2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时） 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系
第 二 章 直线和圆的方程
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.理解直线和圆的三种位置关系．
2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
3.会用代数法来判断直线与圆的位置关系
4.能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题．
情景导入
“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.
这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。
直线与圆的位置关系
探究1：怎样用几何法即用圆心到直线的距离d同圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系？
提示：利用圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断它们之间的位置关系如下：
若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系:几何法
位置关系 相离 相切 相交
图象
交点个数
d与r的关系
0个
1个
2个
直线与圆的位置关系
探究2：直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示：联立直线l和圆C的方程得方程组，
联立方程组消去x(或y)得一元二次方程。当方程组无解即Δ<0时，直线与圆相离；方程组有一解即Δ＝0时，直线与圆相切；方程组有两解即Δ>0时，直线与圆相交．　　
直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
判定 方法 Δ 0 Δ 0 Δ 0
＞
＝
＜
两
一
零
直线与圆的位置关系:代数法
直线与圆的位置关系
1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交
A
2.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
B
直线与圆的位置关系
例1:已知直线l:3x+y－6=0和圆C:x2+y2－2y－4=0，判断直线l与圆C的位置关系;如果相交，求出它们交点的坐标.
解:方法一:由直线与圆的方程得方程组
消去y，得x2－3x+2=0.
∵Δ=(－3)2－4×1×2=1>0，
∴直线与圆相交，有两个交点.
由方程组解得交点坐标为(2，0)，(1，3).
直线与圆的位置关系
解:方法二:圆的方程可化为x2+(y－1)2=5，其圆心为(0，1)，半径为.圆心到直线l的距离为d，
∴直线与圆相交，有两个交点.
由直线与圆的方程得方程组
解得交点坐标为(2，0)，(1，3).
直线与圆的位置关系
例2 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点
分析:法一可联立方程组,由方程组解的个数判断,
法二也可求出圆心到直线的距离,通过与半径比较大小判断.
直线与圆的位置关系
解:(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,
得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判断方法
直线与圆的位置关系反映在三个方面:
一是点到直线的距离与半径大小的关系;
二是直线与圆的公共点的个数;
三是两方程组成的方程组解的个数.
因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.
圆的弦长
求直线与圆相交时弦长的两种方法：
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2.即|AB|＝2 .一般地出现直线与圆相交的弦长问题常用几何法．
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝，其中k为直线l的斜率．此代数法运算较麻烦．
圆的弦长
例1. 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
解：法一：由得交点A(1,3)，B(2,0)，
∴弦AB的长为|AB|＝＝ .
法二：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标(0,1)，半径r＝，点(0,1)到直线l的距离为d＝＝，所以半弦长为 ＝＝＝，所以弦长|AB|＝.
圆的弦长
练习.若过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，
则直线l的方程为________．
解：将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25.
①直线l斜率不存在，则直线方程为x＝－3.圆心到该直线距离为3，又圆半径为5，所以求得弦长为8，不合题意，舍去．
②直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.
圆心到直线l的距离为d＝，
则＋(2)2＝25.解得k＝－ 或k＝2.
所求直线的方程为y＋3＝－(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)，即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0.
圆的切线
切线方程的求法
1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为- ,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.
2.求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解
设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出.
圆的切线
例2.若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
【解析】∵(2－1)2＋(3＋2)2>1，∴点P在圆外．
法一：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0，因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以 ＝1，所以k＝.
所以直线l的方程为y－3＝ (x－2)，
即12x－5y－9＝0.
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
圆的切线
练习： 过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程.
课堂小结