28.1 锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，点都在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（ ）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝
4．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，中，，点D在AC上，．若，，则BD的长度为（ ）
A． B． C． D．4
5．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
9．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）在高为的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是和则这个建筑物的高度是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．8mm B．16mm C．8mm D．4mm
二、填空题
13．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）在中，、、的对边分别为a、b、c，且三边满足，，则 ．
14．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，有一个斜坡长，坡顶离地面的高度为，则的正弦值为 ．
15．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点（网格线交点）上，则的值为 ．
16．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）在中，．则 ．
17．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，已知在Rt△ABC中，，．，则的值是 ．
18．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕 ．
19．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末） ．
20．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）在中，与都是锐角，且，则的形状是 ．
21．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）在中，都是锐角，且满足，则三角形的形状是 ．
22．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）比较大小： ．
23．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为 ．
三、解答题
24．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为，请解决下列问题：
(1)若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？
(2)是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2 ？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
25．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）在我们的数学活动中，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如下方法：
操作感知：
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，再把纸片展开；
第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．
(1)在图2中，请至少写出3个的角；
(2)猜想论证：若延长交于点，如图3所示，请判定的形状并证明你的结论；
(3)拓展探究：在图3中，若，，请说明当，满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符合（2）中的．
26．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）（1）计算：；
（2）化简：．
27．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）（1）计算：；
（2）先化简，再求代数式的值，其中．
28．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）计算:
(1)；
(2)．
29．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，有一个直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中MN的与数轴之间的距离为 ；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是 ；
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积；
（4）求OA的长，（结果保留）
参考答案：
1．D
【分析】过点作交延长线于点，根据勾股定理求出的长，然后根据即可得出答案．
【详解】解：过点作交延长线于点，
则，
则在中，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦的定义以及勾股定理，根据网格构造直角三角形是解本题的关键．
2．B
【分析】先由sinA及已知求得AB的值，再根据勾股定理可以得到AC的值 ．
【详解】解：∵∠C＝90°，sinA＝，
∴AB＝BC＝×3＝5，
∴AC＝＝＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的意义及勾股定理的应用是解题关键．
3．C
【分析】由勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义分别求出sinA、tanA、tanB、cosB即可．
【详解】Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝，cosB＝＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是关键．
4．C
【分析】根据三角函数的概念求出的长，再根据勾股定理求出的长，再证明，从而得出比例关系，求出的长．
【详解】解：∵ ，，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角函数、相似三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角函数以及相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据网格的特点判断是直角三角形，根据正切的定义即可求解．
【详解】∵由图可知，，
∴是直角三角形，且，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，求正切函数值，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6．A
【分析】连接CD，先证明△ABC是等腰三角形得CD⊥AB，进而利用正切可得答案．
【详解】解：取格点D，连接CD，如图，
∵AC=，BC=，
∴AC= BC，
∵D为A B的中点，
∴ CD⊥AB，
∵在Rt△BDC中，CD=， BD=，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，能将所求正切值的角转化在直角三角形中是解题的关键．
7．B
【分析】在直角三角形ADE中，，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．
【详解】设菱形ABCD边长为t．
∵BE＝2，
∴AE＝t 2．
∴，
∴，
∴t＝5．
∴AE＝5 2＝3．
∴DE＝＝＝4．
∴tan∠DBE＝＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系．
8．A
【分析】根据BC的长度和的值计算出AC的长度即可解答.
【详解】解：因为，又BC＝30，所以，，解得：AC＝75m，所以，故选A.
【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.
9．A
【分析】作辅助线，利用翻折变换的性质得出，再根据直角三角形、平行线的性质得出，最后利用弧度与圆心角的关系得出结论．
【详解】如图：过点作直线于点，连接，
，，
，．
，
即．
的度数是．
故选：A．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，翻折变换（折叠问题）的理解与运用能力．涉及特殊角的三角函数值，求此角；两直线平行，内错角相等；弧度与圆心角都是指圆心角大小，圆心角是角度为单位，弧度是弧度制等知识点．恰当利用辅助线，根据翻折变换的特点（对称性）建立等式关系是解本题的关键．
10．C
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：∵sinα＝，
∴∠α=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
11．C
【分析】作CE⊥AB，根据∠DAB可以求得CE的长，根据CE即可求得AE的长，根据CD＝BE＝AB AE即可解题．
【详解】解：如图，作CE⊥AB，
根据题意可知：∠DAB＝90° 60°＝30°，AB＝60m，∠ACE＝30°，
∴BD＝AB×tan30°＝，
∴CE＝BD＝，
∵∠ACE＝30°，
∴AE＝CEtan30°＝，
∴CD＝BE＝AB AE＝60 20＝40（m），故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了查解直角三角形的应用 仰角俯角问题，特殊角的三角函数值，本题中求得BD的长是解题的关键．
12．C
【分析】由题意设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，则∠AOB=∠BOC=60°，得出OA=OB=AB=OC=BC，则四边形ABCO是菱形，得出AC⊥OB，AM=CM，由sin∠AOB=，进而计算即可得出结果．
【详解】解：设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，如图所示：
∴∠AOB=∠BOC=60°，OA=OB=OC
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，AM=CM，
∵AB=8mm，∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=，
∴AM=（mm），
∴AC=2AM=8（mm），
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆、菱形的判定与性质等知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解答此题的关键．
13．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，用c分别表示出a、b，再利用正弦的概念得到，代入计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，代数式求值，锐角三角函数，熟练掌握正弦的概念是解题关键．
14．
【分析】根据正弦的定义直接求解即可
【详解】解：依题意，中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求正弦，掌握正弦的定义是解题的关键．
15．/
【分析】直接根据图象计算即可．
【详解】解：∵正方形网格中，的顶点均在格点上，
∴，，，
∴
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
16．/
【分析】根据题意设，则，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
设，则
∴,
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余弦的定义，勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键．
17．
【分析】根据勾股定理可求出BC的长，再根据正切的求法求解即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，要熟练掌握，解题的关键是要明确：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
18．
【分析】由矩形的性质得，由折叠的性质得，，证得，再由，解得的值，设，则，利用矩形的性质求得，在中，由勾股定理计算求解即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数．解题的关键在于找出线段的数量关系，多次运用勾股定理求解．
19．
【分析】根据特殊角的三角函数代入求值即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．等腰三角形
【分析】根据非负数的性质可得：，由此可求出，即为等腰三角形．
【详解】根据绝对值的非负性可得：，
∴，
∴，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，特殊角的三角函数值以及等腰三角形的判定．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
21．钝角三角形
【分析】根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求出,再根据三角形内角和定理求得,判断三角形的形状即可．
【详解】
,
是钝角三角形．
故答案为：钝角三角形．
【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
22．<
【分析】由cos37°=sin53°，根据正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，比较角度的大小即可．
【详解】解：∵cos37°=sin53°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin37°＜sin53°，
∴sin37°＜cos37°，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了三角函数值的大小比较，化不同名函数为同名函数，并运用同名函数的性质是解题的关键．
23．
【分析】利用的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，
由题意可知，
则，C在上，
设
即 解得（不符合题意，舍去）
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C点的坐标是解决问题的关键．
24．(1)1.2或3
(2)存在，或4
【分析】（1）当APQ为直角三角形时，∠A=60度，所以可能只有∠APQ=90°或∠AQP=90°，当∠APQ=90°时，∠AQP=30°，AP=AQ，求出t=1.2秒；当∠AQP=90°时，∠APQ=30°，AQ=AP，求得t=3秒；
（2）当点P在AC上时，边AQ=6-t，算出AQ上的高PD=，即可写出（6-）●=，求得t=3-；当点P在BC上时，算出AQ边上的高PF=，即可写出（6-）●=，求得t=4．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，
当点P在边AC上时，由题意知，AP=2，AQ=6-，
当∠APQ=90°时，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，
当∠AQP=90°时，AQ=AP，即6-=×2，解得=3，
所以，点P在边AC上，当为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；
（2）存在
①当点P在边AC上时，此时0≤≤3，
过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2，
∴sinA=，即sin60°==，
∴PD=，S△APQ=AQ●PD=（6-）●，
由（6-）●=，得（不合题意，舍去），；
②当点P在边BC上时，此时3≤≤6，
如图，过点P作PF⊥AB于点F，
在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2，
∴sinB=，即sin60°==，
∴PF=，S△APQ=AQ●PF=（6-）●，
由（6-）●=得
因此，当t为s或4s时，△APQ的面积为．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不可能只有一个，全面考虑，分类讨论．
25．(1)，，
(2)等边三角形，见解析
(3)或
【分析】（1）设交与点，连接，由折叠可知，，，，，根据平行线的性质和三角形的内角和可得，得出，则；
（2）连接，根据折叠的性质可得，垂直平分，推得，根据等边三角形的判定和性质可得，，推得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形；．
（3）根据题意可得要在矩形纸片上剪出等边，则，令，根据余弦的定义可得，结合，即可求得当或时，在矩形纸片上能剪出这样的等边．
【详解】（1）设交与点，连接，如图：
由折叠可知，，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，，．
（2）是等边三角形，
证明：连接，如图：
由折叠可知：，垂直平分．
，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
是等边三角形．
（3）当或时，在矩形纸片上能剪出等边．
要在矩形纸片上剪出等边，则，
在中，，，
，
，
，即，
当或时，在矩形纸片上能剪出这样的等边．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形的内角和，等边三角形的判定和性质，余弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．（1）；（2）
【分析】（1）根据绝对值，零指数幂和特殊角三角形函数值的计算法则求解即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值等等，熟知相关计算法则是解题的关键．
27．（1）；（2），2
【分析】（1）先算二次根式的化简和零指数幂，再算加减即可；
（2）利用分式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
28．(1)1
(2)
【分析】(1)先计算负整数指数幂，二次根式和0指数幂，再计算加减．
(2)把特殊角的三角函数值带入计算即可．
【详解】（1）
=
=1
（2）
【点睛】本题主要考查了0指数，负指数，二次根式化简，以及特殊角的三角函数值，熟记这些特殊值是解题的关键．
29．（1）2，相切；（2）；（3）6π；（4）
【分析】（1）根据题意直接求得与数轴的距离为半径，根据位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于数轴，即可判断位置Ⅱ中的半与数轴位置关系；
（2）从位置Ⅰ到位置Ⅱ，的长等于数轴上的长，从位置Ⅱ到位置Ⅲ，数轴上的，故数轴上的
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，绕点以的长为半径旋转个圆周，据此求得弧长和扇形面积即可，半圆扫过的面积为扇形面积加上半圆面积；
（4）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在中可求得∠NPH=30°，进而可得∠MPA=60°，结合（3）进而根弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）位置Ⅰ中的MN平行于数轴，则与数轴的距离为半径2，
位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于数轴，
可判断位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系相切，
故答案为：2，相切；
（2）从位置Ⅰ到位置Ⅱ，的长等于数轴上的长，从位置Ⅱ到位置Ⅲ，数轴上的，故数轴上的，
，
位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为；
（3）点N所经过路径长为，
S半圆=，S扇形=，
半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π；
（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，
则四边形PHCA为矩形，
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=，
∴∠NPH=30°，
∴∠MPA=60°，
从而的长为，
于是OA的长为．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式，扇形面积公式，解直角三角形，数轴，理清楚半圆的运动过程是解题的关键．28.2.1 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）已知正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ）
A．2 cm B．cm C．1 cm D．3 cm
4．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，以O为圆心的圆与直线交于A、B两点．若恰为等边三角形，则劣弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在阳光下直立于地面上的电线杆AB，落在水平面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得米，米，斜坡CD的坡度为，在D处测电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且间距相等，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）如图在矩形中，若，，则矩形的面积 （结果保留根号）．
8．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）圆内接正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为 ．
9．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，，点是的中点．以为直径的交于点，连接．若是的切线，，，则阴影部分的面积是 ．
10．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，），D为线段AB上一动点（D点不与A、B重合），沿OD折叠，点A恰好落在△ABO的边上，则D点坐标是 ．
11．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧，交AC于点E，过点E作交AD于点F，则阴影部分的面积为 ．
12．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F为射线AD上一动点．与关于EF所在直线对称，连接AC，分别交、EF于点M、N，．若与相似，则AF的长为 ．
13．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在直角坐标系xOy中，，，连接AB并延长到点C，连接CO，若，则点C的坐标为 ．
14．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）如图在菱形中，，则 ．
15．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在边BC上，连接DE，将CDE沿DE折叠，若点C的对称点C'到AD的距离为1，则CE的长为 ．
16．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，将一个半径，圆心角的扇形绕点顺时针旋转得到扇形，若，则半径的中点运动的路径长为 cm．
17．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在中，．过点D作，垂足为E，则 ．
18．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，点O是半圆圆心，是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，过点D作于点C，则阴影部分的面积是 ．
19．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）如图，在△中，，,.则边的长为 .
三、解答题
20．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）在中，，、、分别是、、
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
21．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）综合与探究
问题背景：
(1)①如图1，在正方形中，E，N分别是，上的两点，连接，．若，则的值为____________．
②如图2，在矩形中，E是上的一点，N是上一点，连接．若，且，则的值为____________．
问题探究：
(2)如图3，在矩形中，E为边上的动点，F为边上的动点，M为边上的动点，连接，过点M作于点O，交边于点N．若，求的值．
问题拓展：
(3)如图4，把（2）中的条件改为“在四边形中，，点F与点C重合，点M与点B重合，”，请直接写出的值．
22．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在中，，的垂直平分线与，的交点分别为，．若，，求的长和的值．
23．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看成平行线）．如图，他们在河岸MN一侧的A处，观察到对岸P点处有一棵树，测得，向前走45m到达B处，测得．（，，，）
(1)求河的宽度（精确到1m）；
(2)据河道建造碑文记载，该河实际宽70m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
24．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．
25．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
26．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）
(1)问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，点D是线段AB上一动点，连接BE．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
(2)类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若，则当△CBM是直角三角形时，求线段BE的长．
27．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，在Rt中，，以AB为直径作，点D为上一点，且，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
(1)求证：CD是的切线：
(2)若，，求AC的长．
28．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
29．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF拼合在一个平面上，边AC与EF重合．AC＝6，当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．
(1)如图2，点E在边AC上，点F在射线CG上，连接CD，求证：CD平分∠ACG；
(2)若AE＝0时，CD＝__________；AE＝3时，CD＝__________；
(3)当点E从点A滑动到点C时，则点D运动的路径长是__________．
30．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，小明同学在民族广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为100m，从处看风筝的仰角为30°，小明的父母从处看风筝的仰角为50°．求、相距多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1m）
参考答案：
1．A
【分析】连接CD，根据题意得知△ACD为直角三角形，直到三边的长，∠D余弦值=邻边÷斜边，在⊙O内，∠B=∠D，所以余弦值也相等．
【详解】解：连接CD，
在△ACD中，∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
又∵AC=3，AD=5，
∴CD=4，
∴cosD=，
又∵∠D=∠B，
∴cosD=cosB=，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．B
【分析】连接OA，OB，过O作OC⊥AB于C，根据正六边形的边心距的概念可知OC=，∠AOC=，根据三角函数可求．
【详解】解：连接OA，OB，过O作OC⊥AB于C，如图，
则OC=，∠AOC=，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的计算问题，解题的关键是转化为直角三角形的边角计算问题．
3．A
【分析】如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G，证明△ACE为等边三角形，根据y的最大值求得△ACE的边长，再在直角三角形ABG中用三角函数求得AB的长即可．
【详解】】解：如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G
由正六边形的对称性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE
∴△ACE为等边三角形，GE为AC边上的高线
∵动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动
∴当点P运动到点E时△ACP的面积y取最大值3
设AG=CG=a（cm），则AC=AE=CE=2a（cm），GE=a（cm）
∴2a×a÷2=3（cm）
∴a2=3
∴a=（cm）或a=-（舍）
∵正六边形的每个内角均为120°
∴∠ABG=×120°=60°
∴在Rt△ABG中，=sin60°
∴
∴AB=2（cm）
∴正六边形的边长为2cm
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，以图中y值的最大值为突破口，求得等边三角形△ACE的边长，是解题的关键．
4．A
【分析】作OP⊥CD于点P，设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，根据勾股定理求出，利用面积法求出，进而求出，根据弧长公式即可求解．
【详解】解：如图，作OP⊥CD于点P，设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，
当y=0时，，，当x=0时，，
∴点C、D的坐标分别为，
∴，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴劣孤的长度为．
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数、勾股定理、等腰直角三角形、弧长公式、利用三角函数解直角三角形等知识，综合性较强，理解相关知识并根据题意添加辅助线，求出OP的长是解题关键．
5．B
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在中，由坡度的定义和特殊锐角三角函数值，可求出，进而求得DN，CN，在中，求出AM，进而求出AB的值即可．
【详解】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，
∵斜坡CD的坡比为1：，即，即，
∴∠DCN=30°，
又∵CD=4，
∴，，
∴，
在Rt△AMD中，∠ADM=30°，，
∴，
∴米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形的应用，掌握仰角、坡度的定义是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
6．B
【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG=90°，AB=3，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG=∠α，从而可以得到tanα的值．
【详解】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得，GE∥BF，CE=EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵，
∴，
∵BC=2，
∴GB=1，
∵l3∥l4，
∴∠α=∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，
∴∠ABG=90°，
∴，
∴tanα的值为，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．
【分析】先根据矩形的性质得出，，再根据，求出，则矩形的面积．
【详解】解：矩形中，，
，，
，
，
，
矩形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、解直角三角形，属于基础题，解题的关键是掌握矩形的性质．
8．4
【分析】如图，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，根据正六边形的特点可得∠AOG＝30°，解直角三角形求出AG即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G．
由正六边形的性质可得：∠AOB＝360°×＝60°，OA＝OB，
∴在Rt△AOG中，∠AOG＝30°，OG＝，
∴tan∠AOG＝，
∴AG＝2，
∴AB＝2AG＝4，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查正六边形的性质，解直角三角形，熟知正六边形的性质是解题的关键．
9．
【分析】连接OE，由图形可知：S阴影=S四边形OBED-S扇形OBD，通过圆的性质可以分别求出四边形OBED和扇形OBD的面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接OE，
∵O是AB的中点，
∴OB=AB=2，
在Rt△ABC中，BC=AB tanA=，
∵E是BC的中点，
∴BE=BC=，S△OBE=×OB BE=，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵OB=OD，OE=OE，
∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），
∴S△ODE=S△OBE=，
∴S四边形OBED=，
∵∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴S扇形OBD=，
∴S阴影=S四边形OBED-S扇形OBD=．
【点睛】本题主要考查了圆的综合性质，切线的性质，扇形的面积等知识，熟练掌握圆的综合性质，将不规则的阴影面积用规则面积表达出来是解决本题的关键．
10．（，）或（，-）
【分析】由点A和点B的坐标可得∠OAB=60°，∠OBA=30°；设点A关于OD的对称点为A′；根据题意，需要分两种情况：①当A′落在边AB上时，②当A′落在边OB上时．画出图形，根据背景图形即可求解．
【详解】解：∵A（3，0），B（0，-3），
∴OA=3，OB=3，
∴AB=6，
∵∠OAB=90°，AB=2OA，
∴∠ABO=30°，∠OAB=60°，
设点A关于OD的对称点为A′．根据题意，需要分两种情况：
①当A′落在边AB上时，如图，
由折叠可知，∠OAA′=∠OA′A=60°，∠ODA=∠ODA′=90°，
∴△OAA′是等边三角形，
∴AA′=3，
∴AD=AA′=，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴AE=AD=，DE=AD=，
∴OE=OA-AE=，
∵点D在第四象限，
∴D（，-）；
②当A′落在边OB上时，此时点A′在y轴上，如图，
由折叠可知，∠AOD=∠A′OD=45°，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠DEO=∠AED=90°，∠EOD=∠EDO=45°，∠ADE=30°，
设AE=m，则OE=DE=m，
∴m+m=3，
解得m=，
∴m=，
∵点D在第四象限，
∴D（，），
故答案为：（，）或（，-）．
【点睛】本题在一次函数背景下考查折叠问题，涉及含30°的直角三角形，等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识，包括分类讨论思想等，关键是根据题意作出图形，解三角形．
11．
【分析】根据题意阴影部分面积可以用扇形DAE面积，减去△AFE的面积即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，AB=AE，
∴，且AC平分∠DAB，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴△AFE等腰三角形，
在△AFE中，过点F作FG⊥AE于点G，如图，
则有AE=2AG，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数解直角三角形、扇形面积的计算、阴影面积求法等相关知识点，根据题意找到等量关系，分步求解是解题的关键点．
12．1或3/3或1
【分析】分两种情形①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF．②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，分别求解即可．
【详解】解： ，
点E为AB的中点，
①当EM⊥AC时，
与关于EF所在直线对称，
△EMN∽△EAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠B=90°，
∴tan∠CAB=，
∴∠CAB=30°，
∴∠AEM=60°，
∴∠AEF=30°，
∴AF=AE tan30°=，
②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，
同理可得：AF=AE tan60°=3，
故答案为1或3．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．
【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式为，从而可设点的坐标为，过点作轴于点，从而可得，再根据正切的定义可得，然后根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后在中，利用正切三角函数建立方程，解方程求出的值，由此即可得出答案．
【详解】解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，
如图，过点作轴于点，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
所以点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数、相似三角形的性质、正切等知识点，熟练掌握相似三角形的性质和待定系数法是解题关键．
14．2
【分析】根据余弦值可求出AD的长，从而可利用勾股定理可求出DE的长．再根据菱形四边相等即得出AB的长，从而可求出BE的长，最后根据正切的定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
∴在中，．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理和菱形的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
15．或2
【分析】当点C'落在矩形ABCD的内部，过点C'作C'M⊥AD于点M，当点C'落在矩形ABCD的外部，过点C'作C'G⊥AD于点G，则C'G＝1，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：如图1，当点C'落在矩形ABCD的内部，过点C'作C'M⊥AD于点M，
∵将△CDE沿DE折叠，
∴AB＝DC＝C'D＝2，∠CDE＝∠C'DE，
∵C'M＝1，
∴，
∴∠C'DM＝30°，
∴∠C'DC＝60°，
∴∠CDE＝∠C'DC＝30°，
∴；
如图2，当点C'落在矩形ABCD的外部，过点C'作C'G⊥AD于点G，C'E与AD交于点H,则C'G＝1，
同理CD＝C'D＝2，
∴∠C'DG＝30°，
∴∠C'HD＝60°，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠C'HD＝∠HEC＝60°，
∴∠DEC＝∠HEC＝30°，
∴CE＝2．
综上可得，CE的长为或2．
故答案为：或2．．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角函数、勾股定理、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．
【分析】证明是等边三角形，求出，，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，．
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
半径的中点运动的路径长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点运动轨迹，弧长公式，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．
【分析】首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出．
【详解】∵，
∴△ADE为直角三角形，
又∵，
∴ ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,
∴ ,
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
,
过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图
在△EBC中：
S△EBC= ;
又∵S△EBC
∴ ,
解得,
在Rt△BFC中，
,
故填：．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高．
18．
【分析】求出半圆半径、OC、CD长，根据AD∥BO，得到 ，根据即可求解 ．
【详解】解：连接OA，
∵，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=8，∠AOB=60°
∵AD∥BO，
∴∠DAO=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=60°，
∴在Rt△OCD中，，
∵AD∥BO，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD∥BO，得到 ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．
19．
【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题
【详解】过A作AD⊥BC于D点，
∵，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD=.
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.
20．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用直角三角形的边角关系，进行计算即可解答；
（2）利用直角三角形的边角关系，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
21．(1)①1．②．
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质即可得出结果；
②根据矩形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）过点A作交于点Q，过点B作交于点K．根据平行四边形的判定得出四边形和四边形是平行四边形，再由相似三角形的判定和性质即可求解；
（3）连接，过点B作于点H．由等边三角形的判定和性质得出，再由正弦函数及相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：①∵正方形，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：1；
②∵矩形，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
（2）如图，过点A作交于点Q，过点B作交于点K．
∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴四边形和四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）．
如图，连接，过点B作于点H．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查矩形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及正弦函数的定义，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
22．，
【分析】在中，根据，，求得的长，根据勾股定理求得，根据垂直平分线的性质得出，继而求得，在中，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴,
∴,
在中，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键．
23．(1)68m；
(2)误差，建议：多次测量求平均值或使用精确度更高的测量工具等．
【分析】（1）过点P作于点C，设，利用，可得再表示出，利用
求出x的值即可；
（2）求出误差．建议：多次测量求平均值或使用精确度更高的测量工具等．
【详解】（1）解：过点P作于点C，设，
∵，∴．
在中，，．
∴，即．
∴解得．
答：河的宽度约为68m．
（2）解：．
多次测量求平均值或使用精确度更高的测量工具等．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法．
24．(1)AD＝BE，AD⊥BE
(2)结论仍然成立，证明见解析
(3)P点运动轨迹的长度是π；P点到直线BC距离的最大值是
【分析】（1）分别求出AD、BE的长即可解答；
（2）先证明△BCE∽△ACD ，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；
（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE
∵点D，E分别为AC，BC的中点
∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=
∴ AD＝BE．
故答案为：AD＝BE，AD⊥BE．
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，
∴，＝，
∴，
∵△CDE绕点C顺时针旋转，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，∠CBO＝∠CAD，
∴AD＝BE，
∵∠CBO+∠BOC＝90°，
∴∠CAD+∠AOP＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴BE⊥AD．
（3）解：∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP，
∵BE是⊙C切线，
∴CE⊥BE，
∵＝，
∴∠EBC＝30°，
∴∠GBP＝30°，
∵GB＝GP，
∴∠GBP＝∠GPB＝30°，
∴∠BGP＝120°，
∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，
∴P点运动轨迹的长度＝×2＝π，
∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，
∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，
∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，
∴PH＝BP＝．
∴P点到直线BC距离的最大值．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
25．(1)25
(2)
【分析】（1）根据三角函数求出AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长即可；
（2）先运用勾股定理求出BC，再由于D为AB上的中点可得AD=BD=CD=25，设DE=x、EB=y，利用勾股定理列方程组即可求出x的值，最后运用正弦的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=30，
∴cosA=，解得：AB=50.
∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，
∴CD==25．
（2）解：在Rt△ABC中，.
又∵AD=BD=CD=25，设DE=x，EB=y，则
在Rt△BDE中，①，
在Rt△BCE中，②，
联立①②，解得x=7
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，根据勾股定理列方程求解是解答本题的关键
26．(1)①1；②90°；
(2)，∠DBE=90°；
(3)BE=3+
【分析】（1）根据直角三角形的性质求得∠ABC=∠CED=45°，则有CA=CB，CD=CE，通过证明△ACD≌△BCE即可解答①和②；
（2）根据直角三角形的性质求得∠ABC=∠CED=30°，根据含30°直角三角形的性质和相似三角形的判定证明△ACD∽△BCE即可解答所求；
（3）由（2）知∠DBE=∠DCE=90°，BE=AD，由直角三角形的性质可证CM=BM= ，则有DE=2 ，利用勾股定理求解BE即可．
【详解】（1）解：∵在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，
∴∠ABC=∠CED=45°，∠ACD=∠BCE，
∴CA=CB，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAB=∠CBE=45°，
∴=1，∠DBE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，
故答案为：①1；②90°；
（2）解：，∠DBE=90°．理由为：
∵在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，
∴∠ABC=∠CED=30°，∠BCE=∠ACD，
∴BC=AC，CE=CD，
∴，又∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，∠CBE=∠CAB=60°，
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°；
（3）解：由（2）知：∠DBE=∠DCE=90°，BE=AD，
∵AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，BC=AC=2，
∵点M为DE的中点，∠DBE=∠DCE=90°，
∴CM=BM=DE，
∴△CBM是等腰直角三角形，
∴BC=BM=2，解得：BM=，
∴DE=2BM=2，
在Rt△DBE中，DB=4-AD，BE=AD，
由勾股定理得：（2）2=（4-AD）2+（）2，
解得：AD=+1或AD=－+1(舍去)，
∴BE=AD=3+．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
27．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（4-r）2=r2+22，推出r=1.5．由，推出，可得CD=BC=3，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接OC．
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（4-r）2=r2+22，
∴r=1.5．
∵，
∴，
∴CD=BC=3，
在Rt△ABC中，．
∴AC的长为．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
28．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，再由，即可得出．根据圆周角定理结合题意可知，即得出．由此易证，即得出．
（2）过点作，垂足为．根据题意可求出，结合（1）可知，即可求出．根据题意又可求出，利用三角函数即可求出，最后再利用三角函数即可求出最后结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作，垂足为．
∵，，
∴．
由（1）知．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题为圆的综合题．考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键．
29．(1)证明见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BG于点N，利用AAS证明DEM≌DFN，可得DM=DN，即可得到结论；
（2）当AE=0时，由ACD是等腰直角三角形，得AC=CD=6；从而可得CD的长度，当AE=3时，作EH⊥CD于点H，解ECD即可得到CD的长度；
（3）由（1）知，CD平分∠ACG，从而可确定点D在射线CD上运动，通过起点和终点可以分析出点D是往返型运动，再确定在运动过程中CD的最大值和最小值即可求解．
【详解】（1）证明：过D点作DM⊥AC于点M，DN⊥BG于点N，
∴∠DME＝∠DNF=90°，
∵∠ACG=90°，
∴∠MDN=90°，
∵DEF是等腰直角三角形
∴∠EDF=90°，DE=DF，
∴∠EDM+∠MDF=∠MDF+∠FDN=90°，
∴∠EDM=∠FDN，
∴DEM≌DFN （AAS）．
∴
∴点D在∠ACG的角平分线上．
∴CD是∠ACG的角平分线．
（2）当AE=0时，
∵AC=6，ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD=6，
∴CD=．
当AE=3时，作EH⊥CD交CD于点H，
CE=6-3=3，
∵∠ACD=45°，
∴EH=CH=CE=,
在EDF中，FE=6
∴DE=FE=，
在EDH中，EH=， DE =，
∴DH= ==，
∴CD=CH+DH=+=．
故答案为：，
（3）由（1）知，点D在∠ACG的平分线上运动，当点E从点A滑动到点C时，线段CD的长度先变长再变短．
当点E与点A重合时，CD最短=，
当DE⊥AC时，CD最长=6，
故点D的运动路径=）=．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，能够熟练全等三角形的判定和性质，以及分析动点的运动轨迹是解决本题的关键．
30．
【分析】如图，过作于，，在中，，求出的值，在中，，求出的值，然后根据计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴．
即A、C相距约．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于根据三角函数值求的值．28.2.2 解直角三角形应用举例 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河南郑州·九年级期末）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（ ）（参考数据：）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
3．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶，且B，C，E三点在同一条直线上，那么这棵树DE的高度为( )
A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m
4．（2022秋·河南洛阳·九年级期末）如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米 B．50米 C．米 D．50米
5．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（ ）
A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n mile
6．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方米的点D处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
8．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°．已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计），则该公司的广告牌的高度为 米．（结果用根号表示）
9．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上移动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了 .（结果可含有三角函数）
10．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为 ．
三、解答题
11．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）为测量图中铁塔的高度，小明利用自制的测角仪在D点测得塔顶A的仰角为，从点C向正前方行进16米到F处，再用测角仪在E点测得塔顶A的仰角为．已知测角仪的高度为1.5米，求铁塔的高度．（参考数据：．）
12．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）在学校组织的实践活动中，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量绿博园观光塔的高度．如图，小轩同学先在湖对面的广场A处放置做好的侧倾器，测得观光塔的塔尖F的仰角为37°，接下来小轩向前走之后到达B处，测得此时观光塔的塔尖F的仰角为45°，已知侧倾器的高度为，点A、B、E在同一直线上，求观光塔的高度（结果精确到，参考数据：，，，）
13．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）豫西大峡谷河流滩多水急，由大大小小99级瀑布，300多个潭组成，潭上飞珠溅玉，雾气腾腾．而这么多瀑布中，最大最美的叫做大淙潭瀑布，大淙潭瀑布落差40余米，宽10余米，不仅气势雄伟，而且声音恢宏，水石相击浪花飞溅，发出的雷鸣声似万马奔腾，声闻于数里之外．瀑布下有一个大深潭，潭中鱼龟虾蟹众多，潭碧水澈，风景迷人．某数学兴趣小组利用皮尺和测角仪进行相关测量，从D点看到瀑布顶端A的仰角为，看到瀑布底端B的俯角为．若瀑布底有一水潭，D点到水潭水平面的距离为，求瀑布顶端到水潭水平面的距离的长．（结果保留整数，参考数据）
14．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）环球国际金融中心（图中所示）是目前某市的标志性建筑．小明家住在金融中心附近的大厦（图中所示），他先在自己家的阳台（图中的点处）测得金融中心的顶端（点）的仰角为，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点处），测得点的仰角为，又点、、在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，根据上述信息求出环球国际金融中心（）的高度．（备用数据：，，）
15．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图所示，电视塔由信号发射塔和主楼两部分组成．某校九年级数学社团利用元旦假期进行校外实践活动，他们选定点为观测点，测得，信号发射塔顶的仰角为，发射塔底的仰角为．请你帮他们求出信号发射塔的高度（结果精确到．参考数据：，，）．
16．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）一个周末，小明在文化广场放风筝．如图是小明在放风筝某时段的示意图，他在处时的风筝线（整个过程中风筝线是拉直状态）与水平线构成角，线段表示小明身高1.7米．若小明在往后退6米到达点处时，风筝线与水平线构成角，此时风筝到达点E处，风筝移动的水平距离米，这一过程中风筝线的长度保持不变．（参考数据：）求：
(1)求的长度．
(2)风筝原来的高度．
17．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）驻马店新一代天气雷达楼位于驻马店市天中广场东南角，东临乐山大路，南临通达路．建筑造型采用简洁现代的建筑风格，在结构上通过层层退台的裙房处理及塔楼6个方向曲面变化，利用雷达独特的球形造型，充分体现了驻马店市腾飞的精神面貌，寓意驻马店市像一颗正在冉冉升起的“天中明珠”，屹立于中原大地．某数学活动小组到天中广场测量雷达楼的高度，如图，他们在测量点A处测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是28°，然后沿水平方向前进100米到达C点，此时测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是45°；雷达楼底部D和A、C两点在同一水平线上．
(1)求雷达楼BD的高度（结果精确到1米，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；
(2)雷达楼BD的实际高度是110米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议．
18．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）大楼AB是某地标志性建筑，如图所示，某校九年级数学社团为测量大楼AB的高度，一小组先在附近一楼房CD的底端C点，用高为1.5米的测杆CE在E处观测AB大楼顶端B处的仰角是72°，另一小组到该楼房顶端D点处观测AB大楼底部A处的俯角是30°，已知楼房CD高约是45米，根据以上观测数据求AB大楼的高（精确到0.1米）．（已知：≈1.73，sin72°≈0.951，cos72°≈0.034，tan72°≈3.08）
19．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，几名数学小组的成员为测量郑大钟楼的高度，在钟楼附近一高处平台D处测得钟楼顶端A处的仰角为45°．钟楼底部B处的俯角为22°．已知平台的高CD约为16米．请计算钟楼的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：，，）
20．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）上蔡奎星楼位于上蔡故城东垣上，始建于西汉年间，奎星楼共有三层，为砖木结构，拱角飞檐，六棱菱形．每层都有雄峙的翅角向上，顶层塔尖为独具风格的葫芦顶．每块砖和大门之上，雕刻着古代戏剧人物，与楼顶五颜六色的琉璃筒瓦、飞鸟走兽、怒龙奋爪相映辉．远远望去，雄武多彩．小刚站在奎星楼前C处测得奎星楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的居民楼上的D处测得奎星楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为1m，已知小强所在的高度DE为2m，根据测得的数据计算奎星楼AB的高度．（参考数据：，，）
21．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）2021年“五一”期间，修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面，这一始建于北魏天兴元年（公元398年）的建筑，在1600多年后，以崭新的面貌向世人展示历史印记，古代安阳“魁星取水”景观即将重现．某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米）
22．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度（结果保留根号）；
（2）求的长度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，）
23．（2022秋·河南新乡·九年级期末）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，）
24．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货轮相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？
25．（2022秋·河南洛阳·九年级期末）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
26．（2022秋·河南濮阳·九年级期末）手机软件SmartMeasure（智能测量）是一款非常有创意且实用性很高的数码测距工具．如图，测量者AB使用SmartMeasure测量一棵大树的高，软件显示，，，请你根据数学知识求出大树的高．（结果可保留根号）（为了计算方便，约定，，）
参考答案：
1．C
【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．
【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠DEF=,
∴,
由题可知，△DCE为直角三角形，
在Rt△DEC中，
即： ,
∴,
故选：C
【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．
2．C
【分析】分别解直角三角形和，求出NE和MB的长度，作差即可．
【详解】解：∵，DF的坡度i=1：1.25，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴顶端M与顶端N的高度差为，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．
3．D
【详解】过点A作AF⊥DE于点F，则四边形ABEF为矩形，
∴AF＝BE，EF＝AB＝3m．
设DE＝xm，在Rt△CDE中，CE＝＝xm．
在Rt△ABC中，∵＝，AB＝3m，
∴BC＝3m．
在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝(x－3) m，
∴AF＝＝(x－3) m．
∵AF＝BE＝BC＋CE，
∴(x－3)＝3＋x，
解得x＝9，
∴这棵树DE的高度为9m.
故选D.
点睛：此题主要考查了锐角三角形函数，解题关键是明确角的锐角三角函数值与直角三角形的边角关系，代入数据即可.
4．D
【分析】过B作BM⊥AD于M，先证∠BAD＝∠ABC，得BC＝AC＝100米，再在Rt△BCM中，由锐角三角函数定义求出BM即可．
【详解】解：过B作BM⊥AD于M，如图：
由题意得：∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴BC＝AC＝100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△BCM中，sin∠BCM＝，
∴BM＝BC×sin∠BCM＝100×＝50，
即B点到河岸AD的距离为50米，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．B
【详解】如图，作PE⊥AB于E．
在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，
∴PE=AE=×60=n mile，
在Rt△PBE中，∵∠B=30°，
∴PB=2PE=n mile．
故选B．
6．C
【分析】根据题意可得米，，根据，即可求解．
【详解】解：∵米，米，
∴米，
∵，
∴，
∴（米），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题意找出已知边和已知角．
7．A
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（29-）
【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长；根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．
【详解】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，i=tan∠BAF=，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=8，AF=，
∴BG=AF+AE=21+，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=21+，
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=21，
∴DE=AE=，
∴CD=CG+GE-DE=21++8-=29-，
∴该公司的广告牌的高度为（29-）米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
9．6tan15°
【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可．
【详解】解：设木桩上升了xcm，
则tan15°，
解得：x＝6tan15°，
则木桩上升了6tan15°cm，
故答案为：6tan15°．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
10．
【分析】先在和中，求出、 ，再求长度之比即可．
【详解】解：在中，
∵，
即，
∴.
在中，
∵，，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握正弦函数的定义及其应用．
11．铁塔的高度为49.5米
【分析】设米，在中，根据三角函数得出，得出，在中，根据三角函数得出，求出x的值，最后求出结果即可．
【详解】解：由题意，得米，米，，
设米，在中，，
∴（米），
∴米．
在中，，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴（米）．
答：铁塔的高度为49.5米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，列出关于x的方程．
12．米
【分析】如图，延长交于点G，证明四边形是矩形，可得，，设，则，，在中，，，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点G，
根据题意得：，，，，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，，
∴，
解得：，经检验符合题意，
即，
∴，
答：观光塔的高度为．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，熟练的利用仰角的含义结合三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键．
13．
【分析】过点D作于E，则四边形为矩形，在和中，根据锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：过点D作于E，则四边形为矩形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
则，
∴，
答：瀑布顶端到水潭水平面的距离的长约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
14．492米
【分析】构造所在的直角三角形，可得，那么减去60，即为；即为长，利用的正切值即可求得环球国际金融中心（）的高度．
【详解】过点Q作，交于点E，则
根据题意，得：，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设（米），则米，米，
∴米，
在 中，，
即．
解得：．
答：环球国际金融中心（）的高度约为492米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
15．
【分析】根据AC=DC，只需解直角三角形BCD，求得BC即可．
【详解】解：在中，
∴
在中，，
∴
∴
所以，信号发射塔的高度约为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本思路是解题的关键．
16．(1)的长度为6米
(2)风筝原来的高度为20.9米
【分析】（1）设米，则米；米，根据三角函数可以表示出BE、AD，根据BE＝AD列出等量关系式，即可求出AF；
（2）根据CD所在位置，根据三角函数正切关系，可以得出结论．
【详解】（1）设米，则米；米
在中，（米）
在中，（米）
由题知，可得
解得
即的长度为6米
（2）在中，
米
∴米
答：风筝原来的高度为20.9米．
【点睛】本题考查三角函数的知识点，理解并灵活运用三角函数相关知识点是解题的关键．
17．(1)雷达楼的高度约为113米
(2)误差为3米，可多次测量，取测量数据的平均值
【分析】(1)先设BD= x米；根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，Rt△ADB和等腰Rt CDB，应利用其公共边BD以及等腰三角形的性质构造等量关系，解三角形可求得DB的值，即可求出答案；
(2)计算(1) 求得的结果与实际高度的差即可，建议多次测量，去测量数据的平均值．
【详解】（1）设BD= x米；
由题意得：．
∴
∴
∴=x
在中，
即
∴
所以雷达楼的高度约为113米．
（2）误差为：（米）
减少误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值．
【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
18．241.3米
【分析】过E作EF⊥AB于F，则四边形ACEF是矩形，得到EF=AC，AF=CE，利用三角函数在Rt△ACD中求出AC，在Rt△BEF中求出BF，即可得到AB大楼的高．
【详解】解：过E作EF⊥AB于F，则四边形ACEF是矩形，
∴EF=AC，AF=CE，
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，CD=45，
∴AC=，
在Rt△BEF中，∠BEF=72°，EF=AC=，
∴BF=EF tan72°=×3.08=239.78，
∴AB=AF+BF=239.78+1.5≈241.3(米)，
答：AB大楼的高为241.3米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造直角三角形解决问题是解题的关键．
19．钟楼的高AB的值约为56米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，DE=BC，BE=DC=16米，再根据锐角三角函数可得DE的长，进而可得AB的值．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：
根据题意可得四边形DCBE是矩形，
∴DE=BC，BE=DC=16米，
在Rt△ADE中，
∵∠ADE=45°，
∴AE=DE，
∴AE=DE=BC，
在Rt△BDE中，∠BDE=22°，
∴（米），
∴AB=AE+BE=DE+CD=40+16=56（米）．
答：钟楼的高AB的值约为56米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，关键是借助仰角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．
20．魁星楼AB的高度约为12米
【分析】作DF⊥AB于F，证明四边形FBED为矩形，设，得到，， ，在中，利用正切定义解得，最后由解答．
【详解】解：作DF⊥AB于F，
设，
∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB，
∴四边形FBED为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
由题意得，，
即，
解得，，
答：魁星楼AB的高度约为12m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及矩形的判断与方法、正切定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．魁星阁顶端距离地面的高度约为米．
【分析】推出四边形CFGD是矩形，于是得到，求得DE=AD，设AE=CE=x，得到BE，解直角三角形即可得到答案．
【详解】由题意知，，，四边形是矩形．
设米．
在中，
∵，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴，
即．解得．
∴（米）．
答：魁星阁顶端距离地面的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
22．（1）无人机的高度AC=；（2）AB的长度为243m．
【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函数即可求解；
（2）先证明四边形ABFC为矩形，在Rt△BFE中，求得EFm，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：CD=8(m)，
在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，
∴，
∴AC=120(m)，
答：无人机的高度AC=；
（2）根据题意得：DE=8(m)，
则CE= DE+CD=520(m)，
过点B作BF⊥CE于点F，
则四边形ABFC为矩形，
∴AB=FC，BF=AC=，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，
∴，
∴EF=(m)，
∴AB=FC=CE-EF=520-276.8243(m)，
答：AB的长度为243m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
23．17.4m
【分析】先设出佛像的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程，解分式方程并检验即可．
【详解】解：设佛像的高度为xm，
∵∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=x，
∵佛像头部为，
∴CD=x-4，
∵∠DAC=37.5°，
∴tan∠DAC= = ≈0.77，
解得：x≈17.4，
经检验，该方程有意义，且符合题意，
因此x≈17.4是该方程的解，
∴佛像的高度约为17.4m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
24．A港与B港相距海里．
【分析】先作于点C，根据题意求出，从而得出的值，得出的值，即可求出答案．
【详解】解：作于点C，
由题意得，
∴海里，
∵乙货船从B港沿西北方向出发，
∴，，
∴海里，
∴海里，
答：A港与B港相距海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．
25．拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．
【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90，拦截点D处到公路的距离DA＝BE+CF．解Rt△BCE，求出BE＝BC＝×1000＝500米；解，求出CF＝CD＝500米，则DA＝BE+CF＝（500+500）米．
【详解】解：如图，过B作AB的垂线，两线交于点E，过D作AB的平行线，则∠E＝∠F＝90．
∵在中，∠E＝90，
∴∠BCE＝30，
∴BE＝BC＝500；
∵在中，∠F＝90，∠DCF=45，CD＝BC＝1000米，
∴CF＝CD＝500米，
∴DA＝BE+CF＝（500+500）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．的高度为
【分析】过点作于，利用锐角三角函数的定义分别求出、，进而求出，再根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：过点作，垂足为，
在中，
，
，
，
在中，
，
答：的高度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
