21.1 一元二次方程 同步练习
一、单选题
1.(2022秋·河南平顶山·九年级统考期末)下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.(2022秋·河南开封·九年级统考期末)关于x的方程是一元二次方程,则( )
A. B. C. D.
3.(2022秋·河南洛阳·九年级期末)已知是一元二次方程的一个根,则的值是( )
A. B. C., D.
4.(2022秋·河南郑州·九年级统考期末)一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是( )
A.和 B. C. D.
5.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)已知是关于x的一元二次方程的一个根,则k的值为( )
A.4 B.-4 C.±1 D.±4
6.(2022秋·河南周口·九年级统考期末)已知关于x的一元二次方程有一个根是,则k的值为( )
A. B. C.2 D.4
7.(2022秋·河南许昌·九年级统考期末)若m是一元二次方程x2-3x-1=0的根,则代数式3m-m2的值为( )
A.0 B.-1 C.1 D.±1
8.(2022秋·河南南阳·九年级期末)若关于的一元二次方程一个根为,则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
9.(2022秋·河南周口·九年级统考期末)已知m是方程的一个根,那么代数式的值等于( )
A.1 B.0 C. D.2
10.(2022秋·河南平顶山·九年级统考期末)如果一个一元二次方程的根是x1=x2=1,那么这个方程是
A.(x+1)2=0
B.(x-1)2=0
C.x2=1
D.x2+1=0
二、填空题
11.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)若关于x的一元二次方程的一个根是0,则a的值为 .
12.(2022秋·河南开封·九年级统考期末)已知:是关于x的一元二次方程,则 .
13.(2022秋·河南南阳·九年级期末)关于x的方程(m﹣2)x|m|+mx﹣1=0是一元二次方程,则m= .
14.(2022秋·河南信阳·九年级统考期末)若关于的方程有一个根是0,则的值为 .
15.(2022秋·河南信阳·九年级统考期末)若m是方程的一个根,则的值为 .
16.(2022秋·河南周口·九年级统考期末)已知是一元二次方程的一个根,则的值为 .
17.(2022秋·河南郑州·九年级统考期末)已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1=0的根,求代数式a2﹣2015a﹣的值为 .
18.(2022秋·河南驻马店·九年级统考期末)m是方程x2+x-1=0的根,则式子2m2+2m+2019的值为 .
19.(2022秋·河南驻马店·九年级统考期末)已知m是方程x2﹣5x﹣6=0的一个根,则代数式11+5m﹣m2的值是 .
参考答案:
1.B
【分析】根据一元二次方程的定义,对各个选项逐个分析,即可得到答案.
【详解】是一元三次方程,故选项A不符合题意;
是一元二次方程,故选项B符合题意;
是二元二次方程,故选项C不符合题意;
∵
∴经移项并合并同类项,得:,即
∴是一元一次方程,故选项D不符合题意;
故选:B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识;解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.C
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零得到a-1≠0,由此求得a的取值范围.
【详解】依题意得:a-1≠0,
解得a≠1.
故选:C.
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
3.B
【分析】因为这是一元二次方程,所以二次项的系数不能为零,即a-2≠0,可得:a≠2,将x=1代入方程,化简方程可得一个关于a的方程,解出a的方程,最后结合之前的条件,求出a的值.
【详解】解:a-2≠0,可得:a≠2,
将x=1代入方程中可得:(a-2)+(a2-3)-a+1=0,
化简上式,可得:a2-4=0,
解得:a=±2,
综上所述可得:a=-2,
故选B.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念和性质,解此题的要点在于要知道一元二次方程的性质,要把x的值代入方程,求出a的值,然后根据一元二次方程的概念求出a的范围,最后得出a的值.
4.D
【分析】根据的形式去判断即可.
【详解】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是,
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念,熟练化成一元二次方程的一般形式是解题的关键.
5.A
【分析】将x=0代入方程计算求出k的值即可.
【详解】因为x=0是一元二次方程的一个根,
所以,
解得.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根,理解一元二次方程的根的定义是解题的关键.
6.B
【分析】把一元二次方程的根代入一元二次方程中,即可求得k的值.
【详解】∵关于x的一元二次方程有一个根是,
∴,
解得:k= 2,
故选:B.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的概念,理解一元二次方程解的含义是本题的关键.
7.B
【分析】将x=m代入方程x2-3x-1=0可得:m2-3m=1,从而可求出答案.
【详解】解:∵m是一元二次方程x2-3x-1=0的根,
∴将x=m代入x2-3x-1=0得,
m2-3m=1,
∴3m-m2=-(m2-3m)=-1,
故选:B.
【点睛】本题考查一元二次方程,解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义.
8.B
【分析】把代入方程即可得到正确答案.
【详解】解:把代入方程得.
故选:B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
9.A
【分析】把x=m代入方程得:,进而问题可求解.
【详解】解:把x=m代入方程得:,
∴;
故选A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解,熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键.
10.B
【分析】分别求出四个选项中每一个方程的根,即可判断求解.
【详解】A、(x+1)2=0的根是:x1=x2=-1,不符合题意;
B、(x-1)2=0的根是:x1=x2=-1,符合题意;
C、x2=1的根是:x1=1,x2=-1,不符合题意;
D、x2+1=0没有实数根,不符合题意;
故选B.
11.1
【分析】将代入方程中结合一元二次方程的二次项系数不为即可得出答案.
【详解】解:将代入方程中得,
∴,
∵,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程解的定义,熟记相关定义是解本题的关键.
12.-3
【分析】根据一元二次方程的定义即得出且,解出m即可.
【详解】根据一元二次方程的定义可得: ,
解得:.
故答案为:-3.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义.掌握一元二次方程必须满足的两个条件:未知数的最高次数是2;二次项系数不为0是解题关键.
13.-2
【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m的方程或不等式,求出m的值即可.
【详解】解:∵关于x的方程(m﹣2)x|m|+mx﹣1=0是一元二次方程,
∴,
解得m=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义,熟知只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键.
14.1
【分析】根据一元二次方程解的定义,即可求解.
【详解】解:∵方程有一个根是0,
∴,
解得:.
故答案为:1
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义,熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键.
15.2023
【分析】由题意知,即,再将整理并将整体代入计算求解即可.
【详解】解:由题意知:,即,
∴
=2023.
故答案为:2023.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识,解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义.
16.2b或2(a+c)
【分析】将x=1代入求得a,b,c的关系式,即可解答;
【详解】解:由题意得:a-b+c=0,a+c=b,
∴a+b+c=2b=2(a+c),
故答案为:2b或2(a+c)
【点睛】本题考查了方程的解(代入方程满足等式关系),代数式求值;掌握方程解的意义是解题关键.
17.
【分析】利用方程解的定义得到,然后利用整体代入的方法计算代数式的值.
【详解】解:是方程的根,
,
,
原式
.
故答案是:.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义,解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
18.2021
【分析】首先由已知可得,即,然后利用整体代入的方法计算的值.
【详解】解:∵m是方程的根,
∴,
∴,
∴,
故答案为:2021.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及求代数式的值,注意解题中的整体代入思想.
19.5
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2-5m=6,然后把m2-5m=6代入11+5m-m2中进行整式的运算即可.
【详解】解:∵m是方程x2﹣5x﹣6=0的一个根,
∴m2﹣5m﹣6=0,
∴m2﹣5m=6,
∴11+5m﹣m2=11﹣(m2﹣5m)=5.
故答案为:5.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.利用整体代入的方法解决此类问题.21.2 解一元二次方程 同步练习
一、单选题
1.(2022秋·河南商丘·九年级统考期末)用配方法解下列一元二次方程,其中应在方程两边同时加上16的是( )
A.x2+32x=3 B.x2﹣4x=5 C.x2+8x=1 D.x2﹣16x=4
2.(2022秋·河南许昌·九年级统考期末)用配方法解方程时,配方结果正确的是( )
A. B.
C. D.
3.(2022秋·河南平顶山·九年级统考期末)把一元二次方程化成的形式,则,的值分别是( )
A.,3 B.,15 C.3,3 D.3,15
4.(2022秋·河南新乡·九年级统考期末)定义运算:.例如:.则方程的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根
5.(2022秋·河南周口·九年级统考期末)一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
6.(2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末)已知,,且,则( )
A.2 B. C. D.0
7.(2022秋·河南周口·九年级期末)将关于的一元二次方程变形为,就可以将表示为关于的一次多项式,从而达到“降次”的目的,又如…,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”,已知:,且,则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
8.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)一元二次方程有两个相等的实数根,则k的值为 .
9.(2022秋·河南焦作·九年级统考期末)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
10.(2022秋·河南信阳·九年级统考期末)当 时,代数式与的值互为相反数.
11.(2022秋·河南三门峡·九年级统考期末)方程的解是 .
12.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)一元二次方程的解为 .
13.(2022秋·河南新乡·九年级统考期末)已知是方程的实数根,则的值为 .
14.(2022秋·河南平顶山·九年级统考期末)设,是一元二次方程的两个根,则 .
15.(2022秋·河南平顶山·九年级统考期末)设a,b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为 .
三、解答题
16.(2022秋·河南驻马店·九年级统考期末)解方程:x2﹣4x﹣7=0.
17.(2022秋·河南信阳·九年级统考期末)解方程:
(1);
(2).
18.(2022秋·河南漯河·九年级统考期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)当k取满足条件的最小整数时,求出方程的根.
19.(2022秋·河南三门峡·九年级统考期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求出满足m的取值范围的最小整数值m,并求出此时方程的两根.
20.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)解方程:
(1);
(2).
21.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)已知关于的一元二次方程,其中为实数.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)试写出三个的值,使一元二次方程有整数解,并简要说明理由.
22.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)已知关于x的方程ax2+(a﹣3)x﹣3=0(a≠0).
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有两个不相等的负整数根,求整数a的值.
23.(2022秋·河南郑州·九年级统考期末)解方程:
(1)
(2)
24.(2022秋·河南三门峡·九年级统考期末)已知关于x的方程.
(1)求证:无论m取何值,这个方程总有实数根;
(2)若等腰的一腰长,另两边b、c恰好是这个方程的两个根.求的周长.
25.(2022秋·河南郑州·九年级期末)先化简:,再求值,其中x满足方程.
26.(2022秋·河南平顶山·九年级统考期末)已知:关于的方程.
(1)不解方程,判别方程根的情况,并说明理由;
(2)若,是该方程的两个实数根,且,求的值.
27.(2022秋·河南周口·九年级统考期末)已知关于x的一元二次方程有两个实数根,.
(1)求m的取值范围;
(2)当时,求另一个根的值.
28.(2022秋·河南商丘·九年级统考期末)已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根是,求方程的另一个根;
(2)利用根的判别式判断方程根的情况;
(3)若该一元二次方程的两个根分别为,当时,求m的值.
参考答案:
1.C
【分析】根据配方时方程两边加上一次项系数一半的平方判断即可.
【详解】解:A.用配方法解一元二次方程x2+32x=3时,应当在方程的两边同时加上256,不合题意;
B.用配方法解一元二次方程x2 4x=5时,应当在方程的两边同时加上4,不合题意;
C.用配方法解一元二次方程x2+8x=1时,应当在方程的两边同时加上16,符合题意;
D.用配方法解一元二次方程x2 16x=4时,应当在方程的两边同时加上64,不合题意;
故选:C.
【点睛】此题考查了解一元二次方程—配方法,熟练掌握配方法是解本题的关键.
2.A
【分析】根据完全平方差公式即可求解.
【详解】解:,
即,
故选:A.
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程,熟练掌握用完全平方差公式进行配方过程是解题的关键.
3.A
【分析】将常数项移到方程的右边,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后,继而得出答案.
【详解】解:∵x2-6x+6=0,
∴x2-6x=-6,
则x2-6x+9=-6+9,即(x-3)2=3,
∴a=-3,b=3,
故选:A.
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
4.A
【分析】先利用新定义得到方程,再计算根的判别式的值,然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况.
【详解】解:方程化为,
∵,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:A.
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系,当时,方程有两个不相等的两个实数根;当时,方程有两个相等的两个实数根;当时,方程无实数根.上面的结论反过来也成立.
5.A
【分析】根据判别式的符号,进行判断即可.
【详解】解:∵,,
∴;
∴方程有两个不相等的实数根;
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系.熟练掌握,方程有两个不相等的实数根,是解题的关键.
6.B
【分析】根据题中条件可知,是一元二次方程的两根,解这个一元二次方程即可得到的值,代入代数式求值即可.
【详解】解:,,且,
是一元二次方程的两根,
解得,
,
故选:B.
【点睛】本题考查代数式求值,涉及到一元二次方程的解、解一元二次方程和平方差公式等知识点,熟练掌握相关概念是解决问题的关键.
7.C
【分析】先求得,代入即可得出答案.
【详解】∵,
∴,,
∴
=
=
=
=
=,
∵,且,
∴,
∴原式=,
故选:C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是会将四次先降为二次,再将二次降为一次.
8.1
【分析】根据判别式的意义得到,然后解关于的方程即可.
【详解】解:根据题意得,即,
解得:.
故答案为:1.
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.
9.
【分析】根据一元二次方程根的判别式,即可求解.
【详解】解:∵方程有两个不相等的实数根,
∴,
解得:.
故答案为:
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程,当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根是解题的关键.
10.或
【分析】根据互为相反数的定义列方程式,然后把方程化为一般式后,解一元二次方程即可.
【详解】∵代数式与的值互为相反数,
∴
整理:
∴
∴,
∴当或2时,代数式与的值互为相反数.
故答案为:或.
【点睛】本题考查了相反数的定义和一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键.
11.
【分析】因式分解法解方程即可.
【详解】解:,
,
则,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查解一元二次方程.解题的关键是掌握因式分解法解方程.
12.
【分析】先设,解出y的值,进而求出方程的解即可.
【详解】解:设
,
,
,
解得:,,
故,,
,,
故答案为:.
【点睛】本题考查解一元二次方程,能够选择合适的方法解方程是解决本题的关键.
13.
【分析】由根与系数关系找出,即可求出答案.
【详解】解:∵是方程的两根,
∴
∴,
故答案为.
【点睛】本题考查了根与系数的关系,根据根与系数关系找出,是解决本题的关键.
14.
【分析】先根据根与系数的关系写出,再将变形,代入计算即可.
【详解】,是一元二次方程的两个根
故答案为:.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握知识点是解题的关键.
15.
【分析】由于a2+2a+b=(a2+a)+(a+b),故根据方程的解的意义,求得(a2+a)的值,由根与系数的关系得到(a+b)的值,即可求解.
【详解】解:∵a,b是方程x2+x 2021=0的两个实数根,
∴a2+a 2021=0,即a2+a=2021,a+b== 1,
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2021 1=,
故答案为:.
【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系,要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形.
16.x1=2+,x2=2﹣.
【分析】移项后配方得出x2-4x+4=7+4,推出(x-2)2=11,开方后得出方程x-2=±,求出方程的解即可.
【详解】解:移项得:x2﹣4x=7
配方得:x2﹣4x+4=7+4
即(x﹣2)2=11
开方得:x﹣2=±
∴原方程的解是:x1=2+,x2=2﹣.
【点睛】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用,关键是配方后得出(x-2)2=11,题目比较典型,难度适中.
17.(1)
(2),
【分析】(1)移项整理后,利用直接开平方法求解即可;
(2)方程整理后,利用公式法解方程即可.
【详解】(1)解:
解得:;
(2)解:
整理得:
∴a=1,b=2,c=-4
∴
∴
解得:,.
【点睛】本题考查了解一元二次方程,能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键.
18.(1)且
(2),
【分析】(1)根据一元二次方程的定义及根的判别式Δ>0,即可得出关于k的一元一次不等式组,解之即可得出k的取值范围;
(2)依照题意,找出k值,进而可得出原方程,解之即可得出结论.
【详解】(1)∵关于x的一元二次方程(k+1)x2-2kx+k-2=0有两个不相等的实数根,
∴,
解得:k>-2且k≠-1,
∴实数k的取值范围为k>-2且k≠-1.
(2)∵k>-2且k≠-1,
∴满足条件的k的最小整数值为0,此时原方程为x2-2=0,
解得:.
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元二次方程,解题的关键是:(1)根据一元二次方程的定义及根的判别式Δ>0,找出关于k的一元一次不等式组;(2)根据题意,确定k的值.
19.(1)m>-2
(2)-1,,
【分析】(1)利用一元二次方程根的判别式计算即可;
(2)根据题意结合(1)所求的m的取值范围,可确定m的值,代入原方程,再解方程即可.
【详解】(1)∵关于x的一元二次方程有两个不同实数根,
∴,
解得:m>-2;
(2)满足m>-2的最小整数是,
把代入方程,得:,
解得:,.
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与其判别式的关系,解一元二次方程.掌握一元二次方程根的情况与其判别式的关系:①当时,方程有两个不相等的实数根;②当方程有两个相等的实数根;③当时,方程没有实数根是解题关键.
20.(1),
(2)原方程无实数根
【分析】(1)运用配方法解一元二次方程即可;
(2)运用公式法解一元二次方程即可.
【详解】(1)解:,
,
,
,
∴,
∴,;
(2)∵,
∴,
∴原方程无解.
【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键.
21.(1)见解析
(2)0,2,,理由见解析
【分析】对于(1),先求出b2-4ac,再判断即可;
对于(2),根据求根公式求出方程的解,再根据题意判断.
【详解】(1)证明:原方程整理,得x2-5x+4-p2=0,
∴b2-4ac=(-5)2-4×(4-p2)=4p2+9>0,
∴该方程有两个不相等的实数根;
(2)0,2,,理由如下:
原方程的解为.
∵一元二次方程有整数解,
∴为大于1的奇数,即3或5或7或···,
当时,;
当时,;
当时,,
···
所以p的值为0,2,,原方程有整数解.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,一元二次方程根与系数的关系等,掌握b2-4ac与一元二次方程的解的关系是解题的关键.
22.(1)见详解;(2)a=-1.
【分析】(1)先判断出方程为一元二次方程,再判断出,问题得证;
(2)先解方程得,根据方程有负整数根且a为整数,求出a=-1或a=-3,根据方程的两个负整数根不相等,求出a=-1.
【详解】解:(1)证明:∵a≠0,
∴原方程为一元二次方程,
∴,
∴方程总有两个实数根;
(2)解方程ax2+(a﹣3)x﹣3=0得,
∵方程有两个负整数根,且a为整数,
∴a=-1或a=-3,
当a=-1时,,
当a=-3时,
∵方程的两个负整数根不相等,
∴a≠-3.
∴a=-1.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式,方程的解等知识,熟知一元二次方程根的判别式并判断根的情况,正确解出含字母系数的方程是解题关键.
23.(1)
(2)
【分析】(1)根据因式分解法解一元二次方程即可求解;
(2)根据公式法解一元二次方程即可求解.
【详解】(1)解:,
即,
解得:;
(2)解:,
∵,
∴,
解得:.
【点睛】本题考查了解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
24.(1)见解析
(2)14
【分析】(1)求出判别式的符号,即可得证;
(2)根据等腰三角形两腰相等,得到方程有一个根为6,代入方程,求出的值,进而求出另外一个根,即可得解.
【详解】(1)证明:∵
,
∴无论m取何值,这个方程总有实数根;
(2)解:∵等腰的一腰长,
∴方程有一个根为6,
将代入原方程,得:,
解得:,
∴原方程为,
解得:.
∵2、6、6能组成三角形,
∴该三角形的周长为.
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系,以及等腰三角形的定义,一元二次方程的解,解一元二次方程.熟练掌握相关知识,是解题的关键.
25.,
【分析】先化简题目中的式子,然后对进行求解,再取满足条件的值进行求解.
【详解】解:
,
,
,
解得:,
,即,
原式.
【点睛】本题考查分式的化简求值,一元二次方程,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
26.(1)方程有两个不相等的实数根,理由见解析;
(2),.
【分析】(1)直接根据根的判别式计算即可;
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,代入化简以后的等式,即可求得m的值.
【详解】(1)依题意得:.
方程有两个不相等的实数根.
(2)由一元二次方程的根与系数的关系可得:,
.
,
解得,.
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系,公式法解一元二次方程,能熟记根的判别式和根与系数的内容是解此题的关键.
27.(1)
(2)
【分析】(1)根据题意得,解不等式即可求解;
(2)根据根与系数的关系得,根据,即可求解.
【详解】(1)解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
解得,
所以m的取值范围为;
(2)解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∵,
∴.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系,掌握以上知识是解题的关键.
28.(1)
(2)见解析
(3)3
【分析】(1)将代入中,得,再解方程即可;
(2)根据进行判断即可;
(3)根据根与系数的关系代入求值即可.
【详解】(1)∵一元二次方程的一个根是
∴将代入中,得,解得
∴解一元二次方程,得或
∴方程的另一个根为
(2)由题意知,
∴,
∵
∴当,即时,方程无实数根;
当,即时,方程有两个相等的实数根,
当,即且时,方程有两个不相等的实数根
(3)∵, ,
∴,可化为 解得或
由(2)可得且时,方程有两个实数根
∴.
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程,一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1.(2022秋·河南信阳·九年级统考期末)有一人患了流感,经过两轮传染后,共有225人患了流感,设每轮传染中平均每人传染的人数为x人,则可列方程( )
A. B. C. D.
2.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,共有多少支队伍参加比赛?( )
A.8 B.10 C.7 D.9
3.(2022秋·河南平顶山·九年级统考期末)电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事,一上映就获得全国人民的追捧,第一天票房约3亿元,以后每天票房按相同的增长率增长,三天后累计票房收入达10亿元,若把增长率记作x,则方程可以列为( )
A. B.
C. D.
4.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)随着国家防疫政策的调整,各地正在有序恢复正常生产生活秩序,某商店今年月份的销售额仅为3万元,逐步恢复正常生产生活秩序后,月份的销售额为万元,设这两个月销售额的月平均增长率为x,根据题意列方程,以下所列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.(2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末)小区有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域进行绿化(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为xm,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.(2022秋·河南三门峡·九年级统考期末)在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( )
A.x2+130x﹣1400=0 B.x2+65x﹣350=0
C.x2﹣130x﹣1400=0 D.x2﹣65x﹣350=0
7.(2022秋·河南商丘·九年级统考期末)如图,是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).如果圈出的9个数中,最小数x与最大数的积为161,那么根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
8.(2022秋·河南漯河·九年级统考期末)小明同学是一位古诗文的爱好者,在学习了一元二次方程这一章后,改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》:“大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿同.哪位学子算得快,多少年华数周瑜?”假设周瑜去世时年龄的十位数字是,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
9.(2022秋·河南驻马店·九年级统考期末)如图1,矩形中,点为的中点,点沿从点运动到点,设,两点间的距离为,,图2是点运动时随变化的关系图象,则的长为( )
A. B. C. D.
10.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)某中学组织九年级学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,总共安排15场比赛,则共有多少个班级参赛( )
A.6 B.5 C.4 D.3
11.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)从前有一个醉汉拿着竹竿进城,横拿竖拿都进不去,横着比城门宽米,竖着比城门高米,一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了,求竹竿的长度.若设竹竿长x米,则根据题意,可列方程( )
A. B.
C. D.
二、填空题
12.(2022秋·河南商丘·九年级统考期末)某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是 91.设每个支干长出 x 个小分支,则可得方程为 .
13.(2022秋·河南三门峡·九年级统考期末)随着国内新能源汽车的普及,为了适应社会的需求,全国各地都在加快公共充电桩的建设,某省2018年公共充电桩的数量为2万个,2020年公共充电桩的数量为2.88万个.求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率.设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x,可列方程为 .
14.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)如图,在一块长15m、宽10m的矩形空地上,修建两条同样宽的相互垂直的道路,剩余分栽种花草,要使绿化面积为126m2,则修建的路宽应为 米.
15.(2022秋·河南商丘·九年级统考期末)一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根,则该等腰三角形的周长是 .
16.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)某种植基地2016年蔬菜产量为80吨,2018年蔬菜产量达到100吨,求蔬菜产量的年平均增长率,设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为 .
三、解答题
17.(2022秋·河南驻马店·九年级统考期末)新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎.2020年2月7日,国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”命名为“新型冠状病毒肺炎”,简称“新冠肺炎”.2021年10月30日,张文宏教授表示,未来全国和全世界都接种疫苗后,人们还是应该尽量减少聚集,在室内拥挤的地方戴口罩,加强通风.2020年1月,武汉某小区有一人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,求每轮传染中平均一个人传染了多少人?
18.(2022秋·河南新乡·九年级统考期末)某种商品的标价为80元/件,经过两次降价后的价格为64.8元/件,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该商品每次降价的百分率.
(2)已知该商品进价为60元/件,经过市场调研发现,当以90元/件售出时,平均每天能售出20件,若每件降价2元,则每天可多售出10件,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每天盈利1125元,则每件商品应降价多少元?
19.(2022秋·河南南阳·九年级统考期末)南阳世界月季大观园,研发了一款纪念品,每件成本为元,投放景区内进行销售,规定销售单价不低于成本且不高于元,销售一段时间调研发现,每天的销售数量(件)与销售单价(元/件)满足一次函数关系,部分数据如表所示:
销售单价(元/件) 35 40 45
每天销售数量(件) 90 80 70
(1)直接写出与的函数关系式;
(2)若每天销售所得利润为元,那么销售单价应定为多少元?
20.(2022秋·河南郑州·九年级统考期末)一款服装每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,为了扩大销售量,增加利润,经市场调查发现,如果每件服装降价1元,那么平均每天可多售出2件.
(1)设每件衣服降价元,则每天销售量增加______件,每件商品盈利______元(用含的代数式表示);
(2)每件服装降价多少元时,商家平均每天能赢利1200元;
(3)商家能达到平均每天赢利1800元吗?请说明你的理由.
21.(2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末)某童装专卖店在销售中发现,一款童装每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,为了迎接“十一”国庆节,商店决定采取适当的降价措施,以扩大销售量,增加利润,经市场调查发现,如果每件童装降价1元,那么平均可多售出2件.
(1)设每件童装降价x元时,每天可销售_______________件,每件盈利____________元;(用x的代数式表示)
(2)每件童装降价多少元时,平均每天赢利1200元.
(3)要想平均每天赢利2000元,可能吗?请说明理由.
参考答案:
1.C
【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人,那么经过第一轮后有(1+x)人患了流感,经过第二轮后有[(1+x)+x(1+x)]人患了流感,再根据经过两轮传染后共有225人患了流感即可列出方程.
【详解】解:依题意得(1+x)+x(1+x)=225.
故选:C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的运用,解此类题关键是根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数.
2.B
【分析】设有x支队伍,根据题意,得,解方程即可.
【详解】设有x支队伍,根据题意,得,
解方程,得x1=10,x2=-9(舍去),
故选B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
3.D
【分析】设平均每天票房的增长率为,根据三天后累计票房收入达10亿元,即可得出关于的一元二次方程,此题得解.
【详解】解:设平均每天票房的增长率为,
根据题意得:.
故选:D.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
4.C
【分析】利用商店月份的销售额月份的销售额(这两个月销售额的月平均增长率为)2,即可得出关于的一元二次方程.
【详解】解:依题意可得:,
故选:C.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解本题的关键.
5.D
【分析】可设原正方形的边长为x m,则剩余的空地长为,宽为.根据长方形的面积公式可列出方程.
【详解】解:设原正方形的边长为,依题意有
,
化简后,得,
故选:D.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识,应熟记长方形的面积公式.另外,求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键.
6.B
【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽,利用面积公式,即可得到关于的方程.
【详解】解:由题意可知:挂图的长为,宽为,
,
化简得:x2+65x﹣350=0,
故选:B.
【点睛】本题主要是考查了一元二次方程的实际应用,熟练根据等式列出对应的方程,是解决该类问题的关键.
7.B
【分析】根据日历上数字规律得出,圈出的9个数,最大数与最小数的差为16,以及利用最大数与最小数的积为161,列出方程即可.
【详解】解:根据图表可以得出,圈出的9个数,最大数与最小数的差为16,设最小数为,则最大数为,
根据题意得出:,
故选:B.
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键.
8.C
【分析】根据题意可得个位数为x+3,根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可;
【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是,则个位数上的数字是x+3,
由题意可得:.
故答案选C.
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,准确列式是解题的关键.
9.C
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况,得到AB和BE之间的关系以及,再利用勾股定理求解即可得到BE的值,最后利用中点定义得到BC的值.
【详解】解:由图2可知,当P点位于B点时,,即,
当P点位于E点时,,即,则,
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵点为的中点,
∴,
故选:C.
【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用,涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容,解决本题的关键是能正确理解题意,能从图象中提取相关信息,能利用勾股定理建立方程等,本题蕴含了数形结合的思想方法.
10.A
【分析】设共有x个班级参赛,根据第一个球队和其他球队打场球,每个球队都打场球,并且都重复一次,根据计划安排15场比赛即可列出方程求解.
【详解】解:设共有x个班级参赛,根据题意得:
,
解得:,(不合题意,舍去),
则共有6个班级参赛,
故选:A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,关键是准确找到描述语,根据等量关系准确的列出方程.
11.B
【分析】用竹竿表示出门框的边长,根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可.
【详解】设竹竿的长为x米.
由题意得.
故选:B.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用;得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键.
12.x2+x+1=91
【详解】设每个支干长出x个小分支,每个小分支又长出x个分支,
∴又长出个分支,则共有+x+1个分支,
∴可列方程得:+x+1=91.
故答案为:+x+1=91.
13.2(1+x)2=2.88
【分析】设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x,根据该省2018年及2020年公共充电桩的数量,即可得出关于x的一元二次方程.
【详解】解:设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x,
依题意得:2(1+x)2=2.88.
故答案为:2(1+x)2=2.88.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
14.1
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程求解即可.
【详解】解:设道路的宽为x m,根据题意得:
(10﹣x)(15﹣x)=126,
解得:x1=1,x2=24(不合题意,舍去),
则道路的宽应为1米;
故答案为:1.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键.
15.9
【分析】利用因式分解法求出x的值,再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解.
【详解】解:x2-5x+4=0,
(x-1)(x-4)=0,
所以x1=1,x2=4,
当1是腰时,三角形的三边分别为1、1、4,不能组成三角形;
当4是腰时,三角形的三边分别为4、4、1,能组成三角形,周长为4+4+1=9.
故答案是:9.
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程,三角形的三边关系,等腰三角形的性质,要注意分情况讨论求解.
16.80(1+x)2=100
【分析】利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),设平均每次增长的百分率为x,根据“从80吨增加到100吨”,即可得出方程.
【详解】解:由题意知,蔬菜产量的年平均增长率为x,
根据2016年蔬菜产量为80吨,则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨
2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨,预计2018年蔬菜产量达到100吨,
即:80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2=100.
故答案为80(1+x)2=100.
【点睛】本题考查了一元二次方程与增长率问题的实际运用,熟练掌握相关概念是解题关键
17.每轮传染中平均一个人传染了12人
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人,则第一轮有x人被传染,第二轮有(1+x)x人被传染,根据经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【详解】解:设每轮传染中平均一个人传染了x人,则第一轮有x人被传染,第二轮有(1+x)x人被传染,
依题意得:1+x+(1+x)x=169,
解得:x1=12,x2=﹣14(不符合题意,舍去).
答:每轮传染中平均一个人传染了12人.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
18.(1)该商品每次降价的百分率为
(2)每件商品应降价5元.
【分析】(1)直接代入公式即可求出降价率;
(2)先设未知数,再利用单个利润乘以数量等于总利润列出方程,再解方程即可,要利用每件降价幅度不超过10元排除其中一个答案.
【详解】(1)解:设该商品每次降价的百分率为x.
依题意,得,
解得(不合题意,舍去).
答:该商品每次降价的百分率为.
(2)设每件商品应降价x元.
根据题意,得,
解得.
∵降价幅度不超过10元,
∴.
答:每件商品应降价5元.
【点睛】本题考查平均增长率问题和一元二次方程的实际问题,细心审题和记忆理解公式是解题的关键.
19.(1)
(2)销售单价应定为元
【分析】(1)设关系式为,任选表中的两组值代入即可求解;
(2)根据等量关系式:单件利润销售量总利润,列出方程进行求解即可.
【详解】(1)解:设与的函数关系式为,
由表格得:当时,;
当时,;则有
,
解得,
;
(2)解:根据题意得:,
解得,,
规定销售单价不低于成本且不高于54元,
.
答:销售单价应定为50元.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数关系式,销售问题,掌握求法及销售问题中的等量关系式是解题的关键.
20.(1);
(2)每件童装降价10元或20元时,平均每天盈利1200元;
(3)不可能每天盈利1800元.理由见解析
【分析】(1)利用每天销售量增加每件童装降价的钱数,可用含x的代数式表示出每天的销售量;利用每件的销售利润售价进价,即可用含x的代数式表示出每件的销售利润;
(2)利用总利润每件的销售利润日销售量,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论;
(3)利用总利润每件的销售利润日销售量,即可得出关于x的一元二次方程,由根的判别式,可得出该方程无实数根,即不可能每天盈利1800元.
【详解】(1)解:依题意得:每天销售量增加件,每件盈利元.
故答案为:;;
(2)解:依题意得:,
整理得:,
解得:.
答:每件童装降价10元或20元时,平均每天盈利1200元;
(3)解:不可能每天盈利1800元,理由如下:
依题意得:,
整理得:,
∵,
∴该方程无实数根,
即不可能每天盈利1800元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数以及根的判别式,解题的关键是:(1)根据各数量之间的关系,用含x的代数式表示出每天的销售量及每件的销售利润;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(3)牢记“当时,方程无实数根”.
21.(1);
(2)每件童装降价20元时,平均每天赢利1200元
(3)不可能平均每天赢利2000元,理由见解析
【分析】(1)根据销售量=原销售量+因价格下降增加的销售量,每件的利润=实际售价-进价,列式即可;
(2)根据总利润=每件的利润×销售数量,列方程求解即可;
(3)根据总利润=每件的利润×销售数量,列方程求解即可.
【详解】(1)解:设每件童装降价x元时,每天可销售件,每件盈利元,
故答案为:,;
(2)依题可得:,
∴,
∴,
∴,,
扩大销售量,增加利润,
,
答:每件童装降价20元时,平均每天赢利1200元;
(3)根据题意得:,
∴,
∴△= =-4×1×600=-15000,
∴原方程无解.
答:不可能平均每天赢利2000元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,理解题意找出题目蕴含的等量关系是解本题的关键.