4.1.2无理数指数幂及其运算 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第4章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.2 无理数指数幂及其运算
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解无理数指数幂的概念； 1.数学抽象素养.
2.掌握实数指数幂与根式之间的互化、化简、求值； 2.运算素养.
3.掌握实数指数幂的运算性质. 3.运算素养.
新知导入
一、温故知新
1.根式定义：
2.n次方根的性质
(1) n为奇数：正数的奇次方根是正数;负数的奇次方根是负数.
(2)n为偶数：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根.
零的任何次方根都是零.
3.三个公式:
新知导入
4.分数指数幂的意义：
(1)正数的正分数指数幂：
(2)正数的负分数指数幂：
(3)规定: 0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有意义.
5.有理指数幂的运算性质
新知探究
x的取值范围从整数拓展到了有理数，那么，当指数x是无理数时，的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，它有怎样的运算性质？
根据的不足近似值x和过剩近似值y(如下表)利用计算工具计算相应的5x,5y的近似值填入下表,观察变化趋势，你有何发现？
无理数指数幂
新知探究
的不足近似值x 的近似值 的过剩近似值y 的近似值
1.4 1.5
1.41 1.42
1.414 1.415
1.4142 1.4143
1.41421 1.41422
1.414213 1.414214
1.4142135 1.4142136
1.4142136 1.41421357
1.414213562 1.414213563
… …
可以发现，当 的不足近似值x和过剩近似值y逼近 时， 和 都趋向于同一个数，这个数就是 ，也就是说， 时一串逐渐增大的有理数指数幂 和另一串逐渐减小的有理数指数幂 逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.用下图表示如下.
新知探究
思考 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？
一般地，无理数指数幂 (a＞0，α为无理数)是一个确定的实数．这样，我们就将指数幂 (a＞0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数．
借助计算器（计算机）重复刚才的过程．可以得到也是一个实数.
明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从有理数拓展到了实数．由整数 有理数 无理数即实数.
新知形成
有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质．
⑴;
⑵;
⑶.
注意：特别强调底数a>0，如果a<0，比如，无法判断其值是1还是－1.
新知形成
【例1】由下面的两串有理数幂逐渐逼近,可得到的数为( )
A. B. C. D.4
C
新知讲解
【例2】求下列各式的值：
⑴;
解：原式==
==576.
(2) (a>0)；
⑵;
解：原式== =1 .
注意：(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同.
(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.
新知讲解
【例3】求解下列各式：
⑴化简： ；
⑵若x=,y=,则= .
解：原式=
==
解：原式=
==
新知探求
【例4】（1）(1)如果45x＝3,45y＝5，那么2x＋y＝______.
解：由45x＝3，得(45x)2＝9.又45y＝5，
则452x×45y＝9×5＝45＝451，即452x＋y＝451，
所以2x＋y＝1.
新知探求
⑵已知,求下列各式的值：
① ; ②; ③
解：
①将 两边平方，得
②将两边平方，得
，即
③令t=,两边平方，得
=
所以,即 .
初试身手
1.=( )
A. B. C. D.
2.化简= .
3.设,且,则等于（ ）
A.10 B. C.20 D.100
解：原式=，故选A.
A
解：原式==1.
解：由得,,∴10=
,故选A.
B
1
初试身手
4.化简= .
5.已知a=,b=,c=,试比较a,b,c的大小.
解：原式=
.
解：∵a=,b=,c=,
又∵125>123>121，∴,即a>c>b.
初试身手
6.已知,求的值.
解：∵,
原式=
=.
课堂小结
1.回顾本节课，我们是如何将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的？谈谈实数指数幂运算性质有哪些特点？
2.回顾本单元的两小节内容，你能梳理画出本单元的研究内容和方法的思维导图吗？
实数指数幂的运算性质，与整数指数幂的运算性质是一致的，也就是说将指数的范围从整数拓展到实数后，其运算性质保持不变．其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化是以降低一个运算级来实现的．
．
课堂小结
3.具体知识识清单：
(1)无理数指数幂的运算. (2)实际问题中的指数运算.
(3)实数指数幂的综合运用.
4.方法归纳：整体代换法.
5.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
作业布置
作业：p11. 习题4.1 6，7，8.
补充：
1.已知,,则的值为（ ）
A. B.2 C. D.6
2.已知,,求的值.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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