(a>0且a≠1)的解析式有何内在联系
提示 根据对数式与指数式的互化可知y=ax可化为对数式“x=logay”,再将等式“x=logay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=logax,从这一过程可以看出y=ax与y=logax的定义域和值域是互换的.
3.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=logax(a>0且a≠1)的单调性一致吗
提示 当0
1时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性一致.
知识点2 指数函数与对数函数的关系
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象和性质对比如下表:
名称 指数函数 对数函数
定义域 R (0,+∞)
值域 (0,+∞) R
奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数
单调性 当a>1时,y=ax在R上为增函数; 当01时,y=logax在区间(0,+∞)上为增函数;
当0名称 指数函数 对数函数
对称性 y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称 函数值 的变化 情况 ①当a>1时,若x>0,则y>1;若x=0,则y=1;若x<0,则00,则01 ①当a>1时,若x>1,则y>0;若x=1,则y=0;若0②当01,则y<0;若x=1,则y=0;若00
过关自诊
1.[2023广西百色高一校考]设a∈R,若f(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),则a=( )
A.7 B.3 C.1 D.-1
A
解析 ∵f(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),
∴f(x)=log2(x+a)的图象经过点(1,3),
∴f(1)=log2(1+a)=3,解得a=7.故选A.
2.函数y=f(x)的反函数存在,若点(2,1)在y=f(x)的图象上,则其反函数的图象一定过点 .
3.函数y=ln(2x)的反函数是 .
(1,2)
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探究点一 求反函数
【例1】 求下列函数的反函数:
(1)f(x)= ;
(2)f(x)=5x+1.
规律方法 求函数f(x)的反函数f-1(x)的主要步骤
(1)令y=f(x),对调其中的x和y,得x=f(y);
(2)从x=f(y)中解出y=φ(x);
(3)写出反函数f-1(x)的解析式.
简记为“一换、二解、三写”.
变式训练1[北师大版教材例题]写出下列对数函数的反函数:
(1)y=lg x;
(2)
解 因为对数函数y=lg x的底数是10,所以它的反函数是指数函数y=10x.
探究点二 指数函数与对数函数图象的关系
【例2】 (1)已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是( )
B
解析 (方法一)首先,曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)只可能在y轴左边,从而排除A,C.
其次,从单调性着眼.y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,又可排除D.故选B.
(方法二)若0若a>1,则函数y=ax单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.
(方法三)如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选B.
(2)将y=2x的图象( ),再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.
A.先向上平移1个单位长度 B.先向右平移1个单位长度
C.先向左平移1个单位长度 D.先向下平移1个单位长度
D
解析 由图象的平移变换易知需先向下平移1个单位长度.
规律方法 互为反函数的图象特点
(1)互为反函数的图象关于直线y=x对称;图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.
(3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.
变式训练2已知函数y=f(x)的定义域是[-1,1],其图象如图所示,则不等式
-1≤f-1(x)≤ 的解集是( )
C
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1
2
3
4
1.已知f-1(x)是函数f(x)=10x的反函数,则f-1(1)的值为( )
A.0 B.1
C.10 D.100
A
解析 因为f-1(x)是函数f(x)=10x的反函数,则f-1(x)=lg x,f-1(1)=lg 1=0,
所以f-1(1)的值为0.故选A.
1
2
3
4
2.若函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(1,3),则f(log28)=( )
A.-1 B.1
C.2 D.3
B
解析 依题意,函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax,即函数y=ax的图象过点(1,3),则a=3,f(x)=log3x,于是得f(log28)=log3(log28)=log33=1,所以f(log28)=1.故选B.
1
2
3
4
-2
1
2
3
4
4.若函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞),则此函数的定义域为 .
(9,+∞)
解析 函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞),即这个函数的值域为(3,+∞),
所以log3x+1>3,即log3x>2,所以x>9.
所以此函数的定义域为(9,+∞).(共32张PPT)
第四章
4.2.2 对数运算法则
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课程标准 1.理解对数运算法则,并能运用运算法则化简、求值.
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.能运用运算法则和换底公式进行一些简单的化简和证明.
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知识点1 对数的运算法则
条件 a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R
法则 (1)loga(MN)=logaM+logaN
(2)loga =logaM-logaN
(3)logaMα=αlogaM
名师点睛
1.逆向应用对数运算法则,可以将几个对数式化为一个对数式,有利于化简.
2.对于每一条运算法则,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时,等式才成立.
3.法则(1)可以推广到真数为无限多个正因数相乘的情况,即loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.
其中Nk>0,k∈N+.
4.对数运算法则与指数运算法则的比较(a>0且a≠1,M,N>0)
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)log93+log927=log9(3×27)=log981=2.( )
(2)log2(4+4)=log24+log24=4.( )
(4)log3[(-5)×(-4)]=log3(-5)+log3(-4).( )
√
×
×
×
2.[人教A版教材习题]求下列各式的值:
(1)log3(27×92);(2)lg 5+lg 2;
(3)ln 3+ln ;(4)log35-log315.
解 (1)(方法1)log3(27×92)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33
=3+4=7.
(方法2)log3(27×92)=log3(33×34)=log337=7log33=7.
(2)lg 5+lg 2=lg(5×2)=lg 10=1.
知识点2 对数换底公式
logab= (a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1).
名师点睛
1.换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.
2.换底公式的意义在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
3.任何对数均可用常用对数表示,即 (a>0且a≠1,b>0).
4.任何对数均可用自然对数表示,即 (a>0且a≠1,b>0).
过关自诊
1.换底公式中底数c是特定数还是任意数
提示 换底公式等号右边的“底数c”是不定的,它可以是任何一个不为1的 正数.
2.(多选题)下列等式正确的是( )
ABC
3.计算:log23×log32= .
1
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探究点一 对数运算法则的应用
【例1】 计算下列各式.
规律方法 对数运算求值的解题策略
(1)利用对数运算求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系.
(2)对于复杂的运算式,可先化简再计算.化简问题的常用方法:①“拆”:将积(商)的对数拆成两个对数之和(差);②“收”:将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.
变式训练1计算下列各式的值:
解 原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1=3.
探究点二 对数换底公式的应用
【例2】 (1)[北师大版教材习题]利用对数的换底公式计算:
①log225·log34·log59;
②(log43+log83)(log32+log92).
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.
规律方法 1.利用换底公式求值的思想与注意点
2.换底公式的两个重要推论
(1) ,其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R且m≠0.
变式训练2(1)计算下列各式的值:
①log89×log2732;
②(log43+log83) .
(2)已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示log324.
探究点三 利用对数式与指数式的互化解题
解设ax=by=cz=k(k>0).
∵a,b,c是不等于1的正数,
∴x=logak,y=logbk,z=logck,
∴logka+logkb+logkc=0,
即logk(abc)=0.∴abc=1.
规律方法 条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算法则.要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式互化进行解题.
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1
2
3
4
1.(多选题)已知a,b均为不等于1的正数,则下列选项中与logab相等的有
( )
AD
1
2
3
4
2.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36=( )
B
1
2
3
4
2
1
2
3
4
(2)(lg 2)2+lg 2×lg 500+lg 125;
(3)[(1-log63)2+log62×log618]÷log64.
(2)原式=lg 2(lg 2+lg 500)+3lg 5=3lg 2+3lg 5=3(lg 2+lg 5)=3lg 10=3.
=[(log62)2+(log62)2+log62×2log63]÷2log62=log62+log63=1.(共31张PPT)
第四章
4.5 增长速度的比较
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课程标准 1.会求函数在给定区间上的平均变化率.
2.能利用函数的平均变化率判断函数的增长速度.
3.能够比较对数函数、一元一次函数、指数函数三种函数模型增长速度的差异,理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
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知识点1 平均变化率
1.平均变化率
(1) 实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比.
(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率为 .
(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加 个单位,函数值平均将增加
个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的 .
平均变化率
1
快慢
2.平均变化率的求解步骤
(1)确定区间[x1,x2](x2>x1);
(2)求出Δx=x2-x1;
(3)求出Δf=f(x2)-f(x1);
(4)求出平均变化率
过关自诊
1.函数f(x)=x2+1,当自变量x由1变到1.1时,函数f(x)的平均变化率为( )
A.2.1 B.1.1 C.2 D.1
2.函数f(x)=kx+b在区间[x1,x2]上的平均变化率为 .
A
k
知识点2 增长速度的比较
1.几类不同增长的函数模型
(1)一次函数模型
一次函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“爆炸式增长”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型
当x>0,α>0时,幂函数y=xα是增函数,且当x>0时,α越大其函数值的增长速度就越快.
2.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地,在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xα(α>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.
随着x的无限增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.
因此,在区间(0,+∞)上,总会存在一个x0,当x>x0时,就有logax1,α>0).
名师点睛
指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
在(0,+∞)上的单调性 单调递增,且a越大,增长越快 单调递增,且a越小,增长越快 单调递增,且α越大增长越快
增长速度 越来越快 越来越慢 随α值的不同而不同
图象的变化 随x的增大越来越陡 随x的增大逐渐变缓 随着α值的不同而不同
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若f(x)=2x+1,自变量每增加1个单位,函数值将增加1个单位.( )
(2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型.( )
(3)指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大.( )
×
√
×
2.某公司为了适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后的利润y与产量x的关系,则可选用( )
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
D
重难探究·能力素养全提升
探究点一 函数平均变化率的求解
【例1】 [2023辽宁沈阳高一]函数f(x)=ln x在区间[1,e]上的平均变化率为 .
变式训练1函数f(x)=-2x2+5在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为 .
-8-2Δx
解析 Δf=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,
所以 =-8-2Δx,即平均变化率为-8-2Δx.
探究点二 平均变化率的大小比较
【例2】 (1)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况,下列说法正确的是 .
①在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度;
②在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度;
③在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度;
④在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度.
③
(2)已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,h(x)=log3x,比较这三个函数在区间[a,a+1](a>1)上的平均变化率的大小.
规律方法 比较函数平均变化率的方法
变式训练2已知函数f(x)=4x,g(x)=5x,分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率,并比较它们的大小.
探究点三 比较函数的增长情况
【例3】 (1)[人教A版教材习题]函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)可能是( )
A.y=1-x-1,x∈(0,+∞)
C.y=ln x
D.y=x-1,x∈(0,+∞)
C
解析 由图象过点(1,0)知B不正确,由f(3)>1知A不正确,由图象为曲线知D不正确,所以应选C.
(2)三个变量y1,y2,y3随变量x变化的数据如下表:
x 0 5 10 15 20 25
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130
y2 5 94.478 1 785.2 33 733 6.37×105 1.2×107
y3 5 30 55 80 105 130
则最可能是关于x呈指数型函数变化的一个变量为 .
y2
解析 从表格中可以看出,三个变量y1,y2,y3的值随着x的增加都是越来越大,但是增长速度不同,相比之下,变量y2的增长速度最快,画出它们的图象,可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
规律方法 判断三种函数模型的方法
(1)根据函数的增长速度进行判断
三种递增函数中,随着自变量的增大,指数函数的增长速度先慢后快;对数函数的增长速度先快后慢;随着x的无限增大,幂函数的增长速度会介于指数函数与对数函数的增长速度之间.
(2)根据图象进行判断
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的是指数函数的图象,图象趋于平缓的是对数函数图象,介于两者之间的是幂函数的图象.
变式训练3函数f(x)=2x和g(x)=x3的大致图象如图所示,设两个函数图象的交点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)指出曲线C1,C2分别表示哪一个函数;
(2)结合函数的图象,比较f(8),g(8),f(2 020),g(2 020)的大小.
解 (1)曲线C1对应函数g(x)=x3,曲线C2对应函数f(x)=2x.
(2)因为f(1)=21=2,g(1)=13=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以1因为f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(10)=210=1 024,g(10)=103=1 000,所以9x2时,f(x)>g(x).
从而f(2 020)>g(2 020)>g(8)>f(8).
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1
2
3
1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
A
1
2
3
2.若函数f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系是( )
A.k1>k2 B.k1C.k1=k2 D.k1与k2的大小关系不确定
A
1
2
3
3.已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为 .
2.9(共40张PPT)
第四章
4.2.3 对数函数的性质与图象
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课程标准 1.通过实例,了解对数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,直观了解对数函数的模型所刻画的数量关系.
3.熟练掌握对数函数的图象与性质.
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知识点1 对数函数
1.对数函数的概念
一般地,函数 称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
2.两种特殊的对数函数
我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.
y=logax
名师点睛
1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=logax;(2)a满足a>0且a≠1;(3)真数为x.
2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质可知,在对数函数中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.
过关自诊
下列函数是对数函数的是( )
A.y=logax+2(a>0且a≠1,x>0)
B.y=loga (a>0且a≠1,x>0)
C.y=logx3(x>0且x≠1)
D.y=logax(a>0且a≠1,x>0)
D
知识点2 对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质
a的取值 a>1 0图象
a的取值 a>1 0性质 定义域: ,因此函数图象一定在y轴的右边 值域:R 图象过定点 ,即当x=1时,y=0 非奇非偶函数 当x>1时, ;当01时, ;当0在(0,+∞)上是 函数 在(0,+∞)上是 函数
(0,+∞)
(1,0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增
减
名师点睛
1.对数函数的图象永远在y轴的右侧,x越接近于0,图象越接近y轴.
2.当底数a>1时,对数函数的图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数03.分析对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象,需找三个关键点:
(a,1),(1,0),( ,-1).
过关自诊
1.(多选题)若函数y=logax(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a的值可能是( )
AB
2.下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是( )
A.y=5x B.y=lg x+2
C.y=x2+1 D.
D
3.函数f(x)=loga(x-2)-2x(a>0且a≠1)的图象必经过定点 .
(3,-6)
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对数函数的概念
【例1】 (1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)logmx,则m= .
2
解析 由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,即(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0且m≠1,所以m=2.
(2)已知对数函数f(x)的图象过点
①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
规律方法 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出.
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= .
4
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .
探究点二 对数函数的性质
角度1 与对数函数有关的定义域问题
【例2】 (1)已知函数 的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是 .
(2)求下列函数的定义域:
③y=log(2x-1)(-4x+8).
规律方法 对数函数定义域问题的注意事项
(1)要遵循已学习过的求定义域的方法,如分式的分母不为零,偶次根式的被开方式大于或等于零等.
(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
变式训练2[北师大版教材习题]求下列函数的定义域:
(1)y=log5(1-x);
解 要使函数有意义,只需1-x>0,所以x<1,所以函数的定义域为{x|x<1}.
角度2 利用对数函数的性质比较大小
【例3】 (1)若a=log2π,b= ,c=π-2,则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
C
(2)比较下列各组值的大小:
① ②log1.51.6,log1.51.4;③log0.57,log0.67;④log3π,log20.8.
规律方法 比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量0或1.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
变式训练3设a=log2π,b=log2 ,c=log3 ,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
A
探究点三 对数函数的图象的应用
【例4】 (1)已知函数f(x)=loga|x|(a>0且a≠1)在(0,+∞)上单调递增,则( )
A.f(3)B.f(1)C.f(-2)D.f(3)B
解析 由题意可知函数f(x)是偶函数.因为函数在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(1)(2)[北师大版教材习题]对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx(a>0,b>0,c>0,且a,b,c均不为1)的图象如图,试比较a,b,c的大小.
解 由图象可知,在定义域内,函数y=logax,y=logbx为增函数,而y=logcx为减函数,∴a>1,b>1,0取x=2,由题图可得,loga2>logb2>0,
∴0规律方法 1.对数函数图象的变化规律
(1)上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,a越大,图象越靠近x轴,当0(2)左右比较:比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
2.常见的函数图象的变换技巧
(1)y=f(x) y=f(|x|).
变式训练4(1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0C.01
D.0D
解析 由题图可知,函数为减函数,所以01,所以c>0;当x=0时,loga(x+c)=logac>0,即c<1.所以0(2)已知函数f(x)=|lg x|,若0A.(2 ,+∞) B.[2 ,+∞)
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
C
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
1.[2023福建高一统考]函数y=log2(3x-2)的定义域是( )
C.(0,+∞) D.R
B
1
2
3
4
2.函数 在区间[1,2]上的取值范围是( )
A.[-1,0]
B.[0,1]
C.[1,+∞)
D.(-∞,-1]
A
1
2
3
4
3.函数y=loga(x+1)-2恒过定点 .
(0,-2)
1
2
3
4
4.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为 .
b>a>c
解析 因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,
即1>a>0>c.同理log26>log22=1,所以b>a>c.(共28张PPT)
第四章
4.2.1 对数运算
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
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课程标准 1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质求对数值及解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 对数的概念
1.对数的定义:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b= ,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数.
2.两种特殊的对数:
名称 定义
常用对数 将以 为底的对数称为常用对数,并把log10N记为
自然对数 以 为底的对数称为自然对数,自然对数logeN通常简写为
logaN
10
lg N
e
ln N
名师点睛
1.ab=N b=logaN(a>0且a≠1,N∈(0,+∞)),以上两式是一个事实的两种不同形式,logaN表示一个实数.
2.在logaN中,为什么规定a>0且a≠1,N∈(0,+∞)呢
这是因为:(1)若a<0,则b取某些数值时,N不存在;(2)若a=0,则当N≠0时,logaN不存在,当N=0时,logaN有无数个值,与函数定义不符;(3)若a=1,则当N≠1时, log1N不存在,当N=1时,log11有无数个值,与函数定义不符.依据对数定义,N是指数幂,故N>0.
过关自诊
1.任何一个指数式都可以化为对数式吗
提示 不是,如(-3)2=9,不能写成log(-3)9=2.
B
知识点2 对数的基本性质
1.对数与指数的关系(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))
指数表达式ab=N与对数表达式b=logaN实际上表示的是同一数量关系,如果把对数表达式中的b代入指数表达式,则可得 = ;
类似地,如果把指数表达式中的N代入对数表达式,则有logaab=b.
2.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数.
(2)对于任意的a>0且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga =-1.
N
名师点睛
1. =N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数.
2.loga1=0(a>0且a≠1),logaa=1(a>0且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.
过关自诊
D
0
解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
3.对数式lg(2x-1)中实数x的取值范围是 .
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对数式与指数式的互化
【例1】 [人教A版教材例题]把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)54=625;
(5)lg 0.01=-2;
(6)ln 10≈2.303.
解 (1)log5625=4;
(5)10-2=0.01;
(6)e2.303≈10.
规律方法 1.logaN=b与ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图:
2.在指对互化时,注意a和N的范围,在相应范围内时才能进行指对互化.
变式训练1将下列指数式与对数式互化:
(2)log10100=2,即lg 100=2.
(3)loge16=a,即ln 16=a.
(5)xz=y(x>0且x≠1,y>0).
探究点二 利用对数式与指数式的关系求值
【例2】 [人教A版教材例题]求下列各式中x的值:
(1)log64x=- ;
(2)logx8=6;
(3)lg 100=x;
(4)-ln e2=x.
解 因为lg 100=x,所以10x=100,10x=102,于是x=2.
解 因为-ln e2=x,所以ln e2=-x,e2=e-x,于是x=-2.
规律方法 指数式ax=N与对数式x=logaN(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个量时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个量.
变式训练2求下列各式中x的值:
(1)log2x= ;
(2)log216=x;
(3)logx27=3.
解∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.
解∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.
探究点三 利用对数的基本性质求值
20
(2)求下列各式中x的值:
①ln(log2x)=0;②log2(lg x)=1;
解 ①∵ln(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.
②∵log2(lg x)=1,∴lg x=2,∴x=102=100.
规律方法 在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数; (2)loga1=0(a>0且a≠1);(3)logaa=1(a>0且a≠1);(4) =N(a>0且a≠1,N>0)进行对数的化简与求值.
9
②由logx25=2,得x2=25.∵x>0且x≠1,∴x=5.
③由log5x2=2,得x2=52,
∴x=±5.∵52=25>0,(-5)2=25>0,
∴x=5或x=-5.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
1.对数式log(a-2)(5-a)中实数a的取值范围是( )
A.(-∞,5)
B.(2,5)
C.(2,3)∪(3,5)
D.(2,+∞)
C
1
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3
4
1
2
3
4
3.若loga2=m,loga3=n(a>0且a≠1),则a2m+n= .
12
解析 因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.
所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.
1
2
3
4
4.求下列各式中x的值:
(1)log8x=- ;(2)logx27= ;(3)log3(lg x)=1.
(3)由log3(lg x)=1,得lg x=3,故x=103=1 000.(共48张PPT)
第四章
4.1.2 指数函数的性质与图象
基础落实·必备知识全过关
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目录索引
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课程标准 1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
3.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 指数函数的概念
1.一般地,函数 称为指数函数,其中a是常数, .
自变量在指数位置
2.指数函数的特征:
(1)底数a>0且a≠1;
(2)指数幂的系数是1.
y=ax
a>0且a≠1
名师点睛
根据指数函数的定义,只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才叫指数函数,如y=3·2x, 都不是指数函数,它们的函数表达式含有指数式,应将它们看作复合函数.
过关自诊
1.[2023上海奉贤高一]指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,9),则该指数函数的表达式为 .
y=3x
解析 由题可得,9=a2,解得a=±3.因为a>0,所以该指数函数的表达式为y=3x.
2.指数函数中,为什么要规定a>0且a≠1
提示 如果a<0,那么ax对某些x值没有意义,如 无意义;如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.
所以规定a>0且a≠1,此时x可以是任意实数.
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
a的取值 a>1 0图象
性 质 定义域 R 值域 过定点 (0,+∞)
(0,1)
a的取值 a>1 0性 质 函数值 的变化 当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,0当x<0时,y>1
单调性 在R上是 在R上是
奇偶性 非奇非偶函数 2.一般地,指数函数y=ax和y=( )x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称,且它们在R上的单调性相反.
增函数
减函数
名师点睛
1.画指数函数y=ax(a>0且a≠1)的简单图象时,需找三个关键点:
(1,a),(0,1),(-1, ).
2.指数函数的图象永远在x轴的上方.底数越大,图象在第一象限内越高,简称“底大图高”.
过关自诊
1.函数y=( )x+1的值域是( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.[1,+∞) D.(0,1)
B
2.函数y=2-x的图象是( )
B
3.若指数函数y=(a-2)x是R上的增函数,则实数a的取值范围是 .
(3,+∞)
解析 指数函数y=(a-2)x是R上的增函数,得a-2>1,即a>3.
4.[2023上海宝山校级期末]函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的图象经过一个定点,这个定点的坐标是 .
(1,1)
解析 对于函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的图象,令x-1=0,得x=1,f(x)=1,故函数f(x)的图象经过定点(1,1).
重难探究·能力素养全提升
探究点一 指数函数的概念
【例1】 (1)如果指数函数y=f(x)的图象经过点 ,那么f(4)f(2)= .
64
解析 设f(x)=ax(a>0且a≠1),
∴a-2= ,∴a=2.
∴f(4)f(2)=24×22=64.
(2)已知函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,求实数a的值.
规律方法 指数函数的结构特征
指数函数是一个形式定义,其特征如下:
变式训练1(1)若指数函数y=f(x)的图象过点(-2,4),则f(3)= .
(2)给出下列函数:①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y= ;⑦y=xx;⑧y=(2a-1)x(a> 且a≠1).
其中为指数函数的有 .(填序号)
①⑤⑧
解析 ②中函数不是指数函数,因为指数函数的底数不能是自变量;③中函数是-1与4x的乘积,不是指数函数;④中函数的底数-4<0,故不是指数函数;⑥中函数的指数不是自变量x,而是x2,不是指数函数;⑦中函数的底数x不是常数,不是指数函数.由指数函数的概念可知,①⑤⑧中的函数是指数函数.
探究点二 比较大小
【例2】 比较下列各题中两个值的大小:
(1)2.53,2.55.7;
解 (单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.
又3<5.7,则2.53<2.55.7.
(2)1.5-7,( )4;
(3)2.3-0.28,0.67-3.1;
解 (中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则
2.3-0.28<0.67-3.1.
(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解 因为a>1,且a≠2,
所以a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x在R上是增函数,
所以(a-1)1.3<(a-1)2.4;
若0(a-1)2.4.
故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;
当1(a-1)2.4.
变式探究(1)若2.52a>2.5a+1,则实数a的取值范围是 .
(1,+∞)
解析 构造函数f(x)=2.5x,而函数f(x)=2.5x在R上是增函数.
因为f(2a)>f(a+1),所以2a>a+1,解得a>1,故实数a的取值范围是(1,+∞).
(2)例2(1)改为“2.5a,2.5a+1”.
解 因为a+1>a,所以2.5a<2.5a+1.
规律方法 比较幂的大小的常用方法
变式训练2[北师大版教材习题]比较下列各题中两个数的大小:
解 因为函数y=2x在R上是增函数,且-1.5<1.5,所以2-1.5<21.5.
(4)20.1,30.2.
解 由指数函数y=3x与y=2x的图象知,当x>0时,y=3x的图象在y=2x的图象的上方,且函数y=2x在R上是增函数,
所以30.2>20.2>20.1,所以30.2>20.1.
探究点三 指数函数的图象及应用
角度1 指数函数图象的识别
【例3】 如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.aB.bC.1D.aB
解析 (方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象越靠近x轴,故有b(方法二)作直线x=1,与函数①②③④的图象分别交于A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.
由图可知b规律方法 指数函数图象的特点
不同指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可确定底数的大小.
A.①
B.②
C.③
D.④
B
角度2 指数函数的图象及其变换
【例4】 先作出函数y=2x的图象,再通过图象变换作出下列函数的图象:
(1)y=2x-2,y=2x+1;
(2)y=2x+1,y=2x-2;
(3)y=2-x,y=-2x,y=-2-x.
解 列表:
根据上表中x,y的对应值在平面直角坐标系中描点作图如图1所示.
(1)函数y=2x-2的图象可以由y=2x的图象向右平移2个单位长度得到,函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向左平移1个单位长度得到.图象如图1所示.
(2)函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到,函数y=2x-2的图象可以由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到.图象如图2所示.
(3)函数y=2-x的图象由y=2x的图象关于y轴对称后得到;函数y=-2x的图象由y=2x的图象关于x轴对称后得到;函数y=-2-x的图象由y=2x的图象关于原点对称后得到.图象如图3所示.
图1
图2
图3
规律方法 指数函数图象及其变换
(1)明确影响指数函数图象特征的关键是底数.
(2)平移变换(a>0且a≠1,φ>0),如图1所示.
图1
(3)对称变换(a>0且a≠1),如图2所示.
图2
变式训练4 画出函数 的图象,这个图象有什么特征 你能根据图象写出它的值域和定义域吗
而 和y=2x(x<0)的图象关于y轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],定义域是R.
角度3 指数函数图象过定点问题
【例5】 已知函数f(x)=ax+1+3(a>0且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是 .
(-1,4)
解析 当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过点
(-1,4).
规律方法 函数图象过定点问题的解法
因为函数y=ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)即为所求.
变式训练5 [2023黑龙江哈尔滨南岗校级期末]函数y=a2x-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点 .
(1,4)
解析 令2x-2=0,可得x=1,此时f(1)=a2-2+3=4,即函数的图象恒过定点(1,4).
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1
2
3
4
1.(多选题)函数y=a-x(a>0且a≠1)的图象可以是( )
5
AB
1
2
3
4
2.若函数f(x)=(m-2)·mx是指数函数,则f(-2)=( )
5
B
1
2
3
4
3.若a>0且a≠1,则函数f(x)=ax-4+3的图象恒过的定点的坐标为 .
5
(4,4)
解析 令x-4=0,得x=4,所以f(4)=a0+3=4,所以函数f(x)=ax-4+3的图象恒过定点(4,4).
1
2
3
4
5
a>b>c
1
2
3
4
5
5.已知函数f(x)=ax-1的图象经过点(2,4),其中a>0且a≠1.
(1)求实数a的值;
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域;
(3)解不等式f(x2)解 (1)∵函数f(x)=ax-1的图象经过点(2,4),∴4=a2-1,∴a=4.
(2)由(1)得f(x)=4x-1(x≥0),在定义域[0,+∞)上其为增函数,且f(0)= ,
∴f(x)=4x-1(x≥0)的值域为
(3)∵f(x)=4x-1是R上的增函数,∴x2<2x+3,解得-1第四章
4.6 函数的应用(二)
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课程标准 1.了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用.
2.通过数据的合理分析,能自己建立函数模型,解决实际问题.
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知识点1 几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0)
名师点睛
利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,重点运用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数和分段函数来解决问题.下面是几种常见的数学模型:(1)平均增长率问题:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的产值y=N(1+p)x.(2)储蓄中的复利问题:如果本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则y=a(1+r)x.(3)根据几何、物理概念建立的函数关系,如位移、速度、时间的函数关系,灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系. (4)通过观察、实验建立的函数关系,如自由落体的距离公式等.(5)分式函数模型:某应用题数学化后,得到的等量关系中分母含有自变量,我们不能直接求其最值,必须先看这个函数的单调性,从而确定该函数的最值.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.( )
(2)函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义.( )
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了.( )
×
×
×
2.[北师大版教材习题改编]在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和所携带燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)的函数关系是v=2 000ln(1+ ).当火箭的最大速度达到12 km/s时,燃料质量与火箭质量的比值是 .(参考数据:e0.006≈1.006)
0.006
解析 设 =x时,速度v=12,所以12=2 000ln(1+x),所以1+x=e0.006,
x=e0.006-1≈0.006.
知识点2 解决函数应用题的基本思想和解题步骤
函数模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并利用该函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.其中,建立函数模型解决实际问题是常见形式.
1.建立函数模型解决实际问题的基本思想
2.建立函数模型解决实际问题的解题步骤
某些实际问题提供的变量关系是确定的,即设自变量为x,因变量为y,它们已建立了函数模型,我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案.具体解题步骤:
第一步,审题,引进数学符号,建立数学模型,了解变量的含义,若模型中含有待定系数,则需要进一步用待定系数法或其他方法确定;
第二步,求解数学模型,利用数学知识,如函数的单调性、最值等,对函数模型进行解答;
第三步,转译成实际问题的解.
过关自诊
1.如图给出了某种豆类生长枝数y(单位:枝)与时间t(单位:月)的图象,那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是( )
A.y=2t2
B.y=log2t
C.y=t3
D.y=2t
B
解析 因为由图象知增长越来越缓慢,所以只有B符合条件.
2.一种产品的产量原来为a,在今后m年内,计划使产量每年比上一年增加p%,则年产量y随年数x变化的函数解析式为 ,定义域为 .
y=a(1+p%)x
{x|x∈N且0≤x≤m}
重难探究·能力素养全提升
探究点一 指数函数模型
【例1】 某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%.
(1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式;
(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤几次
(参考数据:lg 2≈0.301)
解 (1)设刚开始水中杂质含量为1,
第1次过滤后,y=1-20%;
第2次过滤后,y=(1-20%)(1-20%)=(1-20%)2;
第3次过滤后,y=(1-20%)2(1-20%)=(1-20%)3;
……
第x次过滤后,y=(1-20%)x.
故y=(1-20%)x=0.8x,x≥1,x∈N.
(2)由(1)得0.8x<5%,则x>log0.80.05= ≈13.4.
即至少需要过滤14次.
规律方法 指数函数模型的应用
指数函数y=ax(a>0且a≠1)经复合可以得到指数型函数,指数型函数的函数值变化较快,指数型函数的函数值的增长速度随底数不同而不同.
变式训练1[2023河南南阳高一期末]某沙漠经过一段时间的治理,已有
1 000公顷植被,假设每年植被面积以20%的增长率呈指数增长,按这种规律发展下去,则植被面积达到4 000公顷至少需要经过的年数为( )
(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)
A.6 B.7 C.8 D.9
C
探究点二 对数函数模型
【例2】 科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.
(1)已知生活中几种声音的相关数据如下表:
声音类型 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路
强度I/(瓦/平方米) 1×10-11 1×10-10 1×10-3
强弱等级L/分贝 10 m 90
求a和m的值;
(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
规律方法 1.基本类型:有关对数函数模型的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解.
2.求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.
变式训练2我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).
(1)假设在一次地震中,一个距离震中100 km的测震仪记录的地震的最大振幅为20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级
(精确到0.1,其中lg 2≈0.301 0);
(2)里氏5级地震给人的震感已比较明显,计算里氏7.6级地震最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍(精确到1,其中102.6≈398).
探究点三 幂函数模型
【例3】 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中,流量速率为400 cm3/s,求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量速率R的表达式;
(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量速率(结果精确到1).
规律方法 幂函数模型的应用
对于幂函数模型,在实际的工程、科研等领域都有较广泛的应用,此种模型相对形式简单,但不同的实际问题其对应模型的系数和幂次相差很大,很多实际问题一般直接给出模型结构形式,我们只需分析数据,利用数据确定参数即可.
变式训练3某公司研发芯片耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入y1(单位:千万元)与投入的资金x(单位:千万元)成正比,已知每投入1千万元,获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y2(单位:千万元)与投入的资金x(单位:千万元)的函数关系式为y2=kxa(x>0),其图象如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入与投入资金的函数关系式.
(2)如果公司只生产一种芯片,生产哪种芯片毛收入更大
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,设投入x千万元生产B芯片,用f(x)表示公司所获利润,当x为多少时,可以获得最大利润 并求最大利润.(利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)
所以,当投入资金大于16千万元时,生产A芯片的毛收入更大;当投入资金等于16千万元时,生产A,B芯片的毛收入相等;当投入资金小于16千万元时,生产B芯片的毛收入更大.
探究点四 函数模型的选择
【例4】 [人教A版教材习题]从甲地到乙地的距离约为240 km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的下列数据:
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,现有以下三种模型供选择: Q=av3+bv2+cv,Q=0.5v+a,Q=klogav+b.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型,并写出相应的函数解析式;
(2)从甲地到乙地,这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少
解 (1)画出散点图如图所示,
由图知,应选择函数Q=av3+bv2+cv.
将(40,6.667),(80,10),(120,20)代入函数解析式,得
所以Q=0.000 026v3-0.004 16v2+0.291 475v.
规律方法 函数模型选择的基本步骤
变式训练4[2023广东揭阳高一]有一组实验数据如表所示:
则下列所给函数模型适合的是( )
A.y=logax(a>1)
B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0)
D.y=logax+b(a>1)
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
C
解析 由实验数据可得如下散点图,
随着x的增大y的增速变快,结合各选项的函数性质知A,B,D不合适,只有C合适.故选C.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
1.某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究.经大量实验和反复论证得出,某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关,酿醋成功指数M与浓度N满足M=2.8-lg N.已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9,则该水果中氢离子的浓度约为( ≈1.259)( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
D
1
2
3
4
2.某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据:
x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数( )
A.y=a+bx B.y=bx
C.y=ax2+b D.y=
B
1
2
3
4
3.已知气压p(单位:百帕)与海拔h(单位:米)的关系式为 ,则海拔6 000米处的气压为 百帕.
4.9
1
2
3
4
4.某品牌汽车的月产量y(单位:万辆)与月份x(31.875 (共36张PPT)
第四章
4.1.1 实数指数幂及其运算
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
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课程标准 1.通过对有理指数幂、实数指数幂含义的认识,了解指数幂的拓展过程.
2.理解根式运算与指数运算的内在联系.
3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行实数指数幂的运算.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 n次方根
1.n次方根的定义:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为 .
2.n次方根的性质:
(1)0的任意正整数次方根均为0,记为 .
(2)正数a的偶数次方根有两个,它们互为 ,其中正的方根称为a的n次算术根,记为 ,负的方根记为 ;负数的偶数次方根在实数范围内 ,即当a<0且n为偶数时, 在实数范围内 .
(3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而且正数的奇数次方根是一个 数,负数的奇数次方根是一个 数.
a的n次方根
相反数
不存在
没有意义
正
负
根式
根指数
被开方数
a
a
|a|
名师点睛
1.在n次方根的概念中,关键是实数a的n次方根x满足xn=a,因此求a的n次方根,就是求一个n次方后等于a的数.
2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广.
3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.
过关自诊
1.[北师大版教材习题](1)27的3次方根表示为 ;
(2)a6的3次方根表示为 ;
(3)16的4次方根表示为 .
知识点2 分数指数幂
2.负分数指数幂:当a>0时,规定 = (n,m∈N+).
名师点睛
1.分数指数幂 不可理解为 个a相乘, 它是根式的一种写法.
2.正数的负分数指数幂总表示正数.
3.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用幂的运算法则进行计算.
过关自诊
1.将下列根式化为分数指数幂:
2.将下列分数指数幂化为根式:
知识点3 实数指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数s,t,指数幂均满足下面的运算性质:
(1)asat= (a>0,s,t∈R);
(2)(as)t= (a>0,s,t∈R);
(3)(ab)s= (a>0,b>0,s∈R).
as+t
ast
asbs
名师点睛
1.我们可以类似得出:一般地,给定正数a,对任意无理数t,at都是一个确定的实数.同理规定 .这样指数幂中指数的范围就扩展到了全体实数.
2.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有下面两个常用的公式:
(1)as÷at=as-t(a>0,s,t∈R);
过关自诊
[人教A版教材习题改编]式子 a-π(a>0)的计算结果为 .
1
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用根式的性质化简或求值
【例1】 [人教A版教材例题]求下列各式的值:
2.在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意讨论字母参数的取值范围,即确定 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
探究点二 根式与分数指数幂的互化并计算
【例2】 [人教A版教材例题改编]化简求值,将根式改为分数指数幂:
规律方法 根式与分数指数幂的互化技巧
(1)在分数指数幂中,若幂指数为负数,可先将其化为正数,再化为根式;
(2)含有多重根号时,要理清被开方数,由里向外逐次用分数指数幂表示,最后运用相关的运算性质化简.
探究点三 实数指数幂运算
【例3】 [人教A版教材习题改编]计算下列各式(式中字母均为正数):
规律方法 1.化简结果的一个要求和两个不能
2.幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂.
(2)化根式为分数指数幂.
(3)化小数为分数进行运算.
探究点四 条件求值问题
(1)a2+a-2;(2)a2-a-2.
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.
由a+a-1=3,两边同时平方,得a2+a-2+2=9,
即a2+a-2=7.
(2)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
规律方法 条件求值的解题策略
解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式之间的内在联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.要注意正确地变形,以及对一些常用公式的熟练应用.
变式训练4已知x+y=12,xy=9,且x解 ∵x+y=12,xy=9,
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
又x成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
1.(多选题)下列等式一定成立的有( )
BCD
1
2
3
4
2.[2023浙江高一]设m,n都是正整数,且n>1,若a>0,则不正确的是( )
B
1
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4
9
1
2
3
4(共39张PPT)
第四章
4.4 幂函数
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
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课程标准 1.通过实例,了解幂函数的概念.
2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1, 的图象,了解它们的变化情况及简单性质并归纳幂函数的图象.
3.能运用幂函数的图象与性质解决相关问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 幂函数的定义
一般地,函数y=xα称为幂函数,其中 为常数.
自变量在底数位置,要与指数函数区分
名师点睛
幂函数的特征
(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数,如y= x2,y=(x+2)2,y=xx等都不是幂函数.
α
特别提醒
1.不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数且可正可负,而指数函数恰好相反,底数为常数且是不为1的正数,指数为自变量.
2.幂函数y=x0的图象为两段平行于x轴的射线.
过关自诊
1.下列函数,是幂函数的为 .(填序号)
①y=3x2;②y=x2+1;③y=- ;④ ;⑤y= ;⑥y=2x.
④⑤
2.[人教A版教材习题]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),求这个函数的解析式.
知识点2 函数y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的图象与性质
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1
图象 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1
定义域 R R (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
单调性 增函数 在区间(0,+∞)上是 增函数,在区间 (-∞,0)上是减函数 在区间(0,+∞),
(-∞,0)上均是减函数
定点 (1,1) R
[0,+∞)
非奇非偶函数
增函数
增函数
名师点睛
除函数 外,其余四个函数都具有奇偶性.
过关自诊
[人教A版教材习题]利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:
(1)(-1.5)3,(-1.4)3;
解 设f(x)=x3,则f(x)在R上为增函数.
因为-1.5<-1.4,所以(-1.5)3<(-1.4)3.
知识点3 幂函数共有的性质
1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点 .
2.如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.
3.如果α<0,则幂函数在区间 上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴.
(1,1)
[0,+∞)
(0,+∞)
名师点睛
1.幂函数的性质的补充说明
对于一个具体的幂函数,一般先要确定其定义域和奇偶性,必要的情况下,可将分数指数幂转化成根式.
2.幂函数的图象在第一象限内的特征
过关自诊
1.下列说法正确的有( )
①幂函数的图象均过点(1,1);②幂函数的图象均在两个象限内出现;③幂函数在第四象限内可以有图象;④对于幂函数y=xα,当α>0时,幂函数在第一象限内为增函数;⑤任意两个幂函数的图象最多有两个交点.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
解析 对于幂函数y=xα,当x=1时,y=1,所以幂函数的图象均过点(1,1),故①正确;幂函数 的图象没有在两个象限内出现,故②不正确;当x>0时,xα>0,所以幂函数的图象不可能在第四象限,故③不正确;当α>0时,幂函数在(0,+∞)上单调递增,故④正确;幂函数y=x与y=x3的图象的交点为(-1,-1), (0,0),(1,1),共3个,故⑤不正确.故正确的说法有2个.
2.已知幂函数 在(0,+∞)上是减函数,则实数a的值为 .
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探究点一 幂函数的概念
B
(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,当实数m为何值时,f(x):
①是幂函数;
②是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数.
解 ①因为函数是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
②当m=2时,f(x)=x-13,函数在(0,+∞)上是减函数,当m=-1时,f(x)=x2,函数在(0,+∞)上是增函数,
综上,m=-1.
规律方法 幂函数的判断方法
(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.
(2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.
变式训练1下列函数: ③y=x2(x∈N),④y=x-5+3x,
⑤y=3x(x∈Z),⑥y=x3x+1.其中是幂函数的为 .(填序号)
②③
探究点二 比较大小
【例2】 比较下列各组数的大小:
规律方法 比较幂形式的两个数大小的常用方法
A.aC
(-1,4)
解析 ∵幂函数 (p∈N*)在(0,+∞)上单调递减,
∴p2-2p-3<0,解得-1∵p∈N*,∴p=1或2.
当p=1时,f(x)=x-4为偶函数,满足条件,
当p=2时,f(x)=x-3为奇函数,不满足条件,
∴a2-1<3a+3,解得-1探究点三 幂函数的图象
【例3】 (1)函数f(x)= 的大致图象是( )
A
解析 因为- <0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,排除选项B,C;又f(x)的定义域为(0,+∞),所以排除选项D.故选A.
(2)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,
± 四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为( )
B
解析 根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y=xn递增速度越快,故C1的n=2,C2的n= ,当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n=- ,曲线C4的n=-2.故选B.
规律方法 画幂函数图象(简图)的步骤
求定义域→判断奇偶性→画在第一象限的图象→结合奇偶性画整个函数图象
变式训练3函数 (n∈N,n>9)的图象可能是( )
C
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1.幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是( )
A.(2,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)
B
解析 设f(x)=xα(α为常数),由2α=4,得α=2,
所以f(x)=x2.故其单调递增区间为[0,+∞).
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A.c>a>b B.a>b>c
C.b>a>c D.a>c>b
B
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4
3.已知幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3过原点,则实数m的值为 .
-2
解析 因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3为幂函数,
所以m2+m-1=1,解得m=-2或m=1,
当m=-2时,函数y=x7的图象过原点,符合题意;
当m=1时,函数y=x-8的图象不经过原点,不符合题意.故m=-2.
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4.已知幂函数 (k∈Z)是偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2x-1)1
2
3
4
解 (1)∵m2-2m+2=1,∴m=1.
∵f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,
∴5k-2k2>0,
∴0当k=1时,f(x)=x3,当k=2时,f(x)=x2.
∵f(x)为偶函数,∴k=2,即f(x)=x2.
(2)∵f(2x-1)∴f(|2x-1|)∴|2x-1|<|2-x|,即(2x-1)2<(2-x)2,
解得-1