27.1 图形的相似 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南郑州·九年级期末）已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）下列各组线段中，成比例的一组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）下图中是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，四边形四边形，，，，则边的长是（ ）
A．10 B．12 C． D．
7．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（ ）
A．相似
B．平移
C．轴对称
D．旋转
8．（2022秋·河南南阳·九年级期末）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积
9．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，中，，，，，则的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
11．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，，，，则长为（ ）
A． B． C．2 D．
12．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，AE＝1，则EC等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在△ABC中， AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN，分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
18．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
二、填空题
19．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）已知，则 ．
20．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）若2a＝3b，且ab≠0，则 ．
21．（2022秋·河南洛阳·九年级期末）已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ ．
22．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段 ．
23．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，直线a∥b∥c，则图中x的值为 ．
24．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连接交于点．则= ．
25．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）若线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm．
三、解答题
26．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E．
(1)任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于F．若，，直接写出线段FC的长．
27．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图：
(1)如图1，边长为的正方形对角线与相交于点，且正方形绕点旋转时，交边于点，交边于点．则图中阴影部分（四边形）的面积为______；（用含的代数式表示）
(2)如图2，已知中，，，平分，点为的中点．正方形绕点旋转时，交边于点，交边于点．求图中阴影部分（即四边形）的面积；
(3)如图3，与均为等腰直角三角形，，，．是斜边上的中线，点为的中点，交边于点，交边于点．设两三角形重叠部分（阴影部分）的面积为，已知，当两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2时，直接写出阴影部分面积的值．
参考答案：
1．D
【分析】把原式变形为，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，根据题意，把原式变形为是解题的关键．
2．A
【分析】由，结合比例的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴a=b，c=d，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
3．A
【分析】因为点是线段的黄金分割点，且，可得，再利用 即可求得的长．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，
∴，即，
又∵，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割的问题，理解掌握黄金分割的概念是解题的关键．
4．B
【分析】根据比例线段的定义：（a、b、c、d分别是4条线段的长）就称这组线段成比例，进行判断求解即可.
【详解】解：A、，，，，不成比例，故此选项错误；
B、，，，，可以得到，成比例，故此选项正确；
C、，，，，不成比例，故此选项错误；
D、，，，，不成比例，故此选项错误；
故选B.
【点睛】本题主要考查了比例线段的定义，解题的关键在于能够熟练掌握比例线段的定义.
5．A
【分析】根据相似的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中两图形相似，正确，符合题意；
B中一个正方形一个矩形，两图形不相似，错误，不符合题意；
C中一个圆一个椭圆，两图形不相似，错误，不符合题意；
D中两三角形一个钝角三角形，一个锐角三角形，两图形不相似，错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了相似图形的定义．解题的关键在于对相似定义的熟练掌握．
6．C
【分析】由四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将AB=12，CD=15，A1B1=9代入，计算即可求出边C1D1的长．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，
∴C1D1==．
故选C．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键．
7．A
【详解】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的特点，结合图形即可得出答案．
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换.
故选A.
点睛：本题主要考查相似的概念.熟记各种图形变换的概念是解题的关键.
8．B
【详解】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；
∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；．
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误；
∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误．
故选B．
点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比．
9．C
【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．
10．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理及推论求解即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴AD∶BD=AE∶CE=5∶2，
∵EF∥AB，
∴CE∶AE=CF∶BF=2∶5，
∵CF=4，
∴BF=10，
∴BC=14，
∵DE∶BC=AD∶AB=5∶7，
∴DE=10，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理（推论）：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（平行于三角形一边的直线，截其他两边或两边延长线所得的对应线段成比例）；掌握定理是解题关键．
11．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，构建方程即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理写出比例式是解题的关键．
12．C
【分析】利用平行线分线段成比例可求得的长，则由线段的差即可求得结果．
【详解】，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．
13．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
14．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，，进而求解．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
15．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，同理得到，计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可．
【详解】∵DE∥BC，∴，即，解得：AC＝3，∴EC=AC－AE=3-1=2．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．D
【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可．
【详解】∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴
∴BE=8，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
18．D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．
故选：D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
19．/0.6
【分析】把化成，再代值计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
20．
【分析】根据比例的基本性质进行转化可求解．
【详解】解：∵2a=3b，且ab≠0，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
21．2
【分析】利用相似多边形的性质解决问题即可．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，
∴，
∵AB＝2，
∴A′B′＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．
22．/1.5
【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的行线于点D，根据题意，，
所以．
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
23．
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
24．
【分析】连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.
【详解】连接CE，设CD=2x，
在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30 ，
∴∠D=60 ，AD=4x，AC=，
BC==x，AB=x，
∵点E为AD的中点，
∴CE=AE=DE==2x，
∴ΔCED为等边三角形，
∴∠CED=60 ，
∵∠BAD=∠BAF+∠CAD=30 +30 =60 ，
∴∠CED=∠BAD，
∴AB∥CE，
∴，
在ΔBAE中，∵∠BAF=∠CAD=30
∴AF平分∠BAE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了含30 的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.
25．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段，则AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．
【详解】解：∵线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB＝×＝（cm）．
故答案为：．
【点睛】此题考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割比的值是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)13
【分析】（1）根据得到，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，根据∠1＝∠2，∴得到∠ACE＝∠E，AE＝AC，得到；
（2）根据AD平分∠BAC，AB=11，AC=15得到，得到，根据E是BC的中点，得到，根据EF∥AD，得到，
CF=13．
【详解】（1）证明：证明的剩余部分，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，
∴，
即．
（2）解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
∵EF∥AD，
∴，
∴CF=13．
【点睛】本题考查了角平分线性质的证明和应用，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，线段的和差倍分关系．
27．(1)；
(2)；
(3)或
【分析】（1）根据正方形的性质证明△AOH≌△BOR，即可得到S阴影=，由此得到答案；
（2）方法一：过点作分别与，交于点，，连接，．得到，推出点，，分别为，，的中点，证得四边形为正方形．根据（1）求出阴影部分的面积．
方法二：过点作，分别与，交于点，．证明．由求出答案；
（3）先求出OE=OF=3，根据面积差为2列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线与，
∴OA=OB，，
∵∵四边形OEFG是正方形，
∴，
∴，
∴,
∴△AOH≌△BOR，
∴S阴影==，
故答案为：；
（2）解：方法一：
如图，过点作分别与，交于点，，连接，．
∴，
又∵，平分，
∴，．
由上可知，点，，分别为，，的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，，
∴四边形为正方形．
由（1）可得：．
方法二：过点作，分别与，交于点，．
∴，又，∴
又∵，平分，
∴，，．
，
∴，∴．
所以．
（3）解：∵，，，
∴OE=OF=3，
设，
由（2）可知
当S△ABC-S△EOF=2时，
，
解得=13，
∴=；
当S△EOF- S△ABC = 2时，
，
解得=5，
∴=；
综上，阴影部分面积S的值为或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的实际应用，正确理解正方形的性质是解题的关键．27.2.1 相似三角形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）
A．都相似 B．都不相似
C．只有①相似 D．只有②相似
3．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．甲与丙相似，乙与丁相似
B．甲与丙相似，乙与丁不相似
C．甲与丙不相似，乙与丁相似
D．甲与丙不相似，乙与丁不相似
4．（2022秋·河南洛阳·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB
6．（2022秋·河南南阳·九年级期末）如图，在中，为上一点，下列四个条件中：①；②；③﹔④能满足与相似的条件是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，点P是的边AC上一点，如果添加一个条件后可以得到，那么以下添加的条件中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP×AB D．
9．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A． B．∠ADC＝∠ACB C．∠ACD＝∠B D．AC2=AD·AB
10．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，下列选项中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
13．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件 ，使．
15．（2022秋·河南商丘·九年级期末）如图所示，添加一个条件 ，△ADB ∽△ABC．
16．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB ．
17．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，在中，，分别为边、AC上的点，，,点F为BC边上一点，添加一个条件: ，可以使得与相似.（只需写出一个）
18．（2022秋·河南漯河·九年级期末）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点D从A出发以每秒个单位的速度向点B运动，同时点E从点B出发以每秒4个单位的速度向点C运动，在DE的右侧作∠DEF＝∠B，交直线AC于点F，设运动的时间为t秒，则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，t的值为 ．
三、解答题
19．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
20．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．
21．（2022秋·河南郑州·九年级期末）如图所示，是的外接圆，为直径，的平分线交O于点D，过点D作，分别交，的延长线于点E，F．
（1）求证：是的切线；
（2）填空：
①当的度数为_________时，四边形为菱形；
②若的半径为，，则的长为_________．
22．（2022秋·河南周口·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
23．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝DE＝AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．
（1）[问题发现]
①当θ＝0°时，＝ ； ②当θ＝180°时，＝ ；
（2）[拓展研究]
试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）[问题解决]
在旋转过程中，BE的最大值为 ．
参考答案：
1．D
【分析】先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：，
，
A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；
D、添加，不能判定，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
2．A
【分析】根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可．
【详解】在图①中：第一个三角形三个角分别为：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；
第二个三角形的两个角分别为：75°，70°；
故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似；
在图②中：∵，，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△DOB,
故都相似．
故选：A
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．
3．A
【分析】利用已知条件得到即，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．
【详解】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，
即，
而∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∵，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
4．B
【分析】由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；
【详解】解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
5．D
【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；
故选D．
【点睛】考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案．
【详解】解：①∵，
∴，
又∵，
∴；
②∵，
∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似；
③∵，，
∴；
④，，
∴．
综上所述，能满足与相似的条件是①③④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
7．D
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A.当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B.当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C.当AB2＝AP AC，即时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D.无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
8．D
【分析】根据三角形相似的判定条件对各个条件逐条分析，即可得出结果．
【详解】A.当∠ACP=∠B，∠A=∠A时，△APC∽△ACB，故A不符合题意；
B.当∠APC=∠ACB，∠A=∠A时，△APC∽△ACB，故B不符合题意；
C.当AC2=AP AB，即AC：AB=AP：AC时，结合∠A=∠A，可以判定△APC∽△ACB，故C不符合题意；
D.当时，不能判断△APC和△ACB相似，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
9．A
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】解：A．添加不能证明△ACD∽△ABC，故A符合题意；
B.∠ADC＝∠ACB，∠A=∠A△ACD∽△ABC，故B不符合题意；
C. ∠ACD＝∠B，∠A=∠A△ACD∽△ABC，故C不符合题意；
D.AC2=AD·AB即,∠A=∠A△ACD∽△ABC，故D不符合题意,
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，属于基础题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．B
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、∵AC2=AD AB，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
B、∵BC2=BD AB，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△ABC，
不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记并理解应用相似三角形的判定定理是解此题的关键．
11．C
【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
C、其夹角不相等，所以不能判定相似；
D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．
【详解】A、∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．
12．D
【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
13．A
【详解】试题解析：是平行四边形,
故选A.
14．∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解∶∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
15．∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或）
【分析】根据两个三角形有公共角，添加条件即可．
【详解】解：∵∠A=∠A．
∴添加∠ABD=∠ACB 或∠ADB=∠ABC，利用两个角相等的两个三角形相似可判定；
添加，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定；
故答案是：∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是明确相似三角形的判定定理，准确添加条件．
16．∠D=∠C或∠E=∠B或
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB．
当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB
故答案为：∠D=∠C或∠E=∠B或
17．DF∥AC，或∠BFD=∠A
【详解】试题分析： DF//C，或∠BFD=∠A．
理由：∵，,
∴
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF//AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF//C，或∠BFD=∠A．
考点：相似三角形的判定
18．
【分析】当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD＝AF，由题意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，推出四边形BEFD是平行四边形，由△ABC∽△BED，可得，延长构建方程即可解决问题；
【详解】如图1，过A作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC＝，
∴BG＝CG＝2，
由勾股定理得：AG＝＝1，
由图形可知：∠BAC是钝角，
∴当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD＝AF，
由题意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴∴DEF＝∠BDE＝∠B，
∴△ABC∽△BED，
∴，
∴，
∴t＝，
故答案为．
【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．证明见解析
【分析】由四边形是正方形可知，，由，可得，由是的中点，可得，可得，进而结论得证．
【详解】证明：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∵是的中点
∴
∵，
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定．解题的关键在于找出相似所需的条件．
20．见解析
【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠2＋60°，
∴∠1＝∠2，
∴△ADC∽△DEB．
【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键．
21．（1）见解析；（2）①60°；②4
【分析】（1）连接OD，证OD∥AE，从而得出OD⊥EF，从而证切线；
（2）①当∠BAC=60°时，可得到AC=OD，又根据AC∥OD，可得四边形ACDO是平行四边形，根据AO=OD，可得平行四边形ACDO是菱形；
②如下图，设CE=x，则AC=3x，先证△OGB∽△ACB，得出OG=，再利用OG+CE=OD推导得出x的值，最后在Rt△OGB中，求得GB的长，进而得出CB的长．
【详解】（1）如下图，连接OD
∵AO=OD，∴∠OAD=∠ODA
∵AD是∠EAB的角平分线，∴∠EAD=∠DAO
∴∠ADO=∠EAD
∴AE∥OD
∵AE⊥EF
∴OD⊥EF
∴是的切线；
（2）①当∠BAC=60°时，四边形ACDO是菱形
如下图，连接CD
∵AB是的直径，∴∠ACB=90°
∵∠CAB=60°
∴∠ABC=30°
∴在Rt△ABC中，AC=，即AC=AO=OB
∵AO=OD
∴AC=OD
∵AC∥OD，∴四边形ACDO是平行四边形
∵AO=OD
∴平行四边形ACDO是菱形；
②如下图，OD与AB交于点G
设CE=x，则AC=3x
∵OD∥AE，∠ACB=90°
∴∠OGB=∠ACB=90°
∴根据垂径定理，CG=GB
∵∠OBG=∠ABC
∴△OBG∽△ABC
∴，∴OG=
∵OD=OG+GD=OG+CE，∴OD==
∴x=1
∴在Rt△OGB中，OB=，OG=，则GB=2
∴CG=2，CB=4．
【点睛】本题考查证切线、圆的垂径定理、相似和菱形的证明，解题关键是得出OD⊥EF．
22．（1）证明见试题解析；（2）．
【分析】（1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；
（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．
【详解】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10，
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，，
即，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
即，
解得：AD=．
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
23．（1）①；②；（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化；证明见解析；（3）4+2．
【分析】（1）①利用等腰三角形的性质判断出∠A=∠B，∠A=∠AED，进而得出∠B=∠DEA，得出DE∥BC，即可得出结论；②同①的方法，即可得出结论；
（2）利用两边成比例，夹角相等，判断出△ADC∽△AEB，即可得出结论；
（3）判断出点E在BA的延长线上时，BE最大，再求出AE，即可得出结论．
【详解】（1）①在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴AB＝AC，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠A，
∴∠DEA＝∠B，
∴DE∥BC，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图，当θ＝180°时，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠B，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠B，
∴DE∥BC，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化；
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴，∠CAB＝45°，
同理，∠DAE＝45°，
∴，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAD＝∠BAE，
∴△ADC∽△AEB，
∴；
（3）如答图，当点E在BA的延长线上时，BE最大，其最大值为AB+AE，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝×2＝4，
∴AD＝DE＝AB＝2，
由（1）知，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∴BE最大＝AB+AE＝4+2，
故答案为：4+2．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出两三角形相似是解本题的关键．27.2.2 相似三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在中，中线，相交于点O，连接，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，，顶点A在第一象限，点C，B分别在x轴、y轴的负半轴上，且，，．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）已知：如图，在平行四边形中，、分别是边、的中点，分别交、于、．请判断下列结论：；；；．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．4：9 D．1：3
6．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于点E，下列结论：①△ADE与△ACD一定相似；②△ABD与△DCE一定相似；③当AD＝3时，；④0＜CE≤2．其中正确的结论有几个？（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，平行于BC的线段DE把△ABC分成面积相等的两部分，则若，则BD的长为（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，在中，DE//BC，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图， ABCD，E点在边CD上，且2CE＝DE，AC与BE相交于点F，△EFC的面积是1，则 ABCD的面积是( )
A．12 B．13 C．24 D．8
11．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为（ ）
A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：16
二、填空题
12．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）如图，正方形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，边经过原点O，若的面积为5，则正方形的周长为 ．
13．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上一点，于点F，于点G，连接，则的最小值为 ．
14．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，、分别是的边、上的点，，，且，则的长为 ．
15．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，等边的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点．若，则的长为 ．
16．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）在矩形中，，点在边上，连接将沿折叠，若点的对称点到的距离为，则的长为 ．
17．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，已知反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB＝120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为 ．
18．（2022秋·河南周口·九年级期末）在中，，，绕点A旋转后能与重合，那么与的周长之比是 ．
19．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时开始运动，当点P运动到终点B时，点Q也停止运动．在运动过程中，若以B，P，Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为 ．
三、解答题
20．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）在四边形中，（、分别为边、上的动点），的延长线交延长线于点，的延长线交延长线于点．
(1)如图①，若四边形是正方形，_______（填写与相似的三角形）；
(2)如图②，若四边形是菱形．
①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
②若，，连接，当时，请直接写出的长．
21．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在中，，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，且．
求证：
(1)；
(2)平分．
22．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）在和中，，点F是的中点，连接，将绕点C旋转一周，试判断和的关系．
(1)如图①，当点E在上时，和的数量关系为_____________，直线和直线相交所成的锐角的度数为______________；
(2)如图②，当点E不在上时，（1）中的关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请写出新的关系，并说明理由．
(3)若，将绕着点C旋转一周的过程中，当D，E，B三点共线时，直接写出的长．
23．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图（1），在中，，，，动点从点开始沿边匀速向运动，动点从点开始沿边匀速向运动，它们的运动速度均为1cm/s．点和点同时出发，设运动的时间为，．
(1)用含的代数式表示；
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值；
(3)如图（2），延长、，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值（不用写过程）．
24．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；
(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当时，连接DG，请直接写出___；
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长．
25．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
(1)求证：△ABD∽△CAE；
(2)若AB＝9，AC＝BD＝6，求AE的长．
26．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）如图，等腰中，，，的顶点D在线段AB上移动（D与A，B不重合），边DM始终经过点C，DN与BC交于点E，且．
(1)求证：；
(2)求BE最大时AD的长度；
(3)移动过程中，成为等腰三角形时，AD的长为______．
27．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，在中，，，点E从点C出发，在边上以的速度移动；点D从点A出发，在边上以的速度移动．若点E、D分别同时从点C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多少时间以A，D，E为顶点的三角形与相似？
28．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图1，在中，，，点D、E分别在边AC、AB上，，连接DE．将绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为．
(1)[问题发现]①当时，____________；
②当时，____________；
(2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)[问题解决]当旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为_____________．
29．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
30．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．
(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；
(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．
参考答案：
1．C
【分析】先判断为的中位线，则根据三角形中位线性质得到，，于是可对①进行判断；证明，利用相似比得到，，则可对②进行判断；加上，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到，，则可对④进行判断．
【详解】解：、为的中线，
为的中位线，
，，所以①正确；
，
，
，，所以②错误；
，
，所以③正确；
，
，
，
，
，所以④正确．
综上，①③④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了三角形中位线性质和相似三角形的判定与性质．
2．B
【分析】首先过点A作轴于点T，得到，进而得出A点坐标，再根据绕原点旋转一定角度的点的坐标得出旋转结束后的A点坐标即可．
【详解】解：如图，过点A作轴于点T．
，，，
，
，
，，
，
，
，
即，
，，
，
．
绕点O逆时针旋转，每次旋转，发现规律：旋转6次一个循环．
，
此时点A位于第三象限，且与点A关于原点成中心对称，
第2025次旋转结束时，点A的坐标为，
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质和求绕原点旋转一定角度的点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．D
【分析】（1）根据BF∥DE，BF=DE可证BEDF为平行四边形；（2）根据平行线等分线段定理判断；（3）根据△AGE∽△CGB可得；（4）由（3）可得△ABG的面积=△AGE面积×2．
【详解】解：(1)∵ ABCD,
∴AD=BC,AD∥BC.
E.F分别是边AD、BC的中点，
∴BF∥DE，BF=DE.
∴BEDF为平行四边形，BE=DF.故正确；
(2)根据平行线等分线段定理可得AG=GH=HC.故正确；
(3)∵AD∥BC,
∴△AGE∽△CGB，AE:BC=EG:BG=1:2，
∴.故正确,
(4)∵BG=2EG，
∴△ABG的面积=△AGE面积×2，
∴S△ABE=3S△AGE.故正确.
故选:D.
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
4．C
【分析】由于平行线之间的距离处处相等，则根据三角形面积公式得到,再证明△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质得到利用比例的性质得到，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离相等，
∴
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴
故选:C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
5．B
【分析】通过平行线可得到△DFE∽△BFA，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
6．A
【分析】利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以判定①②正确；根据相似三角形对应边成比例，利用△ADE∽△ACD得出比例式求得AE的长，进而得出③正确；利用判定③正确的结论，通过分析AD的取值范围即可得出④正确．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝4．
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠C＝45°．
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．
∴①正确；
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣45°＝135°．
∵∠B＝45°，
∴∠ADB+∠BAD＝180°45°＝135°．
∴∠BAD＝∠EDC．
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
∴②正确；
由①知：△ADE∽△ACD，
∴．
∴AD2＝AE AC．
∴．
∴．
∴③正确；
∵点D是边BC上一动点（不与B，C重合），
∴0＜AD＜4．
∵垂线段最短，
∴当AD⊥BC时，AD取得最小值＝BC＝2．
∴2≤AD＜4．
∵AD2＝AE AC，
∴AE＝＝．
∴2≤AE＜4．
∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，
∴0＜CE≤2．
∴④正确．
综上，正确的结论有：①②③④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行相似三角形的判定是解题的关键．
7．D
【分析】设相等的面积为S，则△ABC的面积为2S，△ADE的面积为S，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】设相等的两部分面积为S，则△ABC的面积为2S，△ADE的面积为S，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
解得AB=，
故BD=AB-AD=，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的面积比，熟练掌握性质是解题的关键．
8．B
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质结合BD=2AD，可得出答案．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，，
∴．
∵BD=2AD，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，牢记各相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．B
【分析】根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到△BOC和△COD的面积，从而可以得到△BCD的面积，再根据△ABD和△BCD的面积一样，即可得到四边形AEOD的面积．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，
∴CD∥AB，CD=AB=2BE
∴△DOC∽△BOE，
∴=2，
∵S△EOB=1，
∴S△BOC=2，S△DOC=4，
∴S△BCD=6，
∴S△DAB=6，
∴四边形AEOD的面积为：S△DAB-S△EOB=6-1=5，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．C
【分析】根据平行四边形的性质得△EFC∽△BFA，再由2CE＝DE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出△ABF的面积，由△BFC与△EFC等高，求出△BFC的面积，从而求出△ABC的面积，进而得出结果．
【详解】解：∵2CE＝DE，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，CD＝AB，
∴△EFC∽△BFA，，
∴，
∵，
∴S△ABF＝9，
∵△CEF∽△ABF，
∴，
∴，
∴S△BFC＝3，
∴S△ABC＝S△ABF＋S△BFC＝12，
∴ ABCD的面积是，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积计算等知识，利用高相等的两个三角形面积比等于底之比是解题的关键．
11．B
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比=，然后化简即可．
【详解】解：∵两个相似三角形面积的比为1：4，
∴它们的相似比==．
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
12．
【分析】过点A作轴于点E，则，由A在反比例函数的图象上得到，由的面积为5得到，则，再证，进一步得到，设，则，，利用得到,再利用勾股定理求出,即可得到答案．
【详解】解：如图，过点A作轴于点E，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵A在反比例函数的图象上，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴,
∴,
∴，，
∴，
∴正方形的周长为．
故答案为：
【点睛】此题考查了正方形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
13．
【分析】连接，作点C关于的对称点，连接交于点M，过点作，交于点，交于点，先证明四边形是矩形，得到，推出，即当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求出，，然后证明，利用对应边成比例求出，即可得到的最小值．
【详解】解：连接，作点C关于的对称点，连接交于点M，
由对称的性质可知，，，
过点作，交于点，交于点，
四边形是矩形，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了垂线段最短，对称的性质，矩形的判定个性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键利是用对称的性质将转化为．
14．
【分析】求得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
15．
【分析】根据等边三角形性质求出，推出，证，得出，代入求出即可．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键是推出，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
16．或
【分析】分两种情况进行分类讨论：（1）当在矩形内部到AD的距离为1；（2）点在矩形外部到AD的距离为1.
【详解】解：设CE=x.
当C在矩形内部时，如图，过点C作FG垂直AD，交AD于点F,BC于点G.
由折叠的性质，得D=DC=2,∠=90°,CE=E.
在Rt△DF中，F=1，由勾股定理，得DF==.
又∵∠GE=∠FD,∠GE=∠FD=90°，
∴△GE△FD,∴=.
∴x=.
当C在矩形内部时，如图，过点C’作BC的平行线，交CD的延长线G，过点E作EQ⊥QG于点Q，则EQ=2+1=3,DG=1.
由折叠的性质，得EC’=CE,C’D=CD=2.
在Rt△DG中，DG =1，由勾股定理，得C’G==.
∵∠QEC’=∠GC’D,∠Q=∠G，
∴△QE△GD,=.
∴x=2.
∴CE的长为或.
【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定；正确理解折叠的性质是解题的关键．
17．y＝
【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出△AOD面积，即可得到△EOC面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．
【详解】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵反比例函数y＝的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，△ABC是以AB为底作的等腰三角形，∠ACB＝120°，
∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，
则∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠DAO+∠AOD＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴＝tan60°＝，
∴
∵点A是双曲线y＝在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD＝＝
∴S△OCE＝，即×OE×CE＝，
∴OE×CE＝，
∴这个图象所对应的函数解析式为y＝．
故答案为：y＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，面积比等于相似比的平方，以及反比例函数的性质．
18．/
【分析】根据旋转的性质可知与是顶角相等的两个等腰三角形，易证它们相似，利用相似三角形的性质解题．
【详解】解：如图，
由旋转的性质可知，
，，旋转角，
所以，，相似比，
根据相似三角形的周长比等于相似比可知，
与的周长之比为3：4，
故答案为：3：4．
【点睛】本题利用旋转的性质，证明相似三角形，再用相似三角形的性质求周长的比．
19．或
【分析】设点P运动的时间为，则，，再分两种情况求t的值，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的t的值即可．
【详解】解：设点P运动的时间为，则，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
解得；
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
解得．
综上所述，运动时间为或．
故答案为：或．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示相似三角形的对应边的长度是解题的关键．
20．(1)；
(2)①（1）中结论依然成立，理由见解析；②．
【分析】（1）可证得，，从而找出相似三角形；
（2）①可证得，，从而证明结论；②可证得，从而得出，根据，可计算得出，根据，可得的长．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①（1）中结论依然成立
四边形是菱形，
∴，
∴，
∴
∴，
即：，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
②如图，
∵，
∴，
∵，，
四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键充分利用相似三角形求线段的长度．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角形的外角性质证明，即可证明；
（2）由推出，结合D为的中点得到，再根据相似三角形的判定得到，结合（1）即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
∵，且，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴．
∵D是的中点，
∴．
∴．即．
∵，
∴．
∴．
由（1）知．
∴．
∴平分．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
22．(1)，
(2)成立，证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，再由点F是的中点，可得是等腰直角三角形，点C，D，F三点共线，从而得到，直线和直线相交所成的锐角的度数为，即可求解；
（2）连接，并延长和延长线交于点P，记与交于H，等腰直角三角形的性质可得，，可证明，从而得到，，再证明，可得，即可；
（3）分两种情况讨论：当点D在线段上时，过当C作交于点N；当点E在线段上时，过当C作交的延长线于点N，结合全等三角形的判定和性质和勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：在和中，∵，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵点F是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，点C，D，F三点共线，
∴，直线和直线相交所成的锐角的度数为；
∴；
故答案为：，
（2）解：成立，证明如下：
如图，连接，并延长和延长线交于点P，记与交于H，
由（1）得：和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：如图，当点D在线段上时，过当C作交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴；
如图，当点E在线段上时，过当C作交的延长线于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，利用类比思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．
23．(1)；
(2)以点、、为顶点的三角形与相似时，或；
(3)当为直角三角形时，的值为或．
【分析】（1）直接写出即可；
（2）分当和时，利用相似三角形的性质，列式计算即可求解；
（3）分当时，作于点D，则，利用平行线分线段成比例定理列式计算即可求解；当时，作于点N，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴；
（2）解：，，，
由（1）得，
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得；
综上，以点、、为顶点的三角形与相似时，或；
（3）解：作于点D，
∵，，，
∴，，
当时，则，
∴，即，
解得；
当时，作于点N，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，则，
∴，
解得；
综上，当为直角三角形时，的值为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．(1)∠CAD=∠GAD；
(2)①AD∥BC； ②3
(3)9
【分析】（1）根据题目的尺规作图发现AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD；
（2）①由AD平分∠CAG再结合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；
②易证，可得
（3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，由（2）可得，
即可用一线三等角模型构造相似解题．
【详解】（1）由尺规作图步骤发现AD平分∠CAG
∴∠CAD=∠GAD；
（2）①∵
∴
∵∠CAD=∠GAD,
∴
∴AD∥BC
②∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
（3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，如图
由（1）（2）可得,
设则
∵点P为AB的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，解得
∴．
【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图的步骤判断是作角平分线．
25．(1)证明见解析
(2)4
【分析】(1)根据已知条件可得，∠DAC =∠B，即可证明△ABD~△CAE；
(2)根据△ABD~△CAE，对应边成比例即可求出A E的长．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）由（1）得，
∴，
，，，
∴
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
26．(1)见解析
(2)8cm
(3)6cm或9.75cm
【分析】（1）三角形的外角和证得，再根据等腰三角形底角相等可得三角形相似．
（2）由三角形相似得出相似比，得出一元二次方程，求极值．
（3）分三种情况讨论，利用三角形相似求得AD的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵
∴
∴
（2）∵，
∴
设，则
∴，
∴时，BE最大
∴BE最大时AD的长度为8cm
（3）当CD=DE时
∵，
∴
∴AC=BD=10cm
∴AD=AB-BD=6cm
当CD=CE时
∵
又∵
∴
与题目相矛盾，此结论不成立．
当CE=DE时
∴
又∵
∴
设AD=x BD=16-x CD=BD=16-x
∴
∴
∴
根据，
∴
解得 a=9.75
故答案为：6cm或9.75cm
【点睛】此题考查了等腰三角形性质、相似三角形的判定、一元二次方程求极值，解题的关键是熟记相关知识点并会应用．
27．经过或秒，以A，D，E为顶点的三角形与相似．
【分析】由于相似三角形的对应边不能确定，故应分，两种情况进行讨论．
【详解】解：∵中，，，
∴cm，
∵点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向A运动，
∴，
∴当时，，即，解得（秒）；
当时，，即，解得（秒）；
综上所述，经过秒或秒时，以A，D，E为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
28．(1)①；②
(2)没有变化，证明见解析
(3)或
【分析】（1）①利用等腰三角形的性质判断出∠A＝∠B，∠A＝∠AED，进而得出∠B＝∠DEA，得出DE∥BC，再根据平行线分线段成比例即可得出结论；
②同①的方法，即可得出结论；
（2）利用两边成比例，夹角相等，判断出△ADC∽△AEB，即可得出结论；
（3）分情况讨论：①当点E在BD上时，②当点E在BD的延长线上时，分别利用勾股定理求出BD，进而得出BE，再结合（2）中结论求出CD即可．
【详解】（1）解：①在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴AB＝AC，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠A，
∴∠DEA＝∠B，
∴DE∥BC，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠B，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠B，
∴DE∥BC，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）当时，的大小没有变化；
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴，∠CAB＝45°，
同理，∠DAE＝45°，
∴，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAD＝∠BAE，
∴△ADC∽△AEB，
∴；
（3）分情况讨论：
①如图，当点E在BD上时，
∵，，
∴AB＝，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
由（2）可知，
∴；
②如图，当点E在BD的延长线上时，
∵AB＝，，，
∴，
∴BD，
∴，
由（2）可知，
∴，
综上，线段CD的长为或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等，判断出两三角形相似是解本题的关键．
29．（1）；（2）点P（﹣1，3）或（﹣3，3）
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点A，点B，点D坐标，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x，
∴x1＝﹣4，x2＝0，
∴点A（﹣4，0），点B（0，0），
∴对称轴为x＝﹣2，
∴点D（﹣2，4），
如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P（m，﹣m2﹣4m），
∵△PEF∽△DAB，
∴，
∴PQ＝×4＝1，
∴|m+2|＝1，
∴m＝﹣1或﹣3，
∴点P（﹣1，3）或（﹣3，3）．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的性质、坐标与图形的性质、解二元一次方程、解绝对值方程，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，利用相似三角形的性质：高之比等于相似比求解是解答的关键．
30．(1)相似，见解析
(2)图见解析，面积为5
【分析】（1）相似，分别求出每个三角形的三条边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似判断即可；
（2）根据勾股定理得出三角形各边长，利用边长之比相等，作出面积最大的格点三角形即可．
【详解】（1）△ABC∽△DEF，理由如下：
在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，
在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，
∴，
∴△ABC∽△DEF；
（2）如图，△MNP即为所求，
．
【点睛】此题考查了作图—相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．27.2.3 相似三角形应用举例 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）如图所示，王华晚上在路灯下散步，已知王华的身高米，灯柱的高米，两灯柱之间的距离米，王华在两路灯之间行走时（O、A、三点在一条直线上），则他身子前后的两个影子之和的长为（ ）米．
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为，小明的站的位置到镜子上标记的距离是，旗杆的底部到小明的位置是，则旗杆的高度为（ ）
A． B．16 C．9 D．
3．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
4．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m．
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
7．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
8．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
二、填空题
9．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起，已知，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 ．
10．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝ 米（结果保留根号）．
11．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为 m．
12．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，则CE的长是 里．
13．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）如图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是 m．
14．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线与边相交于点F，如果测得米，那么塔与树的距离为 米．
15．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为 米．
16．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为 米．
17．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，一条宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为 ．
18．（2022秋·河南郑州·九年级期末）在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 m．
三、解答题
19．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1），如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
20．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
(1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为多少．
(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
21．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）位于沱河南岸的永城沱南生态广场，有座雕塑《汉韵南风袅袅歌》，雕塑由主体和书着《永城赋》的基座两部分构成（如图），其立意是“这里是汉兴腹地，这里是豫东江南……”九·1班数学社团的同学们想利用学过的测量旗杆高度的方法测量这座雕塑（含基座，下同）的高度（从雕塑周围地平面算起），已知负责测量的小永身高为h米（眼睛以上的高度忽略不计），测量时小永的影长为a米，雕塑的影长为b米；利用小镜测量时，小永离镜子的距离为c米，镜子离雕塑的最高点所在直线的距离为d米．请你帮助小永选择其中一个方案，画出图形并计算出雕塑的高度（结果用含字母的式子表示），
22．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，已知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？
23．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得，边DF离地面的距离为，求树高AB．
24．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案；
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4 m(即 FC=4 m)放在F处．从点F处向后退1.5 m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．(平面镜的大小忽略不计)
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5 m，测得DE=2 m，CE=2.5 m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE=0.4m，EF=0.2 m，测得边CE离地面距离DC=1.5 m． 三种方案中，方案_________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
参考答案：
1．B
【分析】证明，得，则，证，得到，则，根据，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
即的长为5米．
故选：B
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2．D
【分析】如图，，利用题意得，则可判断，然后利用相似比计算出的长．
【详解】解：如图，，
∴
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
即旗杆的高度为．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
3．A
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，解得：x=6，
即蜡烛火焰的高度为6cm，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
4．C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
5．A
【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【详解】解：由题可知，，
∴,
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．
6．B
【分析】根据相似三角形的性质即可列方程求解．
【详解】由相似三角形的性质，设树高x米，则，
∴x＝5.1m．
故选：B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的性质．
7．D
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
8．B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
即竹竿的长为四丈五尺．
故选B
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
9．45
【分析】如图：都与水平线的垂直，M，N是垂足，则，即，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：如图，都与水平线的垂直，M，N是垂足，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴当时，，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压．
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
10．/
【分析】过点E作FE⊥AB于点F，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE=AB-AF即可解题．
【详解】解：如图，过点E作FE⊥AB于点F，则四边形BDEF是矩形，则BF=DE，EF=BD=12
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，EF=BD=12米．
∵物高与影长的比是1：，
，
即米，
（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角似三角形的应用，根据物高与影长的比是1：，得出AF的值是解题的关键．
11．108
【分析】根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，证明，再借助相似三角形的性质计算PF的长，再由题意计算河宽即可．
【详解】解：根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，
由题意可知，两树之间的距离m，龙舟的长m，点P到南岸的距离m，
∵，
∴，
∴，即，
∴m，
∴m，
∵龙舟行驶在河的中心，
∴河宽为m．
故答案为：108．
【点睛】本题主要考查了利用相似三角形解决实际问题，解题关键是根据题意作出示意图，构建相似三角形．
12．4
【分析】设CE的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：设CE的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD=x，BE=2里，AD=8里，
∴∠B=∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴，
∴
∴x=4，（负值舍去）
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
13．2.4
【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即，
则，
∴h=2.4m．
故答案为：2.4．
，
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
14．25
【分析】根据题意可以利用正方形的性质求出FD，并且得到△FDE∽△FCB，从而运用相似三角形的性质求解ED，即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，边长为10米，
∴AD=CD=BC=10，FD=CD-CF=6，
∵AD∥BC，且A，D，E三点在一条直线上，
∴AE∥BC，
∴△FDE∽△FCB，
∴，
即：，
∴ED=15，
∴AE=AD+ED=25米，
故答案为：25．
【点睛】本题考查相似三角形判定与性质的实际应用，准确判断出相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
15．8米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=8(米)，
故答案为：8(米) ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
16．2
【分析】依据△CBF∽△CAP，即可得到AP=8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE长．
【详解】如图，
由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，
∴，即，
解得AP=8，
由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，
∴，即，
解得ED=2，
故答案为2．
【点睛】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
17．
【分析】作DE⊥AC于点E，根据∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，得到∠BAE=∠ADE，从而得到△DAE∽△ACB，求得AB=16cm，利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】如图，作DE⊥AC于点E，
∵道路的宽为4m，
∴DE=4米，
∴AE=3m，
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
∴△DAE∽△ACB，
∴ DE：AB = AE：BC，
即4：AB = 3：12，
解得：AB=16（cm），
∴道路的面积为AD×AB=5×16=80（m2），
故答案为80.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的性质求得线段AB的长．
18．15
【详解】解：根据同时同地物高与影长成正比．
设旗杆高度为x米，
由题意得，，
解得x=15．
故答案为15．
19．
【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度．
【详解】解：由题意可知：，
，，
，
，
．
设，则，
解得：，
，
，
．
答：该古建筑高．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，求出的值是解题的关键．
20．(1)灯泡离地面的高度为
(2)横向影子，的长度和为
【分析】（1）根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
（2）同法可得到横向影子的长度和．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得；
∴灯泡离地面的高度为；
（2）设横向影子，的长度和为，
同理可得．
∴，
即，
解得：，
∴横向影子，的长度和为．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21． ；图像见解析．
【分析】根据同一时刻，用物体与影子构成相似三角形，再根据对应边成比例即可求解．
【详解】图像如下：
如图分别为雕塑与小永的实物与影子图
两物与地面垂直
都在同一时间点的阳光照射下，
~
则雕塑高为
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻构造出相似三角形为关键．
22．（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析
【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．
【详解】解：（1）设正方形边长为ycm，则DE=CD=EF=CF=ycm，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴；
（2）．
作边上的高，交于点M．
由，
得，解得．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴．
设正方形的边长为，
则，解得．
∵，
∴（1）的情形下正方形的面积大．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、正方形的面积等知识，解题的关键是根据相似三角形的性质列出方程解决问题，学会转化的思想思考问题．
23．15.6米
【分析】证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：树高15.6m．
【点睛】本题考查利用相似三角形测高，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
24．二、三，12米
【分析】根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可
【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行，
故答案为：二，三
选方案一
，
，
，
，
设BC=x，则，
同理可得，
，
，
，
解得x=8．
=12米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．27.3 位似 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）在下列四个三角形中，与是位似图形且为位似中心的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心将△OAB放大得到△OCD．若点A、C的横坐标分别为1、2，且AB＝，则线段CD的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．2
3．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图在ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得到DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①ABC与DEF是位似图形；
②ABC与DEF是相似图形；
③ABC与DEF的周长比为1：2；
④ABC与DEF的面积比为4：1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
5．（2022秋·河南信阳·九年级期末）如图，与位似，位似中心为O，且，则的周长与的周长之比为（ ）
A．4∶3 B．7∶3 C．7∶4 D．16∶9
6．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是
A． B． C． D．
7．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O．已知点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河南郑州·九年级期末）已知点，，以原点O为位似中心，把线段缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
9．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知，则△DEF与△ABC的周长之比是 ．
10．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的面积为，则四边形的面积为 ．
三、解答题
11．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标和纵坐标都分别乘以﹣2．
(1)画出以变化后的四个点为顶点的四边形；
(2)由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比，如果不位似，请说明理由．
12．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是、、，结合平面直角坐标系解答下列问题．
(1)画出绕点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标；
(2)以点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为，且不在同一象限．
13．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标；
(2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
(3)如果点在线段上，请直接写出经过（2）的变化后的对应点的坐标．
14．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)将△ABC向左平移3个单位长度得到，画出；
(2)以点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC的周长放大为原大的2倍，画出放大后对应的；
(3)写出点的坐标______，点的坐标______．
15．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，的顶点和定点都在单位长度为1的正方形网格的格点上．
(1)以点为位似中心，在网格纸中画出的位似，使它与的相似比为2，且位于点的右侧；
(2)在（1）的情况下，线段经过格点（不同于点，），连接，，直接写出四边形的形状及其周长．
16．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2．
（3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
17．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
(1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC放大后的位似图形；
(2)写出的各顶点坐标；
(3)若点在△ABC内，则点P的对应点的坐标为______．
18．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，已知O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为，．
(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到，并画出该图形；
(2)以O为位似中心，在y轴左侧，画出△AOB的位似，使它们的位似比为1：2，并写出点、的坐标．
19．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知．
(1)以点O为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为．（A，B，C的对应点分别为）
(2)在（1）的条件下，写出点的坐标并求出的面积．
20．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上（网格中小正方形的边长为1）．
(1)画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点，，的坐标；
(2)以点为位似中心，在网格中将放大为原来的2倍，得到．
21．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，已知一次函数y＝﹣x+4与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A和B（m，1）．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值（直接写结论）；
(3)以点O为位似中心画三角形，使它与△OAB位似，且相似比为2，请在图中画出所有符合条件的三角形．
22．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为（2，1），（3，﹣1），
（1）以点O为位似中心，将△OAB放大为原来的两倍，画出图形；
（2）A点的对应点A'的坐标是 ；B点的对应点B′的坐标是 ；
（3）在AB上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P′的坐标是 ．
23．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC和△DEF的顶点分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．
按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
（1）顶点A1的坐标为 ，B1的坐标为 ，C1的坐标为 ；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．
参考答案：
1．B
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，
∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．D
【分析】根据两三角形位似，可通过两点横坐标之比得到两个图形的相似比，根据相似比和AB长度可知CD长度．
【详解】解∵以原点O为位似中心将△OAB放大得到△OCD，点A、C的横坐标分别为1、2，
∴△OAB与△OCD的相似比为1:2，
∵AB＝，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查位似图形的性质，以及相似比，能够根据相似比求出图形的边长是本节课的重点．
3．C
【分析】由题意根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】解：根据位似的定义可得，与是位似图形，也就是特殊的相似图形，故①②正确；
∵点D、E、F分别是、、的中点，
∴与的位似比为2∶1，周长比为2∶1，面积比为4∶1，故③错误，④正确．
故选：C
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决问题的关键．
4．A
【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
5．A
【分析】直接利用位似图形的性质得出△ABC与△DEF的周长之比．
【详解】∵△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，且，
∴△ABC与△DEF的周长之比是：4：3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
6．A
【分析】利用位似比得出三角形面积比，进而得出答案．
【详解】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，
∴，
∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是：12．
故选A．
【点睛】此题主要考查了位似变换，利用位似比得出面积比是解题关键．
7．C
【分析】先求出，可得与 位似比为，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，与位似，
∴与 位似比为，
∴点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：以原点为位似中心，把线段缩短为原来的，点的坐标为，
点的坐标为，或．即或．
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
9．1：2
【分析】直接利用位似图形的性质可得答案．
【详解】解：∵△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，
∴△DEF与△ABC的周长之比是
故答案为
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．
10．
【分析】根据位似图形的性质可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为，
∴四边形与四边形的面积比为，
∵四边形的面积为，
∴四边形的面积为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2．
【分析】（1）按照有理数的乘法算出每个点的横纵坐标即可；
（2）位似定义：关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心．根据定义判断即可．
【详解】（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形；
（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′，
∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点，
∴得到的四边形与四边形OABC位似，
位似中心是O（0，0），
与原图形的相似比为2．
【点睛】本题考查位似的判定，熟练掌握位似的定义是本题关键．
12．(1)图见解析，点的坐标为；
(2)图见解析；
【分析】（1）利用旋转的性质，分别作出对应点、、，依次连接即可得到和点的坐标；
（2）利用位似变换的性质分别作出对应点，依次连接即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图，点的坐标为；
（2）解：位似三角形如图所示．
【点睛】本题考查了作图—旋转变换、位似变换，张哦我旋转变换和位似变换的性质是解题关键．
13．(1)画图见详解，点坐标为：
(2)画图见详解，点坐标为：
(3)的坐标为：．
【分析】（1）利用关于轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；
（2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出点坐标变化规律即可．
【详解】（1）如图所示：，即为所求，
点坐标为：；
（2）如图所示：，即为所求，
点坐标为：；
（3）如果点在线段上，经过的变化后的对应点的坐标：
【点睛】此题主要考查了轴对称变换、位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）根据直角坐标系和平移的性质作图，即可得到答案；
（2）根据直角坐标系和位似图形的性质作图，即可得到答案；
（3）根据（2）的结论，结合直角坐标系的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意作图如下：
即为所求；
（2）以点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC的周长放大为原大的2倍，作图如下：
即为所求；
（3）根据（2）的结论，得，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了直角坐标系、平移、位似的知识；解题的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．
15．(1)见解析；
(2)四边形是平行四边形，其周长为
【分析】（1）依据相似比先求出对应点的坐标，再描点、连线即可；
（2）如图可得四边形是平行四边形，再由勾股定理分别求出一组邻边的长度即可求得周长．
【详解】（1）如图所示：
（2）由勾股定理得：，
四边形是平行四边形，
平行四边形周长
所以，其周长为．
【点睛】本题考查了画位似图形及平行四边形判定和周长，掌握位似图形的作图方法是解题的关键．
16．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（0，4），（0，﹣4）．
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）直接利用关于位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（3）直接利用三角形面积求法得出答案．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）如图所示：当△OB2P的面积为6时，点P的坐标为：（0，4），
（0，﹣4）．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
17．(1)见解析
(2)A′（3，6）B′（5，2）C′（11，4）
(3)（2a－1，2b－2）
【分析】（1）延长MA至A′，使得A A′=MA，则点A′为A的对应点，同样方法作出点B，C的对应点，从而得到；
（2）根据（1）中的图形解答；
（3）先把位似中心M平移到原点，则点P平移后所对应点为（a-1，b-2），则以O为位似中心，位似比为2，点（a-1，b-2）对应点为（2a-2，2b-4），然后把点（2a-2，2b-4）向右平移1个单位，再向上平移2个单位即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：如图，就是所求作的图形；
（2）由（1）知，A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）；
（3）点P（a，b）在△ABC内，则点P的对应点P′的坐标为（2a－1，2b－2）
故答案为：（2a－1，2b－2）．
【点睛】本题考查作图—位似变换，写出象限内点的坐标等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
18．(1)见解析
(2)画图见解析，，
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先根据题意作图，然后写出相应点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求，，
【点睛】本题主要考查了画旋转图形，画位似图形，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）结合图形写出的坐标，再运用分割法求出的面积即可．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）由图象可知：．
．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
20．(1)图形见解析，（1，1），（4，2），（3，4）；
(2)见解析．
【分析】（1）分别将点A，点B，点B绕点O顺时针旋转90°，得到点，，，连接，，即可得到；
（2）分别延长，至点，，使，，连接即可．
【详解】（1）如图：（1，1），（4，2），（3，4）
（2）
【点睛】本题主要考查了旋转和位似的作图和性质，熟练的掌握旋转和位似的性质根据性质正确的画出图形是解题的关键．
21．(1)
(2)或
(3)画图见解析
【分析】（1）由一次函数经过B点，求出点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）反比例函数的值大于一次函数的值即反比例函数图象在一次函数图象上方，据此求解即可；
（3）分在原点同侧和异侧两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y＝﹣x+4与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A和B（m，1），
∴，
∴，
∴点B的坐标为（3，1），
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，反比例函数的值大于一次函数的值即反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当或时反比例函数的值大于一次函数的值；
（3）解：如图所示，，即为所求；
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，画位似图形，熟知相关知识是解题的关键．
22．（1）图见解析；（2）或，或；（3）或．
【分析】（1）分①放大后的图形在左侧，②放大后的图形在右侧两种情况，先分别将点的横纵坐标乘以2或得到点，再顺次连接点即可得；
（2）结合（1）的两种情况，根据位似图形的性质即可得；
（3）结合（1）的两种情况，根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：（1）①当放大后的图形在左侧时，画图如下：
②当放大后的图形在右侧时，画图如下：
（2），
或，
即或，
故答案为：或，或；
（3），
或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了画位似图形、点坐标与位似图形，正确分两种情况讨论是解题关键．
23．见解析
【详解】解：作图如下：
（1）（－2，0），（－6，0），（－4，－2）．
（2）符合要求的变换有两种情况：
情况1：如图1，变换过程如下：
将△A2B2C2向右平移12个单位，再向上平移5个单位；再以B1为中心顺时针旋转900．
情况2：如图2，变换过程如下：
将△A2B2C2向右平移8个单位，再向上平移5个单位；再以A1为中心顺时针旋转900．
（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心；②利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧．
（2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度
