新课标高中数学常用公式及结论大全(理)

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湖南省江华一中高考第二轮复习教学案-------新课标高中数学常用公式及结论大全（高考要必胜！基础是关键！）
必修1
1、集合的含义与表示
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。
描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如
2、常用数集及其表示方法
（1）自然数集N（又称非负整数集）：0、1、2、3、……
（2）正整数集N*或N+ ：1、2、3、……
（3）整数集Z：-2、-1、0、1、……
（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等
（5）实数集R：全体实数的集合
（6）空集Ф：不含任何元素的集合
3、元素与集合的关系：属于∈，不属于
例如：a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等
（1）子集的概念
如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如图1)，记作或.
若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，记作
（2）真子集的概念
若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集(如图2). AB或BA.
（3）集合相等：若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
5、重要结论
（1）传递性：若，，则
（2）空集Ф是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.
6、含有个元素的集合,它的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有–1个(即不计空集)；非空的真子集有–2个.
7、集合的运算：交集、并集、补集
（1）一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B（读作＂A交B＂），即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝．
（2）一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集．记作A∪B（读作＂A并B＂），
即A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝．
（3）若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作,
注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了的情况。
8、映射与函数
（1）函数：如果A，B都是非空的数集，对于A中的任一元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与它对应f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.集合A叫做函数y=f(x)的定义域，所有y组成的集合C（CB）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).（2）映射：映射是函数的推广（A，B都是非空的集合）。
9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如
10、求函数的定义域的原则：
（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）
①分式的分母不为零；
②偶次方根的被开方数大于或等于零；
③对数的底数大于０且不等于１；
④对数的真数大于０；
⑤指数为０的底不能为零；,则
11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）
（1）奇函数满足，
奇函数的图象关于原点对称；
（2）偶函数满足，
偶函数的图象关于y轴对称；
注：①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ②若奇函数在原点有定义,则
③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）
当时，都有，则在该区间上是增函数，图象从左到右上升；
当时，都有，则在该区间上是减函数，图象从左到右下降。
函数在某区间上是增函数或减函数，那么说在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增/减）区间。
13、一元二次方程
（1）求根公式:
（2）判别式：
（3）时方程有两个不等实根；时方程有一个实根；时方程无实根。
（4）根与系数的关系——韦达定理:
，
14、二次函数：一般式；
顶点式
两根式
（1）顶点坐标为；
（2）对称轴方程为：x=；
（3）当时，图象是开口向上的抛物线，在x=处取得最小值
当时，图象是开口向下的抛物线，在x=处取得最大值
（4）二次函数图象与轴的交点个数和判别式的关系：
时，有两个交点；时，有一个交点（即顶点）；时，无交点。
15、函数的零点
使的实数叫做函数的零点。例如是函数的一个零点。
注：函数有零点 函数的图象与轴有交点 方程有实根
16、函数零点的判定：
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有。那么，函数在区间内有零点，即存在。
17、分数指数幂 （，且）
（1）.如；
(2) . 如；
（3）；
（4）当为奇数时，；
当为偶数时，.
18、有理指数幂的运算性质（）
（1）； （2）；
（3）
19、指数函数（且），其中
是自变量，叫做底数，定义域是R
图象
性质 （1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
20、若，则 叫做以 为底的对数。
记作：（，） 其中，叫做对数的底数，叫做对数的真数。
注：指数式与对数式的互化公式：
21、对数的性质
（1）零和负数没有对数，即中；
（2）1的对数等于0，即 ；
底数的对数等于1，即
22、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记为：
自然对数：以e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，记为：
23、对数恒等式：
24、对数的运算性质（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
(1);
(2) ;
(3) （注意公式的逆用）
25、对数的换底公式
(,且,,且, ).
推论①或； ②.
图像
性质 定义域：(0, ∞)
值域：R
过定点（1，0）
增函数 减函数
取值范围 01时，y>0 00 x>1时，y<0
26、对数函数（，且）：其中，是自变量，叫做底数，定义域是
27、指数函数与对数函数互为反函数；它们图象关于直线对称.
28、幂函数（），其中是自变量。要求掌握这五种情况(如下图)
29、幂函数的性质及图象变化规律：
（Ⅰ）所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（Ⅱ）当时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间上是增函数．
（Ⅲ）当时，幂函数的图象在区间上是减函数．
必修2
30、边长为的等边三角形面积
31、柱体体积：，
锥体体积：
球表面积公式：，
球体积公式：
32、四个公理：
①　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
②　过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
③　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
④　平行于同一直线的两条直线平行
（平行的传递性）。
33、等角定理：
空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补(如图)
34、两条直线的位置关系：
直线与平面的位置关系：
（1）直线在平面上；
（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交）
两个平面的位置关系：（1）两个平面平行；
（2）两个平面相交
35、直线与平面平行：
定义　一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。
判定　平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。
性质　一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
36、平面与平面平行：
定义　两个平面没有公共点，则这两平面平行。
判定　若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
性质　 ①　如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。
② 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。
37、直线与平面垂直：
定义　如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
判定　一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
性质　①垂直于同一平面的两条直线平行。
　②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另
一条也与这个平面垂直。
38、平面与平面垂直：
定义　两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。
判定　一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
性质　两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
39、三角形中“心”
（1）为的外心（各边垂直平分线的交点）.外心到三个顶点的距离相等
（2）为的重心（各边中线的交点）.重心将中线分成2：1的两段
（3）为的垂心（各边高的交点）.
（4）为的内心（各内角平分线的交点）. 内心到三边的距离相等
40、直线的斜率：
(1) 过两点的直线，斜率，（）
（2）已知倾斜角为的直线，斜率（
（3）曲线在点（处的切线，其斜率
41、直线位置关系：已知两直线，则
特殊情况：（1）当都不存在时，；
（2）当不存在而时，
42、直线的五种方程 ：
①点斜式
(直线过点，斜率为)．
②斜截式
(直线在轴上的截距为，斜率为).
③两点式
(直线过两点与).
④截距式
（分别是直线在轴和轴上的截距，均不为0）
⑤一般式 (其中A、B不同时为0)；可化为斜截式：
43、（1）平面上两点间的距离公式：|AB|=
（2）空间两点距离公式|AB|=
（3）点到直线的距离
(点，直线：).
44、两条平行直线与间的距离公式：
注：求直线的平行线，可设平行线为，求出即得。
45、求两相交直线与的交点：
解方程组
46、圆的方程：
①圆的标准方程 .
其中圆心为，半径为
②圆的一般方程 .
其中圆心为，半径为
，其中＞0
47、直线与圆的位置关系
（1）;
（2）;
（3）.
48、直线与圆相交于两点，求弦AB长度的公式：（1）
（2）
（结合韦达定理使用），其中是直线的斜率
49、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
1）;
2）;
3）; 4）;
5）
必修③公式表
50、算法：是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
51、程序框图及结构
程序框 名称 功能
起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。
输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
52、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
53、三种抽样方法的区别与联系
类别 共同 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 抽取过程中每个个体被抽取的概率相等 从总体中逐个抽取 总体中个体数较少
分层抽样 将总体分成几层进行抽取 各层抽样可采用简单随机抽样或系统抽样 总体有差异明显的几部分组成
系统抽样 将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体较多
54、（1）频率分布直方图（注意其纵坐标是“频率/组距） ， ，
。
（2）数字特征
众数：一组数据中，出现次数最多的数。
中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数
（若最中间有两个数，则取其平均数）。
平均数： 方差: =
标准差： 注：通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度；其值越小，数据越集中；其值越大，数据越分散。
回归直线方程：，其中，
55、事件的分类：
（1）必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件。P（必然事件）=1
（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P（不可能事件）=0
（3）随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件
基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。
56、在n次重复实验中，事件A发生的次数为m，则事件A发生的频率为m/n，当n很大时，m总是在某个常数值附近摆动，就把这个常数叫做事件A的概率。（概率范围：）
57、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件（如图1）。
如果事件A、B是互斥事件，
则P（A+B）=P（A）+P（B）
58、对立事件（如图2）：指两个事件不可能同时发生，但必有一个发生。
0
sin 0 1
cos 1 0
0 1 不存在
sin 0 -1
cos - - - -1 0
- -1 - 0 不存在
对立事件性质：
P（A）+P（）=1，其中表示事件A的对立事件。
59、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征：
（1）基本事件个数是有限的；
（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．
60、设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)公式为 =
运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求它们的概率，然后计算。 在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。
61、几何概型的概率公式：
必修④公式表
62、终边相同角构成的集合：
63、弧度计算公式：
64、扇形面积公式：
(为弧度)
65、三角函数的定义：
已知是的终边上除原点外的任一点
则
其中
66、三角函数值的符号
67、特殊角的三角函数值：
68、同角三角函数的关系：
69、和角与差角公式：
;
;
二倍角公式：
70、诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限；其中，奇偶是指的个数,符号参考第66条.
71、辅助角公式：=(辅助角所在象限与点的象限相同,且 ).主要在求周期、单调性、最值时运用。 如
72、半角公式(降幂公式)：
，
73、三角函数的性质（）
（1）最小正周期；振幅为A；频率；相位：；初相：；值域：；
对称轴：由解得；
对称中心：由解得组成的点
（2）图象平移：左加右减、上加下减。
例如：向左平移1个单位，解析式变为
向下平移3个单位，解析式变为
（3）函数的最小正周期.
74、正弦定理：
在一个三角形中，各边与对应角正弦的比相等。
(R是三角形外接圆半径)
75、余弦定理：
推论
76、三角形的面积公式：
77、三角函数的图象与性质和性质
函数
图象
定义域
值域 [-1，1] [-1，1]
最大值 ， ，
最小值 ， ，
周期
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 在上是增函数 在上是增函数
在上是减函数 在上是减函数
三角函数
图象
定义域
值域
周期
奇偶性 奇函数
单调性 在上都是增函数
78、向量的三角形法则：
79、向量的平行四边形法则：
80、平面向量的坐标运算:
设向量a=,向量b=
（1）加法a+b=.
（2）减法a-b=.
（3）数乘a=
（4）数量积a·b=|a||b|cosθ=，
其中是这两个向量的夹角
（5）已知两点A，B，
则向量.
81、向量a=的模：|a|=，
即
82、两向量的夹角公式
83、向量的平行与垂直 （b0）
a||b b=λa .
记法： a=,b=
ab a·b=0 .
记法： a=,b=
必修⑤公式表
84、数列前项和与通项公式的关系:
( 数列的前n项和为).
85、等差、等比数列公式对比
等差数列 等比数列
定义式 ()
通项公式及推广式
中项公式 若成等差，则 若成等比，则
运算性质 ，则 若则
前项和公式
一个性质 成等差数列 成等比数列
86、解不等式
（1）、解一元二次不等式 ：
①求判别式
②求一元二次方程的解 两相异实根 一个实根 没有实根
③画二次函数的图象
④结合图象写出解集
解集 R
解集
注：解集为R 对恒成立
(2)、含有绝对值的不等式 当a > 0时，有.[小于取中间]
或.
[大于取两边]
（3）分式不等式：先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。
如解分式不等式 ：先移项 通分
再除变乘，解出。
87、线性规划：
（1）一条直线将平面分为三部分（如图）：
（2）不等式表示直线某一侧的平面区域，验证方法：取原点（0，0）代入不等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（1，0）。
（3）线性规划求最值问题：一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标，代入目标函数，最大的为最大值。
选修2－1
88、充要条件
（1）若则是的充分条件，是的必要条件.
（2）若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
89、逻辑联结词。“p或q”记作：p∨q; “p且q”记作：p∧q; 非p记作：┐p
90、四种命题：
原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p
否命题：若┐p，则┐q 逆否命题：若┐q，则┐p
注意：
（1）原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系；
（2）┐p是指命题P的否定，注意区别“否命题”。例如命题P：“若，则”，那么P的“否命题”是：“若，则”，而┐p是：“若，则”。
91、全称命题：含有“任意”、“所有”等全称量词（记为）的命题，如P：
特称命题：含有“存在”、“有些”等存在量词（记为）的命题，如q：
注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，
如上述命题p和q的否定：┐p：， ┐q：
92、椭圆
①定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且(为常数)则P点的轨迹是椭圆。
②标准方程：焦点在x轴: ； 焦点在y轴: ；
长轴长=，短轴长=2b 焦距：2c 恒等式：a2-b2=c2 离心率：
93、双曲线
①定义：若F1，F2是两定点，（为常数），则动点P的轨迹是双曲线。
②图形：如图
③标准方程：
焦点在x轴:
焦点在y轴:
实轴长=，虚轴长=2b， 焦距：2c
恒等式：a2+b2=c2 离心率：
渐近线方程：当焦点在x轴时，渐近线方程为；当焦点在y轴时，渐近线方程为
等轴双曲线：当时，双曲线称为等轴双曲线，可设为。
94、抛物线
①定义：到定点F距离与到定直线的距离相等的点M的轨迹是抛物线（如左下图MF=MH）。
②图形：
方程 焦点： F F 准线方程：
图形：
方程:
焦点： F F
准线方程：
注意：几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；
95. 空间向量与立体几何
（1）．直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．
（2）．若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则，．
，
，，则
．
（3）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则
，
．
（4）．若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则，
．
（5）设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．
（6）设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．
（7）设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．
（8）、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．
（9）、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．
选修2－2
96．导数的几何意义： 表示曲线在处的切线的斜率；
导数的物理意义： 表示运动物体在时刻处的瞬时速度。
97、几种常见函数的导数
(1) （C为常数）.(2) .
(3) . (4) .
(5) ;
(6) ；；
（7）
导数的运算法则：
（1）. （2）.
（3）.
复合函数求导法：
设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x))处可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且（f[(x)]=.
98．函数的单调性与其导函数的正负的关系：
在某个区间（a , b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减。
注：若函数在这个区间内单调递增，则; 若函数在这个区间内单调递减，则
99、判别是极大（小）值的方法
(1)求导；
（2）令=0，
解方程，求出所有实根
（3）列表，判断每一个根左右两侧的正负情况： 如果在附近的左侧，右侧，则是极大值； 如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
100、求函数在闭区间[a , b]上的最值的步骤：
（1）求函数的所有极值；
（2）求闭区间端点函数值；
（3）将各极值与比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即，千万不能写成导数值。
（2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。
101．定积分及应用
102、复数，
其中叫做实部，叫做虚部
(1)复数的相等 .（）
(2)当a=0,b≠0时,z=bi为纯虚数;
(3)当b=0时,z=a为实数;
(4)复数z的共轭复数是
(5)复数的模=.
(6)i2 =-1, （-i）2 =-1.
(7) 复数对应复平面上的点，
103.复数的四则运算法则
(1)加：;
(2)减：;
(3)乘：;
类似多项式相乘
(4)除：（分子、分母乘分母共轭复数，此法称为“分母实数化”）
104、推理：
（1）合情推理：包含归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（从特殊到特殊）
（2）演绎推理：从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原理）、小前提（所研究的特殊情况）、结论（根据一般原理，对特殊情况得出的判断）
105、证明：
（1）直接证明：包括综合法（又叫由因导果法）和分析法（又叫执果索因法）
（2）间接证明：又叫反证法，通常假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立。
（3）用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：①证明：当取第一个值结论正确；②假设当(，≥)时结论正确，证明当时结论也正确由①②可知，命题对于从开始的所有正整数都正确.
数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
用数学归纳法证题时，两步缺一不可.
选修2－3
106.排列组合
（1）分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。
（2）分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。
（3）排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
（4）排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示。
当时为全排列.
（5）组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合数公式：
,
.
组合数性质：；.
（6）.排列组合主要解题方法：
①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；
②捆绑法(相邻问题)；
③插空法（不相邻问题）；
④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）
⑤多排问题单排法;
⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）；
⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；
⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类).
107.二项式定理：
⑴掌握二项展开式的通项：
；
⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.
（3）二项式系数具有下列性质：
①与首末两端等距离的二项式系数相等；
②若为偶数,中间一项(第项)的二项式系数最大；若为奇数,中间两项(第和项)的二项式系数最大.
③；
.
（4）二项式定理应用：用赋值法求展开式的某些项的系数的和如展开式的各项系数和为,奇数项系数和为 ,偶数项的系数和为.
108.概率与统计
（1）理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列。
（2）离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn
X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
由概率的性质可知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：⑴； ⑵.
（2）二点分布：如果随机变量X的分布列为：
其中0（3）二项分布：记作为参数),
记.
… …
… …
（4）记住以下重要公式和结论：
⑴期望值.
⑵方差
.
⑶标准差；
.
⑷若(二项分布),则, .
⑸若(几何分布),则
,.
109.等可能事件的概率公式：
⑴； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：；
⑶相互独立事件（事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响）同时发生的概率公式为；
⑷独立重复试验概率公式；
⑸如果事件与互斥，那么事件与、与及事件与也都是互斥事件；
⑹如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个不发生的概率是；
（7）如果事件与相互独立，那么事件与至少有 一个发生的概率是.
（8）条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率
公式：
110.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,
这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；
1 学会用样本平均数
估计总体平均数；
⑵会用样本方差
去估计总体方差及总体标准差；
（3）.正态总体的概率密度函数：
,式中是参数,分别表示总体的平均数与标准差；
（4）.正态曲线的性质：⑴曲线在时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降低；⑵曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦. ⑶曲线在轴上方，并且关于直线x= 对称；
（5）.假设检验的基本思想（3原则）：
正态总体在 以外取值的概率 只有4.6%,在 以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
⑴提出统计假设，确定随机变量服从正态分布；
⑵确定一次试验中的取值是否落入范围；
⑶作出推断：如果,接受统计假设；如果,由于这是小概率事件,就拒绝假设.
111. 独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为： 　　
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
　若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方） 　　K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K2≤3.841时，X与Y无关； K2>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关
回归分析： 回归直线方程 ， 其中
,
选修4-1几何证明选讲
112．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰
113．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
推论：平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
114．判定两个三角形相似的方法：
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形相似
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等两三角形相似
判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似
引理：若一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么直线平行第三边
相似三角形的性质定理：
1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比； 2）相似三角形周长的比等于相似比
3）相似三角形面积的比等于相似比的平方
115．直角三角形的射影定理
如图△ABC中，CD是斜边AB上的高，则
（1）
（2）
（3）；
116．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角为直角
117．圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1：经过圆心垂直于切线的直线必经过切点
推论2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
118．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角， 如图：
119．与圆有关的定理：
（1）相交弦定理：圆内两条相交弦，
被交点分成的两条线段长的积相等；
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
选修4-4坐标系与参数方程
120、极坐标系：其中
（1）如图，
点M的极坐标为
（2）极坐标与直角坐标的互化公式：
①;
②，
121、参数方程形如………（*）
参数方程是借助参数，间接给出之间的关系,而普通方程是直接给出与的关系，如
（1）圆的参数方程是
（2）椭圆的参数方程
（3）参数方程与普通方程的互化：消去参数方程的参数，得到普通方程。
消去参数的方法有：
①公式法：用公式等
②代入法：方程（*）中，由解出，代入
③加减消元法：方程（*）中，两式相加（减）消去参数；请将圆的参数方程，化为圆的标准方程__________________，说说你用的是什么方法？
提示：解参数方程问题，通常先将参数方程化为普通方程，再求解。
选修4—5不等式选讲
122、几个重要不等式
①（当且仅当时取）.
②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.
变形公式：
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.
④绝对值三角不等式
⑤二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立.
三维形式的柯西不等式：
123．含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
124、恒成立问题
⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时
②当时
⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时
②当时
⑶恒成立
恒成立
⑷恒成立
恒成立
选修4-7 优选法
0
B
+
)
—
—
+
+
准线
F
x
1
0
y
1
1
x
F
A
A,B
(图1)
或
AB
(图2)
AB
A
B
A
2
3
—
—
+
—
+
—
+
直线
·
极点O
极径
点M
)极角
极轴
y
x
x
y
0
x
0
1
y
1
0
y
x
1
1
1
1
1
1
：（不同在任何一个平面内的两条直线，
没有公共点）
：（在同一平面内，没有公共点）
：（在同一平面内，有一个公共点）
其中是圆心到直线的距离，且
x
)
P(x,y)
y
r
-
0
y
x
x
0
1
-1
-
y
a+b
a
-1
1
0
x
y
b
b-a
b
a
M
H
2
^
1（
D
B
A
C
图（2）
A B
图1
A
B
C
B
A
a+b
b
a
直线
极小值
极大值
PAGE