集合与常用逻辑用语单元检测试卷（人教A版2019）
一、单选题
1．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则下列选项中说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．或
C． D．
5．已知集合，，且，则实数a的所有值构成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
6．若集合的所有子集个数是，则的取值是（ ）
A． B． C． D．或
7．设，则“”是“” 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（ ）
A．若有2个元素，则有3个元素
B．若有2个元素，则有4个元素
C．存在3个元素的集合，满足有5个元素
D．存在3个元素的集合，满足有4个元素
二、多选题
9．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
11．某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ）
A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人
B．仅参加跳远比赛的有8人
C．仅参加跑步比赛的有7人
D．同时参加两项比赛的有10人
12．对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：
①
②
③，若且，则
④，若且，则
就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（ ）
A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个
B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系”
C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个
D．是实数集的一个“偏序关系
三、填空题
13．已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 .
14．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为 ．
15．已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为 ;
16．已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合 .
四、解答题
17．已知，集合.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；
(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.
18．已知p：关于x的方程有实数根，q：.
(1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
19．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
20．设集合， .
(1)若，试求；
(2)若，求实数的取值范围．
21．已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
22．设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点.
(1)证明：若则.
(2)A中的元素所对应的格点记作（），现将A中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以为顶点的三角形面积.
(3)已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围.
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有，
故一定不是等腰三角形；
故选：D.
2．B
【分析】结合二次函数的性质来求得的取值范围.
【详解】依题意命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，成立，
当时，函数开口向下，不恒成立.
综上所述，.
故选：B
3．B
【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.
【详解】由题意得，集合．所以，B错误；
由于空集是任何集合的子集，所以A正确；
因为，所以C、D中说法正确．
故选：B．
4．C
【分析】由题意要选的是的真子集.
【详解】由得，
因为选项中只有，
故只有C选项中的条件是使不等式成立的一个充分不必要条件．
故选：C.
5．D
【分析】根据，对进行分类讨论，由此求得的所有值构成的集合.
【详解】，
当时，，满足，只有D选项符合.
当时，，
要使，则或或，即或或，
所以实数a的所有值构成的集合是.
故选：D
6．D
【分析】分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解.
【详解】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素，
①当时，即当时，则，合乎题意；
②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解，
则，解得.
综上所述，或.
故选：D.
7．A
【详解】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：求解不等式可得，
求解绝对值不等式可得或，
据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．A
【解析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.
【详解】若有2个元素，不妨设，
以为中至少有两个元素，不妨设，
由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，
由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，
当集合有个元素时，由②得：，则或.
当集合有多于个元素时，不妨设，
其中，
由于，所以，
若，则，但此时，
即集合中至少有这三个元素，
若，则集合中至少有这三个元素，
这都与集合中只有2个运算矛盾，
综上，，故A正确；
当集合有个元素，不妨设，
其中，则，所以，
集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.
故选：A.
【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
9．ACD
【分析】根据集合满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；
（2）由（1）可知，故B错误；
（3）由①知，，，，，
即，故C正确；
（4），则，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知当，，，
当，可得，，
故D正确．
故答案为：ACD
10．BC
【分析】根据不等式与方程的性质，结合充分与必要条件的性质，逐个选项推导或举反例即可.
【详解】对于A，当时，或，所以“”不能推出“”，A错误；
对于B，“”能推出“”，若，则，但，所以“”不能推出“”，B正确；
对于C，的实数根为，，C正确；
对于D，当，时，，但，所以“”不能推出“”，D错误．
故选：BC
11．ACD
【分析】根据已知条件作出韦恩图即可求解
【详解】设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出韦恩图，如图，
则，解得，故A正确；
仅参加跳远比赛的人数为，故B错误；
仅参加跑步比赛的人数为，故C正确；
同时参加两项比赛的人数为，故D正确；
故选：ACD
12．BCD
【分析】根据“偏序关系”的定义逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为，所以由“偏序关系”可知集合，或，或，共3个，所以A错误，
对于B，因为，所以由“偏序关系”可知集合是集合A的一个“偏序关系”，所以B正确，
对于C，由②可知集合B中必须含有，由③可知与，与，与不能同时出现，
所以再从，，，，，中取一个，共6个，即含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个，所以C正确，
对于D，满足①②，
因为，所以满足③，
因为，所以，所以，满足④，
所以是实数集的一个“偏序关系，所以D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：此题考查集合的新定义，解题的关键是正确理解集合B为集合A的一个“偏序关系”的定义，考查理解能力，属于较难题.
13．
【分析】根据命题的否定为真命题，转化为方程有解问题，即可求解.
【详解】命题的否定是“，”，为真命题，
问题等价于有解，即或，解得.
故答案为：
14．/
【分析】讨论集合A中的条件属于一次方程还是二次方程即可求解.
【详解】①若，则，解得，满足集合A 中只有一个元素，所以符合题意；
②若，则为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于，解得.
故答案为：.
15．
【分析】先求出集合，由，得或或，分别求解的值即可.
【详解】解：集合，因为集合，且，
所以或或，
当时，，当时，，当时，，
故的所有取值构成的集合为.
故答案为：.
16．或或.
【分析】求得中所有元素之和后，根据中元素个数得到其元素所满足的关系式，依次判断中元素不同个数时可能的结果即可.
【详解】，中所有元素之和为；
若中仅有一个元素，设，则，解得：，不合题意；
若中有且仅有两个元素，设，则，
当，时，，；
若中有且仅有三个元素，设，则；
当，，时，，
若中有且仅有四个元素，设，
则，
当，，，时，，；
若中有且仅有五个元素，若，此时，
中最多能有四个元素；
综上所述：或或.
故答案为：或或.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过对中元素个数的分类讨论，依次从小至大排列中元素可能的取值，根据满足的关系式分析即可得到满足题意的集合.
17．(1)；
(2)当时，；当时，；
(3).
【分析】（1）根据空集，结合一元二次方程的判别式求参数范围；
（2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围.
【详解】（1）若A是空集，则关于x的方程无解，
此时，且，
所以，即实数a的取值范围是.
（2）当时，，符合题意；
当时，关于x的方程应有两个相等的实数根，
则，得，此时，符合题意.
综上，当时；当时.
（3）当时，，符合题意；
当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.
综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由命题p是假命题，可得，从而可求出实数a的取值范围；
（2）根据题意可得 ，从而可求出实数m的取值范围.
【详解】（1）因为命题p是假命题，所以对于方程无实根，
有，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）由（1）可知p：.
因为p是q的必要不充分条件，
所以 ，则，解得，
所以实数m的取值范围是.
19．(1)
(2)
【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围．
若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，
所以，实数m的取值范围是；
（2）若A恰有一个元素，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
20．(1)
(2).
【分析】（1）利用一元二次方程的公式及集合的并集的定义即可求解.
（2）利用子集的定义及一二次方程的根的情况即可求解.
【详解】（1）由，解得或，
.
当时，得解得或
；
∴.
（2）由（1）知，，，
于是可分为以下几种情况．
当时，，此时方程有两根为，，则
，解得.
当时，又可分为两种情况．
当时，即或，
当时，此时方程有且只有一个根为，则
，解得，
当时，此时方程有且只有一个根为，则
，此时方程组无解，
当时，此时方程无实数根，则
，解得.
综上所述，实数a的取值为.
21．（1）；（2）或.
【分析】（1）由题，集合最多两个元素，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，即可求解；
（2）分类讨论：为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可.
【详解】（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：；
（2）由题，中最多两个元素，对于方程
当集合时：
，即时，方程无解，，符合题意；
当集合中只有一个元素时：
，即时，方程的解为，，符合题意；
当中有两个元素时：
，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素，
此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：；
综上所述：或.
【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏.
22．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据集合A的描述，令判断是否满足集合描述即可证；
（2）根据题设定义写出的前6项，进而确定坐标，即可求三角形面积；
（3）根据题意、一定属于，一定不属于，并求，结合即可求参数范围.
【详解】（1）由题设，
则，且，
所以若则，得证.
（2）如下表取，行为，列为，
0 1 2 3
由表格知：最小的6个数为分别为，
所以，
所以，则，以为顶点的三角形面积为.
（3）同（2），将A中元素按下标小到大，从小到大排序，
由题设，又至少有2个元素，即、一定属于，故；
由最多有5个元素，即一定不属于，故；
综上，.
【点睛】关键点点睛：根据题设描述写出及对应，结合交集的结果确定参数范围.集合与常用逻辑用语单元检测试卷（人教A版2019）
一、单选题
1．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则下列选项中说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．或
C． D．
5．已知集合，，且，则实数a的所有值构成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
6．若集合的所有子集个数是，则的取值是（ ）
A． B． C． D．或
7．设，则“”是“” 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（ ）
A．若有2个元素，则有3个元素
B．若有2个元素，则有4个元素
C．存在3个元素的集合，满足有5个元素
D．存在3个元素的集合，满足有4个元素
二、多选题
9．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
11．某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ）
A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人
B．仅参加跳远比赛的有8人
C．仅参加跑步比赛的有7人
D．同时参加两项比赛的有10人
12．对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：
①
②
③，若且，则
④，若且，则
就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（ ）
A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个
B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系”
C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个
D．是实数集的一个“偏序关系
三、填空题
13．已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 .
14．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为 ．
15．已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为 ;
16．已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合 .
四、解答题
17．已知，集合.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；
(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.
18．已知p：关于x的方程有实数根，q：.
(1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
19．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
20．设集合， .
(1)若，试求；
(2)若，求实数的取值范围．
21．已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
22．设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点.
(1)证明：若则.
(2)A中的元素所对应的格点记作（），现将A中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以为顶点的三角形面积.
(3)已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围.试卷第2页，共4页
试卷第1页，共1页
