2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时） 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系
第 二 章 直线和圆的方程
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
情景导入
“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.
这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。
直线与圆的位置关系:几何法
位置关系 相离 相切 相交
图象
交点个数
d与r的关系
0个
1个
2个
复习导入
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
判定 方法 Δ 0 Δ 0 Δ 0
＞
＝
＜
两
一
零
直线与圆的位置关系:代数法
复习导入
直线与圆的位置关系应用
思考1：用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？
提示：用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系．
直线与圆的位置关系应用
思考2：用坐标方法解决平面几何问题的步骤是什么？
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”为：
(1)建立适当的___________________，用坐标和方程表示问题中的________，将平面几何问题转化为________；
(2)通过代数运算，解决________；
(3)把代数运算结果________________________．
平面直角坐标系　
几何元素　
代数问题
代数问题
“翻译”成几何结论并作答
直线与圆的位置关系应用
例1：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度m，拱高m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01 m）.
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
直线与圆的位置关系应用
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是,圆的半径是 ,则圆的方程是.
因为所以.
把点的横坐标代入圆的方程，
把代入圆的方程得方程组
解得
所以圆的方程是
直线与圆的位置关系应用
例2.一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是否会有触礁危险

港口
x
O
y

轮船

解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0, 3)，轮船所在位置的坐标为(4, 0).
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
轮船航线所在直线l的方程为
联立直线l与圆O的方程，消去y，得
由△<0，可知直线l与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险.
直线与圆的位置关系应用
练习.已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，求B城市处于危险区内的时间．
【解】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动，点B到AC的距离为
.
x
y
C
A
B
则射线AC被以B为圆心，以30 km为半径的圆截得的弦长为
所以B城市处于危险区内的时间为t＝1(h).
圆的最值
例1.求过直线2x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．
[解析]　设过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0与直线2x＋y＋4＝0的交点的圆系方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，整理得x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0.
要使圆的面积最小，只需半径长r最小．
∵r＝＝ ≥ ＝ ，
∴当λ＝ 时，半径长r最小，此时圆的方程为x2＋y2＋x－y＋＝0，
即2＋2＝ .
圆的最值
练习.一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，
则这个圆的方程是____.
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋λ(x＋2y－3)＝0，
即x2＋y2＋(λ－2)x＋2λy－3λ＝0.
依题意， －＝0，λ＝2.
故圆的方程为x2＋y2＋4y－6＝0.
圆的最值
圆的最值
圆的最值
圆的最值
圆的最值
－13圆的最值
总结
课堂小结
1.直线与圆的关系的应用
2.与圆有关的最值问题