26.1 反比例函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南周口·九年级期末）如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：）的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
2．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数与（k为常数且）的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在反比例函数图像上，纵坐标分别为1，4，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作轴的垂线，垂足为B，若的面积为1，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数的图象上．过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接OP，OQ，PQ．若四边形OMPN的面积记作S1，△POQ的面积记作S2，则（ ）
A．S1：S2＝2：3 B．S1：S2＝1：1 C．S1：S2＝4：3 D．S1：S2＝5：3
7．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点作，垂足为，．反比例函数的图象经过点，与边交于点，连接，，．若，则的值为（ ）
A． B． C．7 D．
8．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，已知双曲线上有一点A，过点A作轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．
二、填空题
10．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，O是坐标原点，点A在函数的图象上，轴于B点，的面积为4，则k的值为 ．
11．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“>”，“<”或“=”连接）．
12．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是x＜﹣2或 ．
13．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）反比例函数的图象在二、四象限内，请写出一个满足条件的反比例函数表达式 ．
14．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，OP=AB，四边形ABPO的面积为6，则这个反比例函数的表达式为 ．
15．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数（x>0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为 ．
三、解答题
16．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，已知矩形的一个顶点的坐标为，反比例函数的图象经过矩形的对称中心，且与边交于点．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；
(2)若过点的直线将矩形的面积分成的两部分，求此直线的解析式．
17．（2022秋·河南驻马店·九年级期末）已知反比例函数（为常数，）的图像经过点．
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点，是否在这个函数的图像上，并说明理由；
(3)当时，求的取值范围．
18．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点D是点C关于x轴的对称点，求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
19．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点在轴上，且满足的面积等于18，请直接写出点的坐标．
20．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图像分别交于，两点，已知点坐标是，．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式：
(2)直接写出不等式的解集
(3)求的面积．
21．（2022秋·河南濮阳·九年级期末）如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点、．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式的解析式．
(2)根据图象直接写出时x的取值范围．
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
22．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）如图，点和均在反比例函数的图像上．
(1)求a，k的值；
(2)连接OA，OB，AB，求的面积．
23．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，一次函数y1＝﹣x+4与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A，B两点．
(1)点A的坐标是______，点B的坐标是______：
(2)点P是直线AB上一点，设点P的横坐标为m．
①当y1＜y2时，m的取值范围是______；
②点P在线段AB上，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP．若△POD的面积最小时，求m的值．
24．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）模具长计划生产面积为9，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为9，得．即；由周长为m，得，即，满足要求的．应是两个函数图像在第________象限内交点的坐标．
(2)画出函数图像
函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线 平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
(3)平移直线，观察函数图像
①当直线平移到与函数的图像有唯一交点（3，3），周长的值为________
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围；
(4)得出结论
若能生产出面积为9的矩形模具，则周长的取值范围为________
25．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出时x的取值范围；
(3)过点A作轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当时，求直线OP的解析式．
26．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．
(1)求点A，点B的坐标；
(2)点P是直线AB上一点，设点P的横坐标为m．填空：
①当时，求m的取值范围；
②点P在线段AB上，过点P作轴于点D，连接OP．若的面积最小时，求m的值．
27．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图所示，反比例函数的图象经过格点（网格线的交点）P．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两条直线（不写画法），要求这两条直线同时满足以下两个条件：①这两条直线将图中所示矩形OCPA面积四等分；②每条直线至少经过图中所示矩形OCPA边上的两个格点．（点O、C、P、A除外）（画出两种符合要求的画法）
28．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）已知反比例函数(为常数，)；
(1)若点在这个函数的图象上，求的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，求的取值范围．
29．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOD的顶点O与坐标原点重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，点D的坐标为(8，6)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)E是x轴正半轴上的动点，过点E作x轴的垂线交线段OA于点M，交双曲线于点P，在E点运动过程中，M点正好是线段EP中点时，求点E的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】根据储存室的体积底面积高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论．
【详解】解：由储存室的体积公式知：，
故储存室的底面积S（）与其深度之间的函数关系式为为反比例函数．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大．
2．C
【分析】同一个选项中分别判断出两个函数的k值，看符号是否一致即可得到答案．
【详解】解：A、由函数图象可知中，，中，，故此选项不符合题意；
B、由函数图象可知中，，中，，但是函数与y轴交于y轴正半轴，故此选项不符合题意；
C、由函数图象可知中，，中，，故此选项符合题意；
D、由函数图象可知中，，中，，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象的综合判断，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．．
3．C
【分析】过点A作轴，过B点作，交延长线于E，利用矩形性质及角相等来证明，根据A，B两点在反比例函数图像上，设带有k值的两点坐标，利用两边对应成比例求出k的值．
【详解】解：矩形的顶点A，B在反比例函数图像上，A的纵坐标为1，B的纵坐标为4，过点A作轴，过B点作，交延长线于E．
，
，
，，
，
，
，
设，，
则，，，，
，
，
，
解得：，
反比例函数在第二象限，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图像性质，反比例函数与几何知识相结合的应用，证明，利用两边对应成比例是解答本题的关键．
4．D
【分析】利用反比例函数k的几何意义以及的面积，即可求出k的值即可．
【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，且的面积为1，
∴，
∵反比例函数的图象经过二、四象限，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
5．D
【分析】根据反比例函数的图像与性质，当时，在每一个象限内随的增大而增大，由于、在第二象限，，则；在第四象限，，从而得到答案．
【详解】解：点、、都在反比例函数的图像上，
当时，在每一个象限内随的增大而增大，
、在第二象限，，
，
在第四象限，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数增减性判定自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据图象上点的坐标特征求出P（4，1），Q（-2，-2），根据反比例函数比例系数k的几何意义求得S1=4，然后根据求得S2=3，即可求解．
【详解】解：∵点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数的图象上．
∴，解得：m=4，n=-2，
∴点P（4，1），点Q（﹣2，-2），
∵过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N．
∴S1=4，
如图，过点Q作QK⊥PN交PN于点K，
∴，
∴，
∴S1：S2＝4：3．
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，分别求得S1、S2的值是解题的关键．
7．A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，可得AG⊥x轴；利用AO⊥AD，AO＝AD证明△DAE≌△AOG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形ABCD是菱形，可得AD＝CD＝DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA＝3a，求出EG＝AE＋AG＝7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k＝21a2．证明四边形AGHF为矩形，则FH＝AG＝4a，可得点F的坐标为（a，4a），利用S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF S△OFH，列出关于a的方程，求得a2的值，则k的值可求．
【详解】解：如图，延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，
∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，
∴AG⊥x轴．
∵AO⊥AD，
∴∠DAE＋∠OAG＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE＋∠D＝90°．
∴∠D＝∠OAG，
在△DAE和△AOG中，，
∴△DAE≌△AOG（AAS），
∴DE＝AG，AE＝OG，
∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，
∴AD＝CD＝DE，
设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，
∴OG＝AE＝＝3a，
∴EG＝AE＋AG＝7a，
∴E（3a，7a），
∵反比例函数的图象经过点E，
∴k＝21a2，
∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG，
∴四边形AGHF为矩形，
∴HF＝AG＝4a，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴x＝，
∴F（，4a），
∴OH＝，FH＝4a，
∴GH＝OH OG＝，
∵S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF S△OFH，S△EOF＝，
∴OG EG＋（EG＋FH） GH－OH HF＝，
∴×21a2＋ (7a＋4a)×－×21a2＝，
解得：a2＝，
∴k＝21a2＝21×＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形判定与性质，菱形的性质，勾股定理等．熟练掌握利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
8．B
【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，进而可表示AB的长度，然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：设A的纵坐标是b，
∵四边形是平行四边形，
∴点B的纵坐标也是b，
把y=b代入得，，
∴A的横坐标是，
把y=b代入得，，
∴B的横坐标是，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是解决本题关键．
9．D
【分析】根据双曲线的性质，设，结合坐标的性质分析，即可得到答案．
【详解】双曲线上有一点A，
设，且
∴，即
∵过点A作轴于点B，
∴
∴，
∴△AOB的面积
故选：D．
【点睛】本题考查了双曲线、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握双曲线的性质，从而完成求解．
10．﹣8
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝4，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【详解】解：∵AB⊥x轴，
∴＝|k|，即|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故答案为﹣8．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，准确计算是解题的关键．
11．/y2>y1>y3
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：∵反比例函数y（k＜0），
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，且当x＞0时，y＜0，当x＜0时，y＞0，
∵A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）三点都在该反比例函数的图象上，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
12．0＜x＜1
【分析】观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象的下方时对应的x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，y1＜y2时的x的取值范围为：x＜ 2或0＜x＜1，
故答案为：0＜x＜1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
13．（答案不唯一，k小于0即可）
【分析】反比例函数图像位于二四象限，只要满足k<0即可．
【详解】解：当反比例函数的图象在二、四象限内时．
k<0．
∴该函数可以为：．
故答案为：（答案不唯一，k<0即可）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限内；当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限内．
14．
【分析】先设反比例函数解析式为y= (k≠0) ，根据OP=AB，四边形ABPO的面积为6，可求出△ABO的面积，再利用反比例函数k的几何意义及反比例函数图象位于第二象限，即可确定k的值．
【详解】解：如图所示
设反比例函数解析式为 y= (k≠0)，
由图知：AB∥PO，AB=PO
∴四边形AOPB为平行四边形；
∴S△AOB=四边形ABPO的面积=,
∴
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，
∴k=-6，
∴反比例函数解析式为： y= ．
故答案为： y= ．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值是解题的关键．
15．
【分析】根据反比例函数点的特征求解即可；
【详解】过点B作轴，过点A作轴，
设，
∵∠OAB=30°，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴△BCO∽△ODA
∴，
∴，
∵，
∴，
∵经过点B的反比例函数在第二象限，
∴；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解，勾股定理计算，角所对直角边是斜边一半，准确分析计算是解题的关键．
16．(1)，；
(2)或．
【分析】（1）根据中心对称求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出，然后根据点的纵坐标与点的纵坐标相等代入求解即可得到点的坐标;
（2）设直线与轴的交点为，根据点的坐标求出，再根据梯形的面积分两种情况求出的长，然后写出点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．
【详解】（1）∵点坐标为，为矩形的对称中心，
∴的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在上，
∴点的纵坐标为，
∴时，，
∴的坐标为．
（2）如图，设直线与轴的交点为，
，
由题意得：，
∵矩形的面积分成的两部分，
∴梯形的面积为或，
∵的坐标为，
∴①若，解得：，
此时点的坐标为，
∴当，时，，
解得：，
此时直线的解析式为，
②若，解得：，
此时点的坐标为，与点重合，
∴当，时，，
解得：，
此时直线的解析式为，
综上所述：此时直线的解析式为或．
【点睛】此题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，根据中心对称求出点的坐标是解题的关键．
17．(1)
(2)点不在这个函数的图像上，点在这个函数的图像上，理由见详解
(3)
【分析】（1）把点的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得的值；
（2）只要把点的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图像上；
（3）根据反比例函数图像的增减性解答问题即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数（为常数，）的图像经过点，
∴把点的坐标代入解析式，得，解得，
∴这个函数的解析式为；
（2）∵反比例函数解析式为，
∴，
分别把点，的坐标代入，得
，则点不在该函数图像上；
，则点在函数图像上；
（3）∵，
∴当时，随的增大而减小，
∵当时，，当时，，
∴当时，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征和待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题关键．
18．(1)反比例函数得解析式为，一次函数的解析式为
(2)16
(3)或
【分析】（1）由点，点是的图象与直线的交点，则，解得，得到，，，得到反比例函数解析式，再用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）求出点，得到，即可得到答案；
（3）根据图象位置得到解集即可．
【详解】（1）解：∵点，点是的图象与直线的交点，
∴，
解得，
∴，，，
∴反比例函数得解析式为，
将点，代入一次函数中，
得 解得
∴一次函数的解析式为，
（2）对于直线，
令，得，
∴点C的坐标为，
∵点D是点C关于x轴的对称点
∴点，
∴，
∴；
（3）由题图可知，不等式的解集为或．
【点睛】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
19．(1)，
(2)点P的坐标为或
【分析】（1）将点B坐标代入反比例函数解析式求出m，将点A的坐标代入反比例函数的解析式求出n，再将点A，B的坐标代入一次函数的解析式即可；
（2）设点P的坐标为，求出直线与x轴交点坐标，结合的面积等于18列出关于a的方程，解之即可．
【详解】（1）解：将点代入中，得
，
∴，
将点代入，得，
解得，
∴，
将点，两点代入，得
，
解得，
∴
（2）令中，得，
解得，
∴直线与x轴交点坐标为，
设点P的坐标为，
∵的面积等于18，
∴，即，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题，待定系数法求函数的解析式，较复杂的图形面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
20．(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）如图所示（见详解），过点作轴于，过点作于，得，根据点坐标是，，可求出点，的坐标，用待定系数法即可求出一次函数解析式，把点代入反比例函数可求出反比例函数解析式；
（2）由（1）可求出图像的两个交点，求一次函数小于反比例函数的解集，根据图像及交点坐标即可求解；
（3）如图所示（见详解），过点作轴于，且，，，由此可求出，，的长，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于，过点作于，
∵由作图可知，轴，
∴，，且，
∴，
∴，，
∵点坐标是，
∴，则，即为等腰直角三角形，且，
∴，为等腰直角三角形，
∴，，
将，代入一次函数得，
，解方程组得，，
∴一次函数的解析式为：，
把代入反比例函数，得，
∴反比例函数的解析式为：，
∴一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：．
（2）解：由（1）得一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：，
∴联立方程组求交点得，解方程组得，或，
∴，
∴不等式的解集为：或．
（3）解：如图所示，过点作轴于，且，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，图像的交点，图像的性质特征是解题的关键．
21．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或
(3)（2.5，0）
【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）由函数图象可知不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方自变量的取值范围，据此求解即可；
（3）过点A作A关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于P，点P即为所求；
（1）
解：∵一次函数与反比例函数（）的图象交于点、，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为（3，1），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）
解：∵，
∴，
由函数图象可知，不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或；
（3）
解：过点A作A关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于P，点P即为所求，
∵点A的坐标为（1，3），
∴点D的坐标为（1，－3），
设直线BD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为，
当y=0时，，
∴点P的坐标为（2.5，0）；
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题，一次函数与坐标轴的交点问题，正确求出一次函数与反比例函数解析式是解题的关键．
22．(1)，
(2)
【分析】（1）先将代入求得k，然后再将代入解析式求得a即可；
（2）过点B，A分别作BC，AD垂直于x轴，垂足分别为C、D，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数图像上
∴∴
∵点在反比例函数图像上
∴
∴．
（2）解：如图：过点B，A分别作BC，AD垂直于x轴，垂足分别为C，D
．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、求反比例函数函数值以及与几何的综合，求出反比例函数解析式以及正确做出辅助线成为解答本题的关键．
23．(1)（1，3）；（3，1）
(2)①0＜m＜1或m＞3；②若△POD的面积最小时，m的值为1或3
【分析】（1）将y1＝﹣x+4代入y2＝中可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再利用一次的数图象上点的坐标特征，即可求出点A，B的坐标；
（2）①观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，可得出当y13；
②由原P的横坐标可得出点P的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△POD关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：（1）将y1＝﹣x+4代入y2＝得：-x+4=，
整理得：x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
经检验，x1=1，x2=3是原方程的解，且符合题意．
当x=1时，y1=-1+4=3，
∴点A的坐标为（1，3）；
当x=3时，y1=-3+4=1，
∴点B的坐标为（3，1）．
故答案为：（1，3）；（3，1）．
（2）①观察两函数图象的上下位置关系，可知：
当03时，一次函数y1＝﹣x+4的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，
∴当y13．
故答案为：0＜m＜1或m＞3．
②∵点P在线段AB上，
∴1≤m≤3，点P的坐标为（m，﹣m+4）．
∵PD⊥x轴于点D，
∴PD＝﹣m+4，OD＝m，
∴S△POD＝PD OD＝（﹣m+4） m＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2．
∵﹣＜0，
∴当1≤m≤2时，S△POD随m的增大而增大；
当2≤m≤3时，S△POD随m的增大而减小．
当m＝1时，S△POD＝﹣（1﹣2）2+2＝；
当m＝3时，S△POD＝﹣（3﹣2）2+2＝．
∵＝，
∴若△POD的面积最小时，则m的值为1或3．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，通过解方程求出两点的横坐标；（2）①利用数形结合，解决问题；②利用三角形的面积计算公式，找出S△POD关于m的函数关系式．
24．(1)一 ；
(2)画图见解析；
(3)①12 ，②时，没有交点；时，有2个交点；
(4)
【分析】（1）根据反比例的图象在第一象限即可得出；
（2）过原点及（1，-1）即可得直线，
（3）①把点（3，3）代入即可求解；
②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和，并整理得：即可求解；
(4）由（3）可得．
【详解】（1）∵的图象位于第一象限，
∴ 两个函数图像的交点在第一象限内，
故填：一；
（2）
（3）① 把点（3，3）代入得：3=-3+，
解得：m=12，
故答案为：12．
②由①知：0个交点时，0＜m＜12；2个交点时，m＞12；1个交点时，m=12；
（4）联立和，并整理得：，
=时，两个函数有交点，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
25．(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）将点分别代入和，即可求解；
（2）观察图象，写出一次函数位于反比例函数下方的部分对应的取值范围即可；
（3）依照题意，画出图形，先求出四边形，再根据，即可求出的长度，即可得点的坐标，设直线的解析式为，将点坐标代入即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，，解得；
将点代入，，解得：．
∴一次函数的解析式为，反比例函数的表达式为．
（2）解：由图象可知，当或时，一次函数落在反比例函数的下方，即
∴不等式的解集为：或
（3）解：依照题意，画出图形，如图所示．
当时，
∴点的坐标为
当时，，∴点的坐标为
∴
又∵
∴
∴，即点的坐标为
设直线的解析式为，将点代入，得，解得
∴直线的解析式为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，正确求出解析式、依照题意正确画出图象是解答本题的关键．
26．(1)，
(2)①当时，m的取值范围是03；②m＝1或3
【分析】（1）将y1=-x+4代入中可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A，B的坐标；
（2）①观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，可得出当y1＜y2时，m的取值范围是0＜m＜1或m＞3；
②由点P的横坐标可得出点P的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△POD关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：将代入得，
整理得，
解得，，
经检验，，是原方程的解，且符合题意．
当时，，
∴点A的坐标为；
当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：①观察两函数图象的上下位置关系，可知：
当03时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
∴当时，m的取值范围是03；
②∵点P在线段AB上，
∴，点P的坐标为．
∵轴于点D，
∴，，
∴．
∵，
∴当时，随m的增大而增大；
当时，随m的增大而减小．
当m＝1时，；
当m＝3时，．
∴的面积最小时m＝1或3．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，通过解方程求出两点的横坐标；（2）①利用数型结合，解决问题；②利用三角形的面积计算公式，找出S△POD关于m的函数关系式．
27．(1)
(2)画图见解析
【分析】（1）根据待定系数法可求得；
（2）先确定直线经过矩形的对称中心，再利用矩形的对角线的性质结合矩形是中心对称图形确定把面积四等分即可；
【详解】（1）解：由图象可得，点P的坐标为（8，4），
把P（8，4）代入得：k=8×4=32，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图所示：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，矩形与性质，正确理解题意是解题的关键．
28．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解；
（2）根据这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，可知，进而求出的取值范围．
【详解】（1）∵点在这个函数的图象上，
∴，
解得．
故答案是．
（2）在函数图象的每一分支上，随的增大而增大，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，会灵活运用反比例函数图象的性质是解本题的关键．
29．(1)y=；
(2)E(4，0)
【分析】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，由点D的坐标为（8，6），得到OF=8，DF=6，求得点A坐标为（8，16），于是得到结论；
（2）求得OA的表达式为y=2x，设E点坐标为（m，0），则M点坐标（m，2m），F点坐标(m，)，得到P（m，4m），根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵四边形ABOD是菱形，
∴AD∥BO，
∴A、D、O在同一直线上，
∵点D的坐标为（8，6），
∴OF=8，DF=6，
∴OD=10，
∴AD=10，
∴点A坐标为（8，16），
∴k=xy=8×16=128，
∴反比例函数表达式为y=；
（2）解：∵点A坐标为（8，16），
∴OA的表达式为y=2x，
设E点坐标为（m，0），则M点坐标（m，2m），F点坐标（8，0），
∵M点正好是线段EP中点，
∴P（m，4m），
∴，
解得：m=4或m= 4(不合题意，舍去)，
∴E(4，0)．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，菱形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．26.2 实际问题与反比例函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，该气球的体积应（ ）
A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
2．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）港珠澳大桥桥隧全长55千米，其中主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过时，汽车的平均速度 v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为（ ）
A． B． C．v=29．6t D．
3．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当时， D．当时，
4．（2022秋·河南周口·九年级期末）如图，在轴正半轴上依次截取，过点、、、……分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…、，连接、、…，，过点、、…、分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）.
A． B． C． D．
5．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
6．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图像的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
二、填空题
7．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……，重复上述程序（如图所示），那么开机后50分钟时，水的温度是 ℃．
8．（2022秋·河南郑州·九年级郑州中学期末）我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）．则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是 ．
9．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，图像如图所示，则这个反比例函数解析式为 ．
10．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是 .
11．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题
12．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分）．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求出线段OA和双曲线函数表达式；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于3毫克时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？
13．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)这个反比例函数的关系式是______；蓄电池的电压是______；
(2)把下表补充完整：
3 4 5 6 7 8 9 10
12 4 3.6
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
14．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）在某一电路中，保持电压 U（V）不变，电流 I（A）是电阻 R（ ）的反比例函数，如图是某电路电流、电阻的关系图，其图象经过点 A（4，9）．
(1)求 I与 R的函数表达式；
(2)当电阻为 3 时，求电流大小；
(3)如图该电路的限制电流不能超过10A，那么该电路的可变电阻控制在什么范围？
15．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．
(1)若人和木板对湿地地面的压力一定时，木板对烂泥湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示．
①求出与的函数解析式；
②当木板面积为时，压强是多少？
(2)已知该科技小组每个成员的体重与每块木板重量之和在之间，若要求压强不超过5000Pa，要确保每个人都能安全通过湿地，木板的面积至少要多大？
16．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
17．（2022秋·河南信阳·九年级期末）某药研所研发了一种治疗某种疾病的新药，经测试发现：新药在人体的释放过程中，10分钟内（含10分钟），血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的关系满足；10分钟后，y与x的关系满足反比例函数．部分实验数据如表：
时间x（分钟） … 10 15 …
含药量y（微克） … 30 20 …
（1）分别求当和时，y与x之间满足的函数关系式．
（2）据测定，当人体中每毫升血液中的含药量不低于3微克时，治疗才有效，那么该药的有效时间是多少？
18．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时).
(1)求关于的函数表达式.
(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
19．（2022秋·河南驻马店·九年级期末） 定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象，则是y与x的“反比例平移函数”．
（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为 ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．
（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．
20．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温（℃）与时间（）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
参考答案：
1．B
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1，96）故P V=96；故当P≤144，可判断V≥．
【详解】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P=
∵图象过点（1，96）
∴k=96，
即P=
在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤144时，V≥．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
2．D
【分析】先找到要行驶的路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可．
【详解】解：由主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过知行驶的路程为29.6千米，得到汽车的平均速度 v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
3．C
【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；
当时，，该项正确；
当当时，，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
4．B
【分析】由可设点的坐标为（1，），点的坐标为（1，），点的坐标为（1，）…点的坐标为（1，），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出的值，再由三角形的面积公式可以得出…的值，即可得出答案.
【详解】∵
∴设（1，），（1，），（1，）…（1，）
∵、、、…、在反比例函数的图像上
∴
∴
∴
∵
∴
…
∴
因此答案选择B.
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.
5．D
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为y=，
把（1，200）代入得，k=200，
∴反比例函数的解析式为：y=，
当x=4时，y=50，
∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
C、当y=100时，则100=，
解得：x=2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项正确，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：y=30x-70，
故y=200时，200=30x-70，
解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
6．C
【分析】本题首先利用待定系数法确定反比例函数解析式，继而根据题目已知列不等式关系，最后求解不等式解答本题．
【详解】假设反比例函数关系式为：（其中为常数且不为零，为正数），
由图可知点(1,3)在反比例函数上，故将点代入函数可得：，故．
∵，
∴，
解上述不等式得：，即时间不小于．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，待定系数法求比例系数k是解题第一步，后续不等式求解，需要注意如果涉及负数需要变号．
7．80
【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y与开机时间x的函数关系式；由点(8，100)，利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y与开机时间x的函数关系式，再将y=20代入该函数关系式中求出x值即可，由50－40=10>8，将x=10代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论．
【详解】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y=kx+b，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：y=10x＋20；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：，
依据题意，得：，
解得：m=800，
∴，
当y=20时，，
解得：t=x=40，
∵50－40=10＞8，
∴当x=10时，．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求一次(反比例)函数解析式以及一次(反比例)函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式
8．
【分析】根据函数图像求得正比例函数和反比例函数，进而根据题意求得时的自变量x的取值范围．
【详解】解：根据题意设时，正比例函数为，时，反比例函数为，将点代入，得
，
当时，当时，
当时，当时，
根据函数图像可知，则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键．
9．
【分析】直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
【详解】设，
把(8，6)代入得：，
解得，，
∴这个反比例函数的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键．
10．3
【分析】令PQ与x轴的交点为E，根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点P在双曲线上，由双曲线解析式中k的几何意义可知△OPE的面积恒为2，故当△OEQ面积最大时△的面积最大.设Q（a，）则S△OEQ= ×a×（）==，可知当a=2时S△OEQ最大为1，即当Q为AB中点时△OEQ为1，则求得△面积的最大值是是3.
【详解】
∵交x轴为B点，交y轴于点A,
∴A（0，-2），B（4，0）
即OB=4，OA=2
令PQ与x轴的交点为E
∵P在曲线C上
∴△OPE的面积恒为2
∴当△OEQ面积最大时△的面积最大
设Q（a, ）
则S△OEQ= ×a×（）==
当a=2时S△OEQ最大为1
即当Q为AB中点时△OEQ为1
故△面积的最大值是是3.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.
11．4
【分析】先利用反比例函数解析式y＝确定P点坐标为（2，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的.
【详解】解：把P(2a，a)代入y＝得:
2a a=2，解得a=1或-1，
∵点P在第一象限，∴a=1，
∴P点坐标为(2，1)，
∴正方形的面积=4×4=16，
∴图中阴影部分的面积=×正方形的面积=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形．根据对称性理解阴影部分的面积是正方形面积的是关键.
12．(1)（x≥16），；
(2)至少在60分钟内不能；
【分析】（1）由（24，8）可得反比例函数解析式，进而可得A点坐标，再由A点坐标可得正比例函数解析式；
（2）根据函数图象求得y≥3时，自变量的取值范围，再计算时间差即可解答；
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
将代入解析式得，
∴反比例函数解析式为，
将代入解析式得，，，
故点坐标为，
∴反比例函数解析式为（x≥16），
设正比例函数解析式为，
将代入得：，
∴正比例函数解析式为，
（2）解：由可得：当时，，
由可得：当y=3时，x=4，
由函数图象可得：当4≤x≤64时，y≥3毫克，
∵64-4=60分钟，
∴师生至少在60分钟内不能进入教室；
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，正比例函数解析式，一元一次不等式的应用，掌握数形结合的思维是解题关键．
13．(1)；36伏；
(2)图表见解析；
(3)用电器可变电阻应大于等于3.6Ω；
【分析】（1）根据反比例函数定义列解析式，再求k值即可；
（2）根据自变量R的值求I的值即可；
（3）根据电流不超过10A，列不等式，解不等式即可；
【详解】（1）解：由题意得：反比例函数为，
（9，4）代入得：k=36，即电压是36伏；
（2）解：完整表如下，
3 4 5 6 7 8 9 10
12 9 6 4 3.6
（3）解：∵I≤10（A），∴≤10，解得：R≥3.6（Ω），
∴用电器可变电阻应大于等于3.6Ω；
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用；反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此可以写成xy=k（k≠0，x≠0，y≠0）的形式．
14．(1)I与 R的函数表达式为 ；
(2)当电阻为 3 时，电流大小为12A；
(3)该电路的可变电阻控制在什么范围是Ω.
【分析】（1）由题意得，利用待定系数法求解即可；
（2）直接将代入I与R的函数关系式求解即可；
（3）计算当电路中电流为10A时的可变电阻值，由函数图像可知：电路中可变电阻越大，电流越小，以此判断可变电阻控制范围即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
∵图象过点A(4，9)，
∴（V）．
∴I与R的函数表达式为．
（2）解：当Ω时，（A），
∴电流大小为12A．
（3）解：由函数图像可知，电路中可变电阻越大，电流越小，当A时，
Ω
所以，该电路的限制电流不能超过10A时，可变电阻控制范围为Ω．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式以及反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质．
15．(1)①，；
(2)木板的面积至少要
【分析】①根据压强与面积的关系设函数关系，代入一个已知点的坐标求解即可．
②代入函数解析式即可．
(2) 由题意可得人与木板对湿地地面的最大压力为750N，此时有，当时代入数据求解即可．
【详解】（1）①设与的函数关系式为，由图可知，当时，
所以有，解得：．
即与的函数解析式为：．
②把代入得：
答：当木板面积为时，压强是2000Pa．
（2）（2）由题意可得：人与木板对湿地地面的最大压力为750N，此时有，
当时，所以．
答：木板的面积至少要
【点睛】本题考查反比例函数与实际问题，解题的关键是根据图形求出反比例函数的解析式代入数据求解即可．
16．（1）20；（2）能，见解析
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论
【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴．将x=45代入
将x=45代入得：
点对应的指标值为．
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．
∴直线的解析式为．
由题得，解得．
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。
17．（1）当时，；当时，；（2）99分钟
【分析】（1）根据题意及图表数据列式求解即可求解．
（2）将y=3代入，分别得出时间，求时间差即可得出结果．
【详解】解：（1）当时，将代入，
解得，即；
当时，将代入中，
解得，即．
（2）当时，，
解得；
当时，，解得，
∴有效时间为（分钟）．
【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数及反比例函数的解析式及函数的实际应用，解题的关键是理解题意并通过题意获得解决问题所需的相关数据．
18．(1)v=；(2)平均每小时至少要卸货20吨．
【分析】（1）直接利用vt=100进而得出答案；
（2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案．
【详解】(1)由题意可得：100=vt，
则；
(2)∵不超过5小时卸完船上的这批货物，
∴t≤5，
则v≥=20，
答：平均每小时至少要卸货20吨．
【点睛】考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
19．（1），是；（2），；（3）（7，5）或（15，）．
【分析】（1）根据新矩形的面积为8cm2，则长乘以宽等于面积，即可得到一个关于x，y的方程，即可变形成函数的形式，进行判断．
（2）把B和Ｅ的坐标代入即可列方程求得a、k的值，则函数解析式即可求解．
（3）由反比例函数的中心对称性，四边形PEQB为平行四边形，设P1（x0，y0），根据S△OP1E=S四边形ONMC-S△OCP1-S△MP1E-S△ONE．即可列方程求解．
【详解】（1）∵（x+2）（y+3）=8，
∴向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．
∴是“反比例平移函数”．
（2）由题意知，点B（9，3），过点E作EG⊥OA于点G，
∵BC∥OD，
∴，
，
∵EG∥OC，
∴，
∴GE=1，，
∴，
即E(3，1)
把B和E的坐标代入得：，解得：．
则“反比例平移函数”的表达式为．
故变换后的反比例函数表达式为．
（3）如图，当点P在点B左侧时，设线段BE的中点为F，由反比例函数中心对称性，四边形PEQB为平行四边形．
∵四边形PEQB的面积为16，
∴S△PFE=4，
∵B（9，3），F（6，2）．是的“反比例平移函数”，
∴S△PFE=S△POE=4，点E的坐标是（3，1）．
过E作x轴的垂线，与BC、x轴分别交于M、N点．
S△OP1E=S四边形ONMC-S△OCP1-S△MP1E-S△ONE．
设P1（x0，y0），
∴，即，解得．
∴P1（1，3），
∴点P的坐标为（7，5）．
当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为（15，）．
综上所述，点P的坐标为（7，5）或（15，）．
【点睛】本题是反比例函数综合题；考查了新定义，平移的性质，转换思想和分类思想的应用．灵活运用这些知识是关键．
20．（1）与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；（2）她最多需要等待分钟；
【分析】（1）分情况当，当时，用待定系数法求解；（2）将代入，得，将代入，得，可得结果.
【详解】（1）由题意可得，
，
当时，设关于的函数关系式为：，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，，
∴与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将代入，得，
将代入，得，
∵，
∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待分钟；
【点睛】考核知识点：一次函数和反比例函数的综合运用.根据实际结合图象分析问题是关键.
