一元二次函数、方程和不等式单元检测试卷（人教A版2019）
一、单选题
1．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3．设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A． B． C． D．
4．设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．当时，函数的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
6．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，， B．，，
C．，， D．
7．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若、、，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．
10．若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
12．已知x，，，下列选项正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最大值为
三、填空题
13．已知，则的取值范围是 .
14．一元二次不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 ．
15．已知正实数满足，求的最小值为 ．
16．若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 .
四、解答题
17．实数、满足，.
(1)求实数、的取值范围；
(2)求的取值范围．
18．已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．已知，且.
(1)证明：；
(2)证明：.
20．（1）已知，比较与的大小并说明理由．
（2）利用（1）的结论解决下面问题：已知均为正数，且，求的最大值．
21．关于的不符式；
(1)若，求不等式的解集．
(2)若时，不等式有解，求实数的取值范围．
22．已知函数
(1)求关于x的不等式的解集；
(2)若在区间上恒成立，求实数a的范围.试卷第2页，共4页
试卷第1页，共1页
试卷第2页，共4页
试卷第4页，共1页一元二次函数、方程和不等式单元检测试卷（人教A版2019）
一、单选题
1．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3．设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A． B． C． D．
4．设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．当时，函数的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
6．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，， B．，，
C．，， D．
7．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若、、，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．
10．若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
12．已知x，，，下列选项正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最大值为
三、填空题
13．已知，则的取值范围是 .
14．一元二次不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 ．
15．已知正实数满足，求的最小值为 ．
16．若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 .
四、解答题
17．实数、满足，.
(1)求实数、的取值范围；
(2)求的取值范围．
18．已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．已知，且.
(1)证明：；
(2)证明：.
20．（1）已知，比较与的大小并说明理由．
（2）利用（1）的结论解决下面问题：已知均为正数，且，求的最大值．
21．关于的不符式；
(1)若，求不等式的解集．
(2)若时，不等式有解，求实数的取值范围．
22．已知函数
(1)求关于x的不等式的解集；
(2)若在区间上恒成立，求实数a的范围.
试卷第2页，共4页
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参考答案：
1．D
【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．
【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．
可得，，，故B不正确．
可得，，，故C不正确．
故选：D．
2．B
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以．
因为x，y都是正数，由基本不等式有：，
所以，当且仅当
即时取“＝”．故A，C，D错误.
故选：B．
3．C
【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.
【详解】由在上有解，得在上有解，
则，由于，而在单调递增，
故当时，取最大值为，故，
故选：C
4．D
【分析】题目考察不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B,C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得
【详解】已知,对各选项逐一判断：
选项A：因为,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误.
选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误.
选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误.
选项D：因为,所以,所以,即,所以选项D正确.
故选：D.
5．B
【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.
【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．
故选：B．
6．C
【分析】把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围．
【详解】解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
7．D
【分析】根据条件得，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】因为，所以
即
，当且仅当，即时，等号成立.
所以
故选:D.
8．C
【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.
【详解】∵，，则，
∴，
又∵，且，
可得，
令，则原题意等价于对一切，恒成立，
∵的开口向下，对称轴，
则当时，取到最大值，
故实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】结论点睛：
对，恒成立，等价于；
对，恒成立，等价于.
9．BD
【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若且，取，，则，A错；
对于B选项，若，则，B对；
对于C选项，若且，则，
则，故，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，故，D对.
故选：BD.
10．AB
【分析】根据已知条件，利用基本不等式结合不等式的性质，判断选项中的不等式是否恒成立.
【详解】，则，当且仅当时取等号，A正确；
，即，，则，当且仅当时取等号，B正确，C错误；
，D错误．
故选：AB
11．CD
【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.
【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则只有一个根，
所以，所以，所以A错误；
对于B：，当且仅当即时，等号成立，所以B错误；
对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知，所以C正确；
对于D：若不等式的解集为，即的解集为，
由韦达定理知：，
则，解得，所以D正确.
故选：CD.
12．AD
【分析】对A：由乘“1”法结合基本不等式即可求解；对B：由基本不等式得，，由此可得，但是取等条件不成立；对C：由，结合基本不等式即可求解；对D：由，结合基本不等式即可求解.
【详解】对A：，
当且仅当，即时，取等号，A选项正确；
对B：因为，取等条件；
又因为，取等条件；
所以，
因为取等条件与矛盾，故B错误；
对C：，
当且仅当，即时，取等号，所以C错误；
对D：
，
当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是要对所求式子进行变形，利用乘“1”法以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，由此即可顺利求解.
13．
【分析】根据不等式性质计算即可.
【详解】∵，∴，
又∵，∴.
故答案为:.
14．
【分析】根据一元二次不等式，在时，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由不等式对一切实数都成立，
可得即.
故答案为：.
15．/
【分析】由已知可得，再将所求式换成关于的式子，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为正实数满足，
所以，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.
16．
【分析】根据题意，设，进而整理得，进而令，当给定时，再分和分别讨论求解即可.
【详解】解：因为关于的方程有两个不同实根，
所以，故设
所以，
①，
所以，令，
当给定时，当，时，可变形为，但由于，故
当时，取，可变形为，
所以，的取值范围为.
所以，实数的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合判别式设进而整理得，再令，结合二次函数的最值求解即可.
17．(1)，
(2)
【分析】由不等式的性质求解．
【详解】（1）由，，
则，所以，
所以，即，
即实数的取值范围为．
因为，
由，
所以，所以，
所以，
∴，
即实数的取值范围为．
（2）设，
则，解得，
∴，
∵，．
∴，，
∴，
即的取值范围为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式可得参数范围；
（2）不等式换成以为主元，为一次不等式，这样只要和时不等式都成立即可得的范围．
【详解】（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立
则关于的方程的判别式，
即，解得，所以实数的取值范围为．
（2）不等式，
可看成关于的一次不等式，又，
所以，解得且，所以实数的取值范围是．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由，，利用基本不等式求解即可.
（2）由，两边同时平方，结合基本不等式求的最小值.
【详解】（1）
，
当且仅当时取等号，
所以.
（2）由，得，
又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，，，，
当且仅当时，上述不等式等号均成立，
所以，
即，
所以，当且仅当时等号成立.
20．（1） ，理由见解析；（2）5 ．
【分析】（1）利用作差法比较大小；
（2）利用（1）中的结论得，可求的最大值．
【详解】（1），证明如下：
当且仅当时等号成立，
所以.
（2）解：由（1）得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为5．
21．(1)；
(2).
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法直接求解即可，
（2）将问题转化为当时，有解，然后利用基本不等式求出的最小值即可求得实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，即，
，解得，
所以不等式的解集为；
（2）由，得，
，
因为时，不等式有解，
所以当时，有解，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，即实数的取值范围为.
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）因式分解，再讨论二次方程两根的大小关系求解即可；
（2）参变分离可得在区间上恒成立，再换元令，根据基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）即，故：
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）在区间上恒成立，即，
即在区间上恒成立.
令，则在区间上恒成立.
又，当且仅当，即，时取等号.
故，故实数a的范围是
试卷第2页，共4页
试卷第15页，共12页
