22.1 二次函数的图象和性质 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
2．（2022秋·河南周口·九年级期末）定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上的任意两点，当时，都有，称该函数为偶函数．根据以上定义，判断下面所给的函数为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y的值随x的值增大而减小
4．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）已知抛物线上的两点和，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
6．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的开口向上 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
7．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
8．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）已知抛物线的图像如所示，则化简得（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）抛物线经过平移得到，平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
二、填空题
13．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如果函数是二次函数，那么的值一定是 ．
14．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ．
15．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）已知点在二次函数的图象上，则的值等于 ．
16．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）写出一个经过原点且开口向上的抛物线的析式： ．
17．（2022秋·河南郑州·九年级期末）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 （用“<”连接）．
18．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点，这个二次函数的解析式可以是 ．
19．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为 ．
20．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）将抛物线向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式是 ．
三、解答题
21．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
22．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
(1)求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于，点为抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的解析式及点的坐标．
(2)在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
(3)若，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为4个单位长度和3个单位长度，点为抛物线上点，之间（含点，）的一个动点，请直接写出点的纵坐标的取值范围为_______．
24．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点B，顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)点P是抛物线上（在第一象限内）的一个动点，求的面积最大时点P的坐标．
25．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
(1)若点A的坐标为，求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，设点为抛物线上一点，当时，点P的纵坐标y满足，求的值；
(3)已知平面直角坐标系中的点，，连接，若抛物线与线段只有一个公共点，观察函数图象，请直接写出c的取值范围．
26．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x …… 0 1 2 3 4 ……
y …… 8 3 m 0 3 ……
(1)求m的值和这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）；
(3)当时，直接写出y的取值范围．
27．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，是二次函数的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
(1)确定a的值；
(2)设抛物线的顶点是P，B是x轴的一个点，若△PAB的面积为6，求点B的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：（为常数），则称y为x的二次函数，即可得出答案．
【详解】解：A．函数的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．函数是二次函数，故本选项符合题意；
D．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键．
2．C
【分析】根据所给的定义，把和分别代入函数解析式进行判断即可．
【详解】解：在A中，，，此时，不是偶函数，不合题意；
在B中，，，此时，不是偶函数，不合题意；
在C中，，，此时，是偶函数，符合题意；
在D中，，，此时，不是偶函数，不合题意；
是偶函数的为C，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，理解题目中偶函数的定义是解题的关键．
3．B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．
【详解】解：抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是顶点坐标都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．B
【分析】抛物线的对称轴为，且开口向下，在时，y随x的增大而增大，且，即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为，抛物线开口向下，
函数在时，y随x的增大而增大，
∴，
而，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是：找到二次函数的对称轴，利用函数增减性进行比较．
5．D
【分析】根据二次函数顶点式解析式，即可计算出二次函数顶点坐标为（0，﹣1）．
【详解】解：二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的基本性质，利用顶点式求出顶点坐标，同时本题中的函数也是一个特殊函数，b=0，所以抛物线顶点在y轴上，将x=0，代入函数解析式得：y=-1，也可以求出其顶点坐标为（0，﹣1）．
6．C
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
【详解】解：中，
的系数为1，，函数图象开口向上，A说法正确，不符合题意；
函数图象的顶点坐标是（1，5），B说法正确，不符合题意；
函数图象开口向上，有最小值为5，C说法错误，符合题意错误；
函数图象的对称轴为，时y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大，D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
7．A
【分析】根据二次函数顶点式的性质即可得答案．
【详解】解：∵是顶点式，
∴此抛物线的顶点坐标为（3，-5）．
故选：A．
【点睛】本题考查了直接利用二次函数的顶点式写出顶点坐标，抛物线y＝a(x－h)2＋k称为顶点式，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
8．A
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，故本小题错误；
②对称轴为直线x=-1，故本小题错误；
③顶点坐标为（-1，3），正确；
④∵x＞-1时，y随x的增大而增大，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，故本小题错误；
综上所述，结论正确的个数是③共1个．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．
9．B
【详解】抛物线的对称轴是直线：.
故选B.
10．B
【分析】根据图像可知，，当时，，即，再化简所求式子即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∵图像经过原点，
∴，
∵当时，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质、绝对值的性质以及整式运算等知识，熟练掌握二次函数的图像上点的坐标特点以及绝对值的性质是解题的关键．
11．A
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
12．D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
13．0
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】∵函数是二次函数，
∴，，
解得．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，形如（a,b,c是常数，且）的函数叫做二次函数，正确把握二次函数的定义是解题关键．
14．
【分析】根据二次函数的定义和性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与定义，熟知对于二次函数当时，二次函数图象开口向下是解题的关键．
15．
【分析】把点的坐标代入函数解析式计算即可得解．
【详解】解：∵点P(a，)在二次函数y=2x2的图象上，
∴=2a2，即a2=，
解得a=±．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
16．（答案不唯一）．
【分析】根据题意，抛物线是或形式，值为正数即可．
【详解】解：根据题意，抛物线是或形式，值为正数即可，
当时，，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟记二次函数的性质，准确写出解析式．
17．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答．
【详解】解：由二次函数的解析式可知，对称轴为直线，且图象开口向上，
点离对称轴距离越远函数值越大，
，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查比较二次函数的函数值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，能够根据二次函数的顶点式得出抛物线的对称轴．
18．（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论．
【详解】解：设二次函数的解析式为．
∵抛物线开口向下，
∴．
∵抛物线与轴的交点坐标为，
∴．
取，时，二次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键．
19．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
∵将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴平移后的抛物线为
∴平移后的抛物线的顶点坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．
20．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：向右平移5个单位所得抛物线解析式为：；
再向下平移1个单位为：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
21．(1)抛物线解析式为
(2)
【分析】(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式；
(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C
的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标．
【详解】（1）把代入得：，
∴抛物线解析式为；
（2）设直线AB的函数解析式为，
把，代入得：，，
∴直线AB的解析式为，
将与联立得：
或，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式．
22．(1)y＝﹣10x+540；
(2)当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个；销售单价为30元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，再由二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）解：由题意可得：
w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．(1)，点的坐标为；
(2)存在，点坐标为，面积的最大值为；
(3)．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴交于点，求得直线的解析式，设点，则点，利用列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由M、N到对称轴的距离分别为4个单位长度和3个单位长度，可找到点M、N的横坐标，即可求得点M、N的坐标，再根据点M在点N的左侧分类讨论的取值范围．
【详解】（1）解：把，代入解析式可得：，
解得，
抛物线的解析式为，
，
的坐标为；
（2）解：存在
过点作轴交于点，
令，得，
∴点C的坐标为；
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
则
，
，
当时，点坐标为，面积的最大值为；
（3）解：由（1）知抛物线的对称轴为，
M到对称轴的距离为4个单位，
或，
或，
点N到对称轴的距离为3个单位，
或，
或，
若，，
则，
若，，
则．
综上，点的纵坐标的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标公式以及求二次函数的函数值的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能利用分类讨论的思想解决数学问题．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）先求得B点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；
（3）过点P作轴交直线于点Q，利用三角形面积和二次函数的性质分析最值．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为．
将代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
即．
（2）将代入，得，
∴．
∴设直线的解析式为
将代入，得．
解得．
∴直线的解析式为．
（3）如图，过点P作轴交直线于点Q，
设P点的横坐标为x，
则，，
∴．
∴
＝
＝
＝
＝．
∴当时，有最大值，
此时．
∴的面积最大时点P的坐标是．
【点睛】本题考查二次函数的综合题、勾股定理的逆定理、两点间距离公式、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．
25．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解解析式，然后转化成顶点式求解即可；
（2）首先根据求出，然后代入求解即可；
（3）首先将抛物线转化成顶点式得到顶点坐标，然后3种情况讨论，分别得到关于c的方程求解，然后结合抛物线与线段只有一个公共点即可得出c的取值范围．
【详解】（1）把代入得
解得，
∴
∴顶点坐标为；
（2）当时，，当时，
∵抛物线，开口向下，顶点为，且，
∴
∵
∴，，
∴；
（3）∵
∴顶点为
①当抛物线顶点恰好在线段上时，
∴
②当抛物线经过时，
∴
当抛物线经过时，
∴
又∵抛物线与线段只有一个公共点时
∴
综上或
【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，两点之间的距离，熟悉相关性质，能运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．
26．(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由表格中数据可知抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即，然后设出顶点式，将代入求出a的值即可；
（2）根据表格中的数据描点、连线即可；
（3）根据函数图象可直接得出答案．
【详解】（1）解：∵当和时，；
∴抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即，
设这个二次函数的表达式为：，
将代入得，
解得，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：如图：
（3）解：由函数图象得：当时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
27．(1)a＝﹣
(2)（﹣1，0）或（﹣7，0）
【分析】（1）由图象可求得A点的坐标，把A点坐标代入抛物线解析式可求得a的值；
（2）由抛物线解析式可求得P点坐标，设B的坐标为（m，0），表示出AB的值，则可根据△PAB的面积得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由图象可知A点坐标为（﹣4，0），
∵二次函数
∴，
解得a＝﹣；
（2）∵二次函数，
∴顶点P（﹣1，4），
设B的坐标为（m，0），
∴AB＝|m+4|，
∵△PAB的面积为6，
∴×4×|m+4|＝6，
∴m＝﹣1或﹣7，
∴点B的坐标为（﹣1，0）或（﹣7，0）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴及顶点坐标的求法是解题的关键，即在中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．抛物线过点
C．抛物线与x轴有一个交点 D．对称轴是
2．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
3．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）如图，二次函数的图象的对称轴为，且经过点，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．不等式的解集是
4．（2022秋·河南郑州·九年级期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（）
A．①②③④ B．①④ C．②④ D．①③
5．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④⑤若m为任意实数，则其中正确结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①abc＞0 ②b2-4ac＜0 ③9a+3b+c＜0 ④(a+c)2＜b2⑤a+b＜m(am+b)（其中m是不等于1的实数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）若抛物线y=x2-4x与直线y=m（m为实数）总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m≥-4 B．-4≤m<0 C．m<-4 D．-38．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）老师给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2022秋·河南濮阳·九年级期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是 ．
12．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）抛物线与x轴的交点坐标是 ．
13．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）抛物线与x轴交于B，C两点，该抛物线的顶点为A，则△的面积是 ．
14．（2022秋·河南郑州·九年级期末）已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数 ．
15．（2022秋·河南濮阳·九年级期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式 ．
16．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）已知抛物线与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式的值为 ．
17．（2022秋·河南洛阳·九年级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＜0；④b2-4ac＞0．其中正确结论的个数是 个．
三、解答题
18．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，利用函数的图像，解决下列问题：
(1)方程的解是 ；
(2)当x 时，y随x的增大而减小；
(3)当时，x的取值范围是 ．
(4)当时，y的取值范围是 ；
19．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为．
(1)填空：________；
(2)点P是y轴上一动点，连接PA，并将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
20．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）若抛物线与直线交y轴于同一点，且抛物线的顶点在直线上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一．
(1)求抛物线的“伙伴函数”表达式；
(2)设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为(-k，t)且kt＝4，它的一个“伙伴函数”表达式为y=4x+8，求该抛物线表达式；
(3)在若点P(m，y1)）和Q(2，y2)在（2）中所求的抛物线上，且y1＞y2时，请直接写出实数m的取值范围是______．
21．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）抛物线经过点、，其中．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若，直接写出、的值；
(3)若，，试比较与的大小，并说明理由．
22．（2022秋·河南郑州·九年级期末）小明对函数的图象和性质进行了探究.已知当自变量的值为或时，函数值都为；当自变量的值为或时，函数值都为．探究过程如下，请补充完整．
（1）这个函数的表达式为 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的--条性质： ；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线与函数有三个交点，则 ；
②已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式的解集： ．
23．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）佳佳同学想探究一元三次方程的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数的图象与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解，二次函数的图象与轴交点的横坐标即为一元二次方程的解，如：二次函数的图象与轴的交点为和，交点的横坐标和，即为的解．根据以上方程与函数的关系，如果我们知道函数的图象与轴交点的横坐标，即可知方程的解，佳佳为了解函数的图象，通过描点法画函数的图象．
(1)直接写出的值，并画出函数图象；
(2)求方程的解；
(3)求不等式的解集．
24．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）根据下列要求，解答相关问题：
（1）请补全以下求不等式的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数；抛物线的对称轴为_________，开口向下，顶点坐标为__________，与轴的交点是_________，用三点法画出二次函数的图象如图1所示；
②数形结合，求得界点：当时，求得方程的解为___________；
③借助图象，写出解集：由图象可得不等式的解集为_________．
（2）利用（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式的解集．
①构造函数，画出的图象（在图2中画出）；
②数形结合，求得界点：当__________时，求得方程的解为__________；
③借助图象，写出解集．由图2知，不等式的解集是__________．
25．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）已知二次函数．
（1）求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，求m的最小整数值．
26．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）已知抛物线经过点，．
（1）求这条抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）将（1）中求得的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有四个不同公共点，请直接写出的取值范围．
27．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）抛物线与轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．且A点的坐标为．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当时，函数值y的取值范围为，求n的取值范围；
(3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到新的函数图像，当新函数的函数值随x的增大而减小时，请直接写出x的取值范围
28．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）某班数学兴趣小组最近热衷于探索函数的图象和性质，对于函数，已知当自变量的时候，函数值为；当自变量x的值取1的时候，函数值为3．
他们的探索过程如下，请补充完整：
(1) ； ；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象并写出这个函数的一条性质： ．
(3)若方程有且只有两个解，则p的取值范围为： ．
参考答案：
1．D
【分析】根据抛物线的二次项系数，x=0处的函数值，一元二次方程根的判别式，对称轴判断即可；
【详解】解：∵二次项系数为1＞0，
∴函数开口向上；
∵当x=0时，y=-6，
∴抛物线不过点（0，6）；
∵一元二次方程的=16+24=40＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；
∵，
∴抛物线对称轴是x=-2；
故选： D．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
2．B
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
3．D
【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，
，，则，故选项正确，不符合题意；
该函数的对称轴为，
，
化简得，故选项正确，不符合题意；
该函数图象开口向上，该函数的对称轴为，
时，随的增大而增大，
当时，，故选项正确，不符合题意；
图象的对称轴为，且经过点，
图象与轴另一个交点为，
不等式的解集是，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．D
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解∶由图象可知，当时，，
，故选项①正确；
当时，，
，故选项②不正确；
抛物线有两个交点，
，故选项③正确；
对称轴为位于轴左侧，
同号，即，
图象与坐标相交于轴正半轴，
，
∴，故选项④不正确；
∴正确结论的序号为①③．
故选：D．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
5．C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
能得到：，，，，
∴，故①正确；
②∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴，
∴，故②错误；
③对称轴是直线，与x轴交点在左边
∴二次函数与x轴的另一个交点在与之间，
∴当时，，
∴，故③正确；
④∵对称轴是直线，
∴，
∴,
∴，故④正确；
⑤∵对称轴是直线，图象开口向下，
∴时，函数最大值是；
∴m为任意实数，则，
∴，故⑤正确；
综上，①③④⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数的性质，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题关键．
6．C
【分析】由开口方向、与y轴的交点位置及对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点个数可判断②；根据对称轴知x=-1和x=3时函数值相等，且x=-1时y＜0，可判断③；由x=1和x=-1时的函数值及因式分解可判断④；根据二次函数的最小值可判断⑤．
【详解】①∵抛物线的开口向上，且抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵对称轴=1，
∴b=-2a＜0，
则abc＞0，此结论正确；
②∵抛物线与x轴的交点有2个，
∴b2-4ac＞0，此结论错误；
③∵抛物线的对称轴为x=1，
∴当x=-1和x=3时函数值相等，即9a+3b+c＜0，此选项正确；
④当x=1时，，
当x=-1时，，
∵(a+c)2-b2=(a+b+c)(a-b+c)>0，
∴(a+c)2>b2，此选项错误；
⑤∵由图象可知当x=1时，函数取得最小值，
∴当x=m(m)时，am2+bm+c>a+b+c，即m(am+b)>a+b，此选项正确；
综上，正确的结论有①③⑤，共3个
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程或不等式之间的转换．
7．A
【分析】把y=m代入抛物线解析式，得到一元二次方程，若此方程有解则抛物线与直线就有公共点，所以（-4）2-4×1×（-m）≥0，解不等式即可．
【详解】解：根据题意可得x2-4x-m=0，若此方程有解则抛物线与直线就有公共点，
所以（-4）2-4×1×（-m）≥0，
解得m≥-4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查抛物线与一次函数交点问题，解题的关键是构造一元二次方程，判定方程解的情况．
8．C
【分析】先求解抛物线的对称轴方程及顶点坐标，结合在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，可判断①，②； 根据函数的对称性，先求解x=4时，y=0，结合函数图象可判断③；由①知，函数的对称轴为x=1，抛物线开口向上，可判断④；由抛物线的顶点坐标为（1，-9），结合函数图象可判断⑤．
【详解】解： 抛物线过点
抛物线的对称轴为：
抛物线的顶点坐标为： 则抛物线的开口向上，
故①符合题意；②不符合题意；
当x=-2时，y=0，根据函数的对称性，则x=4时，y=0，
故当-2＜x＜4时，y＜0，故③正确，符合题意；
由①知，函数的对称轴为x=1，抛物线开口向上，
故当x＞1时，y随x的增大而增大正确，故④符合题意；
抛物线的顶点坐标为（1，-9），
故方程ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根，则m＞-9，正确，故⑤符合题意；
综上：符合题意的有①③④⑤
故选：C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
9．A
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．B
【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝ ，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误．
【详解】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，
∴a＞0,c＜0
∴ac＜0
故①正确；
②∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴b=-2a
∵当x=-1时，y=0
∴0=a-b+c
∴3a+c=0
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解
∴
∴
故③正确；
④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．
故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键．
11．3
【分析】连接，根据函数解析式，求B坐标，然后求出，Q是线段的中点，O是线段的中点，故是的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，即可求解．
【详解】连接，
因为抛物线与x轴交于A、B两点，
令即，
解得或，
，
，
，
，
，
Q是线段的中点，O是线段的中点，
故是的中位线，
，
最大，即最大，
即B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．
12．
【分析】把y=0代入，即可求出与x轴的交点坐标．
【详解】解：把y=0代入，
得
解得x=1，
所以抛物线与y轴的交点坐标为(1，0)，
故答案为：(1，0)．
【点睛】本题是对二次函数与坐标轴交点的考查：令y=0，可求抛物线与x轴的交点坐标；令x=0，可求抛物线与y轴的交点坐标．
13．343
【分析】先根据抛物线与x轴交于B，C两点，求出B，C的坐标，再求出顶点坐标，最后用三角形面积公式带值求解即可．
【详解】解：抛物线与x轴交于B，C两点，
当时，，
解得：，，
∴BC==14；
把抛物线化为顶点式为：，
即A（6，），
∴=．
故答案为：343．
【点睛】本题考查二次函数的性质，三角形面积的求法，熟练掌握函数与方程关系并求解是解题的关键．
14．且
【分析】根据的图象与轴恰有两个公共点，可知有两个不同的实数根，再利用一元二次方程的根的判别式求解．
【详解】解：函数的图象与轴恰有两个公共点，
函数为二次函数，一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
为二次函数，
，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，一元二次方程的根的判别式等，解题的关键是注意m不能为0．
15．15
【分析】把点代入二次函数解析式可得，然后问题可求解．
【详解】解：把点代入二次函数解析式得：，则有，
∴；
故答案为15．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
16．2022
【分析】把把 (m，0)代入函数解析式得到m2-m=1，代入代数式求值．
【详解】解：把 (m，0)代入函数解析式y=x2 x 1，得
m2-m-1=0，
即m2-m=1，
则代数式m2 m+2021=1+2021=2022，
故答案为2022．
【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征以及求代数式的值，整体思想的应用是解决问题的关键．
17．2
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：图象开口向下，与y轴交于负半轴，能得到：a<0，-c>0，﹣>0，
∴a<0，b>0，c<0，
故结论①③正确，结论②不正确；
∵图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4a(-c)= b2+4ac >0，
故结论④错误．
故正确结论的序号是①③，共2个．
故答案是：2．
【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
18．(1)，
(2)（也对）
(3)或
(4)
【分析】（1）由抛物线与轴的交点坐标可得答案；
（2）求出二次函数的对称轴，然后根据其开口方向可得答案；
（3）由抛物线经过点及抛物线的对称性求解即可；
（4）求出二次函数的顶点坐标得出其最小值，然后将代入函数解析式即可得出其最大值，从而得解．
【详解】（1）解：由函数图像可知抛物线经过点，
∴是方程的解，
故答案为：，；
（2）抛物线的对称轴为，
∴当或时y随x的增大而减小，
故答案为：（也对）；
（3）由图像可知抛物线经过点，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线经过点，
∴或时，，
故答案为：或；
（4）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴函数的最小值为，
将代入得，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键时掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
19．(1)
(2)或
【分析】（1）把点坐标代入解析式即可；
（2）设点为，过点作轴于点，根据旋转的性质和三角形全等的判定证明，从而得到点，再把的坐标代入抛物线解析式解得即可．
【详解】（1）解：将代入得：
，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，，
令，则，
解得：，，
，，
设点为，
过点作轴于点，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点，
点在抛物线上，
，
整理得：，
解得：，，
或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等的判定和性质、函数图象的交点的求法，综合性强．解题的关键是证明．
20．(1)抛物线的“伙伴函数”表达式为
(2)
(3)m<-4或m>2
【分析】（1）将抛物线一般式改为顶点式，即得出其顶点坐标，再求出抛物线与y轴的交点坐标，即可利用待定系数法求出其“伙伴函数”解析式；
（2）由互为“伙伴函数”的概念可知t＝-4k+8，再与联立，解出k和t的值，即得出该抛物线顶点坐标，由此可设抛物线的解析式．利用直线解析式可求出其与y轴交点坐标，根据此交点也为抛物线与y轴交点，故可代入，即可求出a的值，即得出抛物线解析式；
（3）由二次函数的对称轴和增减性即可直接得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点为(-1，-4)，
∵对于，令x =0，则y=-3
∴抛物线与y轴的交点为(0，-3)，
代入“伙伴函数”y＝mx+n得，，
解得：，
∴抛物线的“伙伴函数”表达式为；
（2）解：由互为“伙伴函数”的概念可知，t＝-4k+8，
∴，
解得，
∴该抛物线顶点坐标为(-1，4)，
故可设抛物线的解析式为，
∵直线y＝4x+8与y轴的交点坐标为 (0，8)，
∴抛物线与y轴的交点坐标也为(0，8)，
∴a+4＝8，
∴a＝4，
∴抛物线表达式为；
（3）解：∵，
∴该抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴①当时，要使，m应大于2；
②当时，(m，)点为顶点，此时最小，不合题意．
③当时，在抛物线上的对称点为，
要使，m应小于-4；
综上可知，m<-4或m>2．
故答案为：m<-4或m>2．
【点睛】本题为二次函数与一次函数的综合，考查二次函数和一次函数的图象和性质．读懂题意，理解“伙伴函数”的概念是解题关键．
21．(1)；
(2)，；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）将函数的一般式转化成顶点式即可求出对称轴；
（2）将y值带入二次函数变成一元二次方程，解一元二次方程即可；
（3）令，得到，故可得．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：将代入得：
，
解方程可得：，；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查二次函数，能够将一般式转化成顶点式求其对称轴；已知二次函数的函数值将其转化成一元二次方程，解方程求其自变量的值；会比较函数值的大小．
22．（1）；（2）如图所示，见解析；性质：函数的图象关于直线对称；或：当或时，函数有最小值；（3）①；②或．
【分析】（1）将，；，；，代入，得到：，，，即可求解析式为；
（2）描点法画出函数图象，函数关于对称；
（3）①从图象可知：当时，，时直线与函数有三个交点；
②与的交点为或，结合图象，的解集为．
【详解】解：（1）将，；，；，代入，
得到：，解得
，
故答案为．
（2）如图：
函数关于直线对称，
（3）①当时，，
时直线与函数有三个交点，
故答案为1；
②与的交点为或或x=3，
结合图象，的解集为或，
故答案为或．
【点睛】本题类比函数探究过程探究绝对值函数与不等式组关系；能够准确的画出函数图象，从函数图象中获取信息，数形结合解题是关键．
23．(1)．画函数图象见解析
(2)方程的解有个，分别为，或或
(3)或
【分析】（1）求出时的函数值即可解决问题；利用描点法画出图象即可；
（2）利用图象以及表格即可解决问题；
（3）不等式的解集，即为函数的函数值大于0的自变量的取值范围，观察图象即可解决问题．
【详解】（1）由题意．
函数图象如图所示．
（2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为，或或1．
（3）不等式的解集，即为函数的函数值大于0的自变量的取值范围．
观察图象可知，或．
【点睛】本题考查函数与图象的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会利用图象解决一个不等式问题．
24．（1）①；；，；②，；③；（2）①见解析；②4；，；③
【分析】（1）①根据二次函数的图象以及性质求解即可②利用因式分解法解方程即可③利用数形结合的思想即可求出不等式的解集．
（2）①根据二次函数的图象以及性质画出图象即可②利用因式分解法解方程即可③利用数形结合的思想即可求出不等式的解集．
【详解】（1）①由题意得，对称轴为直线，顶点坐标为，
令，即
解得或
∴与x轴的交点坐标为和
故答案为：；；，
②
解得，
故答案为：，
③的解集是图象在x轴及上方部分
∴
故答案为：
（2）①如图所示
②当时，
解得，
故答案为：4；，
③结合函数图象，得不等式的解集是图象在的下方部分
故答案为：
【点睛】本题考查了图象法解不等式的问题，掌握二次函数图象的性质、因式分解法、图象法解不等式是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）先计算对应一元二次方程的根的判别式的值，然后依此进行判断即可；
（2）先把m看成常数，解出对应一元二次方程的解，再根据该函数的图象与轴交点的横坐标均为正数列出不等式，求出m的取值范围，再把这个范围的整数解写出即可.
【详解】（1）由题意，得 △=，
∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点．
（2）∵ ，
∴ ，．
∵该函数的图象与轴交点的横坐标均为正数，
∴ ，
即．
∵ m取最小整数；
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，把二次函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题的关键.
26．（1）顶点，对称轴为；（2）
【分析】（1）根据题意将点，代入解析式中，待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据题意作出图象，平移直线可知，当直线位于时，与新图象有三个交点，则位于这两直线之间的直线与新图象有4个不同公共点，分别求得的值，进而求得的取值范围．
【详解】（1）抛物线经过点，
解得
顶点，对称轴为
（2）翻折后的新图象，如图所示，
平移直线可知，当直线位于时，与新图象有三个交点，则位于这两直线之间的直线与新图象有4个不同公共点，
①当直线位于时，此时与的图象有一个公共点，
则
即有两个相等的实数根
解得
②当直线位于时，直线经过点
则
解得
新图象与直线有四个不同公共点时，
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，找到与新图象有3个不同公共点的条件是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将A（0，0）代入，再结合点A在点B的左侧，即可求解；
（2）由图像可求解；
（3）由题意结合图像直接回答即可．
【详解】（1）∵经过点
∴
∴，
∵点A在点B的左侧且，
∴对称轴
∴，
∴，
∴对称轴为直线；
（2）∵的顶点为
∵，
∴；
（3）由题意得：当新函数的函数值随x的增大而减小时， x的取值范围为：或
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，数形结合解题是关键．
28．(1)2，
(2)图见解析，当时，随的增大而减小（答案不唯一）
(3)或
【分析】（1）将代入函数的解析式可得，再将代入计算即可得的值；
（2）先利用描点法画出函数图象，根据函数图象，写出当时，函数的增减性即可得；
（3）先分别求出当时，或；当时，，再将方程有且只有两个解转化为函数与直线有且只有两个交点，然后结合函数图象即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意，将代入得：，
将代入得：，即，
将代入得：，
解得，
故答案为：2，．
（2）解：利用描点法画出函数图象如下：
由函数图象可知，这个函数的一条性质是当时，随的增大而减小，
故答案为：当时，随的增大而减小（答案不唯一）．
（3）解：由（1）可知，函数的解析式为，
当时，，解得或，
当时，，
因为方程有且只有两个解，
所以函数与直线有且只有两个交点，
结合函数图象可知，的取值范围为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．22.3 实际问题与二次函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．不能确定
2．（2022秋·河南漯河·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从A点出发，沿A→B→C方向匀速运动，过点P作PQ∥BD交菱形的另一边于点Q，设点P的运动路程为x，△PCQ的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为，当水面宽度为20m时，此时水面与桥拱顶的高度是（ ）
A．2m B．4m C．10m D．16m
4．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2= B．x+2x= C．（1+x）2= D．1+2x=
二、填空题
5．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）已知抛物线具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一个动点，则△PMF周长的最小值是 .
6．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 米．
7．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s．
8．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离 ．
三、解答题
9．（2022秋·河南焦作·九年级期末）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
10．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．
(1)苗圃ABCD的另一边BC长为 米（用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃ABCD的面积为45m2，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
11．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，已知二次函数y＝ax2－2x+c经过点A(－3，0)，C(0，3)，与x轴交于另一点B，直线y＝kx－与抛物线交于点B、E，与y轴交于点D．
(1)求二次函数解析式和一次函数解析式；
(2)已知点C与点F关于抛物线的对称轴对称，求点F的坐标；
(3)记抛物线点A与点C之间的图象为U(不包括点A和点C)，若将直线BE向上平移h(h＞0)个单位，与图象U恰有一个公共点，求h的取值范围．
12．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
13．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．
14．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）某专卖店销售一种葫芦娃挂件，进价为每件10元，并且每件的售价不低于进价，在销售过程中发现，每日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求每日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数解析式．
(2)物价部门规定，该葫芦挂件的利润不允许高于进价的，当每件的售价定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
15．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）新冠肺炎疫情后期，我市某药店进了一批口罩，成本价为1元/个，投入市场销售，其销售单价不低于成本，一段时间调查，发现每天销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在一次函数关系，且有两天数据为：销售价定1.3元，每天销售1080个；销售价定为1.5元，每天销售1000个．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)如果该药店销售口罩每天获得800元的利润，那么这种口罩的销售单价定为多少元？
(3)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
16．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映；调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60＋x（元/件）（即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？
(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？
17．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）商场销售一款新型的钢笔，进价为140元/支．销售中发现这种钢笔每天的销售量（支）与售价（元/支）之间满足一次函数关系．
(1)请写出商场销售这种钢笔每天的利润（元）与售价（元/支）之间的函数关系式．
(2)商场每天销售这种钢笔的利润能否达到3000元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
18．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每针降低1元，每周可多卖出20件．
(1)若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？
(2)销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？
19．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件．
(1)根据题意填空：
①写出y与x之间的函数关系式是______，
②自变量x的取值范围是______．
(2)设超市每天销售这种玩具可获利W元，当x为多少时W最大，最大值是多少？
20．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）在国庆期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件60元，现以每件100元销售，每天可售出20件．在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件．
(1)若销售单价降低5元，则该款童装每天利润是______元；
(2)设每件童装单价降价了元，请写出每天销售该款童装的利润（元）与每件童装降价（元）之间的函数关系式；
(3)当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
21．（2022秋·河南洛阳·九年级期末）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是元．超市规定每盒售价不得少于元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒元时，每天可以卖出盒，如果每盒售价每提高元，则每天要少卖出盒．
(1)试求出每天的销售量盒与每盒售价元之间的函数关系式；
(2)要使每天销售的利润为元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？
(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润元最大？最大利润是多少？
22．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下点打出一球向球洞点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡与水平方向的夹角为30°，、两点相距米．
（1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从点直接打入球洞点，并说明理由．
23．（2022秋·河南郑州·九年级期末）如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12米时，达到最大高度7米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为18米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．
(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；
(2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值；
(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
24．（2022秋·河南焦作·九年级期末）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
25．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离与均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学的水平距离为3米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果身高为1.7米的聪聪站在之间，当绳子甩到最高处时，求聪聪站在距点O的水平距离为多少时，绳子刚好通过他的头顶上方？
参考答案：
1．C
【分析】根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值
【详解】设窗框的长为，
根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，
即
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，理解顶点的意义是解题的关键．
2．C
【分析】分点在和上两种情况讨论，分别写出对应的函数解析式即可．
【详解】解：如图，连接，与交与点，与交与点，
当在上时，
四边形是菱形，
，
又，
，
是三角形在边上的高，
由菱形的性质得，
，
三角形是等边三角形，
，，
，
，
设，
，
，
该部分是开口向下的二次函数，
当在上时，
设菱形的边长为，
则，则，
，
该部分是开口向上的二次函数，
只有选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是要将三角形的底和高用含的式子表示出来，列出和之间的关系式．
3．B
【分析】根据题意，把x=10直接代入解析式即可解答．
【详解】解：根据题意得B的横坐标为10，
把x=10代入，
得y=-4，
∴OD=4m，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
4．C
【详解】解：设票股价的平均增长率x.
则
即
故选C
5．5
【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.
【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．
∵点P′在抛物线上，
∴P′F=P′E．
又∵点到直线之间垂线段最短，MF==2，
∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．
故答案为5.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.
6．3
【分析】首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式再进行求解即可．
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
根据题意得：A（0，6），B（6，0），
设抛物线解析式为y=ax2+6，把B（6，0）代入，得
，
所以抛物线的解析式为，
当x=4时，y=，
∴．
∴通过隧道车辆的高度限制应为3米．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数的图像和性质，解决本题的关键是建立适当的平面直角坐标系，熟练利用二次函数的性质进行解题．
7．2
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
8．10
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】解：令函数式中，y=0，
0=，
解得x1=10，x2=-2（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键．
9．(1)CG长为8m，DG长为4m
(2)当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2
【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解；
（2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 .
【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．
10．(1)24﹣3x
(2)5
(3)当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米
【分析】（1）根据木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即可求得BC长；
（2）根据题意得：，即可解得x的值；
（3）根据题意的：w＝x（24－3x）＝－3x2＋24x＝－3（x－4）2＋48，由二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：∵木栏总长22米，两处各留1米宽的门，
设苗圃ABCD的一边CD长为x米，
∴BC=22－3x＋2＝(24－3x)米，
故答案为：(24－3x）；
（2）根据题意得：x（24－3x）＝45，
解得x＝3或x＝5，
∵x＝3时，24－3x＝24－9＝15，
∴x＝3舍去，
∴x的值为5；
（3）设苗圃ABCD的面积为w，
则w＝x（24－3x）＝－3x2＋24x＝－3（x－4）2＋48，
∵﹣3＜0，
∴x＝4时，w最大为48，
答：当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
11．(1)，
(2)(-2，3)
(3)，
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，进而可以求出点B的坐标，代入点B求一次函数解析式；
（2）利用二次函数对称轴，可求出该二次函数的对称轴，根据函数的对称性即可求出点F的坐标；
（3）根据一次函数平移的规律口诀（上加下减相对于b，左加右减相对于x），直线BE向上平移，当经过点A时为最小平移情况；当经过C时为最大平移情况；当经过抛物线顶点时即相切，恰有一个公共点，进而求出h的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2-2x＋c经过点A(-3，0)，C(0，3)，则
解得：
∴二次函数解析式为
∴把y=0代入
即
解得：或-3
∴点B的坐标为（1，0）
代入一次函数
即
解得：
∴一次函数解析式为；
（2）解：由题意得：二次函数的对称轴为
∵点C与点F关于关于抛物线的对称轴对称
∴点F的坐标为(-2，3)；
（3）解：由题知，由函数平移规律可得：
①当直线BE不与抛物线相切时，
当一次函教向上平移h个单位后，新函数为
当新函数经过点A时，为最小平移情况
代入A(-3，0)得，
解得：；
当新函数经过点C时，为最大平移情况
代入C(0，3)得，
解得：
∴h的取值范围为；
②当直线BE与抛物线相切时，
方程，即
有两个相等的实数根
∴△=0
即
解得：
综上所述：h的取值范围为，．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，一次函数的图象与几何变换，解二元一次方程等知识，综合性强．解题的关键是平移后一次函数的图象与二次函数交点的讨论．
12．（1）；（2）①1；②点C的坐标是
【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【详解】解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．
②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
13．（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
（2）把：x =1，代入y=x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，
∴二次函数的解析式为：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=x2-2x，
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-x2+2x，
∴新函数表达式为：，
∵将新函数图象向右平移个单位长度，
∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如图所示，
根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
14．(1)
(2)当每件的售价定为18元时，每天获得的利润最大，最大利润时880元
【分析】（1）根据图象经过的两点坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据销量乘以每件的利润得到总利润列出函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设，把代入得：
，
解得，
∴y与x之间得函数解析式为：；
（2）设每天获得的利润为w元，根据题意，得：
，
∵物价部门规定售价不高于成本价的，
∴（元），
∵，
∴当时，w随着x的增大而增大，
∴当时，w最大，最大利润为（元）
答：当每件的售价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
15．(1)；
(2)2元或3元；
(3)销售单价为元，最大利润为900元．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据每天获得800元的利润列出方程，解方程即可得到答案；
（3）根据销售利润列出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）设，把和代入得，
∴，
∴
（2）由题意得：，
∴，
解得，，
答：销售单价为2元或3元．
（3）
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为元时，该药店每天的利润最大，最大利润为900元．
【点睛】此题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键．
16．(1)
(2)售价为65元时，月利润最大，最大月利润为6250元
(3)将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元
【分析】（1）直接根据题意，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系，列出函数关系式；
（2）利用每件利润×销量=总利润列出w与x之间的函数关系式，进而利用配方法求出即可；
（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．
【详解】（1）解：由题意得涨价时：，
降价时：，
即．
（2）解：由题意可得：，
化简得：，
即，
∵6125＜6250，
∴当售价上涨5元，即售价为65元时，月利润最大，最大月利润为6250元；
（3）解：令w=6000，
即，，
解得：x1=10，x2=0，x3=-5．
∵-10<0，-20<0，
∴当w≥6000时，-5≤x≤10,
∴55≤60+x≤70，
故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用自变量x的取值范围分情况得出函数解析式是解题的关键．
17．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价-进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．
（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，每件商品的销售利润为元，那么y件的销售利润为．
又∵，
∴，
即.
∵，
∴．
又∵，
∴，
即，
∴，
∴所求关系式为 ；
（2）解：不能．
理由：
由（1）得，
所以可得售价定为170元时获得的利润最大，最大销售利润是2700．
∵3000＞2700，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到3000元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价-进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．
18．(1)销售单价为65元
(2)销售单价应为70元，该店铺每周销售利润最大，最大销售利润为8000元
【分析】（1）设销售单价为x元，则每件附中的利润为(x-50)元，每周能卖出(×20+200)件，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于x的方程，求解并作出取舍即可．
（2）设该店铺每周销售利润为W元，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出W关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）设销售单价为x元，由题意得：
，
整理得：，
解得，，
∵尽可能让利于顾客．
∴不符合题意，
∴．
∴销售单价为65元．
（2）设该店铺每周销售利润为W元，由题意得：
，
∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，W有最大值，最大值为：
（元），
∴销售单价应为70元，该店铺每周销售利润最大，最大销售利润为8000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．(1)①；②，且x为偶数
(2)x为20时W最大，最大值是2400元．
【分析】（1）①设销售单价增加x元，每天售出y件，根据销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，列出函数关系式即可；
②根据该玩具每件利润不能超过60元，且为偶数，利润大于0，列出不等式组即可求得范围；
（2）根据利润等于销售量乘以每个玩具的利润列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）①设销售单价增加x元，每天售出y件，根据题意得，
y与x之间的函数关系式是；
故答案为：
②根据题意可得，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，
则为整数，故为偶数
，且x为偶数；
故答案为：，且x为偶数
（2）解：，
即
，且x为偶数
当x为20时W最大，最大值是2400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
20．(1)1050
(2)
(3)当每件童装销售单价定为85元时，商场每天可获得最大利润，最大利润是1250元
【分析】（1）根据每件童装降价1元，每天就可多售2件，可知当销售单价降低5元时，销售量增加10件，销售量乘以单件利润就可以求出每天利润；
（2）根据利润＝单件利润×销售量列函数关系式；
（3）根据（2）的函数解析式，由二次函数的性质求函数最值．
【详解】（1）解：1050（只填空）
∵以每件100元销售，每天可售出20件，若每件童装降价1元，每天就可多售2件，
∴销售单价降低5元，则该款童装每天的销售量为（件），
每天的利润为：（元），
故答案为：1050；
（2）解：由题意，根据利润＝单件利润×销售量得：，
∴与的函数关系式为；
（3）解：由（2）知：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为1250，
此时（元），
∴当每件童装销售单价定为85元时，商场每天可获得最大利润，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是根据等量关系列出函数解析式．
21．(1)
(2)售价应定为元
(3)每盒售价定为元时，每天销售的利润元最大，最大利润是元
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝1盒商品所获得的利润×销售量列出方程，解方程取较小的值即可；
（3）根据利润＝1盒商品所获得的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：由题意得销售量y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600，
∴每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣20x+1600（45≤x＜80）；
（2）解：由题意得：（x﹣40）（﹣20x+1600）＝6000，
整理得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70，
∵要让顾客得到最大的实惠，
∴x＝50，
∴售价应定为50元；
（3）解：P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）
＝﹣20x2+2400x﹣64000
＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵a＝﹣20＜0，45≤x＜80，
∴当x＝60时，P有最大值，最大值为8000，
∴每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．
【点睛】本题考查的是二次函数、一次函数与一元二次方程在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒商品子所获得的利润×销售量，求得销售量与x之间的函数关系式是解题的关键．
22．（1）；（2）不能，理由见解析
【分析】（1）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；
（2）OA与水平方向OC的夹角为30°，OA=米，解直角三角形可求点A的坐标，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．
【详解】解：（1）∵顶点的坐标是，
∴设抛物线的解析式为，
∵点的坐标是
∴把点的坐标代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）在中，
∵，，
∴，
∴．
∴点的坐标为，
∵当时，，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从点直接打入球洞点．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线关系式是关键．
23．(1)能浇灌到小树后面的草坪；
(2)的最大值为；
(3)喷射架应向后移动2米．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求得解析式；
（2）先求出直线的解析式，再根据两个纵坐标的差求出最大值即可；
（3）设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为，将点的坐标代入可得答案．
【详解】（1）解：（1）由题可知：抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
∴抛物线为，
当时，，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）由题可知点坐标为，
则直线为，
∴，
答：的最大值为；
（3）设喷射架向后平移了米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：或（舍去），
答：喷射架应向后移动2米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
24．(1)①,；②；③
(2)
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
25．(1)；
(2)4米或2米．
【分析】（1）根据题意得到，抛物线的顶点，设，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）把代入二次函数解析式，解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）由题可知，抛物线的顶点，
设，
把代入得，
解得，
∴；
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
解得，，
答：聪聪站在距离点O的水平距离为4米或2米时，绳子刚好通过他的头顶上方．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，还考查了解一元二次方程，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．
